1. Hilbertschen Geometrie I: Punkte, Geraden, Ebenen

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1 1. Hilbertscen eometrie I: Punkte, eraden, benen Wir bescreiben den axiomatiscen Zuan zur eometrie, wie er von Hilbert erstmals formuliert wurde. Der Ausanspunkt unserer Betractun ist die folende Definition. ine eometrie ist ein Tripel H = (P,, ) von Menen P,, deren lemente eometrisce Objekte enannt werden, zusammen mit einer Bezieun (1) x y (inzident) (2) x < y > z (zwiscen) (3) x y (konruent) zwiscen ewissen eometriscen Objekten bzw. Paaren oder Tripel von eometriscen Objekten, die durc die untensteenden Axiomenruppen I, II, III eeben sind. Bezeicnunen. Sei H = (P,, M) eine eometrie. Dann ilt: (1) P eißt Mene der Punkte. (2) eißt Mene der eraden, (3) eißt Mene der benen. der eometrie. Die Punkte der eometrie werden mit roßen Bucstaben A,B,C,..., die eraden mit kleinen Bucstaben a,b,c,..., und die benen mit rieciscen Bucstaben α,β,γ,... escrieben. Bemerkun. Wir werden später seen, dass die esamteit der Hilbertscen Axiome ein Modell at. Dies nennt man uklidisce eometrie. Andere Modelle von eometrien (die so. Nict-uklidiscen eometrien) erält man, wenn man ledilic die ültikeit von Teilen der Axiomen verlant.

2 2. eometrie ruppe 1: Axiome der Inzidenz ruppe 2: Axiome der Anordnun ruppe 3: Axiome der Konruenz ruppe 4: Axiome der Parallelen ruppe 5: Axiome der Stetikeit Axiom-ruppe I: Axiome der Inzidenz. Definition. ine Inzidenz einer eometrie (P,, ) ist jede Bezieun x x zwiscen den eometriscen Objekten x,y P, die alle alle Axiome I.1-I.8 der Inzidenz erfüllt. Axiom I.1 + I.2. ür alle A,B P existiert ein und nur ein mit A,B. Axiom I.3. ür alle existieren A, B P mit A B und A, B. ür alle existiert ein A P so dass A nict ilt. Axiom I.4 + I.5. ür alle A,B,C P existiert entweder ein mit A,B,C oder es existiert ein und nur ein α mit A, B, C α. ür alle α existiert ein A P mit A α. Axiom I.6. ür alle und alle α ilt α, falls es zwei versciedene A,B P ibt mit A,B und A,B α. Axiom I.7. ür alle α 1,α 2 mit B A und B α 1,α 2. und alle A P mit A α 1,α 2, existiert ein B P Axiom I.8. s ibt A,B,C,D P mit A,B,C,D α, für kein α. Bemerkun. Der Beriff der Inzidenz ist durc die obien Axiome festelet. Dem liet die Intuition zurunde, dass ein Punkt A inzident ist zu einer eraden, wenn A, und ein Puntkt A oder eine erade ist inzident zur einer bene α, wenn A α oder α. Die Inzidenzrelation ist aber symmetrisc, d.. eine erade kann z.b. inzident sein zu einem Punkt usw. rundsätzlic kann man sic aber unter eine ntaltensrelation vorstellen. Satz 1. Zwei eraden einer bene aben einen oder keinen Punkt emein; zwei benen aben keinen Punkt oder eine erade und sonst keinen Punkt emein; eine bene und eine nict in ir lieenden erade aben keinen oder einen Punkt emein. Beweis. Axiom I.1+I.2, Axiom I.4+I.5, Axiom I.6 Satz 2. Durc eine erade und einen nict auf ir lieenden Punkt sowie auc durc zwei versciedene eraden mit einem emeinsamen Punkt ibt es stets eine und nur eine bene. Beweis. Axiom I.4+I.5

3 Axiom-ruppe 2: Axiome der Anordnun. 1 Hilbertsce eometrie I 3 Definition. ine Zwiscenrelation ist jede Bezieun A C zwiscen Punkten A,B,C einer eraden der eometrie, die alle Axiome II.1-II.3 erfüllt. Axiom II.1. Wenn A,B,C P mit A C, dann sind A B C A und A,B,C, für ein. Weiter ist C A. Axiom II.2. ür alle und alle A,B P ibt es ein C P mit C und A C. Axiom II.3. ür alle und alle A,B,C P mit A,B,C ilt öcstens eine der drei Zwiscenrelationen: A C, B < C > A oder C < A > B. Definition. ine Strecke ist ein Paar (A,B) von Punkten auf einer eraden. Bemerkun. Die Punkte zwiscen A und B eißen Zwiscenpunkte der Strecke. Die Punkte A,B selbst eißen ndpunkte der Strecke. Axiom II.4. (Pasc s Axiom) Sei α, und A, B, C P mit (1) A,B,C α, (2) A, B, C, für kein, und (3) α, (4) X, für kein X = A,B,C. Dann ilt: ibt es ein D P mit D und A < D > B, dann ibt es ein P mit und entweder A < > C oder B < > C. A C D B zu Axiom II 4

4 4. eometrie Bemerkun. s wurde für die Zwiscenrelation absictlic die Bezeicnun A C (und nict A C) ewält, um ervorzueben, dass die Definition der Zwiscenrelation keine Ordnun oder Orientierun voraussetzt. Sie ist ein rundberiff der eometrie. Satz 3. ür alle A,C P mit A C ibt es mindestens ein B P mit A C. k C B l A Beweis von Satz 3 Beweis. Wir müssen enau darauf acten, dass wir nur Axiome und scon bewiesene Sätze, aber keine Anscauun benutzen. Wir beinnen wie folt: s ibt enau eine erade mit A,C....(Axiom II.1+I.2) es ibt P nict inzident zu...(axiom I.3) es ibt enau ein mit A,....(Axiom II.1+I.2) es ibt P mit und A < >....(Axiom II.2) A A.... (Axiom II.1) es ibt enau ein k mit,c k... (Axiom II.1+II.2) es ibt ein P mit k und < C >.... (Axiom II.3) es ibt ein l mit, l.... (Axiom I.1+I.2] es ibt B P mit B l und A C oder C ... (Axiom II.4) A C...(da C nict ilt, ween Axiom II.3) Damit ist der Satz 3 bewiesen. Bemerkun. Man siet wie scwerfälli die Arumentation für den Menscen wird (Mascinen aben ier vielleict wenier Probleme), wenn man wirklic anz formal arumentiert. Im folenden werden wir umanspraclice Wendunen benutzen, um die Beweise (für einen Menscen) lesbarer zu macen.

5 1 Hilbertsce eometrie I 5 Satz 4. ür alle eraden und alle Punkte A,B,C P mit A,B,C ilt mindestens eine der drei Zwiscenrelationen: A C, B < C > A oder B < A > C. D A B Beweis von Satz 4 C Beweis. Anenommen es ilt weder B < A > C noc A < C > B. Dann folt der Satz 4 aus Beauptun. A C. s ibt enau eine erade mit A,C...(Axiom I.1+I.2) es ibt einen Punkt D P nict inzident zu... (Axiom I.2) es ibt enau eine erade mit D,B......(Axiom I.1+I.2). es ibt einen Punkt P mit B < D >....(Axiom II.2) die eraden AD und C scneiden sic in P mit C < > (Axiom II.4 anewandt auf das Dreieck BC und die erade AD) die eraden CD und A scneiden sic in P mit A < > (Axiom II.4 anewandt auf das Dreieck BA und die erade CD) A < D >.... (Axiom II.4 anewandt auf das Dreieck A und die erade C). A C... (Axiom II.4 anewandt auf das Dreieck AC und die erade B). Damit ist der Satz 4 bewiesen.

6 6. eometrie Anan. Satz 5. Sind irend vier Punkte einer eraden eeben, so lassen sic dieselben stets in der Weise mit A,B,C,D bezeicnen, dass A C und A D sowie A < C > D und B < C > D m H l A B C D Beweis von Satz 5 Beweis. A,B,C,D seien vier Punkte einer eraden. Wir beweisen zunäcst: Beauptun 1. (A C und B < C > D) A < C > D. s ibt ein P nict inzident zu... (Axiom I.3) es ibt ein P mit C < >.... (Axiom II.2). es ibt enau ein mit A und... (Axiom I.1 + I.2). es ibt ein P mit und B < > oder B < > C... (Axiom II.4 anewandt auf das Dreieck BC und erade ). B < >....(andernfalls = ween (Axiom I.1+I.2) es ibt enau ein l mit l und D l..... (Axiom I.1 + I.2). es ibt ein H P mit < H > D und C < H >...(Axiom II.4 anewandt auf das Dreieck AC und erade l). es ibt enau ein m mit H m und m.... (Axiom I.1+I.2) es ibt ein C P mit C m und A < C > D oder A < C >...(Axiom II.4 anwandt auf das Dreieck AD und die erade m). A < C > D...(andernfalls m = ween (Axiom I.1+I.2) Beauptun 2. (A C und B < C > D) A D. Man beweist A D wie Beauptun 1.

7 1 Hilbertsce eometrie I 7 Beauptun 3. (A C und A < C > D) B < C > D. m H l A B C D Beweis von Beauptun 3 s ibt ein P nict inzident zu.... (Axiom I.3) es ibt einen Punkt P mit B < >... (Axiom II.2) es ibt enau ein m mit C, m...(axiom I.1+I.2) die erade m trifft nict die Strecke A....(andernfalls trifft m die Strecken AB oder B (Axiom II.4) was Axiom I.2, Axiom II.3 widersprict). es ibt einen Punkt H P mit < H > D... (ween A < C > D und ween Axiom II.4, anewandt auf das Dreieck AD und erade m) die erade H trifft die Strecke BD...(Axiom II.3 und Axiom II.4, anewandt auf das Dreieck BD und die erade m) B < C > D Der Rest der Beauptun 2 folt aus Beauptun 1. Beauptun 4. (A C und A < C > D) A D. Man beweist A D wie Beauptun 3. Beweis von Satz 5. ür den eientlicen Beweis des Satzes 5, seien irend vier Punkte P,Q,R,S P einer eraden eeben. Nac Satz 4 und Axiom II.3 liet enau einer der drei Punkte P, Q, R zwiscen den beiden anderen. O.B.d.A. seien die Bezeicnunen so ewält sind, dass P < Q > R ür S ereben sic die folenden 5 Mölickeiten (nac Satz 4 und Axiom II.3): (1) P < R > S oder (2) R S oder (3) P < S > R und P < Q > S, oder (4) P < S > Q oder (5) Q S. Die ersten vier Mölickeiten erfüllen die Voraussetzun von Beauptun 2, die letzte die Voraussetzun von Beauptun 1. Damit ist der Satz 5 bewiesen.

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