Lambacher Schweizer Mathematik

Transkript

1 Lambacher Schweizer Mathematik Nordrhein-Westalen

2 Fi. 1 Fi. 1 zeit den Graphen der Funktion mit () = 3. Au den Kärtchen stehen neue Funktionsleichunen. Variieren Sie die Parameter a, b, c und e mit beliebien Zahlen. Wie ändert sich der Graph? Erläuteren Sie Ihre Entdeckunen. a ( 3 ) (c ) 3 (c ) 3 + e ( b) 3 ( b) + e a ( 3 ) + e ( b) 3 ( b) (c ) 3 (c ) + e Hier kann auch eine Wertetabelle hilreich sein. Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion näherunsweise mit dem GTR. a) () = b) () = 4 1 c) () = d) () = 0,5 6 +,5 4 0, ,9 e) () = ) () = + 1 Die Fi. 5 zeit den Graphen der Funktion mit () = Kommentieren Sie die olenden Aussaen. a) Da die Funktionsleichun nur die uneraden Eponenten 1 und 3 besitzt, ist der Graph smmetrisch zum Ursprun. b) Mithile des GTR (s. Fi. 5) kann man vermuten, dass der Graph smmetrisch zum Ursprun ist. c) Man erkennt an der Funktionsleichun, dass der Graph von nicht smmetrisch ist. Fi. 5

3 Die Graphen von und h sind aus den Graphen von entstanden. a) Geben Sie die zuehörien Funktionsleichunen ür die Funktionen und h an. b) Kontrollieren Sie Ihre Erebnisse abschließend mit dem GTR. (1) () = () () = 3 (3) () = 4 h 4 4 h (4) () = 3 (5) () = (6) () = 4 h 4 4 h h 4 4 Geeben ist die Funktionenschar a mit dem Parameter a, a > 0. Zeichnen Sie die Graphen ür a = 1 und ür a = mit dem GTR. Untersuchen Sie jeweils die Graphen von a au Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen und bestimmen Sie a so, dass der Graph smmetrisch zum Ursprun oder smmetrisch zur -Achse ist. a) 1 () = 3 a b) a () = a 1 c) a () = a 4 6 h

4 Erkundunen 6 1 Funktionen 8 Lineare und quadratische Funktionen 11 3 Potenzunktionen 14 4 Ganzrationale Funktionen 18 5 Smmetrie 6 Nullstellen 6 7 Verschieben und Strecken von Graphen Polnomdivision und Linearaktorzerleun Erkundunen 48 1 Mittlere Änderunsrate Dierenzenquotient 50 Momentane Änderunsrate 54 3 Die Ableitun an einer bestimmten Stelle berechnen 59 4 Die Ableitunsunktion 6 5 Ableitunsreeln 66 6 Tanente 70 7 Ableitun der Sinus- und Kosinusunktion Erkundunen 83 1 Charakteristische Punkte eines Funktionsraphen 84 Monotonie 88 3 Hoch- und Tiepunkte 91 4 Mathematische Berie in Sachzusammenhänen Etremstellen und zweite Ableitun = neu im Kernlehrplan

5 Erkundunen Punkte im Raum 11 Vektoren Rechnen mit Vektoren 10 4 Betra eines Vektors Läne einer Strecke 14 5 Fiuren und Körper untersuchen Mit dem Auto in die Kurve: Vektoren in Aktion Erkundunen Wahrscheinlichkeitsverteilun Erwartunswert 146 Mehrstuie Zuallseperimente, Padreel Viereldertael bedinte Wahrscheinlichkeiten Stochastische Unabhänikeit Bedinte Wahrscheinlichkeiten und Lernen aus Erahrun Erkundunen Potenzen mit rationalen Eponenten 17 Eponentialunktionen Eponentialleichunen und Loarithmen Lineare und eponentielle Wachstumsmodelle Rechnen mit Loarithmen Check-Ins 198 Sachthema 08 Lösunen 1 Mathematische Bezeichnunen Anleitun TI-nspire CX 6 Anleitun CASI -CG 0 68 Reister 3

6 Lobesan Wie das Meer ist die Liebe: unerschöplich, unerründlich, unermeßlich: Woe zu Woe stürzend ehoben, Woe um Woe wachsend verschlunen, sturm- und wetter-eberdi nun, sonneseli nun, willi nun dem Mond die unauhaltsame Fläche doch in der Tiee stetes Walten ewier Ruhe, unestört, undurchdrinbar dem irdischen Blick, starr verdämmernd in läsernes Dunkel und in der Weite stetes Wirken ewier Reun, unestillt, unentwirrbar dem irdischen Blick, wild verschwimmend im Licht der Lüte: Aurausch der Unendlichkeit ist das Meer ist die Liebe. Richard Dehmel ( ) Lineare und quadratische Funktionen darstellen Funktionsleichunen von linearen und quadratischen Funktionen austellen Lineare und quadratische Gleichunen lösen k 4

7 Welcher Term passt zu welchem Bild? Der Innenboen des Gatewa-Arch in St. Louis (USA) lässt sich näherunsweise beschreiben ( in m) durch die Funktion mit () = 187,5 1, , werden anzrationale Funktionen darestellt und deren Eienschaten beschrieben. werden Nullstellen mit verschiedenen Verahren berechnet. werden Graphen verschoben und estreckt und die daraus olenden Veränderunen im Funktionsterm bestimmt. 5

8 Siehe auch die Lerneinheiten 3, 4, 5 und 6, Seiten Geeben sind zwöl Graphen, zwöl Funktionsleichunen und zwöl Aussaen Fi. 1 Fi. Fi Fi. 4 Fi. 5 Fi Fi. 7 Fi. 8 Fi Fi. 10 Fi. 11 Fi. 1 1 () = 0,5 3 () = 0, () = 0,5 3 0,5 4 () = 0,5 3 6 () = 0, , () = 0,5 4 7 () = 0, ,5 8 () = 0, ,5 0,5 9 () = 0, () = 0, () = 0, () = 0,5 3 6 I Funktionen

9 Der Graph ist achsensmmetrisch. Für unendlich roße positive -Werte werden die Funktionswerte unendlich klein. Für neative -Werte sind die Funktionswerte positiv. Die Funktionswerte sind nie kleiner als 0. Zum Zeichnen des Graphen reicht es aus, nur die Funktionswerte ür positive -Werte zu berechnen. Zwischen den -Werten 1 und 1 ähnelt der Graph dem Graphen der Funktion mit () = 0,5. Zwischen den -Werten 1 Zwischen den -Werten 1 und 1 ähnelt der Graph dem und 1 ähnelt der Graph dem Graphen der Funktion mit Graphen der Funktion mit () =. () =. Der Graph ist punktsmmetrisch. Für unendlich roße positive -Werte werden die Funktionswerte unendlich roß. Zwischen den -Werten 1 und 1 ähnelt der Graph dem Graphen der Funktion mit () =. Die Funktion besitzt die Nullstelle = 0. Der Graph verläut also durch den Ursprun des Koordinatensstems U (0 0). Es ehören jeweils ein Graph und eine Funktionsleichun zusammen. Für jedes dieser Paare sind mehrere der zwöl Aussaen richti. Überleen Sie sich, welcher Graph, welche Funktionsleichun und welche Aussaen jeweils zusammen ehören und notieren Sie diese im Het. Tipp: Man kann auch eine Wertetabelle verwenden. Man kann anhand der Funktionsleichunen jeweils erkennen, welcher Graph zu ihnen ehört. Dabei helen unter anderem die obien zwöl Aussaen. Formulieren Sie Reeln, welche Inormationen über die Lae des Graphen man den Funktionsleichunen entnehmen kann. Versuchen Sie diese Reeln so allemein wie mölich zu ormulieren. Kontrollieren Sie mit einem Funktionsplotter anhand von Beispielen, ob Ihre Reeln aus Forschunsautra stimmen. Hierzu können Sie die olenden Funktionstpen verwenden, indem Sie ür n und m beliebie natürlichen Zahlen und ür a, b und c beliebie reelle Zahlen einsetzen. () = n () = a n h () = a n + b m k () = a n + b m + c j () = m + n l () = m 1 + n 1 Notieren Sie Ihre Funktionsleichunen sowie eine Skizze des Graphen im Het. Kontrollieren Sie so, ob Ihre Entdeckunen und Reeln aus dem Forschunsautra richti sind. 1. Einer von Ihnen notiert eine Funktionsleichun (nur solche Funktionsleichunen notieren, deren zuehörie Graphen Sie auch selbst skizzieren können).. Der andere soll nun eine mölichst enaue Skizze des Graphen erstellen. 3. Anschließend wird diese Skizze von beiden diskutiert. 4. Mithile des Funktionsplotters können Sie die Skizze kontrollieren. 5. Nun werden die Rollen etauscht. I Funktionen 7

10 Die Verkausleiterin einer Firma lieert ür die Verkauszahlen v eines Produktes in Abhänikeit der Zeit (in Wochen w) olende Funktionsleichun: v (w) = w Beschreiben Sie den Graphen im Sachzusammenhan. Wie sollte man das Fenster des GTR am besten einstellen? Bei der mathematischen Beschreibun (Modellierun) einer Situation erhält man ot Zuordnunen zwischen Größen. Dabei wird häui einem Wert der einen Größe Wert der anderen Größe zueordnet. So kann zum Beispiel bei einer Radtour der verstrichenen Zeit t der zurückelete We s eindeuti zueordnet werden. Daeen ist die Zuordnun Höhe der Sonne über dem Horizont Taeszeit nicht eindeuti, weil einem Sonnenstand unterschiedliche Taeszeiten zueordnet werden können. Eindeutie Zuordnunen nennt man. Die Bezeichnun 0 steht ür einen esten, aber nicht konkreten -Wert. Bei Funktionen sind olende Sprech- und Schreibweisen üblich: sind Bezeichnunen ür Funktionen. ist die Mene aller -Werte, denen durch die Funktion ein Funktionswert zueordnet werden kann. Sie heißt bzw. der Funktion. ( von 0 ) ist der, also derjenie Wert, der der Zahl 0 durch die Funktion zueordnet wird. ist die Mene aller Funktionswerte. Sie heißt von. ist die, welche ausdrückt, dass jedem Wert ür die Sum me aus 5 und dem Dreiachen ihres Quadrates zu eordnet wird. Man nennt den. ist die, mit deren Hile man zu jedem Wert ür denjenien Funktionswert berechnen kann, der zu diesem ehört. Beispielsweise erhält man an der Stelle = 4: ( 4) = 3 ( 4) + 5 = 53. Der ist die Mene aller Punkte P ( ), deren Koordinaten die Gleichun = (), hier also = erüllen. Da die Zuordnun eindeuti ist, haben die Graphen von Funktionen mit allen Parallelen zur -Achse höchstens einen Schnittpunkt. Fi. 1 zeit den Graphen einer Funktion, da jedem -Wert ein eindeutier -Wert zueordnet ist. Die Zuordnun ist also eindeuti. Fi. ist kein Graph einer Funktion, da es -Werte ibt, denen mehrere -Werte zueordnet sind. Die Zuordnun ist nicht eindeuti. Fi. 1 Fi. 8 I Funktionen

11 Eine Zuordnun, die jedem Element einer Deinitionsmene Element der Wertemene zuordnet, nennt man. Es ibt auch Funktionen, die nicht au anz R (nicht ür alle reellen Zahlen) deiniert sind: Die Funktion mit () = 1 deiniert. Für die Deinitionsmene schreibt man D = R \ {0} oder D = R ( die reellen Zahlen ohne die Zahl Null ). Man bezeichnet 0 als die. Die Quadratwurzelunktion mit () = ist Für die Deinitionsmene schreibt man D = + R 0 ( die positiven reellen Zahlen einschließlich der Zahl Null ). Die Deinitionsmene einer Funktion wird häui als aneeben. Für ist eine reelle Zahl schreibt man auch kurz * R ( ist Element der reellen Zahlen). Für ist keine reelle Zahl schreibt man + R ( ist kein Element der reellen Zahlen). Graphen und Wertetabelle der Funktionen (= 1) und (= ) mithile eines GTRs Schreibweise ür * R mit Bezeichnun [a; b] eschlossenes Intervall ]a; b[ a < < b oenes Intervall ]a; b] linksoenes Intervall [a; b[ rechtsoenes Intervall R + = R > 0 alle positiven r eellen Zahlen ohne Null R = R < 0 alle neativen r eellen Zahlen ohne Null + R 0 = R alle positiven reellen Zahlen mit Null R 0 = R alle neativen reellen Zahlen mit Null Funktionswerte, Deinitionsmene und Wertemene bestimmen Geeben sind die Funktionen mit () = 3 und mit () = 6. a) Bestimmen Sie die Funktionswerte von und an den Stellen und 3. b) Geben Sie die Deinitionsmenen D und D an. c) Zeichnen Sie mithile einer Wertetabelle die Graphen von und in ein Koordinatensstem im Intervall [ 4; 4]. Notieren Sie die Wertemenen W und W. 6 º Lösun: a) ( ) = ( )³ ( ) = 1 und (3) = 48. ( ) = ( ) = 1,5 und (3) = 3. b) Deinitionsbereiche: D = R und D = R \ {0}. c) Mithile einer Wertetabelle kann man Graphen skizzieren (vl. Fi. 1). Dazu trät man die Punkte in das Koordinatensstem ein und verbindet diese in den Intervallen, in denen keine Deinitionslücken vorlieen. () = 3 () = , , ,5 0, ,5 0, ,375 Fi. 1 Aus Fi. 1 erhält man: W = R und W = R +, also alle positiven reellen Zahlen außer der Null. Beim GTR kann der Ausschnitt des Koordinatensstems, der darestellt werden soll, bei den Fenstereinstellunen einestellt werden. I Funktionen 9

12 a) Welche der abebildeten Graphen ehören zu einer Funktion? Beründen Sie. b) c) d) e) Stellen Sie sich eenseiti ähnliche Auaben. Tipp: Der GTR kann zur Kontrolle einesetzt werden. $ Eine Anwendunsauabe zur Deinitionsmene beindet sich auch au Seite 38 (Auabe 13). Geeben sind die Funktionen,, h und i mit den Funktionsleichunen () = 1, () = 3, h () = und i () = ( 3) + 4. a) Bestimmen Sie die Funktionswerte von,, h und i an den Stellen ; 3 und 10. b) Bestimmen Sie die Deinitionsmenen von,, h und i. c) Skizzieren Sie die Graphen der Funktionen, und h mithile einer Wertetabelle. Bestimmen Sie anschließend die Wertemenen der Funktionen. d) Lieen die Punkte P (1 1) und Q (4 ) au den Graphen von,, h oder i? Geeben sind die Funktionen u mit u () = w () = , v mit v () = 1 1 und w mit a) Bestimmen Sie die Funktionswerte von u, v und w an den Stellen 1; und 3 7. b) Bestimmen Sie die Deinitionsmenen von u, v und w. c) Erstellen Sie ür die Funktionen u, v und w im Intervall [ 9; 9] mithile des GTR eine Wertetabelle. d) Skizzieren Sie die Graphen der Funktionen u, v und w. Entnehmen Sie dazu der Wertetabelle aus c) die Werte ür die richtie Fenstereinstellun beim GTR, sodass im Intervall [ 9; 9] die vollständien Graphen von u, v und w zu sehen sind. a) Geeben ist die Funktion mit () = a) Bestimmen Sie die Deinitionsmene D. b) Bestimmen Sie die Funktionswerte von an den Stellen 9 und 0,5. c) Skizzieren Sie den Graphen von mithile einer Wertetabelle zunächst ohne GTR. Kontrollieren Sie anschließend mithile des GTR und notieren Sie die Wertemene W. b) 1 Geeben sind die Funktionen u, v und w mit u () = + 3, v () = und w () = Führen Sie mit den Funktionen u, v und w die Auträe a) bis d) aus Auabe 3 durch. Beründen Sie, ob die Graphen aus Fi. 1 jeweils zu einer Funktion ehören können. Fi. 1 Wahr oder alsch? Beründen Sie. a) Eine Parallele zur -Achse kann nicht Graph einer Funktion sein. b) Eine Parallele zur -Achse kann nicht Graph einer Funktion sein. c) Jede Parallele zur -Achse hat mit dem Graphen einer beliebien Funktion höchstens einen Punkt emeinsam. d) Jede Parallele zur -Achse hat mit dem Graphen einer beliebien Funktion höchstens einen Punkt emeinsam. 10 I Funktionen Lösunen zu Zeit zu überprüen Seite 1.

13 lineare Funktionen Funktionen quadratische Funktionen Als Erinnerunshile können Beispiele mithile des GTRs untersucht werden. Vervollständien Sie die Mindmap mit mölichst vielen weiteren Ästen. In dieser Lerneinheit werden wiederholt. Für Graphen linearer Funktionen mit () = m + n ilt: n 1 m 1 m Fi. 1 Der Schnittpunkt mit der -Achse ist. Geht man um 1 Einheit nach rechts, dann eht man um m Einheiten in -Richtun. Der Faktor m heißt Steiun des Graphen und n ist der -Achsenabschnitt. Für Graphen quadratischer Funktionen mit () = a + b + c (Normalorm) bzw. mit () = a d 3 + e (Scheitelpunktorm) ilt: c S ( d e) Fi. Den Schnittpunkt mit der -Achse 0 c 3 kann man in der Normalorm ablesen. Den Scheitelpunkt S (d e) kann man der Scheitelpunktorm entnehmen. Der Faktor a heißt Streckunsaktor des Graphen und c ist der Schnittpunkt mit der -Achse. Für m < 0 ällt die Gerade. Für a < 0 ist die Parabel nach unten eönet. Bei Schnittpunkten des Graphen mit der -Achse hat die zuehörie Funktion den Funktionswert null: ( 0 ) = 0. Die entsprechende Stelle 0 wird der Funktion enannt. Austellen der Funktionsleichun einer linearen Funktion P 1 3 und Q sind Punkte des Graphen einer linearen Funktion. Bestimmen Sie die Funktionsleichun. º Lösun (zwei verschiedene Wee): Einsetzen der Koordinaten der Punkte P ( 1 1 ) und Q ( ) in die allemeine Formel ür die Steiun: m = 1 1 Einsetzen von m und P in die Funktionsleichun () = m + n; Ermitteln von n Austellen der Funktionsleichun oder: Einsetzen der Koordinaten von P und Q in die Funktionsleichun () = m + n Vereinachen der Gleichunen und Lösen des linearen Gleichunssstems (dabei: Einsetzen von n = 10 in Gleichun I) Austellen der Funktionsleichun man erhält: m = = 33 6 = 5,5 m = 5,5 und P ( 1) ereben: 1 = 5,5 + n. Durch Umormen erhält man: n = 1 11 = 10. Die Funktionsleichun lautet () = 5,5 10. P ( 1) eribt Gleichun I: 1 = m + n Q (8 34) eribt Gleichun II: 34 = m 8 + n 4 I: 4 = 8 m + 4 n II: 34 = 8 m + n 4 I II: 30 = n, also n = 10; aus 1 = m 10 erhält man m = 5,5 () = 5,5 10 I Funktionen 11

14 Beim GTR kann man zur Kontrolle au dem Graphen entlanwandern oder die Schnittpunkte direkt bestimmen. Zur Erinnerun: Zum Lösen der quadratischen Gleichun mit der pq-formel benötit man die Normalorm: + p + q = 0. + p + q = 0 besitzt die beiden Lösunen 1/ = p ± ( p ) q 0 Weitere Übunen beinden sich auch au Seite 37 (Auabe 3). Bestimmen der -Achsenabschnitte und Nullstellen Geeben sind die Funktionen mit () = 5,5 10 und mit () = 4 6. a) Bestimmen Sie den Schnittpunkt des Graphen zur Funktion bzw. mit der -Achse. b) Bestimmen Sie die Nullstelle der Funktion bzw.. Geben Sie die Schnittpunkte mit der -Achse an. º Lösun: a) Um den -Achsenabschnitt zu erhalten, wird der Funktionswert an der Stelle 0 bestimmt. Für die Funktion olt: Für die Funktion olt: (0) = 5, = 10, also P (0 10). (0) = = 6, also P (0 6). b) Für den Schnittpunkt mit der -Achse ilt () = 0 bzw. () = 0. Hieraus kann man eine Gleichun austellen, die nach auelöst werden muss. Abschließend notiert man die Lösun. Für die Funktion olt: () = 5,5 10 = 0, also olt 5,5 10 = ,5 = 10 : 5,5 = 1, _ 81 Die Nullstelle lautet N = 1, _ 81. Der Schnittpunkt mit der -Achse ist N (1, _ 81 0). Für die Funktion olt: 4 6 = 0 : 3 = 0 also p = und q = 3 1/ = ± ( ) ( 3) = 1 ± , also sind 1 = 1 und = 3 die Nullstellen von und die Schnittpunkte mit der -Achse lauten N 1 ( 1 0) und N (3 0). Bestimmen Sie aus den eebenen Inormationen einer linearen Funktion mit () = m + n die Funktionsleichun. c) a) m = 3 und der Punkt P 133 liet au dem a) 3 d) e) Graphen. b) b) m = und der Punkt Q 1 3 liet au ) dem Graphen. 1 c) Die Punkte P 3 13 und Q 5 73 lieen au dem Graphen d) Die Punkte R 3 4,53 und S 9 8,53 lieen 1 au dem Graphen. e) n = 4 und der Graph enthält R ) n = 1,5 und der Punkt S,5 163 liet au 3 dem Graphen. Fi. 1 Geeben sind sechs Geraden im Koordinatensstem (Fi. 1). Geben Sie jeweils die zuehörie Funktionsleichun an. Bestimmen Sie die ehlenden Werte in der Wertetabelle der linearen Funktion. Kontrollieren Sie mithile des GTR. a) b) () 1,5 0,5 5, () 3 38 c) Erstellen Sie zwei eiene Tabellen mit Lücken und eben Sie sie Ihrem Nachbarn zum L ösen. Der GTR kann zur Kontrolle verwendet werden. Bestimmen Sie die Schnittpunkte des Graphen der Funktion mit den Koordinatenachsen. a) () = 3 10 b) () = c) () = 0, d) () = I Funktionen

15 Bestimmen Sie die Schnittpunkte des Graphen der Funktion mit den Koordinatenachsen. a) () = 5 b) () = 196 c) () = 6,5 d) () = 1,44 e) () = 5 00 ) () = 48 ) () = 3 4 h) () = 7 91 Bestimmen Sie die Schnittpunkte des Graphen der Funktion mit den Koordinatenachsen. a) () = + 3 b) () = + 6 c) () = 4 8 d) () = 1,3 + 3,9 e) () = 5 5 ) () = 4 ² + 5 ) () = + 4 h) () = 3 8 Beründen Sie, dass die Anwendun der pq-formel bei den Auaben 5 und 6 nicht sinnvoll ist. Beschreiben Sie einen alternativen Lösunswe. Bestimmen Sie die Schnittpunkte des Graphen der Funktion mit den Koordinatenachsen. a) () = b) () = c) () = d) () = e) () = ) () = 1 7 ) () = h) () = i) () = Auaben zum Erorschen beinden sich au Seite 40 (Auabe 5) und au Seite 41 (Auabe 30). Bestimmen Sie die Funktionsleichun der linearen Funktionen und anhand der eebenen Punkte des Graphen. Berechnen Sie anschließend die Schnittpunkte der Graphen mit den Koordinatenachsen. a) mit den Punkten A ( 3) und B (5 6). b) mit A ( 4 1) und B (4 5). Bestimmen Sie die Schnittpunkte des Graphen der Funktion mit den Koordinatenachsen. a) () = 11 b) () = + 1 c) () = 6 d) () = Geeben sind die Funktionen,, h, k und j mit () = ( + 7) 6, () = ( + 3) + 1, h () = ( 3), k () = ( + 3) 1 und j () = ( + 3) sowie die Screenshots in Fi. 1 bis 3. a) rdnen Sie den Screenshots aus Fi. 1 bis 3 die zuehörien Funktionen zu. Beründen Sie. b) Beschreiben Sie ür die Funktionen, die in a) nicht zueordnet wurden, jeweils den Verlau des Graphen und beründen Sie den Verlau mithile der Funktionsleichun. Fi. 1 Fi. Fi. 3 Eine 15 cm lane Kerze brennt in 10 Stunden ab. Bei einer 0 cm lanen Kerze dauert es 8 Stunden. Bearbeiten Sie die olenden Auaben einmal ohne und einmal mit GTR. a) Stellen Sie Funktionsleichunen au und zeichnen Sie die Graphen. b) Die Kerzen werden leichzeiti anezündet. Nach welcher Zeit sind sie leich lan? Bestimmen Sie die Nullstellen und Schnittpunkte der Funktionen und. a) () = 7 und () = 4 11 b) () = und () = $ Weitere Anwendunsauaben beinden sich auch au Seite (Auaben 18 bis 3). 0 Weitere Übunen beinden sich auch au Seite 37 (Auabe 4). Lösunen zu Zeit zu überprüen Seite 1. I Funktionen 13

16 Die Anzahl der zu spielenden Runden sollte im Voreld bestimmt werden. Gewonnen hat, wer am Ende die meisten Punkte hat! Je nach GTR-Tp muss die Funktionsleichun. abedeckt werden. Spieler 1 ibt verdeckt eine Funktionsleichun der Form () = a n, wobei a eine anze Zahl und n eine natürliche Zahl von 1 bis 5 ist, in den GTR ein und zeit Spieler die dazuehörie Wertetabelle (Variation: den dazuehörien Graphen) ohne Anabe der Funktionsleichun. Spieler muss nun versuchen, die Funktionsleichun zu bestimmen. Gelint dies, erhält er einen Punkt. Nun wird ewechselt S R = 3 Q P 1 Fi. 1 Neben linearen und quadratischen Funktionen ibt es weitere Funktionsklassen wie zum Beispiel die Potenzunktionen. So heißt die Funktion mit () = 3 Potenzunktion dritten Grades. Mithile der Rechnunen (0) = 0 3 = 0, (1) = 1 3 = 1, () = 3 = 8 und ( 1) = ( 1) 3 = 1 erhält man die Punkte P (0 0), Q (1 1), R ( 8) und S ( 1 1) des Graphen von (s. Fi. 1). Allemein heißt eine Funktion mit einer Funktionsleichun der Form () = 3 ; () = 5 3 oder () = 0,75 3. In leicher Weise ibt es auch Potenzunktionen 4., 5., 6. usw. Grades. Der Grad ist über den Eponenten deiniert. Funktionen mit Funktionsleichunen der Form () = a n heißen (n * N und a * R). 1. Für jede Potenzunktion ilt (0) = 0. Der Graph eht durch den Punkt S (0 0).. Der Faktor a ist der bzw.. Für 1 < a < 1 ist der Graph breiter (estaucht) als der Graph von mit () = n. Für a < 1 bzw. a > 1 ist der Graph ener (estreckt) als der Graph von mit () = n. 3. Für Potenzunktionen mit ilt a) (1) = a und ( 1) = a; der Graph eht durch die Punkte P (1 a) und Q ( 1 a). b) alle Funktionswerte haben das leiche Vorzeichen (positiv bei a > 0; neativ bei a < 0). 4. Für Potenzunktionen mit ilt a) (1) = a und ( 1) = a; der Graph eht durch die Punkte P (1 a) und Q ( 1 a). b) die Funktionswerte wechseln das Vorzeichen bei = 0 (von neativ zu positiv bei a > 0; von positiv zu neativ bei a < 0). 4 () = () = 4 Q 1 P 3 () = 0,5 4 S 1 1 Potenzunktionen mit eradem Eponenten P 1 () = () = 0,5 3 S Q () = 1,5 3 Potenzunktionen mit uneradem Eponenten 14 I Funktionen

17 Potenzunktionen mit dem GTR Wie muss man die Y-Bereiche beim GTR ür die Funktionen mit () = 0,5 3 und mit () = 4 wählen, damit im Intervall werden? Durch Einsetzen der -Werte = 3 und = 3 (äußerste Werte des aneebenen Intervalls) in die Funktionsleichun erhält man den rößten bzw. kleinsten Funktionswert. : ( 3) = 13,5 und (3) = 13,5 : ( 3) = 16 und (3) = 16 Demnach muss die -Achse bei von ca. 14 bis 14 und bei von ca. 16 bis 0 darestellt werden (mit (0) = 0 als rößtem Funktionswert) vl. Fi. 1 und. Fi. 1 Fi. rdnen Sie den Funktionsleichunen die Graphen zu. Beründen Sie. a) () = 0,01 4 b) () = 0,5 3 c) h () = 11 d) j () = 10 A 4 B 4 C 4 D Fi. 3 Fi. 4 Fi. 5 Fi. 6 a) Geben Sie drei Punkte an, die au dem Graphen der Potenzunktion mit () = Å 4 lieen. b) Die Punkte P, Q, R und S lieen au dem Graphen der Potenzunktion mit () = 5. Bestimmen Sie jeweils die ehlende Koordinate. P ( ) Q ( 1 ) S ( 64) R ( ) Geeben ist die Funktionsleichun einer Potenzunktion. Skizzieren Sie den Graphen der Funktion zunächst ohne GTR. Kontrollieren Sie anschließend mithile des GTR. a) () = 0,5 3 b) () = 4 c) () = 0,5 5 d) () = 3 Zeichnen Sie die Graphen der Potenzunktionen und mit () = 4 und mit () = 8. Verleichen Sie die beiden Graphen und benennen Sie Gemeinsamkeiten und Unterschiede. Skizzieren Sie die Graphen der Potenzunktionen,, h und j. Verleichen Sie die Graphen und beründen Sie Gemeinsamkeiten bzw. Unterschiede der Graphen mithile der Funktionsleichun. (A) () = 0,1 (B) () = 0,1 3 (C) h () = 0,1 4 (D) j () = 0,1 5 I Funktionen 15

18 Geeben sind die Funktionen,, h und j mit den Funktionsleichunen () = 0,5 4, () = 0 5, h () = 0, und j () = Wie muss man beim GTR den Y-Bereich einstellen, damit im Intervall werte darestellt werden? a) Beschreiben Sie Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen von,, h und j mit () =, () = 4, h () = 6 und j () = 3. b) Beschreiben Sie Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen von, und h mit () = 3, () = 3 und h () = 3. c) rdnen Sie den Graphen in Fi. 1 die Funktionsleichunen () = 0,01 4 und () = 0,5 7 und h () = 0,5 7 zu. Beründen Sie. B A 4 C Fi. 1 Geeben sind die Funktionen und mit () = 0,5 4 und () = werte darestellt werden? Wie ändert sich der Funktionswert, wenn man den -Wert verdoppelt? a) () = 4 4 b) () = 5 c) () = 1,5 3 d) () = 3 5 Geben Sie eine Funktionsleichun einer Potenzunktion an, die zu der Aussae passt. a) Der zuehörie Graph ist smmetrisch zur -Achse. b) Der zuehörie Graph eht durch den Punkt P (1 3). c) Die zuehörien Funktionswerte sind alle positiv oder null. d) Verdoppelt man den -Wert, so verachtacht sich der zuehörie -Wert. Die Funktionen, und h haben die Funktionsleichunen () = 4 3 ; () = 5 und h () = 0,1 4. Bestimmen Sie die -Werte, ür die ilt: a) Die Funktionswerte von und h sind leich roß. b) Die Funktionswerte von h sind kleiner als die von. c) Die Funktionswerte von sind rößer als die von. Beurteilen Sie, ob die olenden Aussaen immer zutreen, nie zutreen oder unter bestimten Bedinunen zutreen. Geben Sie die Bedinunen eebenenalls an. a) Der Graph einer Funktion mit () = a n eht durch den Punkt P ( 1 1 a ). b) Der Graph einer Potenzunktion () = a n mit uneradem Eponenten steit ür a * R überall an. c) Wenn man bei einer Potenzunktion um 1 erhöht, werden die Funktionswerte () auch rößer. 16 I Funktionen Lösunen zu Zeit zu überprüen Seite 1 13.

19 Auabe 13, 14 Quadratzahlen und Quadratwurzeln hänen zusammen: Zum Beispiel ist 3 = 9 und = 3. Dieser Zusammenhan ilt auch ür Kubikwurzeln, denn z. B. ist 3 = 8 und =. Allemein lässt sich ür alle positiven Zahlen eine Potenz n (n* N) durch das Ziehen der n-ten Wurzel umkehren. In Fi. 3 und Fi. 4 sind die Graphen der quadratischen Wurzelunktion q mit q () = und der kubischen Wurzelunktion k mit k () = q Fi. 1 Fi k Fi. 3 Fi. 4 Geben Sie ür die in Fi. 1 Fi. 4 darestellten Funktionen jeweils die Deinitions- und Wertemene an. a) Zeichnen Sie mit dem GTR die Graphen von mit () = und q mit q () = mit den Graphen. b) Eränzen Sie den Graphen von a mit a () = und beschreiben Sie die Lae der Graphen von und q bezülich dieser Geraden. Vereinachen Sie mithile der binomischen Formeln oder durch Ausmultiplizieren. a) (a + b) (a b) b) (a b) c) (a + b) d) ( a + b) e) ( + ) ( ) ) ( 3) ) ( + 3) h) ( + 3) Lösunen zu Zeit zu wiederholen Seite 13. I Funktionen 17

20 In den Graiken sehen Sie zu allen Funk tionen den passenden Graphen. rdnen Sie ohne GTR zu. Erläutern Sie Ihre Gedanken. () = Å () = 0,5 3 0,5 + 1,5 + 1,5 h () = i () = Å 4 ( + 3) ( + 1) ( ) ist das mathematische Zeichen ür unendlich = () 10 = () Fi. 1 bwohl der Abstand () () (ür rößer werdende ) absolut esehen immer rößer wird, wird der relative Unterschied immer () () () kleiner. nline-code z8za8 Polnome erkunden. Summen und Dierenzen von Potenzunktionen und linearen Funktionen wie z. B. mit () = heißen. Der Eponent der rößten Potenz von heißt der anzrationalen Funktion. Die Funktion ist also eine anzrationale Funktion dritten Grades. Um sich ein Bild von dem Verlau des Graphen einer anzrationalen Funktion zu machen, untersucht man, wie sich die Funktion ür sehr roße und sehr kleine Werte von verhält. Die olende Wertetabelle zeit zu den Funktionen mit () = und mit () = 3 3 Funktionswerte zu roßen -Werten: () () Die Werte der Tabelle lassen vermuten, dass die Funktionswerte () und () ür rößer werdende -Werte einen ähnlichen Verlau haben. Diese Vermutun kann man bestätien, wenn man den Funktionsterm von zu einem Produkt umormt: () = = 3 3 ( ) Beim zweiten Faktor nähern sich die beiden Brüche ür sehr roße -Werte immer weiter der Zahl 0 an, sodass der esamte Faktor sich der Zahl 1 nähert. Diese Überleun ilt auch ür sehr kleine Werte (wie z. B. = ). Da ür immer rößer werdende -Werte der Wert von () = 3 3 beliebi roß wird, ilt dies auch ür (). Man schreibt daür Für ilt: () und sat: Für een unendlich strebt () een unendlich. Da ür immer kleiner werdende -Werte der Wert von 3 3 immer kleiner wird, strebt ür een minus unendlich () een minus unendlich. Man schreibt: Für ilt: (). Man kann allemein zeien, dass das Verhalten des Graphen einer anzrationalen Funktion ür ± insesamt vom Summanden mit der rößten Potenz von bestimmt wird. 18 I Funktionen

21 Setzt man bei der Funktion mit () = Zahlen nahe 0 ein, verliert der Teilterm ür die Lae des Graphen an Bedeutun, wie die Beispiele verdeutlichen: 1 0,5 0,3 0, 0,1 0,01 () 11 56,875 31,79 19,336 7,087 3, ,875 0,79 0,336 0,087 0, ,8 Deshalb verläut der Graph von nahe 0 uneähr wie die Gerade der Funktion mit der Gleichun h () = Diese Vermutun kann man mit olender Überleun bestätien: Wenn man Zahlen zwischen 1 und 1 potenziert, nähern sich die Erebnisse immer weiter dem Wert 0. Dies erolt umso schneller, je näher die Zahl bei Null liet. Somit haben die Summanden mit den höheren Potenzen von keinen roßen Einluss au das Verhalten des Graphen ür den Bereich nahe 0. Dieses wird bei der Funktion überwieend von dem Term bestimmt. h Eine Funktion, deren Funktionsleichun man in der Form () = a n n + a n 1 n a 1 + a 0 schreiben kann, heißt anzrationale Funktion n-ten Grades. Dabei sind a 0 ; a 1 ; ; a n reelle Zahlen ( a n a 0 heißt absolutes Glied. Für ± wird das Verhalten einer anzrationalen Funktion vom Summanden mit der höchsten Potenz von bestimmt. Der Graph verhält sich wie derjenie Graph mit der Gleichun = a n n, wobei n der Grad von ist. Für nahe 0 wird das Verhalten einer anzrationalen Funktion von den Summanden mit den niedristen Potenzen von bestimmt. Der Graph verhält sich wie derjenie Graph mit der Gleichun = a k k + a 0, wobei k die niedriste Potenz von ist. nline-code nh9he5 Ganzrationale Funktionen zerleen Betrachten Sie das absolute Glied und die niedristen Potenzen von. Eienschaten des Graphen einer anzrationalen Funktion untersuchen Geeben ist die Funktion mit () = Formulieren Sie ohne GTR und Rechnun mölichst viele Aussaen über den Graphen von. Fertien Sie eine Skizze an. Traen Sie dabei auch die Graphen der verwendeten Verleichsunktionen ein. º Lösun: Für ± verhält sich der Graph so wie der Graph der Funktion mit () = 5. Damit strebt der Graph ür een unendlich und ür een minus unendlich. Für nahe Null verhält sich der Graph ähnlich wie der Graph der Funktion h mit h () = 5 +. h() = () = 5 () = I Funktionen 19

22 Mithile der ZM-Funktion beim GTR kann man bei den Auaben 1 und 3 den Ausschnitt des G ra phen ut variieren. Geben Sie eine Funktion mit () = a n n an, die das Verhalten des Graphen von ür ± bestimmt. Veranschaulichen Sie das Erebnis durch Zeichnen der Graphen von und. a) () = b) () = c) () = , d) () = ( 1) ( 7) Geeben ist eine Funktion. Überleen Sie, welches Vorzeichen ( ) und ( ) haben. Überprüen Sie rechnerisch. a) () = ,01 5 b) () = 50 3 c) () = 3 0,05 4 d) () = Geben Sie eine Funktion h mit h () = a k k + a 0 an, die das Verhalten von ür Werte von nahe Null bestimmt. Veranschaulichen Sie das Erebnis durch Zeichnen der Graphen von und h. a) () = b) () = c) () = 0, d) () = ( + 1) (4 ) Weitere Übunen beinden sich auch au Seite 37 (Auaben 1 und ). Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte von ür ± und nahe Null. a) () = + 4 b) () = c) () = 0,5 0,5 4 d) () = e) () = ) () = Geeben sind die vier Graphen aus Fi. 1 bis Fi. 4 und die vier Funktionsleichunen der Funktionen,, h und k mit () = 3 +, () = 4 0, , h () = ,5 und k () = 5 0, rdnen Sie die Graphen den Funktionsleichunen zu und beründen Sie Ihre Wahl. Fi. 1 Fi. Fi. 3 Fi. 4 Geeben ist die Funktion. Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte von ür ± und nahe Null. Skizzieren Sie rob einen Verlau des Graphen. a) () = b) () = c) () = 3 0, rdnen Sie den Funktionsleichunen die Graphen zu. Es sind zwei Funktionsleichunen zu viel aneeben. Skizzieren Sie von diesen Funktionen die Graphen. 1 () = () = () = () = () = () = Fi. 5 Fi. 6 Fi. 7 Fi. 8 0 I Funktionen Lösunen zu Zeit zu überprüen Seite 13.

23 Variieren Sie den Funktionsterm der Funktion mit () = 6 + 3, sodass a) ür () ilt. b) ür ± () ilt. c) ür ± () ilt. d) sich der Graph bei nahe Null dem Graphen der Funktion h () = + annähert. e) sich der Graph bei nahe Null dem Graphen der Funktion h () = + 1 annähert. Aleander lässt sich die Funktion mit () = au seinem GTR wie in Fi. 1 anzeien. a) Andreas meint: So kann man den Funktionsraphen ar nicht richti erkennen. Beschreiben Sie, was Andreas damit emeint haben könnte. b) Geben Sie eine Fenstereinstellun an, bei der der Graph alle wesentlichen Inormationen bzl. seines Verhaltens enthält. Von einer Funktion ist bekannt: Für ilt (), ür ilt (). Außerdem ist () = und ür nahe Null ist die Funktion der Funktion h mit h () = + 1 in ihrem Verlau ähnlich. Zeichnen Sie zwei möliche Graphen. Verleichen Sie sie mit ihrem Nachbarn. Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte von ür ± zunächst ohne GTR. Kontrollieren Sie anschließend mithile des GTR. Achten Sie au die richtie Einstellun des Fensters. a) () = ( ) b) () = ( + 5 ) c) () = ( ) 10 d) () = ( 5) (1 ) : 5 Für die Funktion ilt () ür ±. Beschreiben Sie, wie sich die Funktionswerte der Funktion ür ± verhalten. a) () = () b) () = 5 () c) () = () : d) () = 50 () Vereinachen Sie mithile der binomischen Formeln bzw. durch Faktorisieren. a) a + a b + b b) a a b + b c) a b d) 4 a b e) ) ) 5 h) 4 36 Fi. 1 Eine Mountainbike-Tour im spanischen El Ports-Gebire hat das Höhenproil aus Fi.. a) Wie viele Höhenmeter sind beim ersten Anstie zu überwinden? Wie lane ist er etwa? b) Wie roß ist der Gesamtanstie, der bei der Tour zu überwinden ist? c) Zur Quelle Canaleta ührt nur eine Sackasse. Wie äußert sich das am Graphen? Wo kann es weitere Sackassen eben? Höhenmeter Quelle Canaleta Streckenkilometer Fi. Lösunen zu Zeit zu wiederholen Seite I Funktionen 1

24 Verleichen Sie bei den olenden Funktionen die Funktionswerte an den Stellen = 1 und = 1; = und = bzw. ür beliebie reelle Zahlen = a und = a. Untersuchen Sie, welche Bedeutun die Erebnisse ür die zuehörien Graphen haben. Formulieren Sie Ihre Entdeckun. Geben Sie anschließend weitere Funktionsleichunen an, ür die Ihre Entdeckun ebenalls zutrit. () = 4 + () = 3 h () = 3 + k () = 8 Die Graphen anzrationaler Funktionen können neben dem Verhalten ür ± und ür nahe Null noch weitere Eienschaten besitzen, die das Zeichnen von Graphen erleichtern. Wertetabelle und Graph lassen sich einacher entwickeln, wenn man bereits anhand des Funktionsterms eine Smmetrie erkennen kann. Fi. 1 zeit Prübedinunen ür die Achsensmmetrie zur -Achse und ür die Punktsmmetrie zum Ursprun. ( ) () ( ) () Fi. 1 Der Graph einer Funktion mit der Deinitionsmene D ist enau dann wenn ür alle * D ilt: Bei anzrationalen Funktionen erkennt man die Smmetrie leicht anhand der autretenden Potenzen von. Treten in dem Funktionsterm von nur Potenzen mit eraden Eponenten au, so eribt sich immer ( ) = (), wie man an dem Beispiel () = ,4 erkennen kann: ( ) = 4 ( ) 6 3 ( ) + 0,4 = ,4 = (). Der zuehörie Graph verläut achsensmmetrisch zur -Achse. Treten daeen im Funktionsterm nur Potenzen mit uneraden Eponenten au, so eribt sich ür alle immer ( ) = (), wie man an dem Beispiel () = erkennen kann: ( ) = 7 ( ) 5 + ( ) 3 4 ( ) = = ( ) = (). Der zuehörie Graph verläut punktsmmetrisch zum Ursprun (0 0). Das absolute Glied a 0 ilt als Summand mit erader Potenz, denn: a 0 = a 0 0 = a 0 1. Der Graph einer anzrationalen Funktion verläut enau dann wenn der Funktionsterm () nur wenn der Funktionsterm () nur enthält. enthält. I Funktionen

25 Allemein bezeichnet man eine beliebie Funktion als, wenn ihr Graph achsensmmetrisch zur -Achse verläut und als, wenn ihr Graph zum Ursprun smmetrisch ist. Smmetrieuntersuchun bei anzrationalen Funktionen Überprüen Sie, ob der Graph der anzrationalen Funktion smmetrisch zur -Achse oder smmetrisch zum Ursprun (0 0) verläut. a) () = b) () = ,4 3 º Lösun: a) Der Funktionsterm enthält Potenzen von mit den Eponenten, 8 und 0, wenn man berücksichtit, dass 9 = 9 0 ist. Also treten nur erade Eponenten au und der Graph von verläut achsensmmetrisch zur -Achse. b) Der Funktionsterm enthält Potenzen von mit den Eponenten 3, 1 und 0, wenn man berücksichtit, dass 6 = 6 0 ist. Also treten sowohl erade als auch unerade Eponen ten au und der Graph von verläut weder achsensmmetrisch zur -Achse noch punkt smmetrisch zum Ursprun (0 0). Untersuchen au Smmetrie Prüen Sie, ob die Funktion mit () = erade oder unerade ist. Welche Smmetrie weist + 1 der Graph von au? º Lösun: Es ist ( ) = ( ) + 1 = + 1 = = (). Also ist eine unerade Funktion, und + 1 der Graph von verläut punktsmmetrisch zum Ursprun (0 0). Eponenten betrachten ( ) bilden, umormen und mit () verlei - chen. Welche Funktion hat einen zur -Achse bzw. zum Ursprun smmetrischen Graphen? Beründen Sie. a) () = b) () = c) () = 3 d) () = e) () = ) () = ) () = h) () = 3 4 i) () = 3 3 Hat die anzrationale Funktion einen zur -Achse bzw. zum Ursprun smmetrischen Graphen? Beründen Sie. a) () = 4 b) () = + 3 c) () = d) () = e) () = ) () = 3 ( + 1) ( 1) Prüen Sie, ob die anzrationale Funktion erade oder unerade ist. Welche Aussae eribt sich über das Smmetrieverhalten des Funktionsraphen? a) () = ( 5) b) () = ( ) + 1 c) () = ( 1) ( + 1) d) () = ( 1) ( ) e) () = (6 ) ) () = ( ) ( + ) ) () = ( 1) h) () = (1 3 ) i) () = ( ) 0 Weitere Übunen beinden sich auch au Seite 37 (Auaben 8 und 9). Untersuchen Sie, ob die Funktion einen smmetrischen Graphen hat. a) () = d) () = e) () = ) () = I Funktionen 3

26 . Eine Auabe zum Erorschen beindet sich au Seite 41 (Auabe 6).. Eine vernetzende Auabe beindet sich au Seite 40 (Auabe 4). In Fi. 1 ist eine Skizze des Graphen der Funktion mit () = 0, darestellt. Dabei sind die durchezoenen Abschnitte Erebnisse der Untersuchun des Verhaltens des Graphen ür ± und ür nahe Null sowie der Untersuchun au Smmetrie. Die estrichelten Abschnitte wurden anschließend hinzueüt. a) Erläutern Sie ausührlich, wie die Skizze aus Fi. 1 entstanden sein könnte. b) Erstellen Sie eine entsprechende Skizze der Graphen ür mit () = 0, und mit () = Skizzieren Sie den Graphen von zunächst rob ohne GTR wie in Fi. 1 aus Auabe 5 und erläutern Sie Ihr Vorehen. Kontrollieren Sie anschließend mithile eines GTRs. a) () = b) () = c) () = d) () = e) () = 0, ) () = 3 + Fi. 1 Untersuchen Sie, ob die Funktion erade oder unerade ist. a) () = b) () = c) () = d) () = e) () = Erstellen Sie eine Skizze des Graphen der Funktion. Untersuchen Sie dazu das Verhalten ür ±, das Verhalten ür nahe Null und prüen Sie, ob der Graph smmetrisch ist. a) () = 3 b) () = 4 + c) () = d) () = + 1 0,001 4 Geben Sie anhand der Graphen in Fi. an, welche Aussaen zutreen a) ür die Funktion, b) ür die Funktion. 1) Der Graph ist smmetrisch zur -Achse. ) Im Funktionsterm kommen Potenzen mit eraden und uneraden Eponenten vor. 3) Im Funktionsterm ist die Zahl vor der höchsten Potenz neativ. 4) Der Grad der Funktion ist unerade. 5) Der Grad der Funktion ist mindestens 3. Fi. Zu welcher der aneebenen Funktionen könnte der Graph ehören? Beründen Sie mithile der Abbildunen. 1 () = 0, () = 0, () = 0, () = ( + 1) (1 ) 5 () = 0, () = Für welche Werte von t ist der Graph der Funktion smmetrisch zum Ursprun oder zur -Achse? a) () = 3 + t + t b) () = ( t) ( + 1) c) () = t d) () = ( + t) 4 4 I Funktionen Lösunen zu Zeit zu überprüen Seite 14.

27 Auabe 1, 13 * N Diese Potenzunktionen besitzen alle bei = 0 eine Deinitionslücke. Ihre Eienschaten werden mithile der Beispiele aus den Fiuren 1 und darestellt. () = () = 1 6 () = 1 Fi Die Funktionswerte haben immer ein positives Vorzeichen.. Für ± ilt: () Nähert sich der Deinitionslücke von links oder von rechts, so wird () immer rößer. Der Graph schmiet bzw. nähert sich von beiden Seiten an die -Achse an, berührt diese aber nicht. Man schreibt: Für 0 ilt: (). 4. Der Graph ist achsensmmetrisch zur -Achse. 1 () = 1_ () = () = 1 35 Fi. 1. Die Funktionswerte haben ür < 0 ein neatives und ür > 0 ein positives Vorzeichen.. Für ± ilt: () Nähert sich der Deinitionslücke von links, so wird () immer kleiner; nähert sich der Deinitionslücke von rechts, so wird () immer rößer. Der Graph schmiet sich jeweils an die -Achse an. Man schreibt: Für 0 von links ilt: () und ür 0 von rechts ilt: (). 4. Der Graph ist punktsmmetrisch zum Ursprun. Diese Potenzunktionen sind keine anzrationalen Funktionen. Die Deinitionslücke bei Funktionen mit () = 1 n wird auch als bezeichnet. Da sich die Graphen dieser Potenzunktionen an die -Achse annähern, wird die -Achse auch als bezeichnet. Beründen Sie die in der Inobo darestellten Eienschaten von Potenzunktionen der Form () = 1 n (n* N) und ihrer Graphen ür alle sechs Beispielunktionen aus Fi. 1 und. Skizzieren Sie die Graphen von und jeweils in ein eeinetes Koordinatensstem. a) () = 1 und () = b) () = 1 und () = 1 7 c) () = und () = 3 d) () = 1 und () = 0,1 1 3 Tipp: Überleen Sie sich, wie sich der Graph ändert, wenn das Vorzeichen der Funktionen neativ ist. Die Flubahn einer Kuel beim Kuelstoßen wird beschrieben durch den Graphen der Funktion mit () = 0,08 + 0,56 + 1,44 ( und () in m, ist die Höhe der Kuel). a) Berechnen Sie die Stoßweite. b) Kurz vor dem Autreen ist die Kuel wieder so hoch wie beim Abstoß. Wie weit ist sie dann vom Abstoßpunkt enternt? c) Mit etwa leichem Kratauwand kann der leiche Sportler auch die Flubahn mit der Gleichun () = 0,1 + 0,81 + 1,44 erreichen. Ist das erstrebenswert? Erläutern Sie. Lösunen zu Zeit zu wiederholen Seite 14. I Funktionen 5

28 Untersuchen Sie auch mithile des GTRs, wie viele Nullstellen eine anzrationale Funktion dritten Grades mindestens bzw. höchstens hat. Geben Sie Beispiele an und beründen Sie Ihre Vermutun. Untersuchen Sie auch anzrationale Funktionen 4. Grades, 5. Grades, usw. und ormulieren Sie eine allemeine Reel. In Sachzusammenhänen oder beim Zeichnen des Graphen einer Funktion kann es hilreich sein, wenn man die der Funktion kennt, also die -Stellen, ür die () = 0 ilt. Wie bei linearen und quadratischen Funktionen kann man die Nullstellen bei anzrationalen Funktionen näherunsweise am Graphen ablesen oder rechnerisch bestimmen. Je nachdem, in welcher Form die Funktionsleichun aneeben ist, ibt es bei anzrationalen Funktionen verschiedene Verahren, die Nullstellen zu berechnen. Der Beri leitet sich von linearen Funktionen ab auch hier hat die Variable den Eponenten 1: () = m 1 + n. Wenn die Funktionsleichun wie bei () = 0,5 ( 3) ( 1) ( + ) als Produkt darestellt werden kann, kann man die Nullstellen direkt ablesen. Die Faktoren ( 3), ( 1) und ( + ) heißen. Beispiel: Die Nullstellen der Funktion mit sind die Lösunen der Gleichun Das Produkt ist null, wenn einer der Faktoren null ist. Die Lösunen sind Die Funktion hat die Nullstellen 3, 1 und. () = 0,5 ( 3) ( 1) ( + ) 0,5 ( 3) ( 1) ( + ) = 0. ( 3) = 0 oder ( 1) = 0 oder ( + ) = 0. 1 = 3; = 1 und 3 =. Wenn die Funktionsleichun nur Summanden mit Variablen enthält, kann man die Variable ausklammern und den entstehenden Term au Nullstellen untersuchen. Beispiel: Die Nullstellen der Funktion mit () = 3 sind die Lösunen der Gleichun 3 = 0. Ausklammern von eribt ( ) = 0. Das Produkt ist null, wenn einer der Faktoren null ist. = 0 oder = 0 Die Lösunen sind 1 = 0 und =. Die Funktion hat die Nullstellen 0 und. Eine Gleichun der Form a 4 + b + c = 0 heißt auch biquadratische Gleichun. Beachte: Aus z = olt z = ( ) = 4. Wenn in der Funktionsleichun nur die Potenzen und 4 vorkommen, kann man und 4 durch z und z ersetzen. Man erhält dann zur Nullstellenberechnun eine quadratische Gleichun, die man mit der pq-formel lösen kann. Analo kann man z. B. auch 3 und 6 durch z und z ersetzen. Beispiel: Die Nullstellen der Funktion mit () = sind die Lösunen der Gleichun = 0. Man ersetzt durch z ( z = ) und erhält die quadratische Gleichun z 7 z + 1 = 0. Die pq-formel lieert die Lösunen z 1 = 4 und z = 3. Rücksubsituieren (z 1 = bzw. z = ) lieert = 4 und = 3. Lösunen der Gleichun () = 0 sind also 1 = ; = und 3 = bzw. 4 = Die Nullstellen von sind ; ; ; I Funktionen

29 Eine anzrationale Funktion 3. Grades lässt sich mit höchstens 3 Linearaktoren darstellen. Die Funktion mit () = = ( 1) ( 3) ( ) hat die drei Nullstellen 1 = 1, = 3 und 3 =. Bei der Funktion mit () = = ( 1) ( + 1) kann man nur den Linearaktor ( 1) abspalten. Sie hat nur die eine Nullstelle = 1. Insesamt olt, dass eine Funktion 3. Grades höchstens 3 Nullstellen besitzt (vl. Fi. 1) Fi. 1 Man erhält die Darstellun einer Funktionsleichun mit Linearaktoren mithile des Verahrens der Polnomdivision.. Die Herleitun der Polnomdivision beindet sich au Seite Eine anzrationale Funktion vom Grad n (n * N) hat höchstens n Nullstellen. Beim Berechnen von Nullstellen können olende Verahren hilreich sein: 1., wenn die Funktionsleichun z. B. () = 0,5 ( 3) ( 1) + ) nur aus Linearaktoren besteht.., wenn alle Summanden z. B. () = 3 = ( ) des Funktionsterms Variablen enthalten. 3., wenn der Funktionsterm nur die Potenzen und 4 oder 3 und 6 (usw.) enthält. z. B. () = = z 7 z + 1 mit z = Mithile des GTR kann man die Nullstellen von anzrationalen Funktionen bestimmen. Nullstellenberechnun durch Ausklammern und Substituieren Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion mit () = rechnerisch. Überprüen Sie das Erebnis mithile des GTR. º Lösun: Zu lösen ist die Gleichun = 0. Ausklammern von eribt ( 4 4 5) = 0. Eine Nullstelle ist daher 1 = 0. In der Gleichun = 0 wird durch z ersetzt. Die Gleichun z 4 z 5 = 0 hat die Lösunen z 1 = 5 und z = 1. Rücksubsituieren (z 1 = bzw. z = ) lieert = 5 und = 1. = 5 lieert die Nullstellen = und 3 = Daeen hat = 1 keine Lösun, da stets rößer oder leich null ist. Die Funktion hat die Nullstellen ; 0 und Bei der Überprüun ist zu beachten, dass der GTR nur Näherunslösunen lieert (s. Fi. 1). GTR Kontrolle oder Austellen einer Funktionsleichun Geben Sie die Gleichunen von drei Funktionen mit den beiden Nullstellen 1 und 3 an. º Möliche Lösun: Man verwendet die Darstellun der Funktionsleichunen mithile der Linearaktoren. () = ( + 1) ( 3) oder () = ( + 1) ( 3) oder h () = ( + 1) ( 3) ( + 1), denn die Funktion i () = + 1 hat keine Nullstellen. Fi. 3 zeit die Graphen der Funktionen, und h h Fi. 3 Fi. I Funktionen 7

30 Lösen Sie die Gleichun. Machen Sie die Probe. a) ( ) ( + 5) = 0 b) 3 + = 0 c) ( + 1) ( 3) = 0 d) ( + ) ( 10) = 0 e) ( 6 + 9) ( 4) = 0 ) ( ) ( 3) = 0 ) ( 7) ( + 3 ) = 0 h) = 0 i) ( ) ( + 4) = 0 Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion mit der aneebenen Funktionsleichun (). a) () = ( + 3) ( 5) ( + 7) b) () = ( 1) ( + 8) c) () = d) () = ( 9) ( ) e) () = ( 5) 3 ( + 5) ( 9) ) () = Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion. a) () = ( 3) ( 3 8 ) b) () = c) () = d) () = (4 3 4 ) ( 5 ) e) () = ) () = ) () = ( 4 16) ( + 1) h) () = ( 6 + 9) ( + 1) i) () = = ( ) (4 ) 1; 4; ; 1; 3 3 ; 1; 1; 4; 3; 3; ; 1; ; 4; 4; Lösen Sie die Gleichun mithile einer Substitution. Die Lösunen inden Sie am Rand. a) = 0 b) = 0 c) = 0 d) = 0 e) = 17 ) = 0 Lösen Sie die Gleichun. Wählen Sie dabei aus den Verahren des Ablesens, Ausklammerns und Substituierens eeinete aus. a) = 0 b) = 0 c) = 0 d) = 0 e) = 0 ) ( 3 8) = 0 Nullstellen besitzt. a) 1 und b) 9, 7 und 9 c) 90000, und Geben Sie eine anzrationale Funktion mölichst niedrien Grades an, die die aneebenen Geben Sie Gleichunen von je zwei Funktionen an, welche a) die Nullstellen und 4 haben, b) die Nullstellen 1; 0 und 1 haben, c) die Nullstellen 0 und haben, d) die Nullstellen 3; und haben. Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion. a) () = ( 1) ( + ) ( + 3) b) () = c) () = Geben Sie zwei anzrationale Funktionen dritten Grades an, die nur die aneebenen Nullstellen besitzen. Überprüen Sie Ihr Erebnis mithile des GTRs. a) 0, und 5 b) 4 und 1 c) 3 und 1 d) 3 0 Weitere Übunen beinden sich auch au Seite 37 (Auaben 5, 6 und 7). Bestimmen Sie die Schnittpunkte des Graphen der Funktion mit den Koordinatenachsen. a) () = ( 4 + 4) 5 b) () = ( ) ( 5 ) c) () = d) () = ( ,5) ( 4 16) 8 I Funktionen Lösunen zu Zeit zu überprüen Seite 14.

31 Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion näherunsweise mit dem GTR. a) () = b) () = 4 1 c) () = d) () = 0,5 6 +,5 4 0, ,9 e) () = ) () = Baukasten ür anzrationale Funktionen a) Stellen Sie mit dem obien Baukasten vier verschiedene anzrationale Funktionen zusammen und ermitteln Sie die Nullstellen mit dem GTR. Tauschen Sie die Funktionsterme mit Ihrem Nachbarn aus, um die Nullstellen zu überprüen. b) Untersuchen Sie, ob es mölich ist, mit obiem Baukasten eine Funktion mit vier bzw. ün Nullstellen zusammenzustellen. $ Eine Auabe zum Vertieen beindet sich au Seite 39 (Auabe 16). rdnen Sie den Funktionsleichunen () = 1 3 ( 4) ( + 3), () = ( 1) ( + ), h () = 3 + und i () = 3 0, die Graphen zu. Beründen Sie Ihre Entscheidun. Beurteilen Sie, ob die olenden Aussaen immer zutreen, nie zutreen oder unter bestimten Bedinunen zutreen. Geben Sie die Bedinunen eebenenalls an. a) Eine anzrationale Funktion, die unerade ist, hat mindestens eine Nullstelle. b) Eine erade Funktion hat eine erade Anzahl von Nullstellen. c) Eine anzrationale Funktion ünten Grades hat enau 5 Nullstellen. d) Wenn eine erade Funktion die Nullstelle N1 = besitzt, dann besitzt sie auch die Nullstelle N =. Lösen Sie die Gleichun. a) 7 3 = 4 b) = 9 c) 3 = 4 d) 5 = + e) 3 8 = 5 8 ) 3 + = 3 3 Bestimmen Sie alle Stellen, an denen die Funktion den Wert 3 annimmt. a) () = b) () = c) () = Konstruieren Sie ein Polnom 7. Grades mit jeweils 1,, 3, 4 bzw. 5 Nullstellen. I Funktionen 9

32 Die Funktion mit () = a 3 + b + c + d mit anzzahlien Koeizienten a, b, c und d hat die aneebenen Nullstellen. Bestimmen Sie a, b, c und d. a) 0; 4; 4 5 b) 1 3 ; 3; 10 3 c) 0; ; d) 0; ; Wie sind bei der Funktion mit () = a ( b) ( c) die Parameter a, b und c zu wählen, damit die anebenen Eienschaten hat? a) Die Nullstellen sind 1 und 3 und der Graph schneidet die -Achse im Punkt (011). b) Die Nullstellen sind Å und 90000, und es ilt (0) > 0. c) Eine Nullstelle ist, der Graph ist achsensmmetrisch und verläut durch den Punkt P (1 6). Geben Sie zu dem Funktionsraphen die Gleichun der zuehörien Funktion an. Die Einheiten au den Achsen sind immer 1. Leen Sie Ihrem Partner zwei ähnliche Graphen vor, ür die er die zuehörien Funktionsleichunen bestimmen soll. Das Erebnis dar dann mit dem GTR kontrolliert werden. a) b) c) d) Untersuchen Sie, ob die beschriebene Veränderun des Funktionsterms einer Funktion die Nullstellen von verändert. Beründen Sie. a) Der Funktionsterm von wird mit multipliziert. b) Zum Funktionsterm von wird addiert. c) Der Funktionsterm von wird quadriert.. Weitere Auaben zum Erorschen beinden sich au Seite 41 (Auaben 7, 8 und 9). Untersuchen Sie die Anzahl der Nullstellen einer Funktion mit der Funktionsleichun () = (). Dabei ist eine anzrationale Funktion vom Grad n und h eine anzrationale h () Funktion vom Grad m (n, m * N). Tipp: Überleen Sie sich dazu ür und h konkrete Funktionen und untersuchen Sie verschiedene Fälle. Formen Sie in die ehlenden Darstellunen um (Bruchzahl, Dezimalzahl, Prozentzahl). a) 10 % b) 0,5 c) 3 4 d) 1,5 e) ) 130 % ) 3 h) 0,05 Die Entwicklun des Preises ür eine Unze Gold ist in Fi. 1 von 1990 bis Ende 006 darestellt. Beurteilen Sie die olenden Aussaen. a) Zwischen 1991 und 004 hat sich der Preis ür eine Unze Gold kaum eändert. b) Zwischen 003 und dem stie der Preis einer Unze Gold durchehend an Preis (in US-$) 1 Am la der Preis ür eine Unze Gold erstmals über 1000 US-$. Jahre ab Fi I Funktionen Lösunen zu Zeit zu wiederholen Seite

33 Fi. 1 zeit den Graphen der Funktion mit () = 3. Au den Kärtchen stehen neue Funktionsleichunen. Variieren Sie die Parameter a, b, c und e mit beliebien Zahlen. Wie ändert sich der Graph? Erläuteren Sie Ihre Entdeckunen. a ( 3 ) 3 + e ( b) 3 ( b) Hier kann auch eine Wertetabelle hilreich sein. Fi. 1 (c ) 3 (c ) ( b) 3 ( b) + e a ( 3 ) + e (c ) 3 (c ) + e Kennt man die Funktionsleichun eines Graphen, kann man au die Funktionsleichun eines anderen Graphen schließen, wenn dieser eenüber dem Ausansraphen verschoben, estreckt oder estaucht ist. Bei der Parabel mit der Gleichun = ( ) + 3 beindet sich der Scheitel im Punkt S ( 1 3). Die Parabel ist im Verleich zur Normalparabel = um Einheiten und um 3 Einheiten nach oben verschoben (Fi. ). Dieses Verschieben lässt sich verallemeinern. Ist etwa der Graph der Funktion mit () = 3 + eeben, so erhält man daraus den Graphen der Funktion mit () = ( ) 3 = ( ) 3 + ( ) 3, indem man den Graphen von um (da (0) = ( 1)) und um drei Einheiten nach unten verschiebt (Fi. 3). Geeben ist die Funktion mit () = 0,5 3. Um die Funktions werte der Funktion mit () = 3 () = 1,5 3 6 zu erhalten, muss man die Funktionswerte von mit 3 multiplizieren () 7,5 0 1,5 0 1,5 0 7, (),5 0 4,5 0 4,5 0,5 h Fi = ( ) = Fi. Zur Erläuterun der Verschiebun in Richtun der -Achse siehe auch Auabe 7. Die blauen Peile in Fi. 4 sind dreimal so lan wie die roten Peile. Fi. 4 Man sat: Der Graph von ist eenüber dem Graphen von von der -Achse aus in -Richtun mit dem Faktor 3 estreckt (Fi. 4). Der Graph von h mit h () = 1 () entsteht entsprechend durch eine Streckun mit dem Faktor 1. Wenn dieser Faktor zwischen 1 und 1 liet, spricht man auch von einer. I Funktionen 31

34 Streckunen sind auch von der -Achse aus in Richtun der -Achse mölich (siehe Peile in Fi. 1). So entsteht aus der Funktion mit () = 3 der Graph der Funktion mit () = ( 1 ) 3 ( 1 ) = durch Streckun in -Richtun mit dem. Denn es ist z. B. () = ( 1 ) = (1) () ( 4) ( ) (0) () () () ( ) ( 1) (0) (1) () h () h ( 1) h ( 0,5) h (0) h (0,5) h (1) h 5 Fi. 1 Der Graph von h mit h () = ( ) 3 ( ) = ( ) entsteht durch Streckun in -Richtun mit dem 1, denn es ist z. B. h( 1) = ( 1) = (). c > 0: Verschiebun nach rechts c < 0: Verschiebun nach links Den Graphen der Funktion mit () = ( c) + d erhält man, indem man den Graphen von um c in Richtun der -Achse und um d in Richtun der -Achse verschiebt. Den Graphen der Funktion h mit h () = k () und k > 0, erhält man, indem man den Graphen von von der -Achse aus mit dem Faktor k streckt. Den Graphen der Funktion h mit h () = (k ) und k > 0, erhält man, indem man den Graphen von von der -Achse aus mit dem Faktor 1 k streckt. nline-code ms77rh Funktioneneometrie: Ganzrationale Funktionen Wenn man neative Streckaktoren k zulässt, muss man den Graphen der Funktion zuerst an der -Achse spieeln, bevor man ihn streckt. Geeben sind z. B. die Funktionen und mit () = 3 3, ,5 und () = 1,5 (). Man erhält in Fi. den Graphen von, indem man den roten Graphen von an der -Achse 1 spieelt (blau) und das Spieelbild in -Richtun mit dem Faktor 1,5 streckt Fi. Bei der Streckun in -Richtun mit einem neativen Streckaktor wird der Graph zunächst an der -Achse espieelt. 3 I Funktionen

35 Streckun bzw. Verschiebun aneben, Graphen zeichnen Geeben ist die Funktion mit () = 4. Geben Sie an, wie man die Graphen der Funktionen mit () = ( + ) 4 ( + ) 1 und h mit h () = 3 ( ( ) 4 ( ) ) aus dem Graphen der Funktion erhält. º Lösun: Graph von : Der Graph von wird um Einheiten nach links und um eine Einheit nach unten verschoben (Fi. 1). Graph von h: Der Graph von wird an der -Achse espieelt, mit dem Faktor 3 in -Richtun estreckt und anschließend mit dem Faktor 1 in -Richtun estreckt (Fi. 1) Funktionsterme aneben Geeben ist die Funktion mit () = 3 +. a) Man erhält in Fi. den Graphen von, h wenn man den Graphen von verschiebt. Beschreibe die Verschiebun und ib einen Funktionsterm ür an. 1 b) Man erhält in Fi. den Graphen von h, wenn man den Graphen von in -Richtun streckt. Beschreiben Sie die Streckun und eben Sie einen Funktionsterm ür h an. 3 º Lösun: a) Dem Punkt (0 0) des Graphen 4 von entspricht der Punkt ( 3) des Graphen von. Fi. Man erhält den Graphen von, indem man den Graphen von um Einheiten nach links und um 3 Einheiten nach unten verschiebt: () = ( + ) 3 = ( + ) 3 + ( + ) 3. b) Es ilt (1) = 1 und h (1) = 0,5. Man erhält den Graphen von h, indem man den Graphen von mit dem Faktor 0,5 in -Richtun streckt: h () = 0,5 () = 0, h 1 3 Fi. 1 nline-code ms77rh Funktioneneometrie: Ganzrationale Funktionen Der Graph soll um a Einheiten in -Richtun und um b Einheiten in -Richtun verschoben werden. Geben Sie den zum verschobenen Graphen ehörenden Term an. a) () = 3 + 4; a = ; b = 5 b) () = 1,5 6; a = 3; b = c) () = ; a = 1; b = d) () = 3 ; a = ; b = 1 e) () = 4 ; a = ; b = 3 ) () = ; a = 1; b = 3 Beschreiben Sie, wie man den Graphen der Funktion aus dem Graphen der Funktion erhält. a) () = + 5 b) () = c) () = 3 4 d) () = () = ( + 5) () = 3 () = Å () = ,5 e) () = ) () = 3 ) () = 5 h) () = 4 () = ( ) () = ( 1 3 ) 3 + () = (4 ) + 40 () = ( 1 4 ) Weitere Übunsauaben beinden sich au Seite 37 (Auaben 10 und 11). I Funktionen 33

36 Geeben ist die Funktion mit () = 3 3. Man erhält den Graphen einer Funktion, indem man den Graphen von in -Richtun verschiebt. Es ilt: () = 7. Geben Sie einen Funk tions term ür an. Geeben ist die Funktion mit () = 4. Geben Sie einen Term ür die Funktion an und zeichnen Sie beide Graphen in ein emeinsames Koordinatensstem. a) Man erhält den Graphen von, indem man den Graphen von mit dem Faktor in -Richtun streckt und um eine Einheit nach unten verschiebt. b) Man erhält den Graphen von, indem man den Graphen von an der -Achse spieelt und um eine Einheit nach rechts verschiebt. Geeben ist die Funktion mit () = a) Wie muss man den Graphen von verschieben, um den Graphen der Funktion h mit h () = zu erhalten? Wie muss man verschieben, um den Graphen der Funktion k mit k () = ( ) 4 ( ) 3 + zu erhalten? b) Wie muss man den Graphen von strecken, um den Graphen der Funktion mit () = bzw. den Graphen der Funktion h mit h () = ( ( 1 4 ) 4 ( 1 4 ) 3 + ) zu erhalten? Geeben ist die Funktion mit () = 3 +. Geben Sie einen Term ür die Funktion an. Beschreiben Sie, wie man den Graphen von aus dem Graphen von erhalten kann. a) () = ( + 1) b) () = ( ) + 1 c) () = (3 ) d) () = () + Hier ist ein Koordinatenitter nützlich. Geeben ist mit () = 3. Der Graph von eht aus dem Graphen von durch Verschiebun hervor. Zeichnen Sie die Graphen von und mit einem GTR und bestimmen Sie ür die Funktion eine Darstellun der Form () = ( a) 3 ( a) + b. a) () = b) () = c) () = d) () = Geeben sind die Wertetabellen der Funktionen, und h. Es ist () = 3 3. Die Graphen der Funktionen und h ehen durch Verschiebunen und / oder Streckunen aus dem Graphen von hervor () (),4 10,8 4 0,8 0 0,4 0,8 0 3, h () Ermitteln Sie die Funktionsleichunen der Funktionen und h. Peter rat in einem Matheorum im Internet: Wenn man den Graphen der Funktion mit () = um Einheiten nach rechts verschiebt, dann muss die Funktionsleichun des dazuehörien neuen Graphen () = ( + ) + 3 ( + ) lauten und nicht wie es im Buch steht () = ( ) + 3 ( ), weil man ja nicht nach links verschiebt, oder? a) Beschreiben Sie mit eienen Worten, welchen edanklichen Fehler Peter macht. b) Notieren Sie eine möliche Antwort, die man in dem Matheorum veröentlichen könnte. Verwenden Sie dabei auch eine Wertetabelle. 34 I Funktionen Lösunen zu Zeit zu überprüen Seite 15.

37 Geeben sind die Funktionen und ihr Graph (schwarz). Die arbi ezeichneten Graphen sind aus dem von entstanden. a) Geben Sie die zuehörien Funktionsleichunen ür die Funktionen und h an. b) Kontrollieren Sie Ihre Erebnisse abschließend mit dem GTR. (1) () = () () = 3 (3) () = 4 h 0 Eine weitere Übunsauabe beindet sich au Seite 38 (Auabe 1). 4 h 4 4 h (4) () = + 1 (5) () = 3 (6) () = h h h Beurteilen Sie, ob die olenden Aussaen immer zutreen, nie zutreen oder unter bestimmten Bedinunen zutreen. Geben Sie die Bedinunen eebenenalls an. a) Geeben ist eine anzrationale Funktion. Durch Strecken des Graphen kann man die Anzahl der Nullstellen verrinern. b) Geeben ist die Funktion mit () = 0, Durch Verschieben des Graphen kann man die Anzahl der Nullstellen verrinern. c) Geeben ist die Funktion mit () = 0, Durch Verschieben des Graphen kann man die Anzahl der Nullstellen verrinern. Geeben ist die Funktion mit () = 3 3. Der Graph von schneidet die Gerade der linearen Funktion mit () = 4 + in dem Punkt S (1 ). a) Bestätien Sie, dass der aneebene Punkt S der einzie Schnittpunkt der Graphen der Funktionen und ist. b) Bestimmen Sie eine Verschiebun in -Richtun (bzw. -Richtun), sodass aus der Funktion die Funktion h (bzw. k) entsteht, wobei der Graph von h (bzw. k) die Gerade von au der -Achse schneidet. Geben Sie die Funktionsleichun von h (bzw. k) und den Schnittpunkt an. c) Der Graph der Funktion soll nun in -Richtun (bzw. -Richtun) estreckt werden. Erläutern Sie, wie sich die Lae des Schnittpunktes des estreckten Graphen mit der Geraden von dann verändert. Betrachten Sie dazu sowohl positive als auch neative Streckaktoren. $ Eine weitere Gilt immer ilt nie es kommt darau an -Auabe beindet sich au Seite 38 (Auabe 15). $ Eine vertieende Auabe beindet sich au Seite 39 (Auabe 17). Formen Sie in die ehlenden Darstellunen um (Bruchzahl, Dezimalzahl, Prozentzahl). a) 1,5 % b) 3,75 c) 3 5 d) 6 % e) 1 3 ) 0, _ 6 ) 13, _ 3 % h) 5 4 Lösunen zu Zeit zu wiederholen Seite 15. I Funktionen 35

38 Auabe Häui wird die Funktionsleichun in der ausmultiplizierten Form aneeben: s 3 () = 1,5 sin ( 3 ) Die Sinusunktion mit () = sin () hat die Besonderheit, dass ihre Funktionswerte sich nach dem leichen Muster wiederholen und nicht rößer als 1 bzw. kleiner als 1 werden. Der Graph der Sinusunktion ist punktsmmetrisch zum Ursprun (s. Graph in Fi. 1). Der Graph kann in ähnlicher Weise wie die anzrationalen Funktionen verschoben und estreckt werden. Allemein erhält er dann die Form, wobei die Streckun in -Richtun; die Streckun in -Richtun; die Verschiebun in -Richtun und die Verschiebun in -Richtun darstellt. In der Fi. 1 wurde der rote Graph schrittweise aus dem schwarzen Graphen erzeut: 1. () = sin (). blau: Streckun in -Richtun mit dem Streckaktor 0,5: s 1 () = ( ) = sin ( ) 3. Streckun in -Richtun mit dem Streckaktor 1,5: s () = 1,5 s 1 () = 1,5 sin ( ) 4. Verschiebun in -Richtun um nach rechts: s 3 () = s ( ) = 1,5 sin ( ( ) ). 5. Der Graph wird nicht in Richtun der -Achse verschoben, so dass d = 0 ist. s 1 s s Fi. 1 In der Fi. ist darestellt, in welchen Schritten der rote Graph aus dem schwarzen Graph von mit () = sin () entstanden ist. Notieren Sie die Funktionsleichunen ür s 1, s und s 3 und erläutern Sie wie in der Inobo. Geben Sie die Schritte an, in denen man den Graph von mit () = 0,5 sin ( ) + aus dem Graphen von mit () = sin () erhält. s s 3 s 1 Geben Sie zu den Graphen einen Funktionsterm der Form () = a sin (b ( c)) + d an. Fi. 36 I Funktionen

39 0 Geben Sie die Deinitionsmene der Funktion an und untersuchen Sie das Verhalten ür und ür. Skizzieren Sie anschließend den Graphen von. a) () = b) () = c) () = + 1 Geeben ist die Funktion mit () = Untersuchen Sie das Verhalten des Graphen ür und ür nahe 0. Bestimmen Sie die Gleichun der Geraden aus den aneebenen Inormationen. a) Der Punkt P ( 3) liet au der Geraden und der Graph hat die Steiun m =. b) Die Gerade eht durch die Punkte A (3 4) und B ( 1). nline-code 97u4v3 Kopiervorlae Checkliste Mithile eines Selbsteinschätzunsboens (Checkliste mit Hilen) kann man sich einen Überblick verschaen, was man ut kann bzw. noch üben muss. a) Bestimmen Sie die Nullstellen und Schnittpunkte der Funktionen und. b) Überprüen Sie Ihre Erebnisse mithile des GTR. (1) () = 1 und () = 3 9 () () = und () = 6 (3) () = 5 und () = (4) () = und () = 1 Berechnen Sie die Nullstellen der anzrationalen Funktion. Erstellen Sie anschließend ohne Wertetabelle eine Skizze des Graphen. a) () = 1 b) () = c) () = d) () = ( 1) ( + ) e) () = ( 5) ( + 1) ) () = Bestimmen Sie die Schnittpunkte des Graphen der Funktion mit den Koordinatenachsen. a) () = b) () = ( ) ( + 3) ( ) c) () = ( 3 + ) ( + 4) Bestimmen Sie die Schnittpunkte des Graphen der Funktion mit den Koordinatenachsen. a) () = b) (t) = 16 t 4 40 t + 9 c) (r) = 9 r + 3 r 4 d) h (v) = 4 v 1 4 v4 e) (s) = s 6 19 s 3 16 ) (t) = 8 t t 3 Untersuchen Sie, ob der Graph der Funktion punktsmmetrisch zum Ursprun oder achsensmmetrisch zur -Achse ist. a) () = 0, b) () = ( 1) 3 c) () = d) () = Untersuchen Sie, ob die Funktion einen smmetrischen Graphen hat. a) () = 1 () = c) () = + 1 Beschreiben Sie durch welche Verschiebunen und / oder Streckunen man den Graphen der Funktion aus dem Graphen der Funktion erhält. a) () = 3 b) () = 0,5 c) () = d) () = 7 3 () = 3 ( 3) () = 4 () = () = 3, e) () = + 1 ) () = 3 3 ) () = + 3 h) () = 4 + () = ( ) + 1 () = 3 ( 1 3 ) 3 1 () = (4 ) 1 () = ( 1 ) 4 + Albert behauptet: Die Gleichun ( + 1) 3 + ( + 1) 6 ( + 1) = 0 kann man mithile des Verahrens der Substitution lösen. Bestätien Sie diese Behauptun. Lösunen au Seite I Funktionen 37

40 Die Graphen von und h sind aus den Graphen von entstanden. a) Geben Sie die zuehörien Funktionsleichunen ür die Funktionen und h an. b) Kontrollieren Sie Ihre Erebnisse abschließend mit dem GTR. (1) () = () () = 3 (3) () = 4 h 4 4 h h (4) () = 3 (5) () = (6) () = 4 h h h $ Formulieren Sie eine Tetauabe mit einer Funktion, die die Deinitionsmene hat: a) D = [0; 7], b) D = N. Substitution Linearaktorzerleun Graphen verschieben Verhalten ür nahe 0 anzrationale Funktion Nullstelle Smmetrie Normalorm Strecken quadratische Funktion austellen Funktion Verhalten ür ± Wertemene Deinitionslücke Grad einer Funktion lineare Funktion austellen Intervall Funktionsterm Scheitelpunktorm Funktionswert Sinusunktion Deinitionsmene Eienschaten von Potenzunktionen Funktionsleichun a) Notieren Sie die Berie mit einer Erklärun ins Het und eben Sie jeweils drei Beispiele an. b) Erstellen Sie eine Mind-Map: Welche Berie ehören zusammen? Was kann man eränzen? c) Erläutern Sie sich eenseiti, bei welchen Fraestellunen der GTR sinnvoll einesetzt werden kann. Beschreiben Sie das Vorehen jeweils an Ihren Beispielen aus Auabenteil a). Beurteilen Sie, ob die olenden Aussaen immer zutreen, nie zutreen oder unter bestimten Bedinunen zutreen. Geben Sie die Bedinunen eebenenalls an. a) Der Graph einer Potenzunktion ist smmetrisch zum Ursprun. b) Der Graph einer Potenzunktion mit eradem Eponenten ist smmetrisch zur -Achse. c) Geeben ist eine anzrationale Funktion. Durch Stauchen des Graphen kann man das Verhalten des Graphen ür (bzw. ür 0) verändern. 38 I Funktionen Lösunen au Seite 17.

41 Geeben sind olende Eienschaten ür eine anzrationale Funktion. Å) Der Graph von ist smmetrisch zur -Achse. ) Für ± ilt (). 3) Der Grad von ist kleiner als 3. 4) hat enau drei Nullstellen. 5) besitzt keine Nullstellen. a) Geben Sie eine anzrationale Funktion an, welche die Eienschaten (1) und (3) erüllt, nicht jedoch die Eienschaten () und (5). b) Geben Sie eine anzrationale Funktion an, welche die Eienschaten () und (4) besitzt. c) Geben Sie eine anzrationale Funktion an, welche die Eienschat (4), nicht jedoch die Eienschat () besitzt. d) Beründen Sie, dass es keine anzrationale Funktion mit den Eienschaten (3) und (4) eben kann. Geeben ist die Funktion mit () = a) Weist der Graph von eine Smmetrie au? b) Bestimmen Sie die Schnittpunkte des Graphen mit den Koordinatenachsen. c) Fertien Sie mithile der Erebnisse aus a) und b) eine Skizze des Graphen an und überprüen Sie sie mit dem GTR. d) Wie muss der Graph von verschoben werden, damit er enau drei emeinsame Punkte mit der -Achse hat? Geben Sie die Koordinaten dieser Punkte an. Zum Zeitpunkt t = 0 startet eine Seilbahn an der Talstation au 600 m über dem Meeresspieel. Die Berstation ist nach 5 Minuten und 0 Sekunden erreicht. Die Funktion h mit h (t) = 8 t t + 50 t ibt an, in welcher Höhe sich die Gondel zum Zeitpunkt t beindet (t in Minuten, h in Meter über dem Meeresspieel). a) In welcher Höhe beindet sich die Berstation? b) Wann durchbricht sie die 000-m-Grenze uneähr? c) Geben Sie eine sinnvolle Deinitionsmene ür die Funktion h an. Die Beweunsabläue von Sportlern und die Flubahnen von Bällen, Kueln und Speeren wurden enau untersucht, um Mölichkeiten ür eine Leistunssteierun estzustellen. Es ist meistens sinnvoll die betrachteten Kurven zumindest näherunsweise als Parabeln zu modellieren. Videoaunahmen zeien, dass der lmpiasieer im Kuelstoßen in Athen 004, Adam Nelson (USA), die Kuel in einer Höhe von,00 m abstieß. Sie erreichte nach 10 m ihren höchsten Flupunkt von 6 m. a) Bestimmen Sie die Scheitelpunktorm der Parabel ür den Wur. b) Welche Weite der Kuel wurde emessen? Der Lokührer eines Zues erkennt an einem roten Vorsinal, dass er seinen Zu vor dem 1000 m enternten Hauptsinal zum Anhalten brinen muss. Nach Einleiten des Bremsvorans let der Zu in t Sekunden den We s (t) = 30 t 0,4 t (s in m) mit der Geschwindikeit v (t) = 30 0,8 t (v in m/s) bis zum Stillstand zurück. a) Nach welcher Zeit steht der Zu? Endet der Bremsvoran vor dem Hauptsinal? Geben Sie ür die Funktion s einen sinnvollen Deinitionsbereich an. b) Die Zahl 30 in den Funktionsleichunen ibt die Geschwindikeit des Zues in m/s an, die der Zu vor dem Bremsen hat. Wie roß müsste diese Geschwindikeit höchstens sein, damit der Zu noch erade rechtzeiti zum Halten kommt? Lösunen au Seite I Funktionen 39

42 Bei einem Windrad lässt sich die Leistun P (in Watt) mit der Windeschwindikeit v (in m/s) mit der Formel P (v) = 1000 v 3 berechnen. a) Stellen Sie den Graphen der Funktion P in einem eeineten Koordinatensstem dar. b) Lesen Sie am Graphen ab, bei welcher Windeschwindikeit die Leistun P den Wert annimmt. c) Überleen Sie sich mithile des Graphen und der Funktionsleichun drei Auaben und stellen Sie sie Ihrem Nachbarn vor. Kontrollieren Sie Ihre Erebnisse anschließend emeinsam. d) Wo lieen aus Ihrer Sicht Vor- und Nachteile der Windenerie eenüber anderen Enerieträern? Die Breite b eines Rechtecks mit dem Flächeninhalt A = 0 m hänt ab von der Läne der Seite a (a und b jeweils in Metern). a) Wie lautet die Funktionsleichun der Funktion, die der Läne der Seite a die Breite der Seite b zuordnet? Bestimmen Sie die Funktionswerte an drei unterschiedlichen Stellen. b) Geben Sie die Deinitionsmene an und zeichnen Sie den Graphen der Funktion. Mit einem 1 km lanen Zaun soll ein rechteckies Feld an einem eraden Fluss einezäunt werden. Der Flächeninhalt des Feldes sei A (in m ), die Läne des Feldes sei (in m). Wie lautet die Funktionsleichun der Funktion, die der Läne den Flächeninhalt A zuordnet? Welche Deinitionsmene ist ür die Funktion sinnvoll?. Au einem Blatt Papier sind die Gleichunen anzrationaler Funktionen notiert: ()= ()= 5 ()= 3 + ()=6 + ()= ()= ()= ()= ()=3+1 ()= 3 Harald wählt durch Tippen blind eine Gleichun aus. Wie roß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Harald eine Funktion wählt, a) deren Graph smmetrisch zum Ursprun oder zur -Achse ist, b) deren Graph sich nahe Null wie = verhält und bei der ür ilt: (), c) deren Graph durch den Ursprun eht oder smmetrisch zur -Achse ist? d) Beschreiben Sie das Geenereinis zu dem Ereinis aus c). Geben Sie die Wahrscheinlichkeit an. Tipp: m = tan Bestimmen Sie die Gleichun der Geraden, die durch den Punkt P ( 3) verläut und den aneebenen Steiunswinkel hat (Runden Sie au zwei Stellen hinter dem Komma!) a) = 45 b) = 1 c) = 78,69 d) = 0 e) = 90 ) = 30 ) = 8 h) = I Funktionen Lösunen au Seite

43 a) Geben Sie die Funktionsleichun einer Funktion an, deren Graph smmetrisch zum Ursprun ist. b) Für die Funktion ilt: () = ( 1) +. Welche Smmetrie weist der Graph von au, wenn smmetrisch zum Ursprun ist? c) Geeben ist die Funktion h mit h () = Zeien Sie, dass der Graph von h smmetrisch zur Geraden = ist. Zeien Sie hierür, dass der um zwei nach rechts verschobene Graph smmetrisch zur -Achse ist. Die Funktionen mit () = 3,5 + 6 und mit () = haben eine Nullstelle bei =. a) Zeien Sie, dass auch durch () = ( ) ( + 1,5) und auch durch () = ( ) ( + 3) ² darestellt werden können. b) Skizzieren Sie mithile der Nullstellen und sonstier Eienschaten, die sich an der Funktionsleichun ablesen lassen, einen Graphen von bzw.. Kontrollieren Sie Ihr Erebnis mit dem GTR. c) Die Stelle = heißt doppelte Nullstelle der Funktion, die Stelle = 3 heißt doppelte Nullstelle der Funktion. Beschreiben Sie den 16 Verlau der Graphen an diesen doppelten Nullstellen. 8 d) In Fi. 1 sind die Graphen einer anzrationalen Funktion vierten Grades und einer anzra tionalen Funktion dritten Grades abebildet. Bestimmen Sie aurund der Nullstellen die 8 zuehörien Funktionsleichunen. Kontrollieren Sie Ihr Erebnis mit dem GTR. 16 Fi. 1 Durch die Gleichun t () = 3 t + 8 ist ür jeden Wert von t eine anzrationale Funktion eeben, zum Beispiel ür t = die Funktion () = a) Berechnen Sie die Nullstellen der Funktionen, 10 und 10. b) Für welche Werte von t hat t drei verschiedene Nullstellen? c) Bestimmen Sie t so, dass t eine Nullstelle bei hat. Geeben ist die Funktionenschar a mit dem Parameter a, a > 0. Zeichnen Sie die Graphen ür a = 1 und ür a = mit dem GTR. Untersuchen Sie jeweils die Graphen von a au Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen und bestimmen Sie a so, dass der Graph smmetrisch zum Ursprun oder smmetrisch zur -Achse ist. a) 1 () = 3 a b) a () = a 1 c) a () = a 4 6 Geeben ist der Punkt S ( s s ). Er ist Scheitelpunkt einer Parabel der quadratischen Funktion mit () = a ( s ) + s und liet au der Geraden mit () = m ( s ) + s. a) Bestätien Sie mithile von Beispielen, dass durch eine quadratische Funktion und durch eine Gerade eeben sind. b) Die aneebene Funktionsleichun ür die Gerade wird Punkt-Steiuns-Form enannt. Beschreiben Sie Ähnlichkeiten dieser Darstellunsorm mit der Scheitelpunktorm. Lösunen au Seite I Funktionen 41

44 Terme der Form a n n + a n 1 n 1 + a n n + + a + a 1 + a 0 mit reellen Zahlen a 0, a 1,, a n und der Variable heißen Polnome n-ten Grades (n ist der rößte Eponent von ). Herr Proessor Polnom ormuliert olende Aussae: Eine Gleichun der Form a n n + a n 1 n 1 + a n n + + a + a 1 + a 0 = 0 hat höchstens n Lösunen. Ist c eine Lösun einer solchen Gleichun, so kann man das Polnom a n n + + a 1 + a 0 als Produkt aus einem Polnom (n 1)ten Grades und ( c) schreiben: a n n + + a 1 + a 0 = (b n 1 n b 1 + b 0 ) ( c), und es ilt: (a n n + + a 1 + a 0 ) : ( c) = (b n 1 n b 1 + b 0 ). Dass diese Aussae richti ist, wird im Folenden plausibel emacht. Dazu untersucht man zunächst, wie man Polnome miteinander multipliziert bzw. dividiert. Bei der Division spricht man von der. Wie dieses Verahren unktioniert, wird in den nächsten vier Auaben erarbeitet. Distributivesetz bedeutet (r + s) (a + b) = r (a + b) + s (a + b) Verleichen Sie die drei Multiplikationen ( ) ( ) ( ) ( + 1) a) Worin unterscheiden sich die erste und die zweite Multiplikation, worin unterscheiden sich die zweite und die dritte Multiplikation? b) Multiplizieren Sie einmal mithile des Distributivesetzes und einmal nach der oben voreührten Methode: ( ) ( ). Verleichen Sie die drei Divisionen. 655 : 1 = 31 ( ) : ( ) = ( ) 63 ( ) ( ) ( ) 0 0 ( ) : ( + 1) = ( ) ( ) + 5 ( + 1 ) 4 + (4 + ) 0 a) Worin unterscheiden sich die erste und die zweite Division, worin unterscheiden sich die zweite und die dritte Division? b) Beschreiben Sie, wie man bei der zweiten und dritten Division voreanen ist. 4 I Funktionen

45 Berechnen Sie und machen Sie mithile der Multiplikation die Probe. a) ( ) : ( + ) b) ( ) : ( ) c) ( ) : ( ) d) ( ) : (7 3 5 ) Berechnen Sie. a) ( + + 1) : ( + 1) b) ( 1) : ( 1) c) ( 3 1) : ( 1) d) ( 4 1) : ( + 1) Wenn man eine Nullstelle N der Funktion kennt, kann man den Funktionsterm in einer Produktorm darstellen, die den Teilterm ( N ) enthält, z. B. () = ( N ) (), wobei () den zweiten Faktor darstellt. Um () zu erhalten, kann man () durch ( N ) dividieren. Die Nullstellen der Funktion mit () = erhält man durch Lösen der Gleichun = 0. Durch Ausprobieren indet man eine Nullstelle N = 1, denn (1) = 0. Daraus eribt sich die Produktdarstellun () = ( N ) () = ( 1) (). Um die übrien Nullstellen zu bestimmen, ermittelt man () mittels Polnomdivision. Man erhält () = 40. Die Gleichun ( 1) () = ( 1) ( 40) = 0 ist auch erüllt, wenn ilt: 40 = 0. Hier kann man die Nullstellen leichter bestimmen, da die Funktion einen kleineren Grad als hat ( ist hier quadratisch). Die quadratische Gleichun kann mithile der pq-formel elöst werden: Man erhält ür 40 = ( 0) = 0 die Lösunen 1 = 4 und = 5. Die Funktion hat somit die drei Nullstellen 1 = 4, = 5 und 3 = 1. Insesamt eribt sich ür die Funktion die Produktdarstellun: () = ( 1 ) ( ) ( 3 ) = ( + 4) ( 5) ( 1). Man nennt diese Darstellun auch, weil sie aus lauter Faktoren besteht, wobei jeder Faktor einem linearen Term entspricht. Überleen Sie, wie viele Nullstellen die Funktion haben kann. Bestätien Sie dann, dass die Funktion die aneebene Nullstelle hat. Berechnen Sie anschließend alle weiteren Nullstellen von (Lösunen siehe Rand) und eben Sie die Funktionsleichun als Linearaktorzerleun an. a) () = ; 1 = 1 b) () = ; 1 = 4 c) () = ; 1 = 3 d) () = 3 + 4,8 + 1,5 0,; 1 = e) (t) = 7 t t + 3 t 3 8; t 1 = 1 3 ) () = ; 1 = 0,4 ; ; 0,1; ; ; 9; ; 0,5; 1; 4; 7; Bestimmen Sie eine Nullstelle der Funktion durch ezieltes Probieren. Berechnen Sie dann die weiteren Nullstellen und eben Sie die Funktionsleichun als Linearaktorzerleun an. a) () = b) () = c) () = d) () = Geeben ist die Funktion mit () = ( a) ( b) ( c), wobei a, b und c anzzahli sind. a) Lesen Sie die Nullstellen von ab. b) Formen Sie die Funktionsleichun in eine Darstellunsorm ohne Klammern um. c) Beründen Sie olende Aussae: Kandidaten ür Nullstellen von sind Teiler des absoluten Gliedes der Funktionsleichun. Erläutern Sie an einem Beispiel, was die Aussae von Herrn Proessor Polnom von S. 4 bedeutet. I Funktionen 43

46 Eine Funktion, deren Funktionsleichun man in der Form () = a n n + a n 1 n a 1 + a 0 ; (n * N; a n,, a 0 * R; a n schreiben kann, heißt anzrationale Funktion n-ten Grades. Der Graph einer Funktion mit (), verläut enau dann smmetrisch zur -Achse, wenn die Funktionswerte () und ( ) ür alle * D übereinstimmen: ( ) = (). Bei anzrationalen Funktionen kommen im Funktionsterm nur erade Eponenten vor. punktsmmetrisch zum Ursprun, wenn ür alle * D die Bedinun ( ) = () erüllt ist. Bei anzrationalen Funktionen kommen im Funktionsterm nur unerade Eponenten vor. Für ± wird das Verhalten einer anzrationalen Funktion vom Summanden mit der höchsten Potenz von bestimmt. Der Graph verhält sich ür ± wie derjenie Graph mit der Gleichun = a n n, wobei n der Grad von ist. Für nahe 0 wird das Verhalten einer anzrationalen Funktion von den Summanden mit den niedristen Potenzen von bestimmt. Der Graph verhält sich wie derjenie Graph mit der Gleichun = a k k + a 0, wobei k die niedriste Potenz von ist. Die Nullstellen der Funktion sind die Lösunen der Gleichun () = 0. Eine Funktion n-ten Grades kann höchstens n Nullstellen haben. Man erhält sie durch 1), wenn die Funktionsleichun als Linearaktorzerleun vorliet. ), wenn der Funktionsterm kein absolutes Glied enthält. 3), wenn nur die Potenzen und 4 bzw. 3 und 6 usw. vorkommen und durch z und z ersetzt werden können. Den Graphen der Funktion mit () = ( c) + d erhält man, indem man den Graphen von um c nach rechts und um d nach oben verschiebt (ür c < 0 bzw. d < 0 verschiebt man nach links bzw. nach unten). Den Graphen der Funktion h mit h () = k (); k > 0, erhält man, indem man den Graphen von von der -Achse aus in -Richtun mit dem Faktor k streckt. Wenn k < 0 ist, muss man den Graphen an der -Achse spieeln, bevor man ihn streckt. Den Graphen der Funktion h mit h() = (k ) und k > 0, erhält man, indem man den Graphen von von der -Achse aus in -Richtun mit dem Faktor 1 k streckt. Wenn k < 0 ist, muss man den Graphen an der -Achse spieeln, bevor man ihn streckt. () = hat den Grad 5 mit den Koeizienten a 5 = 1, a 3 =, a 1 = 8 und a 4 = a = a 0 = 0. () enthält nur Potenzen von mit uneraden Eponenten, daher ist ( ) = ( ) 5 ( ) 3 8( ) = = ( ) = (). Der Graph von verläut punktsmmetrisch zum Ursprun (Fi. 1) 8 8 h () = 3 4 () = unerade; erade; Fi. 1 wie () = 3 wie () = 4 0 wie h () = 4 0 wie h () = + 1 zu 1) () = 3 ( 3) ( + 3) ( 1) = 0, wenn 1 = 3, = 3 oder 3 = 1 zu ) () = = ( ) = 0, wenn 1 = 0 oder = 0, also = oder 3 = 1 zu 3) () = 4 8 = 0 Substitution : z =, also z z 8 = 0, wenn z = 4 oder z = ; Rücksubstitution: = 4 mit 1 = oder = oder =, was nicht lösbar ist Es ist () = 4. Aus dem Graphen kann man ablesen, dass () = ( + 3) + 1 und h () = (0,5 ) h 8 4 h 44 I Funktionen

47 Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion. a) () = 1 4 b) () = c) () = ( 1) ( + ) Skizzieren Sie rob den Verlau des Graphen. a) () = b) () = 4 + c) () = ( + 1) ( 3) Bestimmen Sie die Schnittpunkte des Graphen der Funktion mit den Koordinatenachsen. Verläut der Graph smmetrisch zur -Achse oder smmetrisch zum Ursprun? Beründen Sie. a) () = 6 + 0, b) () = Å c) () = Ist die Aussae wahr oder alsch? Beründen Sie Ihre Antwort und nennen Sie eebenenalls ein Geenbeispiel. a) Der Graph einer uneraden Funktion verläut durch den Ursprun. b) Wenn eine anzrationale erade Funktion eine Nullstelle hat, dann hat sie eine weitere Nullstelle. c) Eine anzrationale Funktion 3. Grades hat enau drei Nullstellen. d) Es ibt keine anzrationale Funktion 3. Grades ohne Nullstellen. In Fi. 1 ist der Graph der Funktion mit () = 3 abebildet. Die Graphen in Fi. bis Fi. 4 sind durch Verschiebun bzw. Streckun des Graphen von entstanden. rdnen Sie die Funktionsterme den Graphen zu (ein Term bleibt übri). () = 0,5 3 ; h () = (0,5 ) 3 + 1; i () = ( 1) 3 ( 1); j () = Fi. Geben Sie einen Funktionsterm ür an, sodass der Graph von die ewünschten Eienschaten besitzt. a) Der Graph ist smmetrisch zur -Achse und hat eine Nullstelle bei =. b) Der Graph eht ür een und ür een. In der Nähe von Null verhält sich der Graph wie die Parabel mit der Gleichun () = + 1. c) Der Graph ist punktsmmetrisch zum Ursprun und besitzt enau drei Nullstellen. Fi. 3 Fi. 4 Fi. 1 Die Fi. 5 zeit den Graphen der Funktion mit () = Kommentieren Sie die olenden Aussaen. a) Da die Funktionsleichun nur die uneraden Eponenten 1 und 3 besitzt, ist der Graph smmetrisch zum Ursprun. b) Mithile des GTR (s. Fi. 5) kann man vermuten, dass der Graph smmetrisch zum Ursprun ist. c) Man erkennt an der Funktionsleichun, dass der Graph von nicht smmetrisch ist. Konstruieren Sie ein Polnom 7. Grades mit jeweils 1,, 3, 4 bzw. 5 Nullstellen. Fi. 5 Lösunen au Seite 0 1. I Funktionen 45

48 Anleitun TI-nspire CX Über die Taste c elant man ins Hauptmenü. Dort kann man mit dem einen Menüpunkt anwählen und mit oder auswählen. Alternativ kann man auch den entsprechenden Buchstaben oder die Zahl (z. B. 1 ür neues Dokument) eineben. Mit der Taste d kommt man aus einem Untermenü zurück in das Hauptmenü. Normale Rechnunen werden im -Fenster durcheührt. Graphen zeichnet man im -Fenster. Um eometrische Probleme dnamisch zu lösen nutzt man das - Fenster. Die Tabellenkalkulation beindet sich unter, die eineebenen Daten kann man in veranschaulichen Mit. wird ein Zeichen (nach links) elöscht. Mit /. wird die esamte Zeile elöscht. Unter dem Menüpunkt lassen sich im Hauptmenü viele Einstellunen vornehmen. So kann beispielsweise unter zwischen Boenmaß und Gradmaß und dem Berechnunsmodus Auto, Eakt und Approimiert ewählt werden. Hier kann man mit dem Touchpad oder der e-taste durch das Menü steuern. Mit der Taste b wird in vielen Anwendunen ein umanreiches Menü mit weiteren Beehlen eönet. Alle Beehle sowie die jeweilie Art diese einzueben kann man unter der k-taste einsehen. Bezeichnunen kann man verschieben, indem man diese mit dem Mauszeier und lane anwählt und anschließend an einer eeineten Stelle mit wieder ablet. Lösun der Gleichun + 5 = 3 + a) Rechnerisch: Im -Fenster: Mit dem -Beehl, bestätit durch die -Taste, erhält man eine Lösun. Um alle Lösunen zu erhalten, muss man einen passenden Startwert in der Nähe der jeweilien Lösun wählen oder einen Bereich aneben, in dem die Lösun liet. b) Graphisch: Die linke Seite der Gleichun in in 1, die rechte Seite in eineben. Anschließend mit b, dort unter, die Schnittpunkte nacheinander durch Auswahl der Bereiche mit oder estleen. c) 3. Mölichkeit: Die Gleichun zu + = 0 umstellen und anschließend mit dem -Beehl lösen, oder raphisch die Nullstellen durch Einabe des Terms + in 1, anschließende Ermittlun mit b, als. 6 Anhan: Anleitun TI-nspire CX

49 Anleitun CASI -CG 0 Über die Taste elant man ins Hauptmenü. Dort kann man mit den Cursortasten einen Menüpunkt anwählen und mit auswählen. Alternativ kann man auch die entsprechende Zahl (z. B. 1 ür Run-Matri) eineben. Mit der Taste kommt man aus einem Untermenü zurück in das zuvor ewählte Menü. Normale Rechnunen werden im Menüpunkt 1 Run-Matri durcheührt. Mit wird ein Zeichen (nach links) elöscht. Mit löscht man eine anze Zeile. Mit wechselt man von der mathematischen Darstellun als Bruch oder Wurzel zur Dezimaldarstellun oder umekehrt. Die Einstellunen innerhalb eines Menüpunktes lassen sich mit ändern. Hierzu drückt man SHIFT und anschließend MENU. berhalb der Funktionstasten bis werden häui Beehle oder Menüs anezeit, die man durch das Drücken der entsprechenden Funktionstaste auswählt. Mit der Taste wird in vielen Anwendunen ein umanreiches Menü mit weiteren Beehlen eönet. Es können die Lösunen von Polnomleichunen bis zum 6. Grad aneeben werden. 1. Im Hauptmenü auswählen.. Mit auswählen. 3. Den Grad der Gleichun auswählen. 4. Die Parameter der Gleichun in der aneebenen Form eineben und mit bestätien. Zur Lösun der Gleichun = 0 muss der Grad ewählt werden und anschließend a =, b = 4 und c = 6 einetraen werden. Mit EXE erhält man die beiden Lösunen 1 = 1 und = 3. Der GTR kann auch Lösunen beliebier Gleichunen bestimmen. Es wird allerdins nur eine Lösun anezeit, auch wenn es mehrere Lösunen ibt. 1. Im Hauptmenü auswählen.. Mit auswählen. 3. Die Gleichun eineben. Als Variable wählt man X mit der Taste. Das Gleichheitszeichen wird über und ausewählt. In der darunter lieenden Zeile kann ein Wert ür eineeben werden, in dessen Nähe eine Lösun bestimmt werden soll. Es kann durch die Einabe von Werten bei Lower oder bei Upper der Bereich eineschränkt werden, in dem nach Lösunen esucht werden soll. 4. Mit erhält man einen Näherunswert ür eine Lösun ür. Es wird auch der Wert der linken und rechten Seite der Gleichun anezeit. 68 Anhan: Anleitun CASI -CG 0

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51 Lambacher Schweizer Mathematik Nordrhein-Westalen

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