Mathematik > Analysis > Kurvendiskussion/Funktionsuntersuchung > Polynome

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1 Michael Buhlmann Schülerkurs Mathematik > Analsis > Kurvendiskussion/Funktionsuntersuchung > Polnome Kurvendiskussionen/Funktionsuntersuchungen gehören zum Standard der Mathematik an den Oberstuen der Gmnasien. Das Het will an Hand von vielen Beispielen einühren in dieses wichtige Thema und gliedert sich in die Abschnitte: Theorie, Augaben, Lösungen. Alle Beispiele und Augaben sind dabei mit ausührlichen Lösungen ersehen, die mathematische Grundlagen und Regeln begreibar machen. Die Kurvendiskussionen/Funktionsuntersuchungen gehören zum weiten Feld der Dierenzial- und Integralrechnung Analsis) und werden hier am Beispiel der Polnome dargestellt. Bezeichnungen: gleich ungleich > größer < kleiner oder l Folgerung Äquivalenz [a, b] abgeschlossenes Intervall mit a b, a,ber a, b) oenes Intervall mit a < < b, a,ber [a, b) halboenes Intervall mit a < b, a,ber a, b] halboenes Intervall mit a < b, a,ber e Element von N natürliche Zahlen N natürliche Zahlen einschließlich der Null R reelle Zahlen Michael Buhlmann, Schülerkurs Mathematik > Analsis > Kurvendiskussion > Polnome

2 Theorie I. Polnome eine kurze Einührung I. Polnome oder ganz rationale Funktionen) sind reelle Funktionen : R -> R, die au den ganzen reellen Zahlen R deiniert sind und mit der Variablen R die Funktionsvorschrit besitzen: ) a a n n n an... a mit vorgegebenen a, a,, a n-, a n R und vorgegebener nicht negativer ganzer Zahl n N. Die Zahl n mit a n heißt Grad des Polnoms, die reellen Zahlen a, a,, a n-, a n heißen Koeizienten, das reelle Variable. I. Beispiele ür ganz rationale Funktionen sind: ) a konstantes Polnom Parallele zur -Achse) ür ein estes a R ) ) Winkelhalbierende durch den. und. Quadranten) Normalparabel, wobei wir uns graisch im Achsenkreuz von - und )-Achse unter der konstanten Funktion eine Parallele zur -Achse, unter der Winkelhalbierenden eine Gerade durch den Koordinatenursprung, die den rechten Winkel zwischen - und -Achse halbiert, unter der Normalparabel eine quadratische Funktion mit dem Koordinatenursprung als Scheitelpunkt vorstellen.,,,,,,,,,,, -, -, -, -,7 -, -, -, -, -,,,,7,,,6,,,,,,,7,,,, -, -, -,,,,6,,,,,6 6, 7,,,,6,,,,,6, ) ), 6 Eine Funktion ) m c mit der Steigung m R und dem -Achsenabschnitt c R heißt lineare Funktion oder Gerade z.b.: ) ), bei ) a b c mit a,b,c R liegt eine Parabel vor z.b.: ), 6 ), mit a eine Normalparabel. Michael Buhlmann, Schülerkurs Mathematik > Analsis > Kurvendiskussion > Polnome

3 I. Die ganz rationalen Funktionen lassen sich überall beliebig ot ableiten, d.h.: in jedem Punkt R eistiert die.) Ableitung als Steigung der Funktion Kurve), die Ableitung der Abteilung als. Ableitung usw. Dabei gilt zum einen die Summenregel ür eine endliche Anzahl von ausummierten Funktionen u ), u ), u m ), m N, wenn nur die Ableitungen der einzelnen Funktionen im Punkt R eistieren, was bei Polnomen natürlich der Fall ist: u ) u ))' u' ) u ' ) bzw. u ) u )... um ))' u' ) u ' )... um ' ) zum anderen die Ableitungsregel ür Potenzunktionen u) mit nicht nur) nicht negativen ganzzahligen Eponenten i N : u ) i u' ) i i I. Also erhalten wir ür ein Polnom : R -> R mit die Ableitungen: ' '' ''' ) na n n n n ) an... a ) n n ) a ) n n ) n ) a ) a a n n n an... a n n n n ) n ) an... a a n n n n ) n ) n ) an... 6a usw. I. Beispiel: Das Polnom : R -> R mit Funktionsvorschrit ) ) hat die auch höheren Ableitungen: ' ) 6 6 ''' ) 6 7 ) ) ) 6) ) 6 7 ) 7 ) 7 7) ) ) ).... I.6 Augaben: Bestimme zu den Polnomen ) die Ableitungen ), ), ). a) ) b) 7 ) c) ) d) ) 6 e) ) ) ) ) ) 7 ) ) g) 6 ) ) h) ) 7 i) ) 7) j) ) 6) ) I.7 Augabe I.6 leitet noch über zur Produktregel und zur Kettenregel als weitere Ableitungsregeln. Für m N und Funktionen u ), u ), u m ) gilt im Falle der Dierenzierbarkeit die Produktregel: u ) u ))' u' ) u ) u ) u ' ) Michael Buhlmann, Schülerkurs Mathematik > Analsis > Kurvendiskussion > Polnome

4 u... ) u u ' ) u u ) u u ) u bzw. )... u )... u ' )... u )... u m m m m ))' ) ) D.h.: Ein Produkt wird abgeleitet, indem man nacheinander jeweils nur einen der Faktoren ableitet, diesen mit den übrigen nicht abgeleiteten Faktoren multipliziert und die so erhaltenen einzelnen Produkte ausummiert. Bei der Kettenregel ergibt sich die Ableitung ür eine äußere Funktion v.) und eine innere u) als Produkt von äußerer und innerer Ableitung: ' ) v u )))' v' u )) u' ) D.h.: Eine verkettete Funktion wird abgeleitet, indem man die äußere Funktion ableitet und dabei die innere unverändert lässt, dann die innere Funktion ableitet und beide Ableitungen miteinander multipliziert. Sind mehr als zwei Funktionen ineinander verschachtelt, so gilt Entsprechendes. I. Beispiele: a) Für ) )7 ) gilt mit den Faktoren und deren Ableitungen u regel: ), u ' ), u ) 7, u ' ) nach der Produkt- ' ) )7 ) ) ) sowie weiter mit u ), u ' ), u ) 7, u ' ), u ), u ' ), u ), u ' ) : ) 7 ) ) ) ) ) ) 7 ) ) ) ) ''' ) 7 6 b) Laut der Kettenregel ist die. Ableitung zu Grund der äußeren Funktion v.).) mit u ) mit u ' ) 6 als: ' ) ) 6 ) ) ) ) zu bestimmen au v '.).) und der inneren Funktion und weiter nach der Produktregel, kombiniert mit der Kettenregel ür den zweiten Faktor von ): ) ) ) ) 6 ) 6 ) ) [ ) 6 ) ) ) 6 ) 67 ) usw. ] ) ) ) Michael Buhlmann, Schülerkurs Mathematik > Analsis > Kurvendiskussion > Polnome

5 I. Augaben: Bestimme zu den Polnomen ) die Ableitungen ), ), ): a) c) ) 67) b) ) ) ) ) ) d) ) ) ) e) ) [ ) ] ) ) ) ) ) II. Elemente der Kurvendiskussion II. Wir sind nun am Aussehen von Polnomunktionen als Kurven in einem -- Koordinatensstem mit Koordinatenursprung im Punkt O ) interessiert. Als Elemente der Kurvendiskussion, die wir jetzt vorstellen wollen, ergeben sich ür ein Polnom: Deinitionsbereich der Funktion Smmetrie Nullstellenbestimmung Ableitungen Bestimmung der Etremwerte Bestimmung der Wendepunkte Monotonieverhalten Krümmungsverhalten Verhalten der Funktion im Unendlichen Wertetabelle Zeichnung Bestimmung von Tangenten und Normalen an bestimmten Funktionspunkten u.a. Wendetangenten) Wir gehen also aus von einer Polnomunktion : R -> R mit ) a a n n n an... a ür eine Variable R und reellen Koeizienten a, a,, a n-, a n. II. Der maimale) Deinitionsbereich eines Polnoms sind immer die reellen Zahlen R. II. Für alle aus dem Deinitionsbereich lässt sich also gemäß der Funktionsvorschrit die Zahl ) bilden, indem wir den entsprechenden -Wert in die Funktionsgleichung einsetzen, den -Wert erhalten und schließlich den Punkt P ) au der Funktion. Beispiele: a) ) mit: ), ) ) ) b) ) mit: ' ), ) und: ), '), ) sowie: ), ') 7, ) 6 als Werte von Funktion und Ableitungen. Das sstematische Einsetzen von -Werten in die Funktionsgleichung ührt dann zu einer Wertetabelle, in der - und )-Werte beispielsweise untereinander stehen. II. Eine Funktion ) heißt gerade oder bezogen au das --Koordinatensstem achsensmmetrisch zur -Achse, wenn gilt: ) ). ) heißt ungerade oder bezogen au das --Koordinatensstem punktsmmetrisch Michael Buhlmann, Schülerkurs Mathematik > Analsis > Kurvendiskussion > Polnome

6 zum Koordinatenursprung O ), wenn gilt: ) ). Polnome sind gerade, wenn sie nur Potenzen mit geraden, ungerade, wenn sie nur Potenzen mit ungeraden Eponenten besitzen. Dabei zählt der Koeizient a wegen a a ÿ zu den geraden Eponenten. Darüber hinaus treten bei Polnomen und anderen Funktionen) auch Smmetrien zu anderen, zur -Achse parallelen Achsen bzw. zu Smmetriepunkten, die nicht Koordinatenursprung sind, au. Wir gehen hierau nicht ein. II. Beispiele: a) ) ist eine verschobene Normalparabel mit geraden Eponenten und daher smmetrisch zur -Achse. b) ) ist eine ungerade Funktion wegen der ungeraden Eponenten und also punktsmmetrisch zum Ursprung. c) Bei der Funktion ) 7 ist wegen der dort autretenden geraden und ungeraden Eponenten keine Smmetrie erkennbar. II.6 a) Ist ein gerades Polnom, so ist ungerade, gerade, ungerade usw. b) Ist ein ungerades Polnom, so ist gerade, ungerade, gerade usw. II.7 Zur Nullstellenbestimmung, also zur Bestimmung der Schnittpunkte N N ) mit der - Achse des --Koordinatensstems ist die Gleichung ) nach der Variablen auzulösen. Nun lässt sich jedes Polnom als Produkt von linearen und quadratischen Faktoren ab bzw. a bc, a,b,c R, schreiben, wobei die linearen b Faktoren dann werden, wenn ür a gilt, während die quadratischen Faktoren a im Reellen nicht weiter in Linearaktoren zerlegt und daher auch niemals werden können. Für p ), p ), p m ) als lineare und quadratische Faktoren gilt dann: ) p ) p )... pm ) und weiter au Grund der Tatsache, dass ein Produkt gleich ist, wenn einer seiner Faktoren ist: ) p ) p )... pm ) ) p )... p ) p m Zur Faktorisierung eines Polnoms ) stehen verschiedene Möglichkeiten zur Verügung, die au den Äquivalenzumormungen von linearen und quadratischen Gleichungen basieren. Für lineare Gleichungen gilt die Umormung: a b, ür normierte quadratische Gleichungen ergibt sich gemäß der p-q-formel: b a p q, p ± p q mit den Koeizienten p,q R, ür allgemeine quadratische Gleichungen gilt nach der Mitternachtsormel : Michael Buhlmann, Schülerkurs Mathematik > Analsis > Kurvendiskussion > Polnome 6

7 b ± b a b c, a mit den reellen Zahlen a, b, c. Dann besitzt ein Polnom ) dort Nullstellen, wo seine linearen oder quadratischen Faktoren Nullstellen haben, d.h. wo die Faktoren gemäß den Vorgehensweisen bei den Umormungen von linearen und quadratischen Gleichungen nach aulösbar sind. ac II.7 Beispiele: a) Das lineare Polnom ) 7 hat wegen: ) 7 7 bei eine Nullstelle, also: N ). b) Für das quadratische Polnom ) 6 ergeben sich Ansatz und Gleichungsumormungen gemäß der Mitternachtsormel : ± ± ) ± ± 6 6) Die beiden errechneten -Werte ühren au die Nullstellen von ): N ), N ). c) Zu ) indet sich eine Nullstelle bei. Die Polnomdivision: --):-) - - ) ) - --) ergibt zusätzlich die Gleichung: ± ±, die wegen des negativen Radikanden keine Lösung besitzt. Die einzige Nullstelle von ) ist damit N ). d) Die Nullstellenbestimmung ür die Funktion ) 6 ührt au eine biquadratische Gleichung und deren Umormung u.a. mit der Substitution z bzw. Rücksubstitution z: 6 z z ± z 6 z 6 ± 6 ± 6 z z 6, z 6, z ±, ± und damit au die Nullstellen: N -, ), N - ), N ), N, ). II. a) Der Grad des Polnoms bestimmt die maimal autretende Anzahl der Nullstellen, d.h.: Bei einer Parabel. Grades können höchstens zwei Nullstellen autreten, bei einem Polnom. Grades höchstens usw., bei einem Polnom n. Grades höchstens n. b) Polnome mit ungeradem Grad n,,, ) haben mindestens eine Nullstelle. Michael Buhlmann, Schülerkurs Mathematik > Analsis > Kurvendiskussion > Polnome 7

8 II. Augaben: Errechne die Nullstellen der olgenden Polnomunktionen. a) ) 7 b) ) 6 c) ) 6 d) ) 7) e) ) ) ) ) ) g) ) h) ) 7 i) ) 6 76 j) ) 6 k) ) 6 l) ) II. a) Eine Funktion ) ist au einem Intervall monoton steigend oder monoton allend, wenn ür je zwei Punkte, aus diesem Intervall gilt: < ) ) steigende Monotonie) < ) ) allende Monotonie) b) Ist eine Funktion ) dierenzierbar an der Stelle, so olgt: ) ) ist monoton steigend in o ' ) ) ist monoton allend in o ' II. Relative Etrema Etremstellen), Hoch- und Tiepunkte, sind Punkte E einer Funktion ), ür die gilt: ' E ), E ) < relatives Maimum, Hochpunkt) ' ), ) > relatives Minimum, Tiepunkt) E E Zur Bestimmung von Hoch- und Tiepunkten einer Funktion ist also die. Ableitung gleich zu setzen, so dass die -Werte mit ) zu bestimmen sind sog. notwendige Bedingung). Die geundenen -Werte sind die kritischen Stellen, wo die Hoch- oder Tiepunkte autreten können, aber nicht müssen. Durch Einsetzen der -Werte in die. Ableitung und Überprüen des Ergebnisses au > oder < sog. hinreichende Bedingung) kann dann endgültig entschieden werden, ob Etrema vorliegen. II. Gilt E ) in der hinreichenden Bedingung ür mögliche Etremstellen E, so ist zunächst keine Entscheidung möglich. Folgende Szenarien treten dann au: a) Ist in einem Intervall E h, E ) links von der Etremstelle) ) > und in einem Intervall E, E h) rechts vom Etremum) ) < h>), so liegt ein Hochpunkt bei E vor. b) Ist in einem Intervall E h, E ) links von der Etremstelle) ) < und in einem Intervall E, E h) rechts vom Etremum) ) > h>), so liegt ein Tiepunkt bei E vor. c) Gilt ür die n. Ableitung erstmals n) E ) n>), so liegt bei E eine Etremstelle vor, wenn n eine gerade Zahl ist. II. a) Der Grad des Polnoms bestimmt die maimal autretende Anzahl der Etremstellen, d.h.: Bei einer Parabel. Grades gibt es eine Etremstelle, bei einem Polnom. Grades höchstens usw., bei einem Polnom n. Grades höchstens n-. b) Polnome mit geradem Grad n,, 6, ) haben mindestens eine Etremstelle. II. Bei Polnomen gilt: a) Für E < E als zwei aueinanderolgende Etremstellen eines Polnoms gilt: Liegt bei E ein Hochpunkt vor, so ist E ein Tiepunkt und umgekehrt; liegt bei E ein Tiepunkt vor, so ist E ein Hochpunkt und umgekehrt. Michael Buhlmann, Schülerkurs Mathematik > Analsis > Kurvendiskussion > Polnome

9 b) Sind E < E zwei aueinanderolgende Etremstellen eines Polnoms, so ist das Monotonieverhalten der Funktion im Intervall E, E ) das Gleiche entweder steigende oder allende Monotonie). Ist E die kleinste Etremstelle, so gilt Entsprechendes ür das Intervall -, E ), ebenso bei E als größter Etremstelle mit Intervall E, ). c) Für E < E als zwei aueinanderolgende Etremstellen eines Polnoms gilt: Liegt bei E ein Hochpunkt vor, so ist das Polnom au dem Intervall E, E ) monoton allend; liegt bei E ein Tiepunkt vor, so ist das Polnom au dem Intervall E, E ) monoton steigend; liegt bei E ein Hochpunkt vor, so ist das Polnom au dem Intervall E, E ) monoton steigend; liegt bei E ein Tiepunkt vor, so ist das Polnom au dem Intervall E, E ) monoton allend. Liegt bei E als kleinster Etremstelle ein Hochpunkt vor, so ist das Polnom au dem Intervall -, E ) monoton steigend; liegt bei E als kleinster Etremstelle ein Tiepunkt vor, so ist das Polnom au dem Intervall -, E ) monoton allend. Liegt bei E als größter Etremstelle ein Hochpunkt vor, so ist das Polnom au dem Intervall E, ) monoton allend; liegt bei E als größter Etremstelle ein Tiepunkt vor, so ist das Polnom au dem Intervall E, ) monoton steigend. d) Die Intervalle zwischen den Etremstellen heißen Monotonieintervalle. Zwei angrenzende Monotonieintervalle haben dann ein unterschiedliches Monotonieverhalten. Es gilt also mit E als Etremstelle und den Monotonieintervallen a, E ) und E, b) mit a, b als weitere Etrema oder a- oder b : Ist das Polnom monoton steigend au a, E ), so monoton allend au E, b) und umgekehrt; ist das Polnom monoton steigend au a, E ), so ist E ein Hochpunkt. Ist das Polnom monoton allend au a, E ), so monoton steigend au E, b) und umgekehrt; ist das Polnom monoton allend au a, E ), so ist E ein Tiepunkt. II. Beispiele: a) Die Funktion ) 7) besitzt als Polnom. Grades maimal drei Etremstellen. Notwendige Bedingung: Nullsetzen der. Ableitung ' ) 7) 7) 7) 7) ührt au: ' ) 7) 7) 7 7 7, mit,, und 7 als kritischen Stellen. Hinreichende Bedingung: Das Einsetzen der kritischen -Werte in die. Ableitung ) 7) 7) 7) 7) ergibt: ) > als Tiepunkt T ) wegen )),),, <, als Hochpunkt H,,6) 7) 7 7 > 7 als Tiepunkt T 7 ). Die Tie- und Hochpunkte bestimmen das Monotonieverhalten des Polnoms wie olgt: ) ist monoton allend au dem Intervall - ; ); ) ist monoton steigend au dem Intervall ;,); ) ist monoton allend au dem Intervall,; 7); ) ist monoton steigend au dem Intervall 7; ). 6 b) Beim Polnom ) errechnet sich der einzige Tiepunkt mit ' ), ), ''' ) ), ) wie olgt: Notwendige Bedingung: ' ) ) [ ] als einzige kritische Stelle. Hinreichende Bedingung: Wegen ) setzen wir den -Wert, an dem mögli- Michael Buhlmann, Schülerkurs Mathematik > Analsis > Kurvendiskussion > Polnome

10 cherweise eine Etremstelle vorliegt, noch in die. und. Ableitung ein und erhalten: ) '''), ). Da die erste Ableitung die. Ableitung ist, liegt bei ein ) Etremum vor, und zwar wegen ) > ein Minimum mit T ).,,,,, 6, 7,, 6,,,,,,, 6,,,,, -, -, -, -,,,,6,,,,,6,, 6, 7, 7,6,,,, ) 7),, -, -, -, -, -,6 -, -, -, -,,, 6 ),6,,,,,6 II.6 Augaben: Bestimme die Etremstellen der olgenden Funktionen und untersuche au Monotonie: a) ) b) ) 7 c) ) d) ) II.7 Wendepunkte sind Punkte W einer Funktion ), ür die gilt: ), ''' ) Wendepunkt) W W Zur Bestimmung von Wendepunkten einer Funktion ist also die. Ableitung gleich zu setzen, so dass die -Werte mit ) zu bestimmen sind sog. notwendige Bedingung). Die geundenen -Werte sind die kritischen Stellen, wo die Wendepunkte autreten können, aber nicht müssen. Durch Einsetzen der -Werte in die. Ableitung und Überprüen des Ergebnisses au sog. hinreichende Bedingung) kann dann endgültig entschieden werden, ob Wendepunkte vorliegen. Ein Wendepunkt W einer Funktion ) mit ' ) heißt Sattelpunkt. II. Gilt E ) in der hinreichenden Bedingung ür mögliche Wendestellen W, so ist zunächst keine Entscheidung möglich. Folgende Szenarien treten au: a) Ist in einem Intervall E h, E ) links vom Wendepunkt) ) > und in einem Intervall E, E h) rechts vom Wendepunkt) ) < oder in einem Intervall E h, E ) ) < und in einem Intervall E, E h) ) > h>), so liegt ein Wendepunkt bei W vor. b) Gilt ür die n. Ableitung erstmals n) W ) n>), so liegt bei W eine Wendepunkt vor, wenn n eine ungerade Zahl ist. W Michael Buhlmann, Schülerkurs Mathematik > Analsis > Kurvendiskussion > Polnome

11 II. a) Der Grad des Polnoms bestimmt die maimal autretende Anzahl der Wendestellen, d.h.: Bei einem Polnom. Grades gibt es einen Wendepunkt, bei einem Polnom. Grades höchstens usw., bei einem Polnom n. Grades höchstens n- Wendestellen. b) Polnome mit ungeradem Grad n,, 7, ) haben mindestens einen Wendepunkt. II. Ist eine Funktion ) zweimal dierenzierbar an der Stelle, so olgt: ' ) ) ist konve linksgekrümmt) in o ' ' ) ) ist konkav rechtsgekrümmt) in o ' Die Funktion heißt au einem Intervall konve, wenn sie in jedem Punkt des Intervalls konve ist. Die Funktion heißt au einem Intervall konkav, wenn sie in jedem Punkt des Intervalls konkav ist. II. Bei Polnomen gilt dann: a) Sind W < W zwei aueinanderolgende Wendestellen eines Polnoms, so ist das Krümmungsverhalten der Funktion im Intervall W, W ) das Gleiche entweder konve oder konkav). Ist W die kleinste Wendestelle, so gilt Entsprechendes ür das Intervall -, W ), ebenso bei W als größter Wendestelle mit Intervall W, ). b) Für W < W als zwei aueinanderolgende Wendestellen eines Polnoms ) gilt: Im Intervall W, W ) liegt höchstens eine Etremstelle E. Ist diese Etremstelle ein Tiepunkt, so ist das Polnom au dem Intervall W, W ) konve. Ist die Etremstelle ein Hochpunkt, so ist das Polnom au dem Intervall W, W ) konkav. Liegt im Intervall W, W ) keine Etremstelle, so ist ein e W, W ) zu wählen. Gilt dann ) >, so ist das Polnom au W, W ) konve; gilt ) <, so ist das Polnom au W, W ) konkav. Ist W die kleinste Wendestelle, so ist das Polnom au dem Intervall -, W ) konve, wenn ür einen Punkt e-, W ) ) > gilt; ist W die kleinste Wendestelle, so ist das Polnom au dem Intervall -, W ) konve, wenn ür einen Punkt e-, W ) ) < gilt. Ist W die größte Wendestelle, so ist das Polnom au dem Intervall W, ) konve, wenn ür einen Punkt e W, ) ) > gilt; ist W die größte Wendestelle, so ist das Polnom au dem Intervall W, ) konve, wenn ür einen Punkt e W, ) ) < gilt. c) Die Intervalle zwischen den Wendepunkten heißen Krümmungsintervalle. Zwei angrenzende Krümmungsintervalle haben dann ein unterschiedliches Krümmungsverhalten. Es gilt also mit W als Wendepunkt und den Krümmungsintervallen a, W ) und W, b) mit a, b als weitere Wendestellen oder a- oder b : Ist das Polnom konve au a, W ), so konkav au W, b) und umgekehrt. Ist das Polnom konkav au a, W ), so konve au W, b) und umgekehrt. II. Beispiele: a) Zur Funktion ) ) bestimmen wir die Etrem- und Wendestellen. Es gilt bzgl. der Ableitungen: ' ), ), ''' ). Die möglichen) Etrema errechnen sich aus: ' ) 6 ) 6 6 notwendige Bedingung) mit: ) keine Entscheidung möglich), 6) < ür den Hochpunkt H6 ) hinreichende Bedingung). Für die Wendestellen gilt: Notwendige Bedingung: ) ) Hinreichende Bedingung: ''') als Wende- und Sattelpunkt W ), ''') 6 als Wendepunkt W 6). Wegen der beiden Wendepunkte ergibt sich das olgende Krümmungsverhalten der Funktion au den Intervallen -, ),, ) und, ): ) ist au Grund des Hochpunktes bei 6 im Intervall, ) konkav, daher im sich daran anschließenden Intervall, ) konve, somit im Intervall -, ) wieder konkav. Michael Buhlmann, Schülerkurs Mathematik > Analsis > Kurvendiskussion > Polnome

12 b) Gegeben sei das Polnom. Grades ). Wir bestimmen die Wendepunkte mit den Ableitungen: ' ), ) 6 6, ''' ) und vermöge der notwendigen Bedingung: ) 6 6 *) Die Polnomgleichung ist mit - lösbar, so dass die Polnomdivision: --):) - ) ) zu den weiteren Umormungen ührt: *) ± Hinreichende Bedingung: Einsetzen in die. Ableitung ergibt: ''' ) 7 als Wendepunkt ''' ) 7 als Wendepunkt ''') 7 als Wendepunkt Als Wendepunkte haben wir: W - 7), W - -76), W -).,,,,,,,,,, -, -, -, -, -, -,,,,6,,,,,6,, 6, 7, 7,6,,, -, -, -, -6, -, -, -,7 -, -, -, -7,7-6, -, -, -,7 -, -,,,,,7 6, 7, ) ) ) II. Augaben: Bestimme die Wendepunkte der nachstehenden Polnome und untersuche au Krümmung: a) ) b) ) c) ) d) ) ) II. Im Zusammenhang mit den Wendepunkten greien wir das Thema der Wendetangente noch au. Ist ) dierenzierbar in, so können wir gemäß der Formel: Michael Buhlmann, Schülerkurs Mathematik > Analsis > Kurvendiskussion > Polnome

13 t: ) ) ) Tangente) ' die Gleichung der Tangente im Funktionspunkt P )) austellen. Die Gleichung der Normale in P )) lautet: n: ) ) ' ) Normale), wobei ) gelten muss. Bei ) ist die Tangente ), die Normale:. Eine Wendetangente ist dann die Tangente in einem Wendepunkt der Funktion mit dem Unterschied, dass sie die Funktion nicht wie bei allen anderen berührt, sondern in durchschneidet. Letzteres ergibt sich aus dem Wechsel im Krümmungsverhalten der Funktion im Wendepunkt. II. Beispiele: a) Zur Funktion ) bestimmen wir die Tangente und Normale im Punkt -. Dazu bilden wir die. Ableitung: ' ) und erhalten weiter: -) - -, -). Wir setzen alle geundenen Werte in obige Tangenten- bzw. Normalengleichung ein und errechnen als Tangente t und Normale n: t: )) ) ) 6 ; 7 n: )) ) ). b) Gegeben sei das Polnom ) 6). I. Wir bestimmen zunächst die Wendepunkte von ) 6 und errechnen dazu die Ableitungen: ' ), ), ''' ). Nullsetzen der. Ableitung bringt: ) 6 ± als mögliche Stellen ür Wendepunkte. Einsetzen in die. Ableitung ührt wegen ''' ) 6 und ''') 6 in der Tat au die Wendepunkte W - -) und W -), da ) ) 6 ) gilt. II. Wir berechnen nun die Wendetangenten in den Wendepunkten und benötigen dazu noch die Werte der. Ableitungen an den Stellen - und. Nun gilt diesbezüglich: ' ) 6 76, ') 6 76, also ' ) ') wegen der Achsensmmetrie von ) und der Punktsmmetrie der. Ableitung. Die Tangenten t - und t in den Wendepunkten lauten nun: t - : )) ) ) 76 ; t : ) ) ) 76. II.6 Zum Verhalten ür betragsmäßig große, also ür bzw., ist zu sagen, dass sich das Polnom hierbei nach der höchsten Potenz richtet. Ist also n n ) an an... a a die Funktionsgleichung eines Polnoms n. Grades, n so ist a die höchste Potenz mit dem Koeizienten a n n. Dann gilt die olgende Fallunterscheidung: a) Ist n ungerade n,,, ) und a n >, so ist: ) ; ). b) Ist n ungerade n,,, ) und a n <, so ist: ) ; ). c) Ist n gerade n,, 6, ) und a n >, so ist: Michael Buhlmann, Schülerkurs Mathematik > Analsis > Kurvendiskussion > Polnome

14 ) ; ). d) Ist n gerade n,, 6, ) und a n <, so ist: ) ; ). II. Beispiele: a) Mit ) gilt wegen der höchsten Potenz und dem positiven Koeizienten : ) ; ). b) Das Polnom ) hat die höchste Potenz mit dem positiven Koeizienten. Damit gilt: ) ; ). c) Das Polnom ) 6 hat die höchste Potenz mit dem negativen Koeizienten. Somit ist: ) ; ). II. Wir erwähnen noch die Umkehrung von Kurvendiskussionen: die Bestimmungsaugaben. Eine Funktion wird dabei au Grund ihrer Eigenschaten bestimmt. Im Falle eines Polnoms n. Grades ergibt sich die olgende Vorgehensweise: ) Austellen der allgemeinen Funktionsgleichung ) a a n n n an... a mit n unbekannten Koeizienten a i des Polnoms, wobei eventuell die Ableitungen '' zu berücksichtigen sind. ' ) na ) n n ) n n n n an a a n n ) an n ) n ) an... ) Ermittlung der n Eigenschaten der Funktion in der Form ki)) i ) z i, ki) e {, n}, i, n. ) Austellen des zugehörenden linearen Gleichungssstems k)) ) z, k)) ) z, kn)) n ) z n ) Lösen des linearen Gleichungssstems, z.b. mit dem Gauß-Algorithmus, mit den gesuchten Koeizienten a i, i, n, als Lösung. ) Austellen der Funktionsgleichung mit Hile der geundenen a i, i, n. 6) Probe ür die augeundene Polnomunktion, da manche Eigenschatgleichungen ki)) i ) z i aus notwendigen Bedingungen resultieren könnten...., a Michael Buhlmann, Schülerkurs Mathematik > Analsis > Kurvendiskussion > Polnome

15 Augaben III. Beispiele ür Kurvendiskussionen III. Beispiel: Gegeben ist das Polnom: ) 6. Kurvendiskussion ohne Untersuchung der Smmetrie, mit Untersuchung von Monotonie und Krümmung): I. Deinitionsbereich D R II. Ableitungen ), ), ) III. Nullstellen des Polnoms mit notwendiger und hinreichender Bedingung: ) I. Deinitionsbereich: D R. Das Polnom ist ür alle R deiniert, stetig und beliebig ot) dierenzierbar. II. Ableitungen: ) 6 Funktion ' ). Ableitung ) 6. Ableitung ''' ) 6. Ableitung III. Nullstellen: Geratene Nullstelle bei mit ) und Polnomdivision: -6 -):-) ) - -- ) - --) ergeben beim Nullsetzen der Funktionsgleichung: ) 6 IV. Etremwerte als Nullstellen der. Ableitung) mit notwendiger Bedingung: ' ) und hinreichender Bedingung ür die E mit ' ) : E E ) < E rel. Maimum E ) > E rel. Minimum ± [ ] ± Nullstellen der Funktion sind somit:,. Also: N ), N ). 6 IV. Hoch- und Tiepunkte: Notwendige Bedingung: Das Nullsetzen der. Ableitung ührt zu den olgenden Gleichungsumormungen: ' ) ± ± ± ± Hinreichende Bedingung: Einsetzen der -Werte in die. Ableitung ergibt: ) 6 6 < als relatives Maimum ) 6 > als relatives Minimum ist relatives Maimum Hochpunkt), relatives Minimum Tiepunkt) der Funktion. Somit lauten die diesbezüglichen Kurvenpunkte wegen ) und ) 6 : H ), T -). ± Michael Buhlmann, Schülerkurs Mathematik > Analsis > Kurvendiskussion > Polnome

16 V. Wendepunkte als Nullstellen der. Ableitung) mit notwendiger Bedingung: ) und hinreichender Bedingung ür die W mit ) : W ''' W ) W Wendepunkt V. Wendepunkte: Notwendige Bedingung: Nullsetzen der. Ableitung ergibt: ) 6 6 Hinreichende Bedingung: Einsetzen der -Koordinate des potenziellen Wendepunkts in die. Ableitung ührt au: ''') 6 als Wendepunkt Der Wendepunkt der Funktion liegt bei. Wegen ) 6 - lautet der Wendepunkt: W -). VI. Monotonie au den durch die Etremwerte, - und begrenzten Intervallen) mit: ' ) monoton steigend ' ) monoton allend VI. Monotonie: Wegen der Etremwerte und sind die Monotonieintervalle der Funktion mit ihren Eigenschaten: -, ), ), ) relatives relatives Maimum Minimum monoton monoton monoton steigend allend steigend Also ist monoton steigend au -, ) und, ), monoton allend au, ). VII. Krümmung au den durch die Wendepunkte - und begrenzten Intervallen) mit: ) konkav ) konve VIII. Verhalten gegen, abhängig von der höchsten Potenz des Polnoms a n n mit: a n>, n ung.: -> Ø )-> ->- Ø )->- a n>, n gerade: -> Ø )-> ->- Ø )-> a n<, n ung.: -> Ø )->- ->- Ø )-> a n<, n gerade: -> Ø )->- ->- Ø )->- VII. Krümmung: Au Grund des Wendepunktes sind die Krümmungsintervalle der Funktion mit ihren Eigenschaten: -, ), ) Wende- punkt konkav konve rel. rel. Maimum mit Minimum mit )-6< )6> Somit ist konkav rechtsgekrümmt) au dem Intervall -, ), konve linksgekrümmt) au dem Intervall, ). VIII. Verhalten ür betragsmäßig große : Der Term ist die höchste Potenz in der Polnomunktion ) und besitzt den Koeizienten. D.h., es gilt: )... )... IX. Wertetabelle IX. Wertetabelle: - ) Michael Buhlmann, Schülerkurs Mathematik > Analsis > Kurvendiskussion > Polnome 6

17 X. Zeichnung im --Koordinatensstem X. Zeichnung: -, -, -, -, -, -,,,,,,,,,,,, III. Beispiel: Gegeben ist das Polnom. Grades mit der Funktionsvorschrit ). Kurvendiskussion: I. Deinitionsbereich D R II. Smmetrie ) ) Ø gerade ) ) Ø ungerade I. Deinitionsbereich: D R. Das Polnom ist ür alle R deiniert, stetig und beliebig ot) dierenzierbar. II. Smmetrie: Wegen der geraden Potenzen, und - ist das Polnom eine gerade Funktion, mithin smmetrisch zur -Achse. Es gilt also: ) ). III. Ableitungen ), ), ) IV. Nullstellen des Polnoms mit notwendiger und hinreichender Bedingung: ) III. Ableitungen: ) Funktion ' ) 6. Ableitung ) 6. Ableitung ''' ). Ableitung IV. Nullstellen: Mit ) liegt eine biquadratische Gleichung vor, so dass die Substitution z eine quadratische Gleichung in z ergibt, die gelöst werden kann. Rücksubstitution von z und anschließendes Ziehen der Wurzel ührt dann au die Lösungen von : Michael Buhlmann, Schülerkurs Mathematik > Analsis > Kurvendiskussion > Polnome 7

18 V. Etremwerte als Nullstellen der. Ableitung) mit notwendiger Bedingung: ' ) und hinreichender Bedingung ür die E mit ' ) : E E ) < E rel. Maimum E ) > E rel. Minimum VI. Wendepunkte als Nullstellen der. Ableitung) mit notwendiger Bedingung: ) und hinreichender Bedingung ür die W mit ) : W ''' W ) W Wendepunkt VII. Verhalten gegen, abhängig von der höchsten Potenz des Polnoms a n n mit: a n>, n ung.: -> Ø )-> ->- Ø )->- a n>, n gerade: -> Ø )-> ->- Ø )-> VIII. Wertetabelle ) z ± ± 6 ± z z z ± z z [ ] z Nullstellen der Funktion sind somit: -,. Also: N - ), N ). V. Hoch- und Tiepunkte: Notwendige Bedingung: Wir setzen die. Ableitung gleich : ' ) 6 ) ± Hinreichende Bedingung: Wir setzen die potenziellen Hoch- und Tiepunkte -,, in die. Ableitung ein und erkennen: ) ) 6 > als relatives Minimum ) 6 6 < als relatives Maimum ) 6 > als relatives Minimum Wegen -) ) - Smmetrie) und ) - besitzt also das Polnom die zwei Tiepunkte T - -), T -) und den Hochpunkt H -). VI. Wendepunkte: Notwendige Bedingung: Nullsetzen der. Ableitung ührt zu: 6 ) 6 6 ± Hinreichende Bedingung: Einsetzen der möglichen Wendepunkte in die. Ableitung ergibt: ''' als Wendepunkt ''' als Wendepunkt Au Grund von besitzt die Funktion Wendepunkte bei: W ), W ). VII. Verhalten ür betragsmäßig große : Der Term ist die höchste Potenz in der Polnomunktion ) und besitzt den Koeizienten. D.h., es gilt: )... )... VIII. Wertetabelle: Unter Beachtung der Achsensmmetrie gilt: ) - -6 ± Michael Buhlmann, Schülerkurs Mathematik > Analsis > Kurvendiskussion > Polnome

19 IX. Zeichnung im -- Koordinatensstem IX. Zeichnung: Smmetrieachse 6 - -, -, -, -, -, -, -, -,,,,,,,,,, - III. Gegeben ist das Polnom. Grades ) ). Kurvendiskussion mit Bestimmung der Wendetangenten und der Normalen der Wendepunkte): I. Deinitionsbereich D R II. Ableitungen ), ), ) I. Deinitionsbereich: D R. Das Polnom ist ür alle R deiniert, stetig und beliebig ot) dierenzierbar. Neben der Darstellung der Funktion als Produkt verwenden wir durch Aulösen der Klammer die Darstellung: ) ). Wegen den Potenzen und ist eine gerade oder ungerade) Smmetrie nicht erkennbar. II. Ableitungen: Die letzte Form von verwenden wir beim Ableiten: ) Funktion ' ). Ableitung ) ''' ). Ableitung 6. Ableitung Michael Buhlmann, Schülerkurs Mathematik > Analsis > Kurvendiskussion > Polnome

20 III. Nullstellen des Polnoms mit notwendiger und hinreichender Bedingung: ) III. Nullstellen: Es olgt aus der Darstellung der Funktion als Produkt: ) ) Nullstellen der Funktion sind somit:,. Also: N ), N ). IV. Etremwerte als Nullstellen der. Ableitung) mit notwendiger Bedingung: ' ) und hinreichender Bedingung ür die E mit ' ) : E E ) < E rel. Maimum E ) > E rel. Minimum V. Wendepunkte als Nullstellen der. Ableitung) mit notwendiger Bedingung: ) und hinreichender Bedingung ür die W mit ) : W ''' W ) W Wendepunkt IV. Hoch- und Tiepunkte: Notwendige Bedingung: Nullsetzen der. Ableitung ergibt: ' ) 6 ) 6 6 Hinreichende Bedingung: Einsetzen der geundenen Werte und 6 in die. Ableitung ergibt: ) kann weder als Minimum noch Maimum erkannt werden siehe dazu V.) 6) 6 7 < als relatives Maimum 6 Bei 6 liegt ein relatives Maimum Hochpunkt). Somit lautet der diesbezügliche Kurvenpunkt wegen 6) 6) 6 6 : H6 6). V. Wendepunkte: Notwendige Bedingung: Aus dem Nullsetzen der. Ableitung olgt: ) 6 ) Hinreichende Bedingung: Einsetzen der -Koordinate der potenziellen Wendepunkte in die. Ableitung ergibt: ''') als Wendepunkt ''') als Wendepunkt Insbesondere liegt bei also kein Hoch- und Tiepunkt siehe IV.), sondern ein Wendepunkt vor, und zwar ein Sattelpunkt mit Funktionssteigung ) gleich. Die Wendepunkte lauten wegen ) und ) ) : W ), W ). VI. Verhalten gegen, abhängig von der höchsten Potenz des Polnoms a n n mit: a n<, n ung.: -> Ø )->- ->- Ø )-> a n<, n gerade: -> Ø )->- ->- Ø )->- VI. Verhalten ür betragsmäßig große : Der Term ist die höchste Potenz in der Polnomunktion ) und besitzt den negativen Koeizienten. Damit gilt: )... )... VII. Wertetabelle VII. Wertetabelle: ) - - -,, 6 - Michael Buhlmann, Schülerkurs Mathematik > Analsis > Kurvendiskussion > Polnome

21 VIII. Zeichnung im -- Koordinatensstem VIII. Zeichnung: n -, -, -, -,7 -, -,,,,,7,,,,7 6, 7,,,7 t - IX. Tangente in : t : ' ) ) ) X. Normale in : n : ) ' ) ) IX. Wendetangenten: a) Im Sattelpunkt W ) lautet wegen ) die Wendetangente: t : ), ist also identisch mit der -Achse. b) Die Steigung der Funktion im Wendepunkt W ) beträgt mit : ) 6 6 6, der Funktionswert an der Stelle ist: ). Es ergibt sich als Tangentengleichung: t : ') ) ) 6 ) X. Normalen der Wendepunkte: a) Für olgt wegen des Sattelpunkts W ) mit ) ür die Normale n :, also die -Achse. b) Es gilt:, ), ) 6. Für die Gleichung der Normalen olgt: n : ') ) ) 6 ) III. Gegeben ist das Polnom. Grades I. Deinitionsbereich D R ). Kurvendiskussion: I. Deinitionsbereich: D R. Das Polnom ist überall stetig und dierenzierbar. II. Smmetrie ) ) Ø ungerade II. Smmetrie: Wegen der ungeraden Potenzen und ist das Polnom eine ungerade Funktion, also smmetrisch zum Ursprung mit: ) ). Michael Buhlmann, Schülerkurs Mathematik > Analsis > Kurvendiskussion > Polnome

22 III. Ableitungen ), ), ) IV. Nullstellen des Polnoms mit notwendiger und hinreichender Bedingung: ) III. Ableitungen: ) ' ) Funktion 6. Ableitung ) 6. Ableitung ''' ). Ableitung IV. Nullstellen: Nullsetzen des Funktionsterms ergibt: ) ) ± Nullstellen der Funktion sind damit: N ), N ). V. Etremwerte als Nullstellen der. Ableitung) mit notwendiger Bedingung: ' ) und hinreichender Bedingung ür die E mit ' ) : E E ) < E rel. Maimum E ) > E rel. Minimum VI. Wendepunkte als Nullstellen der. Ableitung) mit notwendiger Bedingung: ) und hinreichender Bedingung ür die W mit ) : W ''' W ) W Wendepunkt VII. Verhalten gegen, abhängig von der höchsten Potenz des Polnoms a n n mit: a n>, n ung.: -> Ø )-> ->- Ø )->- V. Hoch- und Tiepunkte: Notwendige Bedingung: Nullsetzen der. Ableitung ührt au die olgenden Gleichungsumormungen: ' ) 6 6 6) ± Hinreichende Bedingung: Einsetzen in die. Ableitung ergibt: ) 6 ) ) < als Hochpunkt ) 6 > als Tiepunkt 6 Für ist keine Entscheidung möglich, da ) gilt siehe VI.). Wegen ) und -) -) 6 Smmetrie) hat das Polnom den Hochpunkt H- 6) und den Tiepunkt T -6). VI. Wendepunkte: Notwendige Bedingung: Nullsetzen der. Ableitung ührt zu: '' ) 6 6 ± ) 6 Hinreichende Bedingung: Einsetzen der möglichen Wendepunkte in die. Ableitung ergibt: ''' ) als Wendepunkt ''') als Wendepunkt ''' ) als Wendepunkt Au Grund von ), ), ) ) besitzt ) die drei Wendepunkte: W - ), W ), W - ). VII. Verhalten ür betragsmäßig große : Der Term ist die höchste Potenz in der Polnomunktion ) und besitzt den Koeizienten. Damit gilt: )... )... Michael Buhlmann, Schülerkurs Mathematik > Analsis > Kurvendiskussion > Polnome

23 VIII. Wertetabelle VIII. Wertetabelle: Unter Beachtung der Punktsmmetrie gilt: ± ± ) m 7 m m 6 m m 7 m 67 IX. Zeichnung im -- Koordinatensstem IX. Zeichnung: -, -,7 -, -, -, -, -, -, -,6 -,,,,6,,,,,,,7,, III. Gegeben ist das Polnom. Grades ) ) ). Kurvendiskussion: I. Deinitionsbereich D R II. Smmetrie I. Deinitionsbereich: D R. Das Polnom ist überall stetig und dierenzierbar. II. Smmetrie: Die Funktion ist ein Produkt. Da der erste Faktor ) sowohl gerade als auch ungerade, der zweite Faktor ) nur gerade Eponenten enthält, besteht das ausgerechnete Polnom aus geraden und ungeraden Potenzen. Eine Smmetrie ist mithin nicht erkennbar. III. Ableitungen ), ), ) III. Ableitungen u.a. gemäß der Produkt- und Kettenregel): ) ) ) Funktion ' ) ) ) ) )[ ) )] )[ ] ) ). Ableitung ' ' ) ) ) ) Michael Buhlmann, Schülerkurs Mathematik > Analsis > Kurvendiskussion > Polnome

24 . Ableitung ''' ). Ableitung IV. Nullstellen des Polnoms mit notwendiger und hinreichender Bedingung: ) IV. Nullstellen: Nullsetzen des Funktionsterms ergibt: ) ) ) ) ± Nullstellen der Funktion sind damit: N - ), N ), N ). V. Etremwerte als Nullstellen der. Ableitung) mit notwendiger Bedingung: ' ) und hinreichender Bedingung ür die E mit ' ) : E E ) < E rel. Maimum E ) > E rel. Minimum VI. Wendepunkte als Nullstellen der. Ableitung) mit notwendiger Bedingung: ) und hinreichender Bedingung ür die W mit ) : W ''' W ) W Wendepunkt VII. Verhalten gegen, abhängig von der höchsten Potenz des Polnoms a n n mit: a n>, n ung.: -> Ø )-> ->- Ø )->- V. Hoch- und Tiepunkte: Notwendige Bedingung: Nullsetzen der. Ableitung ührt au: ' ) ) ± ) ± Hinreichende Bedingung: Einsetzen in die. Ableitung ergibt: ) ) ) 7,7 > als Tiepunkt T -77,7) ) ) ),7 < als Hochpunkt H,7) ) > als Tiepunkt T ). VI. Wendepunkte: Notwendige Bedingung: Nullsetzen der. Ableitung ührt zu: ) ± ± ±,, Hinreichende Bedingung: Einsetzen der möglichen Wendepunkte in die. Ableitung ergibt: ''',), 7,6, als Wendepunkt ''',), 7,6, als Wendepunkt ) besitzt die zwei Wendepunkte: W, -,), W,,). VII. Verhalten ür betragsmäßig große : Würden wir die Funktion ausmultiplizieren, so wäre das Polnom von der Form ) Der Term ist die höchste Potenz in ) mit geradem Eponenten und besitzt den positiven Koeizienten. Damit gilt: )... )... VIII. Wertetabelle VIII. Wertetabelle: Es gilt: , ),6-77, , -7,7 6 ) 6 Michael Buhlmann, Schülerkurs Mathematik > Analsis > Kurvendiskussion > Polnome

25 IX. Zeichnung im -- Koordinatensstem IX. Zeichnung: -, -, -, -, -,6,,6,,,,,6,,, 6, 6,6 - - III.6 Gegeben ist das Polnom 6. Grades I. Deinitionsbereich D R ) ). Kurvendiskussion: I. Deinitionsbereich: D R. Das Polnom ist überall stetig und dierenzierbar. II. Smmetrie II. Smmetrie: Die Funktion ist die Potenz des Polnoms, das gerade und ungerade Eponenten enthält. Daher ist eine Smmetrie nicht erkennbar, obwohl siehe die Zeichnung ) achsensmmetrisch zur Achse, ist. III. Ableitungen ), ), ) III. Ableitungen u.a. gemäß der Produkt- und Kettenregel): ) ) Funktion ' ) ) ). Ableitung ) ) ) ) ) 6 )[ ) ]. Ableitung ''' ) 6 )[ ) ] 6 ) ) 6 )[ ) )] 6 )[ 6 ) 6) ) ). Ableitung Michael Buhlmann, Schülerkurs Mathematik > Analsis > Kurvendiskussion > Polnome

26 IV. Nullstellen des Polnoms mit notwendiger und hinreichender Bedingung: ) IV. Nullstellen: Nullsetzen des Funktionsterms ergibt: ) ) ± Nullstellen der Funktion sind damit: N - ), N ). ± ± V. Etremwerte als Nullstellen der. Ableitung) mit notwendiger Bedingung: ' ) und hinreichender Bedingung ür die E mit ' ) : E E ) < E rel. Maimum E ) > E rel. Minimum VI. Wendepunkte als Nullstellen der. Ableitung) mit notwendiger Bedingung: ) und hinreichender Bedingung ür die W mit ) : W ''' W ) W Wendepunkt VII. Verhalten gegen, abhängig von der höchsten Potenz des Polnoms a n n mit: a n>, n ung.: -> Ø )-> ->- Ø )->- V. Hoch- und Tiepunkte: Notwendige Bedingung: Nullsetzen der. Ableitung ührt unter Beachtung der Umormungen in IV. zu: ' ) ) ) Hinreichende Bedingung: Einsetzen der kritischen Stellen in die. Ableitung ergibt au Grund von mit -) und ) : ) bei - ist keine Entscheidung au eine Etremstelle möglich,) 6,, ) ),7 >, als Tiepunkt ) bei ist keine Entscheidung au eine Etremstelle möglich Wir haben damit zunächst T, -,) als Tiepunkt von ) erkannt. VI. Wendepunkte: Notwendige Bedingung: Nullsetzen der. Ableitung ührt wegen ) > und dadurch möglicher Division mit diesem Term sowie unter Beachtung der Umormungen in IV. zu: ) 6 )[ ) ] Hinreichende Bedingung: Einsetzen der möglichen Wendepunkte in die. Ableitung ergibt: ''' ) ) als Wendepunkt ''') als Wendepunkt ) besitzt die zwei Wendepunkte: W - ), W ). Die Wendepunkte sind zudem Nullstellen der Funktion IV.) und weiter Sattelpunkte wegen -) und ). VII. Verhalten ür betragsmäßig große : Würden wir die Funktion ausmultiplizieren, so wäre das Polnom von der Form ) 6 Der Term 6 ist die höchste Potenz in ) mit geradem Eponenten und besitzt den positiven Koeizienten. Damit gilt: 6 )... 6 )... VIII. Wertetabelle VIII. Wertetabelle: Es gilt: , ) 6 - -, - 6 ) 6 Michael Buhlmann, Schülerkurs Mathematik > Analsis > Kurvendiskussion > Polnome 6

27 IX. Zeichnung im -- Koordinatensstem IX. Zeichnung: 7, 6,,,,,,, -, -, -,7 -, -, -, -, -,,,,7,,,6,,,, -, IV. Augaben zu Kurvendiskussionen IV. Augaben: Untersuche die olgenden Polnomunktionen au: Smmetrie, Nullstellen, Hoch- und Tiepunkte, Wendepunkte, Verhalten ür betragsmäßig große. Erstelle im -- Koordinatensstem eine Zeichnung der Funktion. a) ) 6 b) ) ) c) ) d) ) 6) ) e) ) 6 ) ) IV. Augaben: Untersuche die olgenden Polnomunktionen au: Smmetrie, Nullstellen, Hoch- und Tiepunkte, Wendepunkte, Verhalten ür betragsmäßig große. Erstelle im -- Koordinatensstem eine Zeichnung der Funktion. a) ) b) c) ) ) ) d) 6 ) ) Michael Buhlmann, Schülerkurs Mathematik > Analsis > Kurvendiskussion > Polnome 7

28 e) ) ) 6 ) 6) IV. Augaben: Ermittle die Wendetangenten und Wendenormalen der olgenden Polnome: a) ) b) ) c) ) d) ) ) IV. Augaben: a) Wie lauten Tangente und Normale zur Funktion ) im Punkt -? b) Berechne die Tangenten an den Etremstellen des Polnoms ) 6 6. c) Wo schneidet die Normale im einzigen) Wendepunkt der Funktion ) dieses Polnom?,, t,,,,, -, -, -,6 -, -, -,7 -, -, -, -, -, n,,,7,,,6,,,,,, -, -, -, -, -, -, -, -, -, -, -,,,,,,,, n,,,, -, -, -, -, ) ) IV. Augaben: a). Gesucht ist ein Polnom ) dritten Grades mit olgenden Eigenschaten: ) besitzt Nullstellen bei - und ; ) hat einen Tiepunkt bei ; ) schneidet die -Achse bei -. b) Ein biquadratisches Polnom ) besitzt an der Nullstelle einen Tiepunkt und im Punkt die Steigung -. Michael Buhlmann, Schülerkurs Mathematik > Analsis > Kurvendiskussion > Polnome

29 Lösungen I.6 Als Ableitungen ergeben sich: a) ) : ' ) ) ''' ) b) ) : ' ), ) ''' ) c) ) : ' ), ), ''' ) d) ) 6 : ' ) 6, ) 7, ''' ) e) ) ) ) 7 : ' ) 6, ) 6 6, ''' ) 6 ) ) 7 ) ) : ' ) 7) ) 7 ) ) u.a. nach der Produktregel), ) 7, ''' ) 6 7 g) ) ) : ' ) ) ) u.a. nach der Produktregel), ) 6, ''' ) 6 h) ) : ' ), ), ''' ) i) ) 7) : ' ) 7) ) ) 7) nach der Ket- tenregel), ) 7) ) ) 7) ) , ''' ) 6 j) ) 6) ) : ' ), ), ''' ) 6 I. Die gesuchten Ableitungen lauten: a) ) 67) : 67), ' ) 67) 67), ) 67) ''' ) 67) 67) laut der Kettenregel). b) ) ) ) : ' ) ) ) ) )[ ) )] ) ) nach Ketten- und Produktregel), ) 6, ''' ) 6. c) ) ) : Laut der Produktregel ür zwei und drei Faktoren gilt: ' ) ) ) )[ ) ] ) ), ) ) ) ) ) Michael Buhlmann, Schülerkurs Mathematik > Analsis > Kurvendiskussion > Polnome

30 [ ) ) ) )] 7 6) ), ) ) ) d) ) ) ) : Wir wenden die Produktregel ür Ableitungen an: ' ) ) ) 6) 6 6, ) 6 6, ''' ) 7 6. e) ) [ ) ] ' ) [ ) ] ) ) [ ) ] ) ) ) [ ) ] ) ) ) ) [ ) ] [ ) ] ) ) [ ) ] 7) [ ) ] [ ) ) ) ) 7) ], ''' ) 6 ) ) [ 6 )) [ ) : Wir wenden die Kettenregel an und danach die Produktregel: ) ) ) ) ' ) ) ) ) ) ] 6 ) [ ) ], 6 ) ) ) ] 6 )) 6 ) ) [ ) ] ) ) ) ) : Die Produktregel ür drei Faktoren ergibt: ) ) ) ) ) ) ) )..., ), ''' ). II. Wir berechnen die Nullstellen der jeweiligen Polnome: 7 7 a) ) 7 : ) 7 7 als Nullstelle N ). b) ) 6 : Wir wenden die p-q-formel an: ) 6 ± 6 ±. Wir erhalten die Nullstellen: N - ), N ). c) ) 6 : Nach der Mitternachtsormel gilt: ± ) 6 Die Parabel ) besitzt keine Nullstellen. 6 6 ± ± ) d) ) 7) : Ein Produkt ist gleich, wenn einer der Faktoren gleich ist. Somit nutzen wir die Darstellung von ) als Produkt aus: 7 ) 7) Die zwei Nullstellen des Polnoms sind: N ), N ). e) ) ) ) : Aus dem Funktionsterm als Produkt olgt: ) ) ) ± ± Die drei Nullstellen der Funktion lauten: N ), N ), N ). Michael Buhlmann, Schülerkurs Mathematik > Analsis > Kurvendiskussion > Polnome

31 Michael Buhlmann, Schülerkurs Mathematik > Analsis > Kurvendiskussion > Polnome ) ) : Wir klammern das in beiden Summanden vorhandene aus: ] [ ) ) Einzige Nullstelle von ) ist: N ). g) ) : Hier ziehen wir in der Gleichung die dritte Wurzel: 6 ) mit Nullstelle N ). h) 7 ) : Wir raten bei 7 ) die Nullstelle und ühren die olgende Polnomdivision durch: - 7-):-) - - ) ) - --) Wir haben damit die Gleichungsumormungen: ± ± 7 7 ) Einzig N ) ist Nullstelle des Polnoms. Grades. i) 76 6 ) : Wir lösen die biquadratische Gleichung mit z und Mitternachtsormel : ± ) z z z z ± ± ± ± z z z z Wir erhalten damit die vier Nullstellen: N - ), N ), N ), N ). j) ) : Es liegt wiederum eine biquadratische Gleichung vor: 6] [ 6 6 ) ± ± ± ± z z z z z z z z Die zwei geundenen Nullstellen sind: N - ), N ). k) 6 ) : Wir raten die Nullstelle und ühren eine Polnomdivision durch: 6 ) : ) 6 Das Raten der weiteren Nullstelle - ergibt die Polnomdivision: 6 7 ) : ) 6 Wir raten nochmals mit der Nullstelle - und erhalten: ) : 6) 7 Die quadratische Gleichung lösen wir wie olgt:,, ± ± ±

32 Die Nullstellen des Polnoms sind also: N - ), N - ), N - ), N ), N ). 6 6 l) ) : Es liegt mit ) eine triquadratische Gleichung vor, so dass die Substitution z angebracht erscheint: 6 7 ) z z z ± ± ± z z z [ ] ± z Die Nullstellen von ) sind: N - ), N ). II.6 Bzgl. der Etremstellen olgender Funktionen gilt: a) ) : Wegen ' ) gibt es keine Etrema bei der Geraden. D.h.: Die Gerade ist überall monoton steigend au Grund von ' ) >. b) ) hat als Parabel. Ordnung ein Minimum als Scheitelpunkt. Wir errechnen: ' ) notwendige Bedingung) mit: ) und 7 ) > hinreichende Bedingung), so dass T ) der einzige Tiepunkt der Parabel ist. Wegen des Tiepunktes T ist ) monoton allend im Intervall -, ), monoton steigend in, ). c) ) : I. Ableitungen: ' ) 6 6, ) 6. II. Hoch- und Tiepunkte: Notwendige Bedingung: ' ) 6 6 ) ± als eventuelle Etrema der Funktion. Die hinreichende Bedingung ergibt: ) > als Tiepunkt T -,7); ) 6 < als Hochpunkt H ); ) > als Tiepunkt T -,7).,,,,, III. Monotonie: Die zwei Tiepunkte T und T sowie der Hochpunkt H ührt au das Monotonieverhalten: ) monoton allend au -, ); ) monoton steigend au, ); ) monoton allend au, ); ) monoton steigend au, ).,,,,, -, -,6 -, -, -, -, -,6 -, -,,, ),,6,,,,,6 Michael Buhlmann, Schülerkurs Mathematik > Analsis > Kurvendiskussion > Polnome

33 d) ) : Wir bilden die. Ableitung ' ) als kritische Stelle. Jedoch ist mit ) ), so dass keine Entscheidung möglich ist, ob bei ein Etremum vorliegt oder nicht. Wir leiten daher weiter ab und bestimmen die Werte der Ableitungen an der Stelle : ) ) ) ''' ) mit ''') ; ) mit ) ; ) 6 mit ) ) ; 6) ) 6) 6 mit ) 7, Nullsetzen ührt au: ' ) 7) 7) ; ) 6 mit ) ; ) ) ) 6 mit ) 6. Erst bei der. Ableitung treen wir au einen Ableitungswert ungleich, so dass wegen der als gerader Zahl in der Tat eine Etremstelle ) vorliegt. Da ) 6 <, liegt bei ein Hochpunkt H ) vor. Die Monotonieintervalle sind -, ) und, ), ) ist wegen des Hochpunktes au -, ) monoton steigend, au, ) monoton allend. II. a) ) : Wir bilden die Ableitungen: ' ), ), ''' ), ) ) ), ). Nullsetzen der. Ableitung ührt wegen ' ) ) au als mögliche Wendestelle. Nun ist: ''') ), jedoch ) ), so dass mit der. eine ungeradzahlige Ableitung erstmals ungleich ist. Damit liegt bei ein Wendepunkt W ) vor. Das Polnom hat die zwei Krümmungsintervalle -, ) und, ), ) ist z.b. wegen ) > konve au, ) und daher konkav au -, ). b) ) : I. Ableitungen: ' ), ) 6, ''' ) 6. II. Wendepunkte: Notwendige Bedingung: ' ' ) 6 als kritische Stelle. Hinreichende Bedingung: ''') 6 als Wendepunkt W ). III. Krümmung: Die Krümmungsintervalle lauten -, ) und, ), ) ist wegen ) 6 < au, ) konkav, au -, ) konve. c) ) : I. Ableitungen: ' ), ), ''' ). II. Wendepunkte: Notwendige Bedingung: ) ± als mögliche Stellen ür Wendepunkte. Hinreichende Bedingung: ''' ) als Wendepunkt W -,7); ''' ) als Wendepunkt W,7). III. Krümmung: Wir bestimmen ) < und haben daher: ) ist konve au -, - ); ) ist konkav au -, ); ) ist konve au, ). d) ) ) : I. Ableitungen: ' ) ) 6 ) 6 nach der Kettenregel), ) 6, ''' ) 6. II. Wendepunkte: Notwendige Bedingung: 6 6 ) 6 6 6). Hinreichende Bedingung: ''') 6 als Michael Buhlmann, Schülerkurs Mathematik > Analsis > Kurvendiskussion > Polnome

34 Wendepunkt W 6) sowie: 6 6 ''' ) als Wen- 6 depunkt W,). III. Krümmung: Bei T ) liegt wegen ') und ) > ein relatives Minimum vor. Daher ist ) au dem Intervall, ), das enthält, konve, 6 6 daher au, ) konkav, daher au 6,,,,, 6,,, -, ) konve., ) ) -,6 -, -, -, -, -,6 -, -,,,,,6,,,,,6,,,,,6 IV. a) Kurvendiskussion zu ) 6 : I. Deinitionsbereich: D R. Das Polnom ist überall stetig und dierenzierbar. Es liegt eine Parabel. Ordnung vor. Eine Smmetrie ist zwar nicht eststellbar, doch sind Parabeln. Grades immer achsensmmetrisch zu der durch den Scheitelpunkt Sd c) gehenden senkrechten Geraden d. Den Scheitelpunkt S bestimmen wir übrigens dabei über die quadratische Ergänzung: ) 6 [ ] [ ] [ ) 6] ) als: S- -). II. Ableitungen: ' ) 6, ) 6, ''' ). III. Nullstellen: ) 6 ± ± 6 ± 6, also: N - ), N ) , -, -, -7,7-7, -6, -, -,7 -, -, -, -,7 -, -,,,,,7,,, IV. Hoch- und Tiepunkte: Notwendige Bedingung: ' ) 6 6 als potenzieller Etrempunkt. Hinreichende Bedingung: ) 6 > als Tiepunkt. Der Tiepunkt ist der Scheitelpunkt S- -) der nach oben geöneten Parabel. V. Wendepunkte: Wegen ) 6 besitzt ) keinen Wendepunkt. VI. Verhalten ür betragsmäßig große : Beide Parabeläste gehen bei ± ebenalls gegen, nicht zuletzt au Grund des Scheitelpunkts als Tiepunkt. ) 6 VII. Zeichnung b) Kurvendiskussion zu ) ) : I. Deinitionsbereich: D R. Das Polnom ist überall stetig und dierenzierbar. Wir schrei- Michael Buhlmann, Schülerkurs Mathematik > Analsis > Kurvendiskussion > Polnome

35 ben neben der Form als Produkt das Polnom ausmultipliziert als: ). II. Eine Smmetrie ist wegen der geraden und der ungeraden Eponenten nicht erkennbar. III. Ableitungen: Die ausmultiplizierte Form von ) bildet die Grundlage ür die olgenden Ableitungen: ' ) 6, ) 6 6, ''' ) 6. IV. Nullstellen: Notwendige und hinreichende Bedingung: ) ) Die Nullstellen lauten: N ), N ). V. Hoch- und Tiepunkte: Notwendige Bedingung: ' ) 6 6) mit und als mögliche Etremstellen. Hinreichende Bedingung: ) 6 < als relatives Maimum; 6 6 ) 6 6 > als relatives Minimum. Es liegen damit der Hochpunkt H ) und der Tiepunkt T 6 7 ) vor. VI. Wendepunkte: Notwendige Bedingung: ) mit als möglichen Wendepunkt. Hinreichende Bedingung: 6 ''' ) 6 als Wendepunkt W ). 7 VII. Verhalten ür betragsmäßig große : In ) ist die höchste Potenz, so dass sich das Verhalten des Polnoms daran ausrichtet. Also gilt: ) und: ). VIII. Zeichnung,,, 6,,,, -, -, -6, -, -, -, -, -, -,,,,6,,,,,6,, 6, 7, 7,6,,,,,,, -, -, -, -, -, -6, -,,,,,,, 6, 7,,,,,,,,, 6, 7, ) ) ) c) Kurvendiskussion zu ) : I. Deinitionsbereich: D R. Das Polnom ist überall stetig und dierenzierbar. Michael Buhlmann, Schülerkurs Mathematik > Analsis > Kurvendiskussion > Polnome