5. Tutorium zur Analysis I für M, LaG und Ph

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1 Fachbereich Mathematik Prof. Dr. K.-H. Neeb Dipl.-Math. Rafaël Dahmen, Dipl.-Math. Stefan Waner 5. Tutorium zur Analysis I für M, LaG und Ph Aufaben und Lösunen Sommersemester Definition: Ein aneordneter Körper (K, K + heiße archimedisch aneordnet, wenn für alle a, b K mit b > 0 ein n N existiert, sodass nb > a. In der Vorlesun vom wurde der soenannte,,satz von Archimedes bewiesen, der besat, dass jeder vollständi aneordneter Körper archimedisch aneordnet ist. Aufabe T15 (Archimedisch, aber nicht vollständi aneordnet Mache dir klar, dass (Q, Q + ebenfalls archimedisch aneordnet ist, obwohl Q nicht vollständi aneordnet ist. Dies zeit, dass die Eienschaft vollständi aneordnet zu sein, echt stärker ist, als die Eienschaft archimedisch aneordnet zu sein. Lösun: Es ibt mehrere möliche Lösunsansätze: 1.Idee: Wenn nun a, b Q mit b > 0 eeben sind, dann sind diese rationalen Zahlen a und b ja insbesondere auch reelle Zahlen. Für die reellen Zahlen wissen wir ja nach dem Satz des Archimedes (s.o., dass sie archimedisch aneordnet sind (weil sie vollständi aneordnet sind. Also ibt es das n N mit nb > a. (Wir haben hier sozusaen bewiesen, dass Unterkörper von archimedisch aneordneten Körpern wieder archimedisch aneordnet sind. 2.Idee: Seien a, b Q mit b > 0. Falls a 0, so können wir n 1 wählen und haben nb b > 0 a. Im Folenden sei also a > 0. Da a und b positive rationale Zahlen sind, lassen sie sich schreiben als a a 1 a 2 und b b 1 b2 mit a 1, a 2, b 1, b 2 N. Setzen wir nun z.b. n : a 1 b 2 + 1, so erhalten wir: n b (a 1 b b1 b 2 > a 1 b 2 b1 b 2 a 1 b 1 a 1 a 1 a 2 a. In der Vorlesun am kam die Zwischenfrae, ob es überhaupt aneordnete Körper ibt, die nicht archimedisch aneordnet sind. Ein solches Beispiel wollen wir nun konstruieren. Dazu benötien wir ein Hilfsmittel, nämlich die Mene der Polynomfunktionen: Definition: Eine Funktion von R nach R heiße,,polynomfunktion, wenn es Zahlen a 0,..., a n R ibt, sodass f(x a 0 + a 1 x + + a n x n. Anmerkun: Solche Funktionen werden in einien Schulbüchern auch oft,,anzrationale Funktionen enannt. Die Mene aller Polynomfunktionen werden wir mit R[x] bezeichnen. Aufabe T16 (Rechnen mit Polynomfunktionen (a Zeie, dass die Summe von zwei Polynomfunktionen wieder eine Polynomfunktion ist.

2 (b Mache dir klar, dass (R[x], + eine abelsche Gruppe bildet. Wie sieht das Neutralelement aus? (c Beweise, dass das Produkt zweier Polynomfunktionen wieder eine Polynomfunktion ist. (d Finde das multiplikative Neutralelement. (e Warum ist (R[x], +, kein Körper? Lösun: (a f(x a 0 + a 1 x + + a n x n, (x b 0 + b 1 x + + b n x m. Hierbei können wir o.b.d.a. annehmen, dass n m ist. Die Summe der beiden Polynomfunktionen ist f(x + (x (a 0 + a 1 x + + a n x n + (b 0 + b 1 x + + b n x m (a 0 + b 0 + (a 1 + b 1 x + + (a n + b n x n + b n+1 x n b m x m (b Eine abelsche Gruppe ist eine Mene G mit einer Operation : G G G, die vier Axiome erfüllt. In unserem Falle ist G R[x] und f : f +. Was man also zu allererst überprüfen muss, ist, dass die Operation + nicht aus der Mene der Polynome R[x] hinausführt. Dies ist aber enau das, was wir in der (a ezeit haben. Es bleibt, die vier Axiome nachzuprüfen: (A Assoziativität: Der Addition von reellwertien Funktion ist assoziativ, da die Addition in R assoziativ ist. (N Als Neutralelement nehmen wir das Nullpolynom 0. Dann ilt: f(x+0 f(x 0+f(x. (I Jedes Element ist additiv invertierbar: Sei f(x a 0 + a 1 x + + a n x n eine beliebie Polynomfunktion. Dann setzen wir h(x : f(x a 0 + ( a 1 x + + ( a n x n. Dann ilt:f(x + h(x h(x + f(x 0. (K Die Addition von Polynomen ist kommutativ, da die Addition in R kommutativ ist. (c Sei f(x n a jx j und (x m k0 b kx k. Dann ist das Produkt der beiden leich f(x (x k0 ( n m a j x j b k x k k0 m n a j x j b k x k k0 m n a j x j b k x k m k0 n a j b k x j+k Nun ist jeder Ausdruck der Form a j b k x j+k eine Polynomfunktion und wir wissen ja, dass Summen von Polynomfunktionen wieder Polynomfunktionen sind. Also ist f(x (x wieder eine Polynomfunktion. Anmerkun: Der Darstellun m n k0 a jb k x j+k kann man leider nicht ut ansehen, wie die Koeffizienten des Produktes nun aussehen. Will man dies haben, so ist es hilfreich, noch einen Index p : j + k einzuführen. Da j von 0 bis n läuft und k von 0 bis m läuft, muss der 2

3 neue Index dann von 0 bis n + m laufen: m n a j b k x j+k k0 n+m p0 n+m p0 j+kp c p x p a j b k x p mit c p j+kp a jb k. Diese Art, ein Produkt zu bestimmen, wird im Satz III.3.15 in einer allemeineren Version für Potenzreihen wieder auftauchen. (d Das multiplikative Neutralelement ist das 1-Polynom, also das Polynom mit 0tem Koeffizienten leich 1 und allen anderen leich 0. (e Nicht jedes Element ist mulitplikativ invertierbar, insbesondere ist f(x x nicht invertierbar. Beweis per Widerspruch: Anenommen f(x x sei multiplikativ invertierbar, dann würde ein (x b 0 + b 1 x + + b n x m existieren mit x (x 1 x (b 0 + b 1 x + + b n x m 1 b 0 x + b 1 x + + b n x m+1 1 Dies ist absurd, denn das Polynom auf der linken Seite hat 0ten Koeffizient 0, während das Einspolynom auf der rechten Seite 0ten Koeffizienten 1 hat. Widerspruch. Definition: Wir saen, eine Polynomfunktion f(x a 0 + a 1 x + + a n x n habe den Grad n, wenn a n 0 ist. Die Zahl a n heißt Leitkoeffizient von f. (Achtun: Diese Definition weist nicht jeder Polynomfunktion einen Grad und einen Leitkoeffizienten zu. Den Leitkoeffizienten von f werden wir im Folenden mit L(f bezeichen. Aufabe T17 (Rechnen mit Leitkoeffizienten (a Für welche Polynomfunktion sind Grad und Leitkoeffizient nicht definiert? (b Wie sehen Polynomfunktionen von Grad 0 aus? Wie sehen Polynomfunktionen von Grad 1 aus? (Skizze (c Zeie, dass der Leitkoeffizient eines Produktes zweier Polynomfunktionen das Produkt der Leitkoeffizienten ist, d.h. ( f, R[x]L(f L(f L( (d Ist es ebenfalls korrekt, dass der Leitkoeffizient einer Summe zweier Polynomfunktionen die Summe der Leitkoeffizienten ist? d.h. ( f, R[x]L(f + L(f + L(? (e Zeie folende Implikation: ( ( f, R[x] L(f > 0, L( > 0 ( L(f + > 0 Lösun: (a Das Nullpolynom lässt sich nich schreiben als f(x a 0 + a 1 x + + a n x n mit a n 0, da beim Nullpolynom alle Koeffizienten 0 sind. 3

4 (b Polynomfunktionen von Grad 0 sind konstant. Ihre Schaubilder (Graphen sind Geraden parallel zur x-achse. Polynomfunktionen von Grad 1: haben als Schaubilder Geraden, die nicht parallel zur x-achse sind, sondern Steiun a 1 0 haben. (c Wenn f(x a 0 + a 1 x + + a n x n und (x b 0 + b 1 x + + b m x m eeben sind, dann ist das Produkt nach obier Formel eeben durch m k0 n a j b k x j+k Der höchste vorkommende Exponent ist sicher m + n und der Koeffizient dazu besteht aus der Summe über alle a j b k mit j + k m + n. Also nur a n b m, was erade das Produkt der Leitkoeffizienten ist. (d Nein, das ist nicht korrekt. Es ibt tausend Geenbeispiele, z.b. f(x x, (x x 2 oder ähnliches. (e Wir machen eine Fallunterscheidun: Erster Fall: Beide Polynome haben den leichen Grad. Dann ist der Leitkoeffizient erade die Summe der beiden positiven Zahlen, follich positiv. Zweiter Fall: Beide Polynome haben unterschiedlichen Grad. Dann sieht man durch Hinschreiben, dass der neue Leitkoeffizient erade der des Polynoms mit dem rößeren Grad ist. Und der war nach Voraussetzun positiv. Aufabe T18 (Verhalten einer Polynomfunktion im Unendlichen Eine reellwertie Funktion heiße schließlich positiv, wenn es eine reelle Zahl R > 0 ibt, sodass ( x > Rf(x > 0. Sei f(x a 0 + a 1 x + + a n x n eine Polynomfunktion mit Leitkoeffizient L(f a n. Wir wollen zeien, dass f,,schließlich positiv ist, wenn a n > 0 ist. Dazu kann man z.b. so vorehen: (a Mache dir klar, dass für alle x > 1 ilt: (b Zeie: Für alle x > 1 ilt: Hierbei ist C : a 0 + a 1 x + + a x ( j1 a j. a j x j1 f(x a n x n C x. (c Zeie: Für alle x > 1 und x > c a n ilt: f(x > 0. (Also ist f schließlich positiv für R : max{1, C a n }. Lösun: (a Nach der Dreiecksunleichun des Betraes in R ilt a j x j a j x j a j x j a j x 4

5 Hier haben wir verwendet, dass der Betra multiplikativ ist und dass für x 1 und j die Abschätzun x j x ilt. (b Wir schreiben f(x a n x n + (x. Hierbei ist (x a 0 + a 1 x + + a x. Der Teil (x ist der, den wir in Aufabenteil (a betrasmäï nach oben abeschätzt haben. Nun nutzen wir aus, dass für jede reelle Zahl r R ilt: Also ilt insbesondere: Diese Unleichun kann man umformen zu: r max{r, r} r (x max{(x, (x} (x (x (x (1 Nun wissen wir aber nach Aufabenteil (a, dass (x a j x, was wir umformen können zu (x a j x Nun kombinieren wir dies mit Unleichun (1 und erhalten: (x a j x Und da f(x a n x n + (x ist, ilt dann für die Funktion f: f(x a n x n + (x a n x n a j x (c Da x > 1 ist, ilt nach Teil (b, dass f(x a n x n Cx. Nun klammern wir x aus und erhalten: f(x x (a n x C Der auseklammerte Term x ist auf jeden Fall positiv, da x > 1 > 0 ist. Das Vorzeichen wird also nur durch den zweiten Term bestimmt: a n x C > 0 a n x > C x > C a n Hier verwenden wir nun endlich auch, dass a n > 0 ist, denn ansonsten dürften wir die letzte Unleichun nicht mit a n, bzw 1 a n multiplizieren. } Damit haben wir nun bewiesen, dass für alle x > max {1, C der Funktionswert f(x rößer an 0 ist. Definition: Wenn f und Polynomfunktionen sind und nicht die konstante Nullfunktion ist, dann nennen wir den Bruch f eine rationale Funktion. (in einien Schulbüchern werden diese Funktionen dann,,ebrochen rational enannt Mit diesen Brüchen kann man rechnen, wie man es von den rationalen Zahlen kennt, nur dass im Zähler wie im Nenner keine anzen Zahlen, sondern halt reelle Polynomfunktionen stehen. 5

6 Aufabe T19 (der Körper der Rationale Funktionen Sei K : { f : f, R[x], 0} die Mene aller rationalen Funktionen. (a Zeie, dass die rationalen Funktionen mit der ewöhnlichen Addition und Multiplikation einen Körper bilden. (b Zeie, dass f L(f K enau dann schließlich positiv ist, wenn L( > 0 ist. { (c Sei K + : f : f Körper ist. ist schließlich positiv, d.h. L(f L( > 0 }. Zeie, dass (K, K + ein aneordneter (d Zeie, dass (K, K + nicht archimedisch aneordnet ist, nimm z.b. a(x x und b(x 1. Lösun: (a Addition: f + F G fg+f G. Der Zähler ist eine Polynomfunktion nach Aufabe (T16 a und (T16 b, der Nenner ist eine Polynomfunktion nach (T16 b und nicht das Nullpolynom, weil und G nicht das Nullpolynom waren. Assoziativität und Kommutativität von Addition und Multiplikation, sowie Distributivität muss man nicht explizit nachrechnen, da man ja punktweise in R addiert, bzw. multipliziert. Das additive Neutralelement, das Nullpolynom, lässt sich schreiben als 0 1 K und zu jeder Funktion f f K ist auch das additive Inverse in K. Multiplikation: f F G ff G. Der Zähler ist eine Polynomfunktion nach Aufabe (T16 b, der Nenner ist eine Polynomfunktion nach (T16 b und nicht null, weil und G nicht null waren. Die 1 ist auch drin und jedes Element außer der 0 ist invertierbar, weil ein f 0 immer impliziert, dass f 0 ist und wir einfach Zähler und Nenner vertauschen können. (b,, Wir nehmen an, f sei schließlich positiv. d.h. es ibt ein R > 0 mit ( x > R f(x (x > 0. O.B.d.A. dürfen wir annehmen, dass der Leitkoeffizient des Nenners L( > 0 ist, da wir sonst mit ( 1 erweitern und das damit erreichen. Dann ilt nach Aufabe (T18 c, dass es ein R > 0 ibt mit ( x > R (x > 0. Wenn nun x > R und x > R, dann sind als auch (x > 0. Dann ist auch das Produkt der beiden, also f(x > 0. Also ilt wieder nach Aufabe (T18 c, diesmal auf f anewandt, dass L(f > 0. Also ilt insbesondere L(f L( > 0. sowohl f(x (x,, Umekehrt nehmen wir an, dass L(f L( > 0 ist. Wieder können wir O.B.d.A annehmen, dass L( > 0 ist und ähnlich wie oben können wir folern, dass L(f > 0 ist. Nun benutzen wir wieder Aufabe (T18 c und erhalten ein R > 0 und ein R > 0, sodass ( x > Rf(x > 0 und ( x > R (x > 0. Wir setzen nun R max{r, R } und sehen wir, dass dann für alle x > R wirklich ilt, dass f(x (x > 0 ist. (c Wir überprüfen die Axiome eines aneordneten Körpers aus Definition II.2.1 : (O1 Zu zeien: Für alle f f K +, f K +, f 0. K ilt enau eine der Aussaen Sei f K. Erster Fall: f ist das Nullpolynom. Dann ist f 0. Zweiter Fall: Wenn nun f nicht das Nullpolynom ist, dann hat f einen Leitkoeffizienten 6

7 L(f. Fall 2a: L(f L( > 0, dann ist f K +. Fall 2b: L(f L( f < 0, dann ist aber L( L( > 0 und wir haben f K +. Es ist also immer einer der drei Fälle erfüllt und offensichtlich können nicht zwei davon leichzeiti erfüllt sein. (O2 Sei f 1 K + und sei f 2 K +. Zu zeien: f 1 + f 2 K +. Es ibt mehrere Mölichkeiten, dies zu zeien: 1.Mölichkeit: Wir wissen, dass f 1 und f 2 schließlich positiv sind, d.h. es ibt ein R 1 > 0 mit ( x > R 1 f 1(x (x > 0 und es ibt ein R 2 > 0 mit ( x > R 2 f 2(x (x > 0. Wenn wir nun R : max{r 1, R 2 } setzen, dann sind für x > R beide Funktionen positiv und damit auch die Summe. Also ist auch f 1 f 2 + f 2 2.Mölichkeit: Wir addieren die beiden Brüche und erhalten: schließlich positiv. f 1 + f 2 f 1 + f 2 ObdA sind die Leitkoeffizienten der beiden Nenner und positiv, dann ist auch der Leitkoeffizient der Summe positiv. Da aber f 1 K +, ilt L(f L( > 0. Also ist auch L(f 1 > 0. Analo für L(f 2 > 0. Es bleibt zu zeien, dass der Leitkoeffizient des Zählers f 1 + f 2 auch positiv ist. Das folt aber direkt aus Aufabe (T17 c und (T17 e. (O3 Auch hier ibt es die beiden ähnlichen Mölichkeiten. Das eht vollkommen analo zum Nachweis von (O2. (d Wir wollen zeien, dass für die Wahl der Körperelement a(x x und b(x 1, es nicht mölich ist, eine natürliche Zahl n N zu finden mit nb > a. Um zu zeien, dass nb niemals rößer als a sein kann, untersuchen wir die Funktion a nb und zeien, dass diese immer positiv ist, d.h. in K + liet: a(x nb(x x n. Der Leitkoeffizient von a nb ist demnach 1 > 0, somit ist a nb K +, d.h. a nb > 0 also ist nb < a. Dies ilt aber für alle n N. Also ist K nicht archimedisch. Somit haben wir einen aneordneten Körper konstruiert, der nicht archimedisch ist. 7