feste Körper: Idealvorstellung Kristall

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1 Elastizität fester Körper Massenpunkt starrer Körper Gase reale Körper feste Körper: Idealvorstellung Kristall

2 Zug-, Druck-, Tangential- und Schubspannung Beispiele von Oberflächenkräften (im Gegensatz zu Massenkräften wie z. B. Gravitation): F A, bzw. F A Zug: Zugspannung Druck: Druckspannung } σ. = Normalkraft F n Fläche A F A, bzw. F A Tangentialspannung Schubspannung } τ. = Tangentialkraft F n Fläche A [σ] = [τ] = Kraft pro Fläche = Druck = Pa.

3 Spannungskräfte wirken nicht nur auf die Oberfläche eines Körpers, sondern auch auf das Innere! F n F n F t F t Die äußeren Kräfte rufen im Inneren des Körpers Spannungen hervor. Der Körper ist nur in Ruhe, wenn sich alle Kräfte kompensieren ( actio = reactio ) bzw. wenn die hervorgerufenen Verzerrungen Gegenkräfte hervorrufen, welche die inneren Spannungen kompensieren.

4 Das Hooksche Gesetz Die Verzerrungen sind proportional den Spannungen F A L L bzw. σ L L gilt nur bis zur sog. Proportionalitätsgrenze. Verformungen bleiben reversibel bis zur Elastizitätsgrenze, darüber hinaus erfährt der Körper eine irreversible Deformation (z. B. Beule in Blech). Im Proportionalitätsbereich hat die Proportionalitätskonstante je nach Situation verschiedene Namen: Elastizitätsmodul, Schubmodul, Torsionsmodul, Kompressionsmodul, etc.

5 Kompressionsmodul K und Schubmodul G F α P = K V V τ = Gα

6 Bestimmung des Torsionsmoduls bzw. des Schubmoduls Kreisring mit Fläche 2πrdr dr r τ = Gα = G r L φ, bzw. df = G2πr2 dr φ L Das Drehmoment erhalten wir durch Multiplikation mit r d M = 2πφ L Gr3 dr Das Torsionsmodul eines Vollzylinders (Fadens) L α F M = 2π φ L G r 0 dr r 3 = π φ 2 L Gr4 und damit G = 2 π L r 4 φ M Vergleiche Bestimmung des Trägheitsmomentes! φ

7 Repetition: Bestimmung des Trägheitsmoments Körper A Scheibe m, R Tisch: J 0 Feder mit Richtmoment D D = M φ = π 2 r 4 L G Drehmoment M = Dφ Bewegungsgleichung J 0 φ = Dφ φ(t) = a sin( D/J 0 t), also T 0 = 2π J 0 /D J 1 = J 0 + J Scheibe = J mr2 T 1 = 2π (J mr2 )/D T 2 D T A = 2π (J 0 + J A )/D

8 Dehnung und Kompression L L L l L q F Poissonzahl µ =. ɛ q ɛ l Längenänderungen: L ( 1 + σ E ), L ( 1 µσ E ) ( ), L 1 µσ E Volumenänderung: V V + V = L ( ) ( ) σ E 1 µσ 2 E V + V V ( 1 + σ E (1 2µ)) V, bzw. V = σ E (1 2µ) Weil sich das Volumen bei Zug vergrößern muss, ɛ. = L L σ = Eɛ muss also (1 2µ) > 0 gelten. E: Elastizitätsmodul Damit 0 µ 1 2

9 Abhängigkeit von K von E und µ Zugspannung Druck: Veränderung einer Kantenlänge L eines Würfels ( längs: L 1 σ ) (, quer: L 1 + µσ ). E E Wirkt der Druck von allen Seiten, spürt jedes Seitenpaar die inverse Querkontraktion zwei Mal, also (1 + µσ E ) (1 + 2µσ E ) und damit verändert sich L L ( 1 σ E (1 2µ)). Die Volumenänderung beträgt also V + V = L 3 ( 1 σ E (1 2µ) ) 3 also V V 3σ E (1 2µ), was aber wegen V V = σ K bedeutet K = E 3(1 2µ).

10 Biegung b z L φ d Biegungspfeil s x neutrale Faser Oberkante länger, Unterkante kürzer geworden l(z) = zφ = z l r, r Krümmungsradius σ = E l l = z E r Kraft auf infinitesimale Schicht des Balkens df = σbdz = be r zdz Drehmoment df z zeigt in y Richtung. Integration über gesamete Balkendicke M y = be d/2 r d/2 dzz2 = Ed3 b 12r

11 Das Drehmoment wird durch die am Ende des Balkens angreifende Kraft F bewirkt, also M y (x) = F (L x). Die elastischen Kräfte im Balken kompensieren dieses Drehmoment gerade (der Balken ist in Ruhe!): Ebd 3 12r = F (L x), woraus der Krümmungsradis als Funktion von x folgt: 1 r = 12F Ed 3 (L x). b Form der neutralen Faser: Aus Differentialgeometrie 1 r = z (x) (1 + z (x) 2 ) 3/2 z (x).

12 Also z (x) = 12F Ed 3 (L x). b Zweimaliges Integrieren gibt die Lösung: Der Biegungspfeil (x = L) beträgt also z(x) = 6F Ed 3 b Lx2 + 2F Ed 3 b x3. s = z(l) = 4 L3 Ed 3 b F.

13 Das Flächenträgheitsmoment Die Eigenschaften bei Biegung anderer Formen als Balken und Zylinder können mit Hilfe des Flächenträgheitsmomentes I ermittelt werden. I. = daz 2 = dydzz 2 wo z in Richtung der angreifenden Kraft zeigt. Balken L d b: I = d/2 b/2 d/2 b/2 dydzz 2 = b/2 b/2 dy d/2 d/2 dzz 2 = b d3 12.

14 Die maximale Durchbiegung s = z(l) lautet dann s = L3 3EI F.

15 Schwingungen Bereits früher haben wir gesehen, dass eine ausgelenkte Feder harmonisch schwingt. Die Bewegungsgleichung führte zu einer Schwingung A = ẍ = D m x x(t) = A e iωt + B e iωt, mit ω = ( x0 2 i 2 ) ẋ 0 e iωt 0 und B = ω D m ( x0 2 + i 2 ẋ 0 ω wo ) e iωt 0.

16 Dabei haben wir auch gesehen, dass die Schwingung auch als sin oder cos Schwingung geschrieben werden kann. Im allgemeinsten Fall x(t) = a sin(ωt + φ), wo a die Amplitude, ω die Frequenz und φ die Phase der Schwingung bedeutet. Zwei Schwingungen lassen sich auch überlagern, man spricht dabei von Superposition von zwei Schwingungen, x 1 = a 1 sin(ω 1 t + φ 1 ), x 2 = a 2 sin(ω 2 t + φ 2 ), x 3 = x 1 + x 2, x 3 = a 1 sin(ω 1 t + φ 1 ) + a 2 sin(ω 2 t + φ 2 ).

17 Übung: Überlagerung zweier Schwingungen

18 Bei der Superposition spielen also sowohl die Frequenz, die Amplitude wie die Phase eine entscheidende Rolle für die entstehende Schwingung. Der wichtigste Spezialfall ist der der sog. Schwebung. Wir betrachten zwei Schwingungen derselben Amplitude, aber mit etwas verschiedener Frequenz (und der Einfachheit halber verschwindender Phase): Nach dem Additionssatz für den sin x 1 = a sin ω 1 t, x 2 = a sin ω 2 t. ( ) ( ) ω1 + ω 2 ω1 ω 2 x(t) = 2a sin t cos t, 2 2 also eine Modulation einer hochfrequenten Schwingung durch eine niedrigfrequente Schwingung.

19 Mehrere Schwingungen können ebenfalls überlagert werden, x(t) = n a n sin(ω n t + φ n ). Solange die Frequenzen untereinander rationale Verhältnisse aufweisen, so entsteht daraus immer eine periodische Schwingung! Umgekehrt lässt sich jede periodische Funktion x(t) = x(t + T ) immer in eine Summe der obigen Form bringen, in der die Frequenzen ω n = nω 1 erfüllen! Eine solche Zerlegung eines Signals heißt Fourierzerlegung, die obige Gleichung stellt eine Fourierreihe dar. Fourierzerlegungen sind ein äußerst wichtiges Werkzeug der Physik. Nichtperiodische Funktionen können durch sog. Fourierintegrale behandelt werden (siehe EMMP oder später). Überlagerungen von zwei Schwingungen in zwei Richtungen (x und y) führen zu zweidimensionalen Figuren, sog. Lissajousche Figuren.

20 Gedämpfte Schwingungen Reibungsverluste z. B. in Luft oder in einer Flüssigkeit führen zu einer Dämpfung einer Schwingung. Zur rücktreibenden Kraft F = D x kommt z. B. die Reibungskraft nach Stokes dazu, FR = 6πηr v = b v, die proportional zur momentanen Geschwindigkeit v des Massenpunktes (oder des Pendels) ist. Die Bewegungsgleichung (Schwingungsgleichung) lautet nun welche oft vereinfach geschrieben wird mẍ = bẋ Dx, ẍ + 2γẋ + ω 2 0x = 0, wo ω 2 0 = D m und 2γ = b m.

21 Ansatz x(t) = c exp(λt) und Einsetzen in die Schwingungsgleichung: λ 2 + 2γλ + ω0 2 = 0 λ = γ ± γ 2 ω0 2. Die allgemeinste Lösung lautet nun x(t) = e γt ( C 1 e (γ2 ω 2 0 )1/2t + C 2 e (γ2 ω 2 0 )1/2 t ). Eine reelle Lösung ist wieder nur möglich, wenn C 1 und C 2 konjugiert komplex sind. Offensichtlich spielt das Verhältnis der rücktreibenden Kraft zur Reibungskraft für die Natur der Schwingung eine entscheidende Rolle: γ < ω 0 γ = ω 0 γ > ω 0 schwache Dämpfung aperiodischer Grenzfall starke Dämpfung

22 Schwache Dämpfung: γ < ω 0 Definiere ω 2 = ω 2 0 γ 2, womit λ = γ ± iω. Damit x(t) = e γt ( Ce iωt + Ce iωt) = Ae γt cos (ωt + φ), weil C als C e iφ und C als C e iφ geschrieben werden kann. Dies beschreibt eine gedämpfte Schwingung, deren Amplitude exponentiell abnimmt, A exp( γt). 1 0 e -γ t (logarithmisches Dekrement γt) 2 2 1/2 T = 2π/(ω 0 - γ )

23 Starke Dämpfung: γ > ω 0 λ = γ ± γ 2 ω 20 = γ ± α, wo α = γ 2 ω 2 0 reell. Damit wird die allg. Lösung x(t) = e γt ( C 1 e αt + C 2 e αt). Anfangsbedingungen: x(0) = 0, ẋ(0) = ẋ 0. Damit C 1 + C 2 = 0 und C 1 C 2 = ẋ 0 /α. Damit x(t) = ẋ0 2α e γt ( e αt e αt) = ẋ0 α e γt sinh(αt).

24 0,2 0,15 e -x sinh(x/2) 0,1 0,

25 Der aperiodische Grenzfall: γ = ω 0 λ entartet, d. h. λ = γ ± 0. Ansatz x(t) = C(t)e λt. Einsetzen in Schwingungsgleichung ẍ + 2γẋ + ω0x 2 = 0 C + 2 (λ + γ) Ċ + ( λ 2 + 2γλ + ω0 2 ) = 0, wo λ = γ = ω 0 C = 0, womit C(t) = C 1 t + C 2. Die allgemeinste Lösung ist also x(t) = (C 1 t + C 2 ) e γt.

26 Mit den Anfangsbedingungen x(0) = 0 und ẋ(0) = ẋ 0 erhalten wir x(t) = ẋ 0 te γt. 0,2 0,15 0,1 0,05 x e -x 2 e -x sinh(x/2)

27 Erzwungene Schwingungen Oft wird eine Schwingung angeregt oder erzwungen durch eine ortsunabhängige, periodische Kraft F = F e iωt. Die nun inhomogene Schwingungsgleichung lautet dann ẍ + 2γẋ + ω 2 0x = Ke iωt, wo K = F m, Ansatz x(t) = Ae iωt einsetzen, 2 Integrationskonstanten A = A e iφ Aω 2 e iωt + 2iγωAe iωt + ω 2 0Ae iωt = Ke iωt A = ( ω 2 0 ω 2) 2iγω (ω 2 0 ω2 ) + (2γω) 2K.

28 Damit ist die Phase φ und die Amplitude A bekannt, ( ) 2γω φ = arctan ω0 2 ω2 und A = F/m (ω0 2 ω2 ) 2 + (2γω) 2 0 ω 0-1 φ -2-3 starke Dämpfung schwache Dämpfung sehr schwache Dämpfung ω

29 40 γ = A ω 0 2 /Κ γ=0.05 γ=1 γ= ,5 1 1,5 2 ω/ω 0

30 Maximum der Resonanz bei ω = ω R durch Differentiation des Nenners von A: Aus ( (ω 2 ω 0 ω 2) + (2γω) 2) = 0 folgt ω 2 = ω0 2 2γ 2.

31 Energie eines harmonischen Oszillators E kin = 1 2 mẋ2 = m 2 ω2 0A 2 cos 2 ω 0 t Mittelung über eine Schwingungsperiode T E kin = 1 T T 0 dt m 2 ẋ2 = m 4 A2 ω 2 0. Dieselbe Überlegung für die potentielle Energie: E pot = x 0 dxf (x) = D 2 x2 = D 2 A2 sin 2 ω 0 t = m 2 ω2 0A 2 sin 2 ω 0 t.

32 Mittelung: Die Summe ist erhalten: E pot = 1 T T 0 dt D 2 x2 = m 4 A2 ω 2 0. E kin + E pot = m 2 ω2 0A 2 cos 2 ω 0 t + m 2 ω2 0A 2 sin 2 ω 0 t = m 2 ω2 0A 2 = E = const. Ferner gilt E kin = E pot.

33 Energie in der erzwungenen Schwingung Schwingungsgleichung mit ẋ multiplizieren: d dt ẍẋ + ω0xẋ 2 = 2γẋ 2 + F (t)ẋ, (ẋ ) 2 ω2 0x 2 = 2γẋ 2 + F (t)ẋ. Im stationären Fall ist 2γẋ 2 = F (t)ẋ, d. h. die eingeführte Energie wird durch Reibung vollständig in Wärme verwandelt.

34 Die pro Schwingung aufgenommene (und verbratene ) Energie lautet dann W = 2γm T 0 = 2γmω 2 A 2 T, die aufgenommene Leistung folglich dtẋ 2 = 2γmω 2 A 2 T 0 dte 2iωt T = 2γmω 2 A 2 dt (cos ωt + i sin ωt) 2 0 P = W T = 2γmω2 A 2.

35 Kinderschaukel: parametrischer Oszillator Bahn des Schwerpunkts Bahn der Schaukel

36 Gekoppelte Pendel Zwei Pendel mit Federkonstanten D seien zusätzlich aneinander gekoppelt durch eine Feder mit D 12. mẍ 1 = Dx 1 D 12 (x 1 x 2 ) mẍ 2 = Dx 2 D 12 (x 2 x 1 ) Gekoppelte Differentialgleichungen! Durch Addieren und Subtrahieren erhält man zwei neue Gleichungen, m(ẍ 1 + ẍ 2 ) = D(x 1 + x 2 ) m(ẍ 2 ẍ 2 ) = D(x 1 x 2 ) 2D 12 (x 1 x 2 ),

37 was dazu einlädt, neue Variablen ξ + = (x 1 + x 2 )/2 und ξ = (x 1 x 2 )/2 einzuführen. m ξ + = Dξ + mit ω 2 1 = D m m ξ = (D + 2D 12 )ξ mit ω 2 2 = D + 2D 12 m Separierte Lösungen ξ + und ξ können zurücktransformiert werden nach x 1 = ξ + + ξ und x 2 = ξ + ξ, und führen zu einer Schwebung. ( ω1 ω 2 x 1 = 2A cos 2 ( ω1 ω 2 x 2 = 2A sin 2 t + φ ) ( 1 φ 2 ω1 + ω 2 cos 2 2 ) ( ω1 + ω 2 t + φ 1 φ 2 2 sin 2 t + φ ) 1 + φ 2 2 t + φ 1 + φ 2 2 ).