Aufgabe 11: Windanlage

Größe: px

Ab Seite anzeigen:

Download "Aufgabe 11: Windanlage"

Manuela Kaufer
vor 6 Jahren
Abrufe

1 Zentrale schritliche Abiturprüunen im Fach Mathematik Auabe 11: Windanlae Das Foto zeit einen Darrieus-Windenerie-Konverter. Der Wind setzt die drei Blätter um die vertikale Achse in Drehun; die Blätter behalten dabei auch bei schneller Beweun ihre Form bei. Bei dieser Anlae einem Forschuns-Darrieus der Sandia-Laboratories des DOE lieen zwischen den oberen und den unteren Beestiunspunkten der Blätter m, und der Durchmesser des Rotors beträt 3 m. Die eplante Spitzenleistun dieser Anlae liet bei 65 kw. In den Auabenteilen a) bis d) soll zuerst die Form der Blätter durch zwei verschiedene Funktionen und näherunsweise beschrieben (modelliert) werden. Die x-achse entspricht der vertikalen Rotationsachse Die Funktion soll eine Kosinusunktion der Form ( x) = a cos( bx+ c) sein, ist eine anzrationale Funktion. Grades mit x ( ) = 0, x 0,03 x² a) Die Abbildun zeit die Graphen der beiden Funktionen und x Zeien Sie, dass die Gleichun ( x) = 17 cos x Anaben eindeuti bestimmt ist. Geben Sie an, welcher Graph zu welcher Funktion ehört. auweist, und beründen Sie, dass aus den 55

2 Zentrale schritliche Abiturprüunen im Fach Mathematik b) Untersuchen Sie au Symmetrie und Extrema im Bereich 5 x 5. Zeien Sie, dass die Nullstellen von in diesem Bereich in uter Näherun bei x = 1 lieen. N x = 1 und N1 c) Bestimmen Sie ür beide Funktionen jeweils den Winkel in Grad, den die Blätter bei x = 1 mit der x-achse einschließen. Die Rotorachse ist in einer Höhe von 56 m über Grund durch Abspannseile mit dem Grund verbunden (siehe Abbildun). Diese Abspannseile verlauen oben am Rotor etwa parallel zu den Blättern an deren Achsenbeestiunspunkten. Bestimmen Sie ür beide Funktionen die Läne der Abspannseile. d) Entscheiden Sie, welche der beiden Funktionen jeweils welche Eienschaten des Konverters au dem Foto besser wiederibt, und beründen Sie Ihre Entscheidun. e) Bestimmen Sie in uter Näherun die Querschnittsläche des Rotors unter Verwendun der Funktion. ) Mit den Ihnen bisher zur Verüun stehenden Mitteln ist die Läne der Blätter nicht zu berechnen. Sie können aber den Graphen der Funktion stückweise annähern. Berechnen Sie den so entstehenden Näherunswert ür die Läne der Blätter. 56

3 Zentrale schritliche Abiturprüunen im Fach Mathematik Erwartunshorizont a) Eine allemeine Kosinusunktion hat die Gleichun ( x) = a cos( bx+ c), wobei a der Streckunsaktor in y-richtun ist, b der Streckunsaktor in x- Richtun und c, die Phasenverschiebun, die Verschiebun der Maxima beschreibt. Hier liet das Maximum bei x = 0, also ist auch c = 0. Da (0) = 17, muss a = 17 elten. Schließlich: Die erste Nullstelle soll bei x = 1 lieen, die reine Kosinusunkti- on hat ihre erste Nullstelle bei x =. Also muss b = elten. Alle drei Koeizienten eraben sich notwendi, also ist eindeuti bestimmt. Durch Einsetzen eines Aruments, z.b. x =, in die beiden Funktionsleichunen eribt sich () = 13,66 und () 1,6. Daraus olt, dass zu der innere (dünnere) Graph ehört und zu der äußere (dickere) Graph b) ist eine anzrationale Funktion. Grades und weist nur Terme in erader Ordnun in x au. Damit ist eine erade Funktion (es ilt also ür alle x D : ( x) = ( x) ), und damit ist der Graph von achsensymmetrisch zur y-achse. Ebenso olt soort, dass bei x = 0 eine Extremstelle vorliet. Zur weiteren Prüun au Extrema wird die erste Ableitun benötit: '( x) = 0,00006 x³ 0,06 x= x (0,00006 x² + 0,06). Notwendi ür Extremstellen ist '( x E ) = 0. Da der Term in den Klammern keine Nullstelle auweist, ist die bereits bekannte Extremstelle bei x E = 0 die einzie, und aurund des neativen (Leit-)Koeizienten von der höchsten Potenz von (bzw. der Linearität des Nullstellenterms in ) handelt es sich um eine Maximalstelle: E max (0 17). Hinweis: Es ibt natürlich noch weitere Mölichkeiten des Nachweises, z. B. über die zweite Ableitun. Einsetzen von x = 1 in die Funktionsleichun von lieert (1) 0,09 ; diese Dierenz von,9 cm erlaubt davon zu sprechen, dass 1 in uter Näherun eine Nullstelle von ist.. (Aurund der Symmetrie von ilt dies ebenso ür 1.) Hinweis: Die Nullstellen lieen tatsächlich bei ± 0, c) Winkel: Der esuchte Winkel ist mit der jeweilien ersten Ableitun verbunden durch tan α = (1) bzw. tan α = (1), d. h. α = α = 1 1 tan ( (1)) bzw. tan ( (1)) 57

4 Zentrale schritliche Abiturprüunen im Fach Mathematik 17 Mit ( x) = sin x sich: α 5 und α 6. und 3 ( ) = 0,0000 0,06 ereben x x x Hinweis: Wenn man als Erebnis Winkel von 0,905 bzw. 1,086 herausbekommt, so sind die Winkel älschlicherweise in Boenmaß aneeben worden. Läne: Da Achse, Boden und Seil ein rechtwinklies Dreieck bilden, bei dem ein Winkel und eine Kathete bekannt sind, lässt sich die Hypotenuse berechnen, und es 56 eribt sich jeweils mit l = cosα : l 90,6 und, m l m. Wird die Funktion zurunde elet, ist das Abspannseil uneähr 90,6 m lan, bei der Funktion wäre das Abspannseil etwa, m lan. 15 d) Zeichnet man eine Tanente ein und misst den entsprechenden Winkel, so erhält man links (am oberen Ende) etwa 57 und rechts (am unteren Ende) etwa 59. Das spricht weder ür die eine noch die andere Funktion. Die Krümmun von in der Nähe des Einlaupunkts ist deutlich zu roß; deshalb stimmt die Kosinusunktion dort eher mit der tatsächlichen Form überein. Andererseits ormen die Blätter im Bereich des Maximums der Funktion (also im Bereich des rößten Abstands) deutlich einen weiteren Boen als ihn die Kosinusunktion auweist. Dieser Boen wird von der anzrationalen Funktion weitaus besser beschrieben x

5 Zentrale schritliche Abiturprüunen im Fach Mathematik e) Wie im Auabenteil b) ezeit, sind 1 und 1in uter Näherun als Nullstellen von anzusehen. Die Querschnittsläche A bestimmt sich über 1 A= ( x) dx 0 5 0,3 3 = 0,000003x x + 17x 3 5,96 9 m. 1 0 Die Querschnittsläche ist also etwa 9 m roß. 5 ) Eine möliche Lösun wäre ein Polyonzu-Verahren, bei dem die Funktion der Blätter stückweise durch Strecken enähert wird und die Verbindunspunkte zwischen den Streckenabschnitten au dem Graphen lieen. Bei einer symmetrischen Einteilun in ün Strecken ist rechnerisch ünsti, dass die mittlere waaerecht liet, ihre Läne also einach der Abstand ihrer Stützstellen ist. Für eine Einteilun in ün Strecken ist es eine Mölichkeit, die Stützstellen (so sollen die x-koordinaten der Verbindunspunkte bezeichnet werden) leichabständi zu wählen, also mit x = 1,6, x =,, x =, und x = 1,6 1 3 zu rechnen. Der Abstand zwischen je zwei Verbindunspunkten eribt sich dann mit li = 8,² + ( ( xi) ( xi 1))² und l = l1+ l + l3 + l + l5 zu l = 56, m. Hinweis: Will man die Näherun verbessern, so ist es sinnvoll, die Streckenabschnitte zu verkürzen, au denen stark ekrümmt ist, und daür die Streckenabschnitte zu verlänern, au denen wenier stark ekrümmt ist. Praktisch bedeutet dies, alle Stützstellen nach innen zu verlaern. Konkretes Nachrechnen zeit allerdins, dass der äquidistante Ansatz bis au etwa cm die optimale Lösun ür vier Stützstellen eribt. Die Idee, die Steiun der Funktion auszunutzen was letztlich zum Weinteral s = 1 + ( '( x))² dx ührt wird nicht erwartet. b a Die hiermit ermittelte Blattläne ist übriens l = 56,86m. Jede andere sinnvolle Lösun ist ebenalls als richti anzusehen. 5 Insesamt 0 BWE

Ähnliche Dokumente

(0 4) 4 :( 2) Bestimmung von Geradengleichungen Aufgabe 1

(0 4) 4 :( 2) Bestimmung von Geradengleichungen Aufgabe 1 Bestimmun von Geradenleichunen Auabe Geeben ist die Geradenleichun (x) = -x +. Gesucht sind die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. Lösun: Mit der y-achse (x=0): S y (0 ) Mit der x-achse (y=0): x