Heute schon gepoppt?

Transkript

1 Heute scon gepoppt? Benno Grabinger, Neustadt/Weinstraße, Benno Grabinger: Pringles 1

2 Wie ann die Form eines Pringle matematisc bescrieben werden? Wo entsteen solce Fragen? Eine Kursfart nac Florenz und Siena war der Ausgangspunt: Benno Grabinger: Pringles

3 Ausflug nac Siena: Benno Grabinger: Pringles 3

4 Gipsmodelle (ergestellt von Sebastian Sculz, Leibniz-Gymnasium Neustadt, 004) erleictern das Arbeiten. Aufgabe 1 Bescreibe die Form eines Pringles. Stelle möglicst einface Vermutungen auf, mit denen die Form des Pringles modelliert werden ann. Benno Grabinger: Pringles 4

5 Zu Aufgabe 1 Offenbar sind zwei Symmetrieebenen voranden, welce das Pringle längs der gestricelten Linien scneiden. Der Einfaceit alber soll einmal angenommen werden, dass die eingezeicneten Scnitte der Symmetrieebenen mit dem Pringle Parabeln sind. Aufgabe Wält man den Scnittpunt der eingezeicneten Linien als Ursprung eines geeigneten Koordinatensystems, so önnen die Gleicungen der Parabeln ermittelt werden, wenn man das Pringle ausmisst. Ermittle die Koordinaten carateristiscer Punt des Pringle und versuce eine Koordinatendarstellung für die beiden Parabeln anzugeben. Benno Grabinger: Pringles 5

6 zu Aufgabe Peilt man das Symmetriezentrum des Pringle an, so erält man als Projetion in die yz-ebene den Punt R (0/3/1,5). (Alle Angaben in cm bezogen auf das x y z -Koordinatensystem der Raumece.) Für die Punte P und Q erält man: P (,3/0/) und Q (4,5/3/0). Zur Umrecnung auf das Koordinatensystem xyz, das als Ursprung das Symmetriezentrum des Pringle besitzt und dessen Acsen parallel zu denen von,3 x y z sind, ist dann die Versciebung v 3 zu berücsictigen. 1,5 Im xyz-system besitzen die beiden Punte dann die Koordinaten P(0/-3/0,5) und Q(,/0/-1,5). Für die Parabel in der yz-ebene durc den Punt P erält man damit: 0 1 z a y ; 0,5 a 9 ; z y bzw. in Parameterdarstellung: x 18 1 t t 18 Entsprecend ergibt sic für die Parabel in der xz-ebene durc Q: s 1 z b x ; -1,5 b, ; z x bzw x 3,7 1 0 s 3,7 Benno Grabinger: Pringles 6

7 Aufgabe 3 Zeicne die beiden Parabeln in eine 3d-Grapi Zu Aufgabe 3 Derive-Datei Aufgabe 4 Betractet man Scnitte durc das Pringle parallel zur yz-ebene, so ist es am einfacsten anzunemen, dass diese auc Parabeln mit der Form derparabel in der yz-ebene sind. Um mit dieser Modellanname die Oberfläce des Pringle naczubilden, versciebt man die Parabel der yz-ebene so, dass ir Sceitel auf der Parabel in der xz-ebene gleitet. Realisiere diese Vorstellung in einer 3d-Grapi. Benno Grabinger: Pringles 7

8 zu Aufgabe 4 Man erreict die Versciebung der Parabel in der yz-ebene durc Addition eines v geeigneten Versciebungsvetors. Den Versciebungsvetor erält man, indem man sic überlegt, wie sic der Ursprung versciebt. Da dieser auf der zweiten Parabel gleiten soll ergibt sic: v 0 1 t t 18 s 1 0 s 3.7 s 1 0 s t 18 x (*) s t 1 s 3.7 Derive Datei Aufgabe 5 Zeicne Momentanbilder der verscobenen Parabel ein, so dass ein fläcenafter Eindruc entstet. Benno Grabinger: Pringles 8

9 zu Aufgabe 5 In der Abbildung sind mit einer Scrittweite von s0,4 eine Reie von verscobenen Parabeln gezeicnet. Derive Datei Benno Grabinger: Pringles 9

10 Aufgabe 6 Ermittle aus der Parameterdarstellung 1 t 18 s x eine Darstellung t 1 s 3.7 der Form z f(x,y) und benutze diese Darstellung zur Herstellung einer 3d-Grapi. zu Aufgabe 6 Aus der Parameterdarstellung (*) ergibt sic unmittelbar: y z 18 x 3.7 Derive Datei Die Darstellung gleict dem Pringle scon ganz passabel, allein die Begrenzungslinien stimmen noc nict. Benno Grabinger: Pringles 10

11 Aufgabe 7 Da das Pringle in eine zylinderförmige Dose passen muss, ist es naeliegend die y x Fläce z mit einem Zylinder, dessen Acse die z-acse ist, zu scneiden. Stelle eine entsprecende Zeicnung er. Benno Grabinger: Pringles 11

12 Derive Datei Aufgabe 8 Es soll nur die gemeinsame Scnittfigur von Zylinder und Fläce gezeicnet werden. Benno Grabinger: Pringles 1

13 zu Aufgabe 8 Betractet man nur die gemeinsame Scnittmenge von Zylinder und Fläce, so erält man das Pringle. Derive Datei Benno Grabinger: Pringles 13

14 Aufgabe 9 Die dem Pringle zugrundeliegende Gleicung y x z ist ein Spezialfall des y x sog. yperboliscen Paraboloids z. a b Zeige den Einfluss der Konstanten a und b auf die Form des Paraboloids mit der Hilfe von Sciebereglern. zu Aufgabe 9 Benno Grabinger: Pringles 14

15 Derive Datei Benno Grabinger: Pringles 15

16 Das yperbolisce Paraboloid Das Wort Paraboloid ist aufgrund der zuvor betracteten aufeinandergleitenden Parabeln welce die Fläce erzeugen lar. Der Zusatz yperbolisc berut auf der Form der Scnitturve des Paraboloids mit Ebenen die parallel zu xy-ebene sind: Die Grapi legt den Verdact nae, dass die Scnitturve von Ebene und Paraboloid eine Hyperbel sein önnte. Betractet man die Ebene z, dann findet man für die Scnitturve die Darstellung: y a x b Beispiele 1. Ist -1 (obige Abbildung), so ergibt sic: y x 1 a b x y 1 b a Das ist die Gleicung einer Hyperbel im xy-koordinatensystem.. Ist 1, (folgende Abbildung) so erält man: y x, d.. eine Hyperbel im yx-koordinatensystem. 1 a b Benno Grabinger: Pringles 16

17 y x 3. Für 0 ergibt sic 0 ±, d.. die Scnitturve zerfällt in Geraden: a b Man bezeicnen diese beiden Geraden als die Hauptsceitelerzeugenden des yperboliscen Paraboloids. Ir Scnittpunt liegt auf der Acse des yperboliscen Paraboloids und eißt Sceitel. Aufgabe 10 Untersuce die Scnitte von y x z mit Ebenen parallel zur xy-ebene. 5 5 Benno Grabinger: Pringles 17

18 zu Aufgabe 10 Derive Datei Aufgabe 11 Untersuce die Scnitte von y x z mit Ebenen parallel zur yz-ebene. 5 5 zu Aufgabe 11 Derive Datei Aufgabe 1 Untersuce die Scnitte von y x z mit Ebenen parallel zur xz-ebene. 5 5 zu Aufgabe 1 Derive Datei Benno Grabinger: Pringles 18

19 Eigenscaften des yperboliscen Paraboloids Aus der Gleicung z a b die folgenden Eigenscaften: y x des yperboliscen Paraboloids ergeben sic sofort Über jedem Punt der Grundrissebene (xy-ebene) liegt genau ein Punt des yperboliscen Paraboloids. Die yz-ebene x0 ist Symmetrieebene der Fläce, da die Variable x nur quadratisc auftritt, d.. liegt P(x/y/z) auf der Fläce, dann auc der zur yz- Ebene symmetrisc liegende Punt P*(-x/y/z). Die xz-ebene y0 ist Symmetrieebene der Fläce, da die Variable y nur quadratisc auftritt, d.. liegt Q(x/y/z) auf der Fläce, dann auc der zur xz- Ebene symmetrisc liegende Punt Q*(x/-y/z). Die Scnittgerade der beiden Symmetrieebenen - in unserer Aufstellung die z- Acse - ist eine Symmetrieacse. Sie eißt auc Acse des yperboliscen Paraboloids. Benno Grabinger: Pringles 19

20 Das yperbolisce Paraboloid in der Arcitetur Das yperbolisce Paraboloid findet in der Arcitetur viele Anwendungen. Beispiele: Auf der Webseite ttp:// findet man: Was ist ein Hyperbolisces Paraboloid? Ganz einfac, es ist der matematisce Name für die Form eines Sattels. Nemen Sie zum Beispiel ein Stüc Stoff. Biegen Sie die beiden Ecen, A und C, nac oben und befestigen Sie sie. Danac biegen Sie die anderen Ecen, B und D, nac unten. Wenn Ir Stüc Stoff groß genug ist, önnen Sie es jetzt als Sonnendac benutzen, so wie wir das damals an Bord unserer Yact getan aben. Unser Dac at dieselbe Form. Sie wird auc HP Scale genannt. Benno Grabinger: Pringles 0

21 Ein weiteres Beispiel: ttp:// Sattelfläce Die Sattelfläce bestet aus zwei Hoc- und zwei Tiefpunten, zwiscen denen die Membran gespannt wird. Die genannten Beispiele aus der Arcitetur liefern einen neuen Zugang zum yperboliscen Paraboloid. Benno Grabinger: Pringles 1

22 y x Zur Vereinfacung wird das Paraboloid mit der Gleicung z betractet, d.. a b. Auf diesem Paraboloid werden die Punte A, B, C und D so gewält, dass A und C in der Höe unteralb der xy-ebene liegen, beide mit der y- Koordinate 0. Die Punte B und D sollen in der Höe oberalb der xy-ebene liegen, beide mit der x-koordinate 0. (Abbildung, C ist verdect) Für B gilt desalb: B(0/y/). Um y zu bestimmen wird in die Gleicung y bzw. y. y x z eingesetzt: Also ist: B (0 / / ) und D ( 0 / / ). Entsprecend ergibt sic: A( / 0 / ) und C ( / 0 / ). Scneidet man das Paraboloid mit einem Würfel, für den A, B, C und D Ecpunte sind, so änelt die entsteende Form der zuvor erwänten aufgeängten Membran: Aufgabe 13 y x Scneide in der bescriebenen Weise das Paraboloid z mit dem Würfel, der als Ecpunte (unter anderen) A( / 0 / ), B (0 / / ), C( / 0 / ) und D(0 / / ) besitzt. Benno Grabinger: Pringles

23 Lösungsinweise: Der Punt E at die Koordinaten ) / 0 / ( E. Gleicung der Ebene durc die Punte A, B und E: AE AB r r A 0 n m 0 z y x Daraus folgt: y x. Entsprecend ann man die Ebenengleicungen der restlicen Würfelfläcen berecnen und erält dabei als Bedingung für das Würfelinnere: y x und y x und z Wäle und 3 für die Zeicnung. Lösung zu Aufgabe 13: Derive Datei Die letzte Abbildung legt nae, dass die Geraden g(a,b) und g(c,d) völlig in dem yperboliscen Paraboloid liegen. Diese Vermutung soll durc Recnung bestätigt werden: m 0 r : (A,B) g Setzt man die Koordinatendarstellungen in x y ein, so ergibt sic: )) (1 ( m m x y ) m ( m -m z, d.. alle Punte der Geraden g(a,b) sind Elemente des yperboliscen Paraboloids. Eine entsprecende Recnung zeigt, dass auc die Gerade g(d,c) völlig in dem yperboliscen Paraboloid verläuft. Das Ergebnis der näcsten Überlegung ist, dass es weitere Geraden gibt, die vollständig in der HP-Fläce liegen: Benno Grabinger: Pringles 3

24 1. Stelle die Gleicung für die Strece AB auf.. Stelle die Gleicung für die Strece DC auf. 3. Unterteile AB und DC jeweils in 10 gleiclange Teilstüce. 4. Stelle die Gleicung für die Gerade g(p,q) auf, wobei P der i-te Teilpunte von AB und Q der i-te Teilpunt von DC ist. Dann liegt die Gerade g(p,q) völlig in der HP-Fläce. Aufgabe 14 Weise diese Beauptung durc Recnung nac. Benno Grabinger: Pringles 4

25 Lösungsvorsclag zu Aufgabe 14 Strece AB: s 0 x mit s [0;1] Strece DC: s 0 x mit s [0;1] Teilpunte auf AB: s 0 x mit s 0,1 ; 0, ; 0,3 ;... ; 0,9 Teilpunte auf DC: s 0 x mit s 0,1 ; 0, ; 0,3 ;... ; 0,9 Gerade durc P s und Q s (s ist fest, t variabel) s 0 s 0 t s 0 x st t s 0 x Diese Puntmenge liegt ganz in der HP-Fläce denn: t s x t s y st4 t s z ) t s ( ) t (s x y z 4) st( t s ) t) s) ((1 t st (s Benno Grabinger: Pringles 5

26 Zeicnet man für i0 bis i10 diese Geraden in den betracteten Würfel ein, so ergibt sic das folgende Bild: Aufgabe 15 Stelle diese Zeicnung er. Lösung von Aufgabe 15 Derive Datei Aufgabe 16 Was ergibt sic, wenn man in st t s 0 x ein festes t und ein variables s mit s [0;1] wält? Benno Grabinger: Pringles 6

27 Lösung von Aufgabe 16: Für versciedene Werte von t ergibt sic dann: Derive Datei Benno Grabinger: Pringles 7

28 Ändert man sowol s als auc t im Bereic [0 ; 1], so ergibt sic: Besser als jede Grapi ist natürlic ein Modell (gebaut von Dir Bartel, Leibniz- Gymnasiums Neustadt, 004) Benno Grabinger: Pringles 8

29 Mact man die Änderung von s und t scließlic stetig, so ergibt sic das folgende Bild: Dieses Bild ist vom gewonten yperboliscen Paraboloid nict zu untersceiden. y x Das ann man zeigen, indem man in diese Grapi noc die zu z geörende Fläce einzeicnet: Derive Datei Benno Grabinger: Pringles 9

30 Die Zeicnungen veranscaulicen, dass die Puntmengen die zu I. y x z und II 0 x 0 s t st 0 geören, identisc sind. 4 Natürlic gelingt der Nacweis dafür auc durc Recnung: Oben wurde bereits gezeigt, dass jeder Punt aus II ein Element von I ist. Hier wird nun noc ergänzt, dass jeder Punt von I ein Element von II ist. Es sei y x P x / y / ein beliebiger Punt von I. Die Koordinatendarstellung der Punte von II lautet: 1. x s t. y s t 3. z s t st4 Subtraiert man die. von der 1. Gleicung, so erält man: Addiert man die. zu der 1. Gleicung, so erält man: s t x y x y Einsetzen der s und t Werte in die 3. Gleicung liefert den z-wert des Puntes P: Derive Datei Benno Grabinger: Pringles 30

31 Die folgenden Bilder zeigen weitere Bauformen mit yperboliscen Paraboloiden: Kirce St. Suitbert, Essen-Überrur, Arcitet Josef Lembroc ttp:// Der sog. Saddledome in Calgary: Benno Grabinger: Pringles 31

32 Die folgenden Aufnamen zeigen das Restaurant Los Manantiales in Xcocimilco, einem Vorort von Mexio-City. Erbaut wurde das Loal 1958 von von Felix Candela. Das Dac bestet aus yperboliscen Paraboloiden. Benno Grabinger: Pringles 3

33 Benno Grabinger: Pringles 33

34 Benno Grabinger: Pringles 34

35 Benno Grabinger: Pringles 35