Addieren und Subtrahieren kann man nur Größen gleicher Dimension.

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Daniela Kneller
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1 9 Dimensionsanalyse Wir haben bis jetzt Variablen oder Konstanten betrachtet und uns nie Gedanken über die Einheiten emacht. Wir können neben Länen auch Massen, Kräfte oder Zeiten haben. Diese physikalischen Beri e nennt man Dimensionen. Jede Größe, der eine Dimension zueordnet ist, wird in einer Einheit emessen. Wir werden folende Formulierun wählen: x hat die Dimension einer Läne und wird in der Einheit m (Meter) emessen, als Symbol verwenden wir das Zeichen [x] =m Addieren und Subtrahieren kann man nur Größen leicher Dimension. Für die Dimension von Produkten ilt [x y] =[x] [y], und ebenso für Quotienten [ x [x] y ]= [y]. z.b. die Fläche (als Produkt von Länen) hat die Einheit m 2. e x,lnx, sinx und cos x sind dimensionslose Funktionen. Bsp. Sei s(t) =s e t die nach t min noch vorhandene Mene einer radioaktiven Substanz in (Gramm). Da der Exponent von exp dimensionslos ist, hat der Parameter (Zerfallskonstante) die Einheit 1/min. Ausserdem ist die Anfansmene auch in anzueben. Berechnet man die Halbwertszeit, hat man: s(t h )= s 2 = s e t h also ln 2 = t h ) t h = ln 2 mit der Einheit [t h ]=[ 1 ]= [1] [ ] = min. Die erste Ableitun einer Funktion hat dieselbe Dimension wie der Di erenzenquotient: [f (x)] = [f(x)] [x] Bsp. die Momentaneschwindikeit wird durch x (t) zumzeitpunkt t aneeben, wobei x(t) die zurückelete Strecke zum Zeitpunkt t bezeichnet. Wenn x in m und t in s aneeben sind, dann hat x (t) die Dimension einer Geschwindikeit und die Einheit m/s. Das Interal einer Funktion hat dieselbe Dimension wie die Riemannsumme, die sich aus den Rechtecksflächen zusammensetzt: applez f(x)dx =[f(x)] [x] 38

2 Bsp. Die Arbeit, die eleistet wird um eine Feder aus der Ruhelae um 1 cm zu verlänern, ist durch das Interal aneeben: A = Z 1 F (x)dx Die Zukraft, die eine um xcmedehnte Spiralfeder entwickelt, ist nach dem Hook schen Gesetz leich F (x) =k x. Die Konstante k ist dimensionsbehaftet und hat die Dimension Kraft/Läne. Die Einheit der Arbeit ist Nm (Newton Meter), also J (Joule). A = Z 1 kxdx = kx2 2 (Ncm2 cm )=k 5(Ncm)=k.5(Nm)=k.5(J) Beispiel 1) Der Enerieverbrauch pro Zeiteinheit von Zuvöeln, die mit Geschwindikeit v een die umebende Luft flieen, ist durch die folende Formel eeben: e = Av 3 + M 2 Dabei wird die e in J/s (Joule/Sekunde) emessen. M ist die Masse des Voels in (Gramm) und die Luftdichte in /m 3. A und B sind Konstanten, die von Gestalt und Physioloie des Voels abhänen. Welche Dimensionen haben A und B? Bei welcher Geschwindikeit ist e am kleinsten? Dabei nehme man als konstant an. Lösun: A hat die Dimension einer Fläche, die Einheit ist m 2 und die Einheit von B ist s 4. Es macht natürlich Sinn nur positive v zu betrachten, also der Definitionsbereich ist v>. Zuerst suchen wir den Kandidaten für ein Extremum, also schauen wir wo die Ableitun von e nach v Null ist. durch Umformun erhalten wir Bv de dv =3A M 2 v2 B v 2 = v = s M 4 r 1 3AB. Es sollte die Dimension einer Geschwindikeit haben, und tatsächlich die Einheit ist m/s. Um zu überprüfern, ob das ein lokales Minimum ist, schauen wir uns die zweite Ableitun von e nach v an der Stelle v,d.h. d 2 e dv 2 (v )=6A v +2 M 2 B 39 1 v 3 >

3 Das heisst wir haben ein lokales Minimum an v. Da sich die Krümmun d nie ändert auf dem Definitionsbereich, d.h. 2 e (v) =6A v +2 M 2 1 dv 2 B > für v 3 alle v>, ist das lokale Minimum auch das lobale Minimum. Man kann sich auch noch folendes überleen. Für Werte von v nah bei wird ja der zweite Summand M 2 Bv in e beliebi roß, für roße Werte von v wird der erste Summand Av 3 beliebi roß, also insesamt e beliebi roß, und sicher nicht kleiner als der Wert an v, somit ist v das lobale Minimum. Beispiel 2) Eine Kuel wird aus einer Höhe von h = 5 m mit einer Anfanseschwindikeit v = 2 m/s vertikal nach oben eworfen. Unter Berücksichtiun der Erdbeschleiniun 1 m/s 2 und Vernachlässiun der Reibun berechne man die maximale Höhe, die die Kuel erreicht. Wann tri t die Kuel auf die Erdoberfläche? Lösun: zuerst brauchen wir ein Modell, das unser Problem beschriebt. Wir bezeichne mit y(t) die Höhe der Kuel zum Zeitpunkt t. Wir wissen, dass y (t) die Momentaneschwindikeit anibt. y (t) ibt demnach die Momentanbeschleuniun an, die in diesem Fall konstant und leich der Erdbeschleuniun ist, d.h. zu jeder Seit t ist die Momentanbeschleuniun leich. Die Kuel befindet am Anfan in der Höhe y() = h und hat die Anfanseschwindikeit y () = v. Das heißt: y (t) = y() = h y () = v Probleme solcher Art werden als Di erentialleichunen bezeichnet (Gleichunen in denen es Ableitunen von Funktionen vorkommen). Zusammen mit den Anfanswerten wird dies als Anfanswertproblem bezeichnet. Auch wenn wir das Lösen von Di erentialleichunen erst im nächsten Kapitel lernen werden, handelt es sich hier um eine sehr einfache Di erentialleichun. Nach dem Hauptsatz der Di erential- und Interalrechnun haben wir: y (t) = t + c 1 da y (t) = erhalten: die Ableitun von y (t) ist. Interieren wir noch einmal und y (t) = t2 2 + c 1t + c 2 Die Konstanten c 1 und c 2 sind die Interationskonstanten und werden durch die Anfanswerte bestimmt. Die Konstante c 1 = v = y () hat die Dimension einer Geschwindikeit, während c 2 = h = y() die Dimension einer 4

4 Einheit Variable y m t s Parameter m/s 2 v h m/s m Table 1: Auflistun aller Variablen und Parameter Läne. Die Lösun des Anfanswertproblems y(t) = t2 2 + v t + h ibt also die Höhe der Kuel zum Zeitpunkt t an. (t >) Die Frae, wo die Höhe maximal ist, können wir jetzt einfach beantworten. Die Funktion y(t) hat ein Extremum für y (t H )= t H + v =, also an t H = v / = 2(s), da y (t) = <füralle t ist das efundene Extremum auch tatsächlich ein lokales Maximum, und da sich die Krümmun nicht ändert ist es das lobale Maximum. Das heißt nach 2 s erreicht die Kuel die maximale Höhe (lobales Maximum) von y(t H )= v2 2 + v2 + h = 7(m). Die zweite Frae, wann die Kuel die Erdoberfläche erreicht, können wir auch beantworten. Der Zeitpunkt t E für den y(t E ) =, ist die Zeit, zu der die Kuel auf r die Erdoberfläche tri t. Die positive Nullstelle von y(t) istbei t E = v v h 2 5.7(s), also nach ca. 5.7 Sekunden. Skalierun Anhand dieses Beispiels werden wir sehen wie Entdimensionalisierun und Skalierun funktioniert. Zuerst suchen wir intrinsische Referenzrößen, mit deren Hilfe wir die Variablen skalieren und dimensionslose Variablen und Parameter erhalten, so dass wir uns ar nicht mehr um die Dimensionen kümmern. Im allemeinen ist es wichti welche Referenzrößen man wählt, d.h. das skalierte (dimensionslose) Problem sollte so ewählt werden, dass die dimensionslosen Variablen die Größenordnun eins haben. Hier wählen wir v 2 / als Referenzläne (man kann natürlich auch h als Referenzläne wählen) und v / als Referenzzeit, und führt die dimensionslose Läne und die dimensionslose Zeit ein. v = t und v 2 = y 41

5 Schaut man sich die Dimension an [ ] = [][t] [v ] = ms = 1, bemerkt man s 2 m/s dass dimensionslos ist, und auch [ ] = 1. Wenn wir y (t) umskalieren, erhalten wir: y (t) = dy dt (t) =v2 / d v / d ( ) =v d d ( ) =v ( ) Wir wissen dass y (t) die Dimension einer Geschwindikeit. Das heißt ( ) ist die dimensionslose Geschwindikeit. Ebenso skalieren wir die Beschleuniun. y (t) = d2 y dt 2 (t) = v2 / v 2 /2 d d ( ) = d2 d 2 ( ) = ( ) Wir bezeichnen := h und bemerken, dass [ h ] = 1, also ist ein dimensionsloser Parameter. Somit erhalten wir das dimensionslose v 2 v 2 Problem: ( ) = 1 () = () = 1 Die Lösun lautet: ( ) = 2 /2+ +. Durch Umskalieren kann man die ursprünlichen Variablen t und y erhalten. 42

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