Definitionen des Flächeninhaltsbegriffs werden immer mehr verfeinert, durch den Messprozess festgelegt.

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1 Flächeninhalt 1 Flächeninhalt 2 Kapitel 6: Der Flächeninhalt Flächeninhalt einer Fiur soll etwas über deren Größe aussaen Flächeninhaltsberiff intuitiv irendwie klar, ab der Grundschule durch Ausleen von Fiuren mit Plättchen vorbereitet. Abrenzun eenüber einem anderen Beriff von Größe, dem Umfan einer Fiur. Definitionen des Flächeninhaltsberiffs werden immer mehr verfeinert, durch den Messprozess festelet. Welchen Fiuren sind Sie bereit, einen Flächeninhalt zuzusprechen? Wie sollte der definiert und emessen werden? Flächeninhalt bestimmen bedeutet : Mölichst vielen Fiuren F (Maß-)Zahl A(F) zuordnen. Eienschaften dieser Zuordnun: 1. A(F) 0 für alle Fiuren F, 2. A(F 1 F 2 ) = A(F 1 )+A(F 2 ) F 1 F 2 =, 3. A(F) = A(F ) F konruent zu F, 4. A(Q e ) = 1 Q e beliebi ewähltes Einheitsquadrat Theorie solcher Messprozesse in der Mathematik Maßtheorie, Teilebiet der Analysis Hier nur die in der Schulmathematik wichtien Fiuren behandelt, an einien Beispielen anewandt, statt den Flächeninhalt zu definieren beschreibt man den Messprozess.

2 Flächeninhalt als Größe Messprozess Physik 6.1 Flächeninhalt als Größe Im Alltasebrauch keine Fiuren mit Flächeninhalt 0 akzeptiert (z.b. einzelne Punkte, Strecken) Ohne diese Flächen bilden die Flächeninhalte einen so enannten Größenbereich ( Vorlesun über Größenbereiche). In einem Größenbereich G sind Addition + und Kleiner-Relation < erklärt: 1. a + b = b + a Kommutativesetz 2. (a + b) + c = a + (b + c) Assoziativesetz 3. entweder a < b oder b < a oder a = b Trichotomie 4. a < b es ibt ein c G mit a + c = b eineschränktes Lösbarkeitsesetz 6.2 Der Messprozess Physikalisches Modell: Fiuren sind aus homoenem Material leicher Dicke auseschnitten. Fiuren haben leichen Flächeninhalt wenn sie leiches Gewicht haben. Flächeninhalt von Fiuren experimentell verleichen: Fiuren aus eeinetem Material herstellen und Gewicht verleichen. Flächenmaßzahlen zuordnen durch Verleichen mit dem Gewicht von Einheitsquadraten oder einem anderen passenden Quadrat. Für die Schule eventuell: Flächeninhalt der Kreisfläche mit einem Radiusquadrat verleichen. Wie viel mal so schwer ist die Kreisfläche? r r r

3 Messprozess Mathematik 1 Messprozess Mathematik 2 Mathematische Flächeninhaltsberiffe Ausleen einer Fläche mit zueinander deckunsleichen Fiuren und Anzahlbestimmun ( z.b. Inhaltsformel für Rechtecke, für die Schule eeinet und ebräuchlich). 7 Quadrate im Streifen 3 Streifen 3 7 Einheitsquadrate Grenzen des Messprozesses durch Ausleen: - Theoretisch problematisch bei Rechtecken mit Seiten, die zu denen des Einheitsquadrates inkommensurabel sind, - Verleich beliebier Dreiecke, - krummlini berenzte Fiuren. Passt vielleicht nie enau Beriffe Zerleunsleichheit und Eränzunsleichheit von Fiuren. Grenzprozesse durch Annäherun komplizierter Flächen durch einfachere ( z.b. Kreisfläche).

4 Zerleunsleich eränzunsleich 1 Zerleunsleich Paralleloramm Zerleunsleich - eränzunsleich Definition Zwei Fiuren sind zerleunsleich wenn sie sich in paarweise konruente Fiuren zerleen lassen. Zerleunsleiche Fiuren sind inhaltsleich Beispiel: Flächeninhalt des Paralleloramms Das Paralleloramm und das Rechteck sind zerleunsleich. Flächeninhalt des Paralleloramms h h Diese Zerleun zeit: Der Flächeninhalt des Paralleloramms ist das Produkt aus der Grundseite und der Höhe h : A = h. Aufabe Gilt dies auch für das nebenstehende Paralleloramm? Ist dieses auch zerleunsleich zu einem Rechteck mit den Seiten und h? h

5 Zerleunsleich eränzunsleich 2 Eränzuns-paralleloramm 1 Definition Zwei Fiuren sind eränzunsleich wenn sie durch Eränzun mit konruenten Fiuren zu konruenten (i.a. zerleunsleichen) Fiuren eränzt werden können. Eränzunsleiche Fiuren sind inhaltsleich Beispiel: Pythaoras-Leebeweis b² c² a² Die weißen Flächen sind eränzunsleich, denn sie können durch Eränzun mit den vier paarweise konruenten Dreiecken zu konruenten Fiuren (hier den Quadraten) eränzt werden. Satz vom Eränzunsparalleloramm D H C d E P G A F B Der Satz Geeben ist das Paralleloramm ABCD und ein Punkt P auf der Diaonalen d=ac. Durch P sind Parallelen zu den Seiten des Paralleloramms ezeichnet. Dadurch entstehen zwei Paralleloramme EPHD (elb) und FBGP (hellrot). Zeien Sie, dass diese Paralleloramme den leichen Flächeninhalt besitzen. Zeien Sie, dass auch die Paralleloramme AFHD und ABGE den leichen Flächeninhalt besitzen.

6 Eränzuns-paralleloramm 2 Pythaoras Zerleun Anwendun Geeben ist ein Rechteck ABGE (hellrot). Es soll ein dazu flächenleiches Rechteck mit einer voreebenen Seite konstruiert werden. D H h1 C D h3 E E P h2 G A B A F B Konstruktion: h 1 Parallele durch zu AB durch D, h 2 Parallele durch zu AD durch B, C Schnittpunkt von h 1 und h 2, P Schnittpunkt von AC mit GE, h 3 Parallele zu AD durch P, H Schnittpunkt von h 3 mit DC. F Schnittpunkt von h 3 mit AB. AFHD ist das esuchte Rechteck. Pythaoras-Zerleunsbeweis Für die Schule als Puzzle eeinet, wenn man die Einteilun des Kathetenquadrats voribt.

7 Beweis Kathetensatz Dreiecksformeln Ein Beweis des Kathetensatzes C D A b a q c B Wie ist wohl das karierte Paralleloramm konstruiert worden? Wenn DA als Grundseite des Paralleloramms betrachtet wird, wie lan ist dann die zuehörie Höhe? Was ist der Flächeninhalt des Paralleloramms? Das Paralleloramm wird so um A edreht, dass D auf C fällt. Um wie viel Grad? Welcher Zusammenhan besteht mit dem Flächeninhalt des rünen Rechtecks? Dreiecksformeln und ihre eometrische Deutun h A= 2 h A= 2 h A= h 2 Verschiedene Herleitunen führen zunächst zu verschiedenen Formen der Flächeninhaltsformeln Termumformunen

8 Trianulation Flächeninhalt von Polyonen mit Zirkel und Lineal Flächeninhalt von n-ecken Flächeninhalt? Zerleen in Dreiecke, Dreiecksflächen berechnen! Flächeninhalt von Polyonen mit Zirkel und Lineal und durch Zerschneiden und Zusammenleen Aufabe 1 Konstruieren Sie mit Zirkel und Lineal zu einem Rechteck mit den Seitenlänen a = 5 cm und b = 7 cm ein flächeninhaltsleiches Quadrat. Aufabe 2 Konstruieren Sie mit Zirkel und Lineal zu zwei Quadraten mit den Seitenlänen a 1 = 3 cm und a 2 = 5 cm ein Quadrat, dessen Flächeninhalt leich der Summe der beiden Quadrate ist. Aufabe 3 Konstruieren Sie mit Zirkel und Lineal zu einem Quadrat der Seitenläne a = 6 cm ein flächeninhaltsleiches Rechteck, dessen eine Seite 1 cm beträt.

9 Flächeninhalt von Polyonen mit Zirkel und Lineal 1 Flächeninhalt von Polyonen mit Zirkel und Lineal 2 Problem 1 Kann man ein Vieleck (Polyon) mit Zirkel und Lineal alleine umwandeln in 1. ein flächeninhaltsleiches Rechteck, dessen eine Seite eine Einheitsstrecke ist, 2. ein flächeninhaltsleiches Quadrat? Klar: Kann man Teil 1 lösen, dann ist Teil 2 sofort mit Hilfe des Kathetensatzes oder des Höhensatzes elöst. Problem 2 Kann man diese Umwandlun auch durch Zerschneiden und Zusammenleen erreichen? Problem 2 ist etwas schwierier und wird daher zunächst zurückestellt. Werden diese Fraen positiv beantwortet, dann kann man alleine mit Hilfe von Zirkel und Lineal bzw. durch Zerschneiden den Flächeninhalt beliebier Polyone verleichen: Entweder man wandelt beide in Rechtecke mit einer Einheitsseite um und verleicht deren andere Seitenlänen, oder man verwandelt beide in jeweils flächenleiche Quadrate und verleicht diese Quadrate. Aufabe Wandeln sie das folende Viereck in ein flächenleiches Rechteck mit der Strecke e als einer Seite um. D A C e B

10 Cavalieri 1 Cavalieri Das Prinzip von Cavalieri ( ) Satz von Cavalieri im Raum Sind zwei Körper leich hoch und ist in jeder Höhe die Schnittfläche bei beiden Körpern leich roß, so haben die Körper dasselbe Volumen h x Satz von Cavalieri in der Ebene Kann man eine Gerade so zeichnen, dass jede Parallele zu dieser Geraden aus zwei Flächen stets zueinander leichlane Strecken ausschneidet, so haben die Flächen denselben Inhalt. Dreiecke mit leicher Grundseite und leicher Höhe haben den leichen Flächeninhalt (Strahlensatz).

11 6.2.5 Grenzprozesse Beispiel: Flächeninhalt des Kreises Ein- und umbeschriebenes Sechseck Einbeschriebenes Sechseck und Zwölfeck Annäherun durch einbeschriebene und umbeschriebene reelmäßie n-ecke. Für n nähern sich deren Flächeninhalte von unten bzw. oben einem emeinsamen Wert. Diesen Wert definiert man als den Flächeninhalt des Kreises. Grenzprozesse 1 Ganz beliebie Fiur Flächeninhalt A? I 1 A U 1 Gitterpapier drüber leen... Kästchen im Inneren zählen und addieren I 1 Kästchen außen zählen und addieren U 1 Grenzprozesse 2

12 Kästchenläne halbieren... I 1 I 2 A U 2 U 1 Kästchen im Inneren zählen und addieren I 2 Kästchen außen zählen und addieren U 2 Grenzprozesse 3 Falls I n und U n sich dem leichen Wert A nähern, dann ist das der Flächeninhalt der Fiur. I 1 I 2 I 4 A U 4 U 2 U 1 Kästchenläne nochmals halbieren... Kästchen im Inneren zählen und addieren I 4 Kästchen außen zählen und addieren U 4 Intervallschachtelun für A Grenzprozesse 4

13 Scherun 1 Scherun Die Scherun eine flächentreue Abbildun Der Beweis zum Kathetensatz let die folende Definition einer Abbildun der Ebene nahe. Geeben sind eine Gerade, ein Winkel α mit -90 < α < 90 (Scherunserade) (Scherunswinkel) P' P Scherun mit α α _ Scherunserade Scherunswinkel α 90 < α < 90 Abbildunsvorschrift: P : P = P P : (P,F P,P) = α, mit F P Fußpunkt des Lotes von P auf. P' P Scherun mit α α _ Scherunserade Scherunswinkel α 90 < α < 90

14 Scherun Eienschaften Historische Bemerkunen 1 Eienschaften der Scherun: Fixpunkterade, Fixeraden sind alle Parallelen zu, eradentreu, nicht länentreu, aber Strecken parallel zu behalten ihre Läne, nicht winkeltreu, flächeninhaltstreu. α Der Flächeninhalt einer beliebien Fiur eribt sich als Grenzwert von Quadraten mit immer kleineren Seitenlänen. Diese Quadrate können so ewählt werden, dass 2 ihrer Seiten parallel zu sind. Der Flächeninhalt solcher Quadrate bleibt bei der Scherun erhalten. P' α _ P 6.4 Historische Bemerkunen Im Altertum war es ein zentrales Anlieen der Geometrie, alle Konstruktionen exakt nur mit Hilfe von Zirkel und Lineal durchzuführen. Dieses Anlieen hat die eometrische Forschun über 2000 Jahre lan voranetrieben, und die endültien Antworten auf die offenen Fraen sind nur etwas über 100 Jahre alt. Der Grund für die Einschränkun der Hilfsmittel war philosophischer Natur, Näherunen für die in Frae stehenden Probleme waren seit alters her bekannt. Hier sollen einie der klassischen Probleme kurz vorestellt werden.

15 Historische Bemerkunen 2 Historische Bemerkunen 3 Quadratur des Kreises: Ein altes riechisches Problem Konstruiere mit Zirkel und Lineal zu einem Kreis mit eebenen Radius ein flächenleiches Quadrat. Leonardo da Vinci: Studie zu den Proportionen am idealen menschlichen Körper. Quadraturproblem implizit darestellt? Kreis durch die Finerspitzen der waaerecht ausestreckten Arme und durch den zentralen roßen Zeh. Fast leicher Flächeninhalt wie das Quadrat aus Körperhöhe und Breite der ausestreckten Arme. Beweis für die Unmölichkeit der Quadratur des Kreises erst um 1870 elunen (F.Lindemann)!

16 Historische Bemerkunen 4 Fraktale 1 Phänomena 1984 in Zürich Esoterischer Autor : Der Mensch ist die Lösun des Unlösbaren! Quadratur des Kreises Winkeldrittelun Würfelverdoppelun (Delisches Problem) Problematische Fiuren: Fraktale im 19./20. Jahrhundert Flächeninhalt der blauen Fläche?

17 Fraktale 2 Problematische Fiuren: Fraktale Flächeninhalt der blauen Fläche?