Lösungen zu delta 6. Kann ich das noch? Lösungen zu den Seiten 6 und 7

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1 Kann ic das noc? Lösungen zu den Seiten 6 und 7. a) L = { ; } b) L = {0; } c) L = {} d) ( + )( + ) = 0; L = { ; } e) ( 6)( ) = 0; L = {; 6} f) L = {0}; 0,7 G g) ( 8)( + ) = 0; L = { ; 8} ) ( + )( + ) = 0; L = { ; } i) ( 6) = 0; L = {6}. a), = _ 0 ± = 0 ± 6 6 ; = _ 6 = ; = _ 8 6 = ; L = { ; } b), = ± 8 + = _ ± ; = ; = ; L = { ; } c) ( + 0,7)( 0,) = 0; = 0,7; = 0,; L = { 0,7; 0,} _ d), = _ ± 6 = ± ; L = { } e) = = ; = = ; L = { ; } f) 8 + = + ; = ; = ; L = { } g) log 0 = ± ; = 0 X G; = _ 0 X G; L = {_ 0 ; 0} ) + = ; ( ) + = 0; ( ) ( ) = 0; = 0; = ; L = {0; } i) = ; = ; = 0; ( )( + ) = 0; L = { ; } j) + = ; + = 0; = 0 X G; L = {0} k) _ = ; = ; + = ; = ; L = { } l) log 0 ( ) = ; log 0 = 0; = X G; = X G; L = {; } m) log 0 (log 0 ) = ; log 0 = 0; = 0 0 X G; L = {0 0 }. a) L = { ( _ ; ) } b) L = {( ; 6)} c) L = {(; ; 7)}. a) P ; P ; P ; P 7 ; P 9 ; P 0 : 60% b) P ; P ; P ; P ; P 9 : 0% c) P ; P 8 : 0% d) P ; P 8 : 0% e) P 7 : 0% f) P ; P ; P : 0% g) P 6 : 0%. a) b) c) d) e)

2 6. a),06 = = 9,98 : Nac etwa 0 Jaren at sic das Kapital verdoppelt. b) () f, f () f f = f () f 0, f () f 0 00 f = f Wert () > Wert () > Wert () > Wert () 7. a) B() = B(0 + ) = B(0) + 0, [0 B(0)] = , [0 00] = 0 B() = B( + ) = B() + 0, [0 B()] = 0 + 0, [0 0] = 0 + = B() = B( + ) = B() + 0, [0 B()] = + 0, [0 ] = +, = 7, B() = B( + ) = B() + 0, [0 B()] = 7, + 0, [0 7,] = 7, +, = 8,7 b) B() = B() + 0, [0 B()] = 8,7 + 0,, = 9,7 > 9: Für n gilt B(n) > a) eponentielles Wacstum: = b) eponentielles Wacstum: =, c) lineares Wacstum: = + d) andere Art des Wacstums: = (bei = Druckfeler) 9. r = s + (r ) (Satz von Ptagoras) r = ( cm) + r r cm + 9 cm ; r + r cm r cm = cm ; : (6 cm) r = _ cm, cm 6 sin ϕ = s r = cm ; ϕ 7,7 _ cm b = 6 _ rπ _ ϕ 80 cm π 7, ,7 cm A Segment = A Sektor A Dreieck = r π ϕ 60 s (r s), cm 0,67 cm,7 cm S r s ϕ r s E 0. () a) sin α = a c ; cos α = b c ; a = c sin α; b = c cos α a + b = c (Satz von Ptagoras) c (sin α) + c (cos α) = c [(sin α) + (cos α) ] = c ; (sin α) + (cos α) = b) cos β = a c ; tan β = b a ; sin β = b c cos β tan β = a c b a = b c = sin β c) tan α = a ; tan β = b b a tan α = b = _ tan β a d) A ABC = c ; c c a = sin β; = a sin β c also A ABC = c a sin β = ac sin β e) A ABC = c ; c c b = sin α; = b sin β c also A ABC = c b sin β = bc sin α f) a c = sin α; a = c sin α; b c = cos α; b = c cos α; U = c + a + b = c( + sin α + cos α)

3 0. () a) cos = sin b) cos 0 = sin 0 = tan c) cos 67 sin = 0 d) sin 0 + cos 60 = + = = sin 90 e) tan 0 + sin 0 + cos 0 = = f) sin cos + tan = 0 + = = sin 90 g) (sin ) + (cos ) = = cos 0 ) = ; sin 90 = sin 0 i) 0 < ; cos 90 < cos. S s s D C. A ϕ M Oberfläceninalt der Pramide: _ M*S = s = (8 cm) + ( cm) ; s = 7 cm; A P = (6 cm) + _ 6 cm = 6 s cm + 7 cm 8, cm Pramidenvolumen: V P = (6 cm) 8 cm = 96 cm Winkelgröße: 8 cm tan ϕ = _ ; ϕ 6, cm Kreiskegel: V K = ( cm) π 8 cm = 8 π cm 0,8 cm ; _ s = 8 cm; A K = ( cm) π + cm π 8 cm = 6( + )π cm 77, cm Prozentsatz: _ V P = 96 cm V K 8 π cm = π 6% B M* _ AB = c _ BC = a _ CA = b Größenvergleic Das Dreieck ist und at a) LE LE _ LE < + ( ) _ spitzwinklig A = 0 FE b) 9 LE LE _ 7 LE 9 < ( ) + 7 _ spitzwinklig A = 8 FE c) 0 LE 9 LE 7 LE 0 > stumpfwinklig U, LE d) 0 LE _ 0 LE 0 LE 0 = 0 + ( 0 ) rectwinklig γ = 90 ; sin α = 0 0 ; α 8, ; β 7,6

4 A 0 6 C 6 s 7 D 6 7 s s 0 s B. Die Dreiecke ABD und ADC sind gleicscenklig, da jedes von inen zwei gleic große Winkel besitzt. Die Dreiecke ABC und ABD sind änlic, da sie in den drei Winkeln übereinstimmen. Maßzal s von _ AB : _ s 0 = _ 0 s s ; s = 00 0s; s + 0s 00 = 0; _ s, = _ 0 ± = 0 ± 0 = ± ; s = + 6,8; s = < 0 Umfangslängen: U ABD = 0 + s 6,8; U ADC = 0 + s = 0,6: Die Umfangslängen betragen 6,8 cm bzw.,6 cm.. Kann ic das? Lösungen zu Seite 8 n s(n) a) Nullstellen: = ; = ; = b) Nullstellen: = 0; =. a) Nullstellen: = 0,; =,; =, b) Nullstellen: = ; =. a) = u; u u = 0; _ u, = _ ± + 96 = ± = ± ; u = ; u = 6 = ; = ; = ; = ; = < 0: keine Lösung; L = { ; } b) + = 0; ( + ) = 0; ( + )( ) = 0; L = { ; 0; } c) + 0 = 0; ( + )( + ) = 0; = ; + = 0;, = _ ± 6 0 = _ ± : keine Lösung über ; L = { } d) = ; = = ; = ; = ; L = {} = s(n)

5 . Bedingung wird erfüllt von () () () () () f f f f Von den vier Funktionen f bis f erfüllt nur f alle fünf Bedingungen. 6. Funktionsterme: a) f() b) f() 0, 6 c) f() d) f() 7. Nullstellen der Funktion f: f() = 0,( + )( ) ; D f = : einface Nullstellen: = ; = 0; doppelte Nullstelle:, =. < = < < 0 = 0 0 < < = > + < 0 0 > 0 > 0 > 0 > 0 > 0 < 0 < 0 < 0 0 > 0 > 0 > 0 ( ) > 0 > 0 > 0 > 0 > 0 0 > 0 f() > 0 0 < 0 0 > 0 0 > 0 N N N, Der Grap kann also nict durc die drei getönten Felder verlaufen: 8. f() = 0: = b; = c; also b = ; c =,: f() = a( )( +,); f(0) = : a ( ), = ; a = ; a = : f() = ( )( +,) 9. a) und b) = = A B 0 C D b) A = ; A log = log ; A = _ log log,8; D = ; D log = log ; D = _ log log,8; _ AD = _ log log,7 B = a; B log = log a; B = _ log a log < 0; c = a; C log = log a; C = _ log a log > 0;

6 6 _ BC = _ log a* DA ; log = _ log log ; log a* = log ; log _ a* = log ; _ = ; a* = a* : Das Viereck AB*C*D ist ein Recteck. A Recteck = _ log log ( ) = _ 6 _ log log 8, Skizze: A S ϕ D B* C* ( + a*) = ; S (0 ); log _ log tan ϕ = _ ( ) = _ log =,887 ; log ϕ = 9,98 ; DSA = ϕ 99,9 Kann ic das? Lösungen zu Seite 60. a) ϕ 8 ; ϕ ; ϕ 7 b) ϕ 0 ; ϕ 0 ; ϕ 00 c) ϕ 7 ; ϕ 7 ; ϕ 97. a) π + π = π; π π = π π π = π b) 0,988; 0,988 + π,88; 0,988 + π,00 c) 0,8; π 0,8,88; π + 0,8 7,67. a) cos = 0; = π ; = π ; = π; = π b) + sin =0; sin = ; keine Lösungen: f besitzt keine Nullstellen. c) sin = ; = π 6 ; = π π 6 = _ π 6 ; = π + π 6 = 6 π; = π + 6 π = 7 6 π d) cos = _ ; = π π = _ π ; = π + π = π; = π a) b) π O π O π c) π O d) O. a) blau: a = ; Amplitude: grün: a =,; Amplitude:, rot: a = ; Amplitude: Periode: π b) blau: b = ; Periode: _ π = π grün: b = ; Periode: _ π = π rot: b = ; Periode: _ π = π Amplitude:

7 7. a) b) G () G g π π 0 () π 0 () () () π G π G g () sin sin () sin () cos cos [ 0, ( π ) ] cos [ 0, ( π ) ] Amplitude Wertemenge [ ; ] [ ; ] [ ; ] [ ; ] [ _ ; ] [0; + _ ] 6. a) = cos b) = 0, sin (0,) + 7. _ OP = cm sin ϕ; PT = cm cos ϕ; A TOP = _ OP PT = 8 cm sin ϕ cos ϕ 8. Koordinaten der Zeigerspitzen um 6 Ur (Ursprung: Mittelpunkt des Zifferblatts; positive -Acse: -Ur- Stellung des Stundenzeigers; Eineit: m): S (0,); S (0,8 cos 0 0,8 sin 0 ) = (0, 0,) Entfernung: S S = (0, 0) + ( 0,,) = 0,9 +, =,86; S S =,96: die Zeigerspitzen sind um 6 Ur,96 m weit voneinander entfernt. Kann ic das? Lösungen zu Seite 0 V(r + ) V(r). Der Term _ ( > 0) bedeutet die mittlere Volumenzunamerate, wenn die Radiuslänge um zunimmt. _ V(r + ) V(r) = (r + ) π r π _ = π(r + r + r + r ) = π (r + r + ) _ = π (r + r + ); V (r) = lim [ π (r + r + ) ] = π r = r π: Dies ist der Kugeloberfläceninalt. 0. a) f() = + ; f () = 8 + ; f() = ; f () = ; t P : = + t; da P ( ) X t P ist, gilt = + t; t = 8; t P : = 8 b) f() = + ; f () = ; f() = ; f () = ; t P : = + t; da P ( ) X t P ist, gilt = + t; t = ; t P : = + Scnittpunkt von t P mit der -Acse: = 0; 0 = + ; + = ; : =,; S (, 0) Steigung von n P : 0,; n P : = 0, + t*; da P ( ) X n P ist, gilt = 0, + t*; 0, t* =,; n P : = 0, +, Scnittpunkt von n P mit der -Acse: = 0; 0, +, = 0;, 0, =,; : 0, = ; S ( 0) A = S ( +,) =, S P r Umkreis = ( +,) =,7; A = Umkreis,7 π,; Prozentsatz: etwa _,, %

8 8 c) f() = ( ) = ; f () = 6 ; oder (Produktregel) f() = ( ); f () = ( ) + ( 0) = + = 6 ; f() = ; f () = ; t P : = + t; da P ( ) X t P ist, gilt = + t; t = ; t P : = d) f() = ; f () = ; f() = ; f () = ; t P : = + t; da P ( ) X t P ist, gilt = + t; t = ; t P : = +. f: f() = 6 ( + ) ( ); D f =. a) Acsenpunkte von : f() = 0: = ; =,; S ( 0); S (, 0) f(0) = 6 = _ 0 ; S (0 _ 0 ) b) Monotonietabelle für : f () = ( + )( ) + 6 ( + ) ( ) = ( + )( ) = ( + )( ) = ( + )( ) < < = < < = < < f () < 0 0 > 0 0 < 0 Vorzeicenwecsel von f () von nac + von + nac fallend Tiefpunkt T ( 0) steigend Hocpunkt H (,) fallend c) Grap von f: H S T = S O S. Bei beiden Abbildungen ist einer der beiden Grapen und der andere. a) Die rote Kurve ist ; die grüne Kurve ist. Begründung: Die Abszissen der Punkte von, in denen eine orizontale Tangente besitzt, stimmen mit den Nullstellen der durc dargestellten Funktion überein, aber nict umgekert. b) Die grüne Kurve ist ; die rote Kurve ist. Begründung: Die Tangentensteigung von nimmt zu, demgemäß ist steigend; umgekert ist dies nict der Fall.. Q ( ); Gleicung der Parabel P : = a( ) + ; Q X P : = a ( ) + ; a = P : = ( ) + = + + = + Steigung von P (und von P ) im Punkt Q:. Ableitung: = ; an der Stelle = : m tq = = Gleicung der Tangente t Q : = + t; Q X t Q : = + t; = + t; t = t Q : = Parabel P : = f() = + b + c Q X P : = + b + c; + b + c = 7 (I) f () = + b; f () = + b = m tq = ; b = 6; eingesetzt in (I) 6 + c = 7; c = Gleicung von P : = + 6 = ( ) + 9 = ( ) + a) Der Teil der Parabel P links oberalb des Punkts R ( ) b) Der Teil der Parabel P links unteralb des Punkts R ( 0).

9 9 Kann ic das? Lösungen zu Seite. a) V P = a = 6 cm = cm b) * = = 6 cm; a* = a = cm; V* = V kleine Pramide = a* * = 6 cm = 8 cm ; V Pramidenstumpf = V P V* = 6 cm a) A a D 0 a B C. a) Das Dreieck EBG ist gleicseitig mit der Seitenlänge a = = ; Fläceninalt: A EBG = a = ( ) = 8,9 b) Oberfläceninalt: A Oberfläce = + 8 = + 8 = 8( + ) a* * 7,9 Pramidenvolumen: V EBGF = = _ 0,7. a) ( 8 ) ( b) 0 ) ( c). a) () g: = ( ) ( + r ) ; r X () g: = ( 0 ) + r ( 0 0 ) ; r X () g: = ( ) ( + r ( ) ) ; = ( b) B ( 0); H (0 0 ) g: = ( 0 0 ) ( + r ) ; r X M [EH] ( 0 ); M [BC] ( 0); : = ( 0 ) + s ( 0 ) ; s X 8 ) ) + r ( ) ; r X Die beiden Geraden g und scneiden einander im Punkt S ( ); mit r = OS = ( 0 0 ) ( ) ( =, also S X g, und OS = ) ( 0 ) + ( 0 ) ( =, also S X. ). PQ: = ( ) ( + r 0 ( ) ) ( = ) ( + r 6 6 ) ; r X R X PQ? () = r ; r = ; r =,; () = + 6r ; 6r = 9; r =, = r ; () = 6r ; 6r = 8; r = r : R liegt nict auf der Geraden PQ. 0 und s = gilt nämlic

10 0 6. U: _ u = ( 0 ) ( + ( ) ) ( = ) ( = 6 V: v = ( 0 ) ( + ) ( = ) ( = 6 6 ) ; U ( 6 ); V (6 6); M [UV] (,) ) ; 7. a) Die Geraden g und sind nict zueinander parallel, da ( () + r = 6 s; () r = s; ( ) r = s () r = 0; r = eingesetzt in ( ) s = Probe: () L.S.: + = ; R.S.: 6 = = L.S.: Die Geraden scneiden einander, und zwar im Punkt S ( 0). b) Die Geraden g und aben die gleice Rictung, da ( Liegt B (0 ) X auc auf g? () 0 = + r ; r = ; () = 0 r ; r = r : Die Geraden sind zueinander ect parallel. c) Die Geraden g und sind nict zueinander parallel, da ( () + r = s; ( ) r + s = ; () 9, + r = 0,; r = 9; r = 9 ; () 8 + r = + s; ( ) r s = ; Das Gleicungssstem ( ) r + s = ( ) r s = at die Lösung r =, 9 und s = 0,: Die Geraden sind zueinander windscief. d) Die Geraden g und aben die gleice Rictung, da ( Liegt B (6 0 0) X auc auf g? () 0 r = 6; r = ; () 8 + r = 0; r = = r ; () r = 0; r = = r = r ; B X g: Die Geraden sind identisc. Kann ic das? Lösungen zu Seite 66 ) ( k ) ( = ) ( k 0 ) ( = ; k X \{0}, ist. 0 ) ) ist. ; k X \{0}, ist. ) ) ist.. a) Ω = {0; ; ; ; ; ; 6; 7; 8; 9} A = {; ; ; 7; 9}; P(A) = 0,; B = {0; ; 6; 9}; P(B) = 0,; C = {0; ; ; ; }; P(C) = 0,; D = {; ; ; 7}; P(D) = 0,; E = {0; ; ; 9}; P(E) = 0,; F = {9}; P(F) = 0, b) A Q B = {; 9}: Die Nummer ist ungerade und durc teilbar A q B = {0; ; ; ; 6; 7; 9}: Die Nummer ist ungerade und / oder durc teilbar A q C = {6; 8}: Die Nummer ist gerade und mindestens gleic D Q E = Ω: Die Nummer ist nict gleiczeitig Primzal und Quadratzal

11 . geimpft nict geimpft erkrankt nict erkrankt Anzal der Geimpften: 07 P ( geimpft und erkrankt ) = ,8% Anzal der Nictgeimpften: 69 P ( nict geimpft und nict erkrankt ) = ,7%. 0,0 + p + 0,0 = ; p = 0,0; p = 0,: P(X = ) 0,0 0, 0, 0,0 E() = 0,0 + 0, + 0, + 0,0 =,0: Nac ser vielen Würfen ist als Mittelwert aller bis dain geworfenen Zalen etwa zu erwarten.. a) ( 7 ) =! 7!8! = 6 b)! = c) ( 7 7 ) = _ 7! = = 67 7!! 6 d) ( 7 ) =! = _ = 0 7!! e) 0!!6! 0, 0,8 6 0, ,8%. a) p = 0,0; n = 0: P(X ) = P (X ) 0,97 6,% b) p = 0,0; n = 00: P(X 6) 0, ,9% 6. Warsceinlickeitsverteilung; Anzal der Wappen: X P(X = 0) = ( 0 ) ( ) 0 ( ) = _ ; P(X = ) = ( ) ( ) ( P(X = ) = ( ) ( ) ( P(X = ) = ( ) ( ) ( P(X = ) = ( ) ( ) ( P(X = ) = ( ) ( ) ( ) = _ ; ) = _ 0 ; ) = _ 0 ; ) = _ ; ) 0 = _ 0 P(X = ) _ 0 _ 0 _ 8 P(X = ) _ 0

12 E(X) = _ a) P(X = ) = _ 80 ( ) = _ =, 6% b) P(X ) = P(X = 0) = _ c) P(X > ) = P(X = ) + P(X = ) = _ 6 9% d) P(X ) = P(X = ) = _ 97% 97% Kann ic das? Lösungen zu Seite 86. f() = 6 ( 6) = 6 ( + 6) a) f () = 6 ( + 6) = ( 8 + ) = = ( )( 6); f () = 0: = ; = 6 f() = _ 6 ; f(6) = 0 Monotonietabelle: < < = < < 6 = 6 6 < < f () f () > 0 f () = 0 f () < 0 f () = 0 f () > 0 Vorzeicenwecsel von f () von + nac von nac + Funktion f Grap zunemend steigend lokales Maimum E = H ( ); E = T (6 0); 6 E E = g: = m + t; _ = m + t () 0 = 6m + t () 6 () (): _ = m; m = in () t = 6m = 8 E E = g: = + 8 W X g? L.S.: 8 ; R.S.: + 8 = 8 ; L.S. = R.S., d.. W X g = E E : Die Punkte E, E und W liegen auf einer Geraden. b) A(a) = a f(a) = = a a 6 (a a + 6) = = _ (a a + 6a ); A (a) = _ (a 6a + 7a) = = a (a 9a + 8) = = a (a )(a 6); A (a) = 0: a = 0 ]0; 6[; a = X ]0; 6[; a = 6 ]0; 6[ abnemend Hocpunkt H ( ) fallend lokales Minimum Tiefpunkt T (6 0) zunemend steigend

13 Da für 0 < a < stets A (a) > 0 und für < a < 6 stets A (a) < 0 gilt, ist A() = 6,7 ein lokales und wegen lim A(a) = 0 < 6,7 und lim A(a) = 0 < 6,7 auc das globale Maimum des Dreiecksfläceninalts A(a). a 0 + a 6. a) Ansatz: f() = K( + )( ) = K( 9); f () = K( 9); f (0) = 9K; m t0 = _,, = = f (0); 9K = ; K = Funktionsterm: f() = ( 9) = + b) P O t O Eckpunkte: V ( a f( a)), I (a f( a)), E (a f(a)), R ( a f(a)) mit f(a) = _ a + a; f( a) = _ a a Fläceninalt: A VIER = A(a) = a f(a) = a ( A (a) = _ 6 a + a; A (a) = 0: _ 6 a ( a 9 ) a = ; A ( ) = _ a + a ) = a + a ; = 0; 0 < a < : _ 8 Da für 0 < a < stets A (a) > 0 und für < a < stets A (a) < 0 gilt, ist A ( ) = 7 ein lokales und wegen lim A(a) = 0 < 7 und lim A(a) = 0 < 7 auc das globale Maimum (der Maßzal) des a 0 + a Rectecksfläceninalts. + 9 = 7 + = 7

14 . A(r) = rπ + r π; Recnung in Maßzalen (Eineit mm, mm bzw mm ): r π + rπ = 0; = _ 0 r π ; rπ Volumen des Zlinders: V Z = r π; V Z (r) = (0 r π)r π = rπ = r (0 r π) = = r r π; V Z (r) = 6r π; V Z (r) = 0: 6r π = ; r = 6π ; r = + ; 6π r 0 = 6π,8; V (r ) = r ( πr ) = 0 Z π : Da für 0 < r < r 0 stets V z (r) > 0 und für r 0 < r < stets V z (r) < 0 gilt, ist V Z (r 0 ) = 0,6 ein 6π lokales und wegen lim V Z (r) = 0 < V Z (r 0 ) und lim V Z (r) = auc das globale Maimum (der Maßzal) des r 0 + r Zlindervolumens. 0 6π 0 = _ π 00 π = _ π 6π 0,0 6π Gesamtvolumen der Kapsel: V K,8 π 0,0 +,8 π 86,: Mit r 0,8 mm und 0 0,0 mm (die optimale Kapsel ist also etwa cm lang und cm breit) ergibt sic ein Kapselvolumen von etwa 86 mm.. a) Ansatz: f() = a ( 8); f() = 9; 6a ( ) = 9; a = _ 9 6 ; f() = _ 9 6 ( 8) = _ 9 6 ( 8 ) b) Term der Spiegelfunktion f*: f*() = _ 9 6 ( 8) Scnittwinkel: f () = _ 9 6 ( 6); f (8) = _ 9 (9 8) = _ 9 6 = 9; 6 6 tan ( ϕ ) = 9; ϕ 8,66 ; ϕ 67 c) Das Viereck ist eine Raute, da seine beiden Diagonalen [ON] und [P*P] einander senkrect albieren. Seine vier Seiten sind sämtlic gleic lang. Seine Innenwinkel mit den Sceiteln P und P* sind gleic groß und seine anderen beiden Innenwinkel ebenfalls. U OP*NP = PO = + 9 = 97 9,; A OP*NP = 8 9 = 7 0 O * T P P* ϕ ϕ * N * 0

15 . a) Die Grapen sind für k 0 Parabeln mit dem Sceitel S (0 k ); für k = 0 ergibt sic eine zur -Acse parallele Gerade mit der Gleicung =. b) t P O T 0 P t c) P ( k ) f k () = k; f k () = k; t k : = k + t; P X t k : k = k + t; t = ; t k : = k ; daraus folgt, dass t k für jeden Wert von k den gleicen -Acsenabscnitt at, also durc T (0 ) verläuft. d) 0 < k < : f k () = 0; k = k;, = ± k ; k _ N N = k = : _ k = ; k = k; = k; k = X ]0; [ k k