Geradenspiegelung: Diese Abbildung haben wir schon untersucht. Punktspiegelung: Die beiden Spiegelungsachsen schneiden sich senkrecht.

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1 17 25 Die 5 Typen on Isometrien Geradenspieelun: Diese Abbildun haben wir schon untersucht unktspieelun: Die beiden Spieelunsachsen schneiden sich senkrecht Rotation (Drehun): Die beiden Spieelunsachsen schneiden sich unter einem beliebien Winkel Translation (arallelerschiebun): Die beiden Spieelunsachsen sind parallel Schubspieelun (Gleitspieelun): Verschiebun und Spieelun erhält man enau dann, wenn drei Geradenspieelunen nicht durch eine ersetzt werden können Wir werden jetzt die einzelnen Abbildunen in obier Reihenfole behandeln Dies führt zu relati einfachen Beweisen und zu wichtien Sätzen der Elementareometrie Der Dreispieelunssatz (Satz 6A&B), der 3 Geradenspieelunen durch eine ersetzt, ist ein wichties Beweismittel Die Lae der Spieelunsachsen kann dadurch transformiert werden 251 unktspieelun h ' Definition Eine Abbildun S der Ebene auf sich heisst unktspieelun, wenn sie enau einen Fixpunkt besitzt und jedem unkt den Bildpunkt ' so zuordnet, dass die Strecke ' on halbiert wird heisst das Zentrum der unktspieelun Satz 8: Geradenspieelun und unktspieelun Stehen die beiden Geraden und h senkrecht aufeinander mit Schnittpunkt, so ilt: S h S = S Umekehrt ist jede unktspieelun darstellbar als Verknüpfun zweier Geradenspieelunen an zueinander senkrechten Achsen UNIZH A 430 Geom1 JS-D

2 18 Die wichtisten Eienschaften der unktspieelun S 1 Zu zwei unkten und Q ibt es enau eine unktspieelun, die auf Q abbildet 2 Die unktspieelun ist eine inolutorische Abbildun, dh S S = id 3 In einem Spieelunsprodukt S h S ertauschbar, wenn = h oder h sind die beiden Achsen enau dann s h s = s s h = h oder "h 4 Jede Gerade durch das Zentrum ist Fixerade Eine beliebie Gerade wird auf eine zu parallele Gerade ' abebildet ' ' 5 Die unktspieelun als rodukt zweier Geradenspieelunen ist eine leichsinnie Isometrie 6 Bei einer unktspieelun sind eine Gerade und ihr Bild enteenesetzt orientiert A B B' ' A' Aus diesen Eienschaften lassen sich nun Aussaen über das aralleloramm folern UNIZH A430 Geom1 JS-D

3 19 Definition Ein Viereck, dessen Geenseiten auf paarweise parallelen Geraden lieen, heisst aralleloramm Haupteienschaft Ein aralleloramm ist punktsymmetrisch in Bezu auf den Diaonalenschnittpunkt als ittelpunkt, dh mit der unktspieelun S wird das aralleloramm auf sich selbst abebildet DC AB Daraus lassen sich die weiteren Eienschaften herleiten: Die eenüberlieenden Seiten sind leich lan Die Diaonalen halbieren sich Die eenüberlieenden Winkel sind ross Beispiel Es sind 3 unkte, und Q eeben Konstruieren Sie ein Quadrat mit dem ittelpunkt, on dem 2 eenüberlieenden Seiten oder deren Verlänerunen durch und Q ehen UNIZH A430 Geom1 JS-D

4 Rotation (Drehun) ' Definition Eine Abbildun R, der Ebene auf sich heisst Rotation (Drehun), wenn sie einen Fixpunkt besitzt und wenn für jeden on erschiedenen unkt und sein Bild ' ilt: = ' und (') = " Spezialfälle: 1 = 0, dann ist R m, = id 2 = 180, dann ist R a = S (unktspieelun ) Satz 9: Rotation und Geradenspieelun a) Die Verknüpfun zweier Geradenspieelunen, deren Achsen und h sich in einem unkt schneiden, ist eine Drehun um, deren Drehwinkel leich dem doppelten Schnittwinkel der beiden Achsen ist Ist h ={ } und "(, h) = #, dann ilt : S h S = R,2# b) Jede Drehun ist darstellbar als Verknüpfun zweier Geradenspieelunen, deren Achsen sich im Drehpunkt unter dem halben Drehwinkel als Schnittwinkel schneiden Die wichtisten Eienschaften der Rotation 1 Jede Rotation ist eine Isometrie (eradentreu, länentreu, winkeltreu) 2 Jede Rotation mit Drehwinkel α 0 besitzt enau einen Fixpunkt 3 Eine Rotation mit α 0, 180 besitzt keine Fixeraden 4 Die zur Rotation R, inerse Abbildun ist wieder eine Rotation um aber um den Winkel α Beispiele ( R, ) "1 = R, " 1 Drehen Sie ein Quadrat ABCD um einen unkt S um den Winkel 60 2 Geeben sind ein unkt A sowie zwei Geraden b und d Konstruiere ein Quadrat ABCD, dessen Ecken B auf b und D auf d lieen UNIZH A430 Geom1 JS-D

5 253 Translation (arallelerschiebun) 21 ' Definition Eine Abbildun der Ebene auf sich heisst Translation (arallelerschiebun), " wenn für alle unkte der Ebene und ihre Bildpunkte ' ilt: alle Vektoren ' sind konruent und leichorientiert " Bezeichnun: Translation um ' = " : T" Spezialfall: = 0 : T 0 = id Bemerkun Unter einem Vektor ersteht " man die anze Äquialenzklasse aller konruenter und leicherichteter "feile" ' Ein Vektor ist also nicht auf einen festen Anfanspunkt bezoen, sondern kann beliebi in der Ebene (Raum) parallel erschoben werden ' ' Satz 10: Zu zwei unkten A und B ibt es " enau eine Translation, die A auf B abbildet; sie " ist eeben durch den Vektor AB = B A Satz 11: Translation und Geradenspieelun a) Die Verknüpfun zweier Spieelunen an parallelen Geraden und h ist eine Translation um den doppelten Abstandsektor on und h Ist // h und d der Abstandsektor on und h, dann ilt: S h S = T 2 " d UNIZH A430 Geom1 JS-D

6 b) Umekehrt ist jede Translation um einen Vektor darstellbar als eine Verknüpfun zweier Geradenspieelunen, deren Achsen parallel sind und deren Abstandsektor beträt Die wichtisten Eienschaften der Translation 1 Jede Translation ist eine Isometrie (eradentreu, länentreu, winkeltreu) 2 Eine Translation, die nicht die Identität ist, besitzt keinen Fixpunkt 3 Bei einer Translation werden Geraden auf parallele Geraden abebildet 4 Geraden, deren Richtun parallel zum Translationsektor erlaufen, sind Fixeraden = 5 Die zur Translation """ = AB inerse Abbildun ist wieder eine Translation, aber um den Vektor """ = AB, dh (T ) 1 = T - 6 Eine bijektie Abbildun der Ebene auf sich, die jede Gerade auf eine parallele Gerade abbildet und die keinen Fixpunkt besitzt, ist eine Translation : " ' ohne Fixpunkt # Translation UNIZH A430 Geom1 JS-D

7 23 Satz 12: Translation und unktspieelun a) Die Verknüpfun zweier unktspieelunen ist eine Translation " ####" S N S = T" mit = 2 N b) Jede Translation um einen Vektor Vektor ist darstellbar als die Verknüpfun zweier " unktspieelune S N S,wobei für die Zentren und N ilt: N = 1 " 2 Anwendun: ittelparallele im Dreieck Q = 1 2 AB C Q A B Beispiele 1 Geeben sind zwei Kreise k 1 und k 2, sowie eine Gerade Bestimme je einen unkt A auf k 1 und B auf k 2 mit Abstand d, sodass die Verbindunserade (AB) 2 Zeien Sie mit Achsentransformationen, dass die Verknüpfun on zwei Translationen wieder eine Translation ist und zwar um den Summenektor 3 Bestimmen Sie die Lae der 5 unkte A, B, C, D, E, wenn folendes ilt: S E S D S C S B S A = S C UNIZH A430 Geom1 JS-D

8 254 Schubspieelun (Gleitspieelun) 24 D r D' Definition Eine Abbildun der Ebene auf sich heisst Schubspieelun (Gleitspieelun) enau dann, wenn sie aus einer Spieelun an einer Geraden r und einer Translation um zusammenesetzt wird, wobei r Die Gerade r heisst Schubspieelachse Bezeichnun: S r, Das ist die letzte zu untersuchende Isometrie Es müssen nur noch die rodukte on drei Geradenspieelunen untersucht werden Schneiden sich die drei Geraden in einem unkt oder sind sie alle drei parallel, so kann das rodukt als eine einzie Geradenspieelun darestellt werden (Dreispieelunssatz) Satz 13: Ein rodukt aus drei Geradenspieelunen S k S h S, das nicht durch eine einzie Geradenspieelun ersetzt werden kann, ist eine Schubspieelun S r, Sie ist darstellbar als Spieelunsprodukt S r, = S r " S q " S p Die beiden Geraden p und q parallel mit Abstand 1 2 und die Gerade r ist parallel zum q A r A p q UNIZH A430 Geom1 JS-D

9 25 Zum Beweis untersuchen wir nun das rodukt on drei Spieelunen an Geraden mit mehr als einem Schnittpunkt S k S h S für den Fall, dass h = {A} und "(, h) = #, aber h k $ {A} 2 (Den Fall h und k = { A } als Übunsaufabe) h k k* h' ' A h' h* S k S h S = S k S h' S ' = S S ' = S k* S h* S ' Damit ist das ursprünliche rodukt S k S h S umewandelt in ein rodukt S k* S h* S aus zwei Spieelunen an parallelen Achsen ' und h* und einer dritten ' Spieelun an einer zu den parallelen Geraden senkrechten Geraden k* Da S h* S = ' T mit """"" = 2i'h *, erhalten wir S k S h S = S k*, " Speziell Eine reine Geradenspieelun ist auch eine Schubspieelun mit = 0 Eine Geradenspieelun nennt man auch uneientliche Schubspieelun Ist 0, so spricht man on einer eientlichen Schubspieelun Damit ist jede unleichsinnie Isometrie eine Schubspieelun UNIZH A430 Geom1 JS-D

10 26 Die wichtisten Eienschaften der Schubspieelun S r, 1 Jede Schubspieelun ist eine Isometrie (eradentreu, länentreu, winkeltreu) 2 Eine eientliche Schubspieelun besitzt keinen Fixpunkt 3 Die Schubspieelachse ist die einzie Fixerade 4 Achsenparallele Geraden werden auf leichorientierte parallele Geraden abebildet 5 Zur Achse senkrechte Geraden werden um erschoben und enteenesetzt orientiert 6 Bei S r, sind die Spieelun an r und die Translation um ertauschbar r 7 Liet der unkt nicht auf der Spieelachse und ist ' sein Bild bei der Schubspieelun, so wird die Strecke ' on der Spieelachse halbiert 8 Ist S r, = S r "T, dann ist die Inerse (S r, ) 1 = T " S r Beispiele 1 Geeben sind die beiden konruenten Strecken AB und A'B' Konstruiere die Achse und den Translationsektor der Schubspieelun, die A in A und B in B überführt 2 Was für eine Schubspieelun ist ϕ = S r S q S, wenn p, q, r ein leichseities p Dreieck bilden? 3 Bestimmen Sie mit Achsentransformationen die Isometrie = S h b " S, a, wenn h, d(,h) = 4 cm, a = 4cm, b = 5cm Um welche einfache Isometrie handelt es sich? UNIZH A430 Geom1 JS-D