1.6 Homomorphismen von Gruppen

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1 16 Homomorphismen von Gruppen 161 Definition Es seien (G, ) und (G, ) zwei Gruppen Eine Abbildun : G G heißt (Gruppen-) Homomorphismus, falls für alle ab, Gilt: (a b) (a) (b) Die obie Gleichun wird Homomorphie-Eienschaft 162 Beispiele (1) :,, 3 x x x (2) : 0, 0, 3 x x x (3) :, 0, x x 5 x (4) :,, k k k R n Homomorphismus? 163 Satz Seien (G, ) und (G, ) Gruppen, sei : G G ein Homomorphismus, sei e G das neutrale Element von G, sei e G das neutrale Element von G Dann ilt: (1) (e) e (2) ( ) [ ()] für alle G n (3) ( ) [ ()] n für alle n 0 Zu (1): Sei G und () Dann hat man: = () ( e ) (e) () (e) Es folt: (e) e [Beründun?] Zu (2): Sei G Dann eribt sich: e e, also e, also e, also e e, also Zu (3): Vollständie nduktion:

2 e e A: n 0: Man hat 0 0 n V: n 1 n1 n B: - n n n 1 n n1 164 Definition Seien G, und G, Gruppen und : G G ein Homomorphismus Seien e, e die neutralen Elemente von G, bzw G, Man setzt: Kern { G () e }, Bild { () G } < Skizze! > Beispiele: Siehe Vorlesun! 165 Satz Sei : G G ein Gruppen-Homomorphismus Dann ilt: ist injektiv Kern {e} : Sei injektiv Zu zeien: Kern {e} Sei x Kern, dh (x) e Andererseits ilt (e) e Somit hat man (x) (e) Da injektiv ist, folt x e Das bedeutet: Kern {e} : Sei Kern {e} Zu zeien: ist injektiv Es elte () (h) für,h G Damit eribt sich folende Rechnun: e h h h Also ilt: h Kern Da Kern e, muss elten h e Das bedeutet: h 166 Satz ( Der Kern eines Homomorphismus ist immer Normalteiler ) Seien G, und G, Gruppen und : G G ein Gruppenhomomorphismus Dann ilt: Kern ist Normalteiler in G

3 (1) Behauptun: Kern ist Unterruppe von G Sei e das neutrale Element von G Wir wissen: Kern e Zum Beweis der Behauptun benutzen wir das Kriterium (2) von Satz 136! (a) Zu zeien: x,y Kern x y Kern x y x y e e e, also ilt x y Kern Grund: (b) Zu zeien: x Kern x Kern Grund: x e x x x x x e e, also ilt x Kern (2) Behauptun: Kern ist Normalteiler von G Zu zeien: Kern Kern für alle G Dazu müssen wir die Gültikeit der beiden Teilmenenbeziehunen und beweisen : Sei x ( Kern ) Das heißt x a mit a Kern Zu zeien: x (Kern ) Beründun: Man rechnet x a ( a) ( ) ( a ) Nun ilt: a a e ee Also: a Kern Das bedeutet: x ( a ) (Kern ) : Übun! 167 Definition Seien G, und G, Gruppen, sei : G G ein Homomorphismus Falls bijektiv ist, heißt (Gruppen-) somorphismus Man sat, dass die zwei Gruppen G, und G, isomorph sind, falls es einen somorphismus : G G ibt Schreibweise: G, G, Bemerkun: Grundvoraussetzun für die Existenz eines somorphismus zwischen zwei Gruppen G, und G, ist also das Vorhandensein einer bijektiven Abbildun : G G Hat man eine bijektive Abbildun : G G efunden (konstruiert), muss anschließend noch eprüft werden, ob ein Homomorphismus ist

4 168 Beispiele Vorlesun und Übunsblatt! 169 Satz Seien G, und G, Gruppen, sei : G G eine bijektive Abbildun Dann ilt: st ein somorphismus, so folt ord ord für jedes Element G ein mit endlicher Ordnun Seien e, e die neutralen Elemente von (G, ) bzw (G, ) 1 Da bijektiv ist, existiert die Umkehrabbildun zu Wir setzen zur Abkürzun, m ord Nun führen wir den Beweis in zwei Schritten! Schritt 1: Wir zeien ord m Grund: Man hat ( ) m [ () ] m ( m ) (e) e Das bedeutet: ord m Schritt 2: Wir zeien m ord Grund: Wir setzen n ord Das bedeutet: m ord Dann: n [ 1 ( ) ] n 1 ( n ) 1 ( e ) e Ween der beiden Schritte folt: ord m ord, also m ord 1610 Erste Bemerkun für die Praxis Der Satz 169 ist oft sehr nützlich bei der konkreten Konstruktion eines somorphismus: Man muss darauf achten, dass man eine Abbildun konstruiert, welche Elemente leicher Ordnun aufeinander abbildet! Wenn das erfüllt ist, hat man zumindest einen Kandidaten für einen somorphismus! Zum Nachweis, dass dieser Kandidat wirklich ein somorphismus ist, muss man aber noch die Homomorphie-Eienschaft nachprüfen! Hinweis: Tabelle anfertien mit den Zeilen und ord () Beispiele: Vorlesun und Übunsblatt!

5 1611 Zweite Bemerkun für die Praxis Der Satz 169 ist auch sehr nützlich, wenn man zeien will, dass zwei eebene Gruppen nicht isomorph sind: Dazu dient die Kontraposition der Aussae des Satzes 169! Sie lautet: Seien G, und G, Gruppen, sei : G G eine bijektive Abbildun Dann ilt: Falls ord ord für mindestens ein Element G mit endlicher Ordnun, so folt: ist kein somorphismus n der Praxis bedeutet das Folendes: Seien G, und G, endliche Gruppen leicher Ordnun, also ord G ord G Die Gruppe G, habe enau s Elemente der Ordnun z und die Gruppe G, habe enau t Elemente der Ordnun z mit s mindestens ein Element G Beispiele: Vorlesun und Übunsblatt! t Dann muss es bei jeder bijektiven Abbildun eben mit ord ord : G G 1612 Satz ( Ein Normalteiler einer Gruppe ist immer Kern eines Homomorphismus ) Sei (G, ) eine Gruppe, sei N ein Normalteiler von G Wir betrachten die Abbildun G G / N, N Dann elten die folenden Aussaen: (a) ist surjektiver Homomorphismus (b) Kern N Zu (a): ist Homomorphismus, denn h h N N h N h ist surjektiv, denn das Urbild des Elements N aus G/ N ist G Zu (b): Man hat folende Kette von Äquivalenzumformunen: x Kern (1) (x) e N 2 x N e N (3) x N N (4) x N Beründunen dieser Äquivalenz-Zeichen: (1) e N ist das neutrale Element von G / N (siehe Beweis von Satz 155) (2) Definition (x) x N (3) e N N (4) Hilfssatz zu Aussae (2) von Satz 146

6 1613 Homomorphie-Satz Seien (G, ) und (G, ) Gruppen und G G ein Homomorphismus Dann ilt: G / Kern (G ) G G / Kern G G Das bedeutet: Für einen beliebien Gruppen-Homomorphismus :G G ist Bild strukturleich zur Faktorruppe G /Kern!