1. Lineare Funktionen

Transkript

1 Grundwissen zu den Geraden. Lineare Funktionen Geraden sind die Graphen linearer Funktionen. Dazu müssen wir zuerst den Beriff Funktion und dann den Beriff linear klären.. Funktion Eine Funktion ist eine Zuordnunsvorschrift, die jedem -Wert enau einen -Wert zuordnet. Diese Zuordnunsvorschrift wird in einer Funktionsleichun aneeben, z.b. = 2 2. Die Werte, die man für und einsetzen kann werden in der Grundmene aneeben. Weil zum immer das dazuehört (Zuordnun) brauchen wir für beide Werte eine Grundmene. Diese wird z.b. in der Form G = Q Q ( Q Kreuz Q ) aneeben. Das heißt, dass wir für alle Werte von Q einsetzen können (das ist das erste Q) und für ebenfalls (das zweite Q nach dem Kreuz). Nun wird für alle Werte von Q einesetzt. Wenn das Erebnis (also der -Wert) auch in Q liet, so ist das Paar, das aus - und -Wert besteht ein Element der Funktion. Die anze Funktion besteht aus allen Elementen, die man so ewinnt. Das sind meistens unendlich viele. Beispiel: Sei die Funktion = 4 + eeben und G = Q Q. Dann setzen wir alle Zahlen von Q für das ein: = 0, = 4 ( 0,) + = 3. 3 ehört zu der Mene der rationalen Zahlen, also ehört ( 0, 3) zur Funktion. = 7 = = ehört zu der Mene der rationalen Zahlen, also ehört (7 33) zur Funktion. Damit haben wir schon zwei Elemente, die zur Funktion ehören und wir können sie als Punkte in ein Koordinatensstem einzeichnen. Theoretisch müssten wir jetzt alle Werte für Q einsetzen, das sind aber unendlich viele, also brauchen wir etwas, das uns das alles vereinfacht. Dazu betrachten wir die Funktionsleichun..2 lineare Funktion Das erste, was wir betrachten ist das. Wenn es in erster Potenz steht (also ein einfaches und kein 2, 3, ), dann heißt die Funktion linear und ihr Graph ist eine Gerade. Um eine Gerade zu zeichnen benötien wir nur zwei Punkte und zeichnen dann mit dem Lineal eine Gerade durch diese beiden. Das ist viel einfacher als unendlich viele Punkte auszurechnen und die Gerade Punkt für Punkt zu erhalten..3 Erstellun einer Geraden: Eine Gerade ist aneeben durch die Geradenleichun = 2. Das erste Q aus der Grundmene ibt an, dass wir in alle rationalen Zahlen einsetzen, also alle Brüche. Setzen wir z.b. = 0, ein, so erhalten wir = 2 0, = und erhalten den Punkt (0, ). Setzen wir = 2 ein so bekommen wir den Punkt ( 2 4). Wenn wir alle Zahlen aus Q einsetzen und alle Punkte in ein Koordinatensstem einzeichnen, so eribt sich eine Gerade (siehe rechts). =4 (0, ) - =2.4 -Wert zum voreebenen -Wert zeichnerisch bestimmen (und umekehrt): (-2-4) Wollen wir den nun den Punkt auf der Geraden mit der - - Koordinate = 2 herausfinden, so starten wir beim -Wert 2 auf der -Achse. Dann ehen wir so lane parallel zur Achse, bis wir den Graphen treffen. Danach ehen wir so lane parallel zur -Achse, bis wir die -Achse treffen. Dieser Punkt an der -Achse ibt die -Koordinate an (vl. Zeichnun rechts: Start: (2 0), parallel zur -Achse nach oben bis Gerade etroffen, Ende (0 4): hier lesen wir den -Wert von der Achse ab). Wollen wir den -Wert zum voreebenen -Wert bestimmen ehen wir den We nur anders herum. Daniel Inselmann, RS Könisbrunn, Fassun: 4..20

2 . -Wert zum voreebenen -Wert rechnerisch bestimmen: Die rechnerische Lösun ist in diesem Fall viel einfacher: Man setzt den -Wert einfach in die Funktionsleichun ein und rechnet den -Wert aus. Beispiel: Sei = 2 voreeben und der -Wert bei =, soll berechnet werden. Dann setzen wir ein: = 2, = Wert zum voreebenen -Wert rechnerisch bestimmen: Hier verfährt man ähnlich: Man setzt den -Wert in die Funktionsleichun ein und löst nach auf. Beispiel: Sei = 2 voreeben und der -Wert bei =,4 soll berechnet werden. Dann setzten wir ein:,4 = 2 : 2 2,7 = 2. Geradenleichunen 2. Besondere Geraden der Form = m Geraden der Form = m verlaufen immer durch den Ursprun (0 0). Für m kann jede Zahl aus Q einesetzt werden. Für die Geraden : = 3; h: = 2 ; s: = 7 ; t: = 3 können wir z.b. leich saen, dass sie alle durch den Ursprun ehen. 4 Der einzie Unterschied ist ob die Geraden steil oder flach sind, bzw. durch wel- che Quadranten des Koordinatensstems sie ehen. Dafür ilt: Ist m > 0, also positiv, dann verläuft die Gerade durch den I. und III. Quadranten, ist m < 0, also neativ, dann durch den II. und IV. Beispiel: die Gerade muss also durch den I. und III. verlaufen und die Gerade t durch II und IV (siehe rechts) Von m bekommt man aber noch mehr Informationen. Neben dem Vorzeichen ist III IV auch der Wert von m wichti, denn er ibt an, wie steil oder wie flach die Gerade ist. Deshalb nennt man m auch Steiun. Betrachten wir die Geraden und h im Koordinatensstem (siehe Zeichnun unten): C Wir sehen dass steiler ist als h. Da 2 < 3 ist können wir saen, je 7 rößer der Betra, desto steiler die Gerade. Um enauere Informationen zu erhalten, zeichnen wir ein rechtwinklies Dreieck ABC ein und betrachten das Verhältnis der Strecken BC und. AB Bilden wir den Quotienten BC, so erhalten wir die Steiun A B AB m. Im Beispiel links ist BC = 3 und AB =. Der Quotient ist also h 3 = 3 und das ist das m der Geraden mit = 3. Die Frae ist nun, wie man solche Dreiecke einzeichnet. An der leichen Gerade ist unten links ein weiteres Dreieck DEF einezeichnet. Der Unterschied zu oben besteht darin, dass die Strecke [EF] nach links eht ([AB] nach rechts) und [FD] nach unten ([BC] nach oben). F E Deshalb bekommen die Strecken neative Vorzeichen: D BC =, AB 0, = 3. Eal, wie man das Dreieck an der Geraden anträt, der Quotient ist immer m. II t I 2.2 Allemeine Geraden der Form = m + t Wir betrachten nun den allemeinen Fall von Geraden. Zur bereits bekannten Steiun m kommt der -Achsenabsschnitt t hinzu. Darunter verstehen wir den -Wert des Schnittpunktes des Graphen mit der -Achse. Schließlich verlaufen nicht alle Geraden durch den Nullpunkt. Sehen wir uns dazu ein Beispiel an: Die Geraden : = + und h: = seien eeben. Die Steiunen beider Geraden sind leich, nur das t ist unterschiedlich. Da es sich hier um den -Achsenabschnitt handelt, müssen die Graphen durch den Punkt 2 2 (0 ) bzw. den Punkt (0 ) ehen. In einer Skizze sieht das so aus: Daniel Inselmann, RS Könisbrunn, Fassun:

3 h Wie oben anenommen, lassen sich die -Achsenabschnitte direkt an der Zeichnun ablesen. So schneidet die -Achse beim -Wert und h die Achse beim -Wert -. Beide Geraden haben die leiche Steiun und sind parallel. Da wir bereits wissen, wie Steiunen anzutraen sind, ist es nun auch nicht wirklich schwieri eine Gerade der Form = m + t zu zeichnen. Dazu sehen wir uns zuerst den -Achsenabschnitt t an. Den Punkt (0 t) traen wir dann auf der -Achse an. Von diesem Punkt aus (nicht vom Ursprun!) traen wir die Steiun an und erreichen einen zweiten Punkt. Da eine Gerade durch zwei Punkte eindeuti bestimmt ist, verbinden wir diese beiden Punkte und erhalten die ewünschte Gerade. Dies sehen wir uns nochmal an einem Beispiel an: Geeben sei die Gerade : = 3 4 m +. t Wir beinnen mit dem -Achsenabschnitt t = + und traen den Punkt (0 ) an, wir wandern also vom Nullpunkt aus Läneneinheit nach oben. Wäre das Vorzeichen neativ, also, dann würden wir nach unten wandern. Von dem erhaltenen Punkt ehen wir nochmal, wie ehabt, 3 Einheiten nach oben (Zähler der Steiun) und 4 Einheiten nach links. Wir erhalten unseren zweiten Punkt, verbinden die beiden Punkte und haben die Gerade. 4 LE nach links (Nenner der Steiun mit Vorzeichen) 3 LE nach oben (Zähler der Steiun) LE nach oben (-Achsenabschnitt) Die Form = m + t nennt man auch Normalform der Geradenleichun. Manchmal sind die Geraden in abweichender Form aneeben. So stehen z.b. und nicht etrennt, Es wird ein Vielfaches von aneeben, usw. Durch äquivalentes Umformen erreichen wir aber stets unsere Normalform, mit der man vernünfti arbeiten kann. Dazu ein Beispiel: eeben ist die Gerade = 0 Bestimmun der Normalform: = = 4 : ( 4) 0, = Daniel Inselmann, RS Könisbrunn, Fassun:

4 2.3 Die Punkt-Steiuns-Form (allemeine Geraden) Eine recht schnelle Form, Geraden aufzustellen (sei es durch die Anabe zweier Punkte oder einer Steiun und zwei Punkte) ist die soenannte Punkt-Steiuns-Form (PSF). Die Formel ist relativ einfach: = m p + p Dabei entspricht m natürlich der Steiun, p und p sind die Koordinaten eines Punktes, der auf der Geraden liet. Kommen wir zu zwei Beispielen: () Wir sollen die Geradenleichun aufstellen für die Gerade, die durch den Punkt A( 4) verläuft und die Steiun m = 2 dazu setzen wir nur ein in = m p + p und rechnen die Klammer aus: = 2 ( ) + 4 = = + 3, 2 (2) Wir sollen die Geradenleichun aufstellen für die Gerade, die durch die beiden Punkte A( 4) und B(3 2) verläuft. dazu bestimmen wir zuerst m und verfahren dann wie bei (): m = = 2 2 = = ( 3) + 2 (man kann auch den Punkt A einsetzen!) = = + 3. Laen von Geraden Da wir nicht immer die Zeit (oder Lust) haben die Geraden zu zeichnen, um zu bestimmen, wie sie lieen, verwenden wir rechnerische Verfahren, um schnell zu bestimmen, ob Geraden nun parallel oder senkrecht lieen, oder ob sie sich in einem Punkt schneiden. 3. Parallele Geraden Um zu bestimmen, ob Geraden parallel lieen, ibt es ein einfaches Verfahren. Dazu betrachten wir ausschließlich die Steiun der beiden Geraden. Ist sie leich, so sind die Geraden leich steil und somit automatisch parallel. Sehen wir uns hierzu ein Beispiel an: Geeben sind: : = + 2 und h: = 0,. Da = 0, ist, die Steiunen der beiden Geraden also leich 2 2 sind, muss elten: h. Sehen wir uns das mal in der Zeichnun an: Wir sehen, dass dies stimmt! Halten wir also fest: Zwei Geraden sind parallel, enau dann, wenn ihre Steiunen leich sind. der in mathematischer Kurzschreibweise (mit den Geraden und h): h m = m h (Erklärun: Der Pfeil dazwischen bedeutet, dass man das von links nach rechts und von rechts nach links lesen kann. Also:. von links nach. rechts: wenn parallel zu h ist, so sind ihre beiden Steiunen leich 2. von rechts nach links: wenn die Steiunen der Geraden und h leich sind, so sind sie parallel.) Daniel Inselmann, RS Könisbrunn, Fassun:

5 3.2 Senkrechte (=orthoonale) Geraden Geraden stehen senkrecht aufeinander, wenn das Produkt ihrer Steiunen eribt. Das lässt sich für zwei beliebie Geraden und h ebenso schnell ausdrücken: h m m h = Es ilt also von links nach rechts: wenn senkrecht auf h steht, dann ist das Produkt der beiden Steiunen -. Von rechts nach links ilt: ist das Produkt der Steiunen zweier verschiedenen Geraden leich, so stehen sie senkrecht aufeinander. Daniel Inselmann, RS Könisbrunn, Fassun: 4..20