Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 12 WINKELBERECHNUNGEN. a) WINKEL ZWISCHEN ZWEI GERADEN

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Lennart Wetzel
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1 ARBEITSBLATT 12 WINKELBERECHNUNGEN a) WINKEL ZWISCHEN ZWEI GERADEN Diese Formel haben wir a bereits kennenelernt: Satz: Der Winkel zwischen zwei Vektoren a und b, berechnet sich nach der Formel: a b cos W ( a, b ) a b Zur Erinneruoch einmal ein Beispiel: Beispiel: Wo und unter welchem Winkel schneiden sich die Geraden 3 2 : X 0 + t 2 und h : X 2 + s Lösun: Berechnen wir zunächst einmal den Schnittwinkel. Die Richtun der beiden Geraden ist ekennzeichnet durch ihre Richtunsvektoren. Diese lauten 2 und h 3. Der Schnittwinkel der beiden Geraden entspricht also dem Winkel zwischen diesen beiden Vektoren. Diesen Winkel können wir aber mittels unserer obien Formel berechnen. Ich schreibe für W, h cos h h Wir setzeun die Vektoren ein, wobei wir im Nenner sofort die Beträe der Vektoren bilden: cos ( ) 2 Im Zähler multiplizieren wir die beiden Vektoren skalar miteinander. Im Nenner berechnen wir die Ausdrücke in den Wurzeln:

2 cos 9 Wir fassen zusammen: 6 cos 3 Es folt damit: 6 arccos 3 Dies tippen wir nun am Taschenrechner aus und erhalten: 57, 69 Wie bereits erwähnt, ibt es einen zweiten Winkel, der richti ist. Dieser muss der Supplementärwinkel zu unserer Lösun sein. Die zweite Lösun erhalten wir also, indem wir rechnen: β , 31 Anmerkun: Ich habe hier Verständnis halber beide Lösunen berechnet. Für sie enüt es aber, dass sie im Normalfall eine Lösun berechnen. Ich würde ihnen raten, immer den Winkel, der < 90 ist zu berechnen. Nun müssen wir auch noch den Schnittpunkt berechnen. Dies können wir bereits. Wir setzen die beiden Geradenleichunen leich: t s Wir spalten in die einzelnen Gleichunen auf: I : 3 + 2t 5 s II : 2t 2 + 3s III : 1 + t 2 + 2s Wir haben drei Gleichunen mit zwei Unbekannten, d.h. es enüen uns zwei Gleichunen zur Berechnun des Schnittpunktes. Ich wähle die ersten beiden Gleichunen: I : 3 + 2t 5 s / ( 1) II : 2t 2 + 3s I : 3 2t 5 + s II : 2t 2 + 3s s / s / :4 s 0 Eine Überprüfun, ob sich die beiden Geraden tatsächlich schneiden, kann hier entfallen, da sich die beiden eraden laut Anabe schneiden (Verleichen sie dazu bitte in ihren Unterlaen aus dem 4. Semester). Wir setzeun in der entsprechenden Gerade für s 0 ein: 2

3 h : X 2 + s X S ( 5 / 2 / 2) Anmerkun: Wie ihnen vielleicht auffällt, ilt Folendes: Ist der Ausdruck hinter dem arccos positiv, so erhalte ich immer den Lösunswinkel der < 90 ist. Ist der Ausdruck hineeeativ, so bekomme ich immer den Winkel, der > 90 ist. Da wir normalerweise den kleineren wissen wollen, können sie also einfach das Minus bei der Berechnun mit dem Taschenrechner außer Acht lassen. Versuchen Sie sich mittels ihrer trionometrischen Kenntnisse aus dem 4. Semester diese Tatsache zu klären!!! Übun: Übunsblatt 12; Aufaben b) Winkel zwischen Gerade und Ebene Nun möchten wir den Schnittwinkel zwischen einer Geraden und einer Ebene berechnen. Sie werden sehen, dass wir dieses Problem sehr einfach auf die Berechnun des Winkels zwischen zwei Geraden zurückführen können. Machen wir uns die Problemstellun mittels einer Zeichnun klar: Zunächst einmal ist die Frae, was wir unter dem Schnittwinkel zwischen der Gerade und der Ebene enau verstehen: Stellen sie sich vor, dass wir die Gerade im rechten Winkel auf die Ebene in die Ebene projizieren (Wir bilden dort also ihren Schatten. Wir bekommen dann ein Abbildunsbild der Gerade in dieser Ebene (Ich zeichne diese in unserer Zeichnun als ein). Unser eε 3

4 suchter Winkel ist dann der Winkel zwischen der Gerade und der Gerade (Ich zeichne ihn als in der Zeichnun ein): ε An der Zeichnun wird ihnen schon klar, dass es eientlich auch hier zwei richtie Lösunswinkel ibt, die zueinander supplementär sind. Welchen der beiden sie als Lösun aneben, ist im Normalfall eal. Einien wir uns auf den Winkel, welcher < 90 ist. Nun aber zu dem Problem. Wie berechne ich den esuchten Winkel? Wir ehen dabei einen Umwe. Auf unsere Ebene ibt es ja einen Normalvektor. Zeichnen wir uns diesen einmal in unserer Zeichnun ein: n ε Wir berechnen uns einfach den Winkel zwischen diesem Normalvektor auf die Ebene und der Gerade (Ich zeichne diesen als β ein) β n ε Da der esuchte Winkel und β zusammen aber 90 ereben müssen, kann ich also mittels 90 -β berechnen. Somit erhalten wir unsere Formel: Satz: Der Winkel zwischen einer Gerade und einer Ebene ε mit dem Normalvektor n berechnet man folendermaßen: ( ) W,ε 90 W 4

5 Sehen wir uns dies an einem praktischen Beispiel an: Beispiel: Wo und unter welchem Winkel schneiden einander die Gerade 1 8 : X 3 + t 4 und die Ebene ε : x + 6y 18z 65 ß 1 Lösun: Berechnen wir zunächst einmal den Winkel. Hierfür ilt unsere Formel: ( ) W,ε 90 W Zunächst einmal müssen wir uns den Winkel zwischen der Gerade und den Normalvektor auf die Ebene berechnen, also W. Den Richtunsvektor der Gerade können wir aus der Geradenleichun direkt ablesen: 8 4 Den Normalvektor auf die Ebene können wir aber aus der parameterfreien Darstellunsform der Ebene ebenfalls direkt ablesen. Es sind dies bekanntermaßen die Koeffizienten vor x, y und z. der Normalvektor lautet also: 1 n 6 18 Um nun den Winkel zwischen diesen beiden Vektoren zu berechnen, verwenden wir unsere Formel aus dem Kapitel Winkel zwischen zwei Geraden : h cos h Wir erhalten für uns: cos W n n Wir setzen unsere Vektoren ein und berechnen die Beträe: 5

6 n cos W, ( ) Wir berechnen im Zähler das skalare Produkt und im Nenner fassen wir die Ausdrücke unter den Wurzeln zusammen: cos W, n cos W, n 9 19 cos W, n 171 W, n arccos W 85,3 171 Wichti: Hier ist immer jener Lösunswinkel, der kleiner oder leich 90 ist, zu berechnen. Sollten sie also hier einen Winkel erhalten, der rößer als 90 ist, so berechnen sie den Supplementärwinkel. Nun setzen wir in unsere Formel ein: ( ) W,ε 90 W W (,ε ) 90 85, 3 W,ε 4, 7 ( ) Die Berechnun des Schnittpunktes ist hoffentlich bereits ein alter Hut. Dazu spalten wir die Geradenleichun in ihre drei Einzelleichunen auf: x 1 + 8t y 3 + 4t z 1 + t Nun setzen wir für x, y und z entsprechend in die Ebenenleichun ein: ε : x + 6y 18z t + 6( 3 + 4t) 18( 1 + t) 65 Wir multiplizieren die Klammern aus: 1 + 8t t t 65 Wir fassen die linke Gleichunsseite zusammen: 37 + t 65 / 37 t 28 / : t 2 6

7 Wir setzen in der Geradenleichun für t 2 ein: 1 8 : X X X 11 1 Der Schnittpunkt hat also die Koordinaten: S (17 /11/1). Übun: Übunsblatt 12; Aufabe 80 c) WINKEL ZWISCHEN ZWEI EBENEN Auch dieses Problem lässt sich wieder leicht auf die Winkelberechnun zwischen zwei Vektoren zurückführen. Sehen wir uns zunächst einmal das Problem rafisch an: ε 1 ε 2 Wir sollen also den Winkel berechnen. Dies ist der Schnittwinkel der beiden Ebenen ε 1 und ε 2. Ich werde diesen Winkel wieder als W ( ε 1,ε 2 ) bezeichnen. Wie schon bei den anderen Berechnunen, so ilt auch hier, dass es eientlich zwei Lösunswinkel ibt, die zueinander also supplementär sind. Einfachheit halber eben wir am besten immer den kleineren an. Um uns klar zu werden, wie wir diesen Winkel jetzt aber tatsächlich berechnen, zeichnen wir für beide Ebenen den Normalvektor ein: 7

8 ε 1 n 1 ε 2 n 2 Wenn sie sich das Ganze nun enauer überleen (Basteln sie sich das Ganze ruhi mittels Tischplatten, Geodreiecken und Bleistiften zusammen), so werden sie hoffentlich erkennen, dass der Winkel zwischen den beiden Ebenen leich dem Winkel zwischen ihren Normalvektoren ist. Damit haben wir aber bereits das Problem wieder elöst: Satz: Der Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen ε 1 und ε 2 ist leich dem Winkel zwischen den dazuehörien Normalvektore 1 und n 2. W ( ε 1, ε2 ) W n 1, n 2 So, sehen wir uns nun ein Beispiel dazu an: Beispiel: Berechnen Sie den Winkel zwischen den Ebenen ε 1 : x + 2y 3z 4 und ε : 4x + y + z 0. Lösun: 2 Laut unserer obien Formel W ( 1, ε2 ) W n 1, n 2 ε ilt, dass der Winkel zwischen den Ebenen leich dem Winkel zwischen ihren Normalvektoren ist. Dies bedeutet, dass wir uns zunächst einmal die Normalvektoren auf die Ebenen ermitteln müssen. In der parameterfreien Darstellunsform der Ebenen können wir aber die Normalvektoren direkt aus den Koeffizienten vor x, y und z ablesen. Wir erhalten: 1 4 n 1 2 und n Den Winkel zwischen diesen beiden Vektoren können wir aber leicht mit der Formel zum Berechnen des Schnittwinkels zwischen zwei Geraden ermitteln: 8

9 cos W n 1, n 2 n 1 n 1 n 2 n 2 Wir setzen die entsprechenden Vektoren ein und berechnen die Beträe: cos 1, W ( ) ( ) 2 Wir berechnen im Zähler das skalare Produkt und fassen im Nenner die Ausdrücke unter den Wurzeln zusammen: cos W 1, cos W 1, cos W 1, W 1, 2 arccos 252 Nun tippen wir den Winkel am Taschenrechner aus: W n 1, n 2 108,36 Da wir den Lösunswinkel, der rößer als 90 ist, erhalten haben, berechnen wir uns den Supplementärwinkel: W n 1, n ,36 71,64 Dies muss aber nun enau der Winkel zwischen den Beiden Ebenen sein: W ( ε 1, ε2 ) 71, 64 Übun: Übunsblatt 12; Aufaben

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