1. Berechne mit dem Taschenrechner Näherungswerte und runde das Ergebnis auf vier Dezimalen a) sin 35,20 b) cos 17,75 c) tan d) cos 3 3

Transkript

1 9 Üben X Trigonometrie 30. Berecne mit dem Tscenrecner Näerungswerte und runde ds Ergebnis uf vier Dezimlen ) sin 35,0 b) cos 7,75 c) tn 44 d) cos 3 3. Berecne die Winkel und gib ds Ergebnis gerundet uf drei geltenden Ziffern n: ) sin α = 0,843 b) cos ß = 0,705 c) tn γ =,789 d) sin δ =,987 9 Lösung X Trigonometrie 30 Aufgbe : ) 0,5764 b) 0,954 c) 0,975 d) 0,9986 Becte dbei: 3 3 = = 3,05 Aufgbe : ) 57,5 b) 45, c) 60,8 d) get nict!

2 9 Üben X Trigonometrie 30 C A B A Gegeben : c = 56,40 m ; α = 38,5 ; γ = 90 Gesuct : ; b; ß 9 Lösung X Trigonometrie 30 α + ß = 90 ß = 5,5 sin α = c = c sin α = 35, m cos α = c b b = c cos α b = 44,4 m

3 9 Üben X Trigonometrie 303 A B C A Gegeben : b = 48, m ; γ = 56 α = 90 Gesuct : c ; ; ß 9 Lösung X Trigonometrie 303 γ + ß = 90 ß = 34 tn γ = b c c = b tn γ c = 9,7 m cos γ = b = b cosγ = 65,0 m

4 9 Üben X Trigonometrie 304 C A B A Gegeben : c =,360 km ; γ = 90 = 345 m Gesuct : b ; α ; ß 9 Lösung X Trigonometrie 304 sin α = c α = 8,4 cos α = c b b = c cos α b =,335 km α + ß = 90 ß = 8,6

5 9 Üben X Trigonometrie 305 B C A A Gegeben : c = 0,74 m ; ß = 90 = 6,48 m Gesuct : b ; α ; γ 9 Lösung X Trigonometrie 305 tn γ = c γ = 58,9 sin γ = b c b = c csin γ b =,54 m α+ γ = 90 α = 3,

6 9 Üben XX Trigonometrie 306 Zeicne ein gleicseitiges Dreieck ABC. Drücke den Winkel α durc die Höe und eine Seite us. Ws gilt lso für sin 60? 9 Lösung XX Trigonometrie 306 sin α = sin 60 = 3 = 3

7 9 Üben XX Trigonometrie 307 Zeicne in ein Qudrt die Digonle ein. Drücke den Winkel zwiscen Digonle und Seite durc diese beiden Größen us. Ws gilt lso für sin 45? 9 Lösung XX Trigonometrie 307 sin α = d sin 45 = =

8 9 Üben XX Trigonometrie 308 Steigung einer Gerden y g mit y = mx + t, x Bestimme einen Zusmmenng zwiscen der Steigung m einer Gerden und dem Neigungswinkel α. Hinweis: Steigungsdreieck 9 Lösung XX Trigonometrie 308 α x y α Im Steigungsdreieck gilt: m = y x = tn α

9 9 Üben XX Trigonometrie 309 Welcen Neigungswinkel besitzen folgende Gerden? Runde ds Ergebnis uf eine Dezimle und kontrolliere es durc Zeicnung der Gerden! ) y = x + 5 b) y = 0,5x c) y = 0,6x d) y = x 3 9 Lösung XX Trigonometrie 309 ) tn α = α = 63,4 b) ß = 84,6 c) γ = 3,0 d) δ = - 9,7 Ds Minus im Fll d) bedeutet, dss der spitze Winkel, den die Gerde mit der x- Acse einscließt, einen negtiven Dresinn t.

10 9 Üben XX Trigonometrie 30 Berecne bei einem Würfel den Neigungswinkel einer Rumdigonlen gegen die Grundfläce. (Skizze) 9 Lösung XX Trigonometrie 300 α Die Digonle in der Grundfläce beträgt tn α = α = 35,6

11 9 Üben XX Trigonometrie 3 Von einem gleicscenkligen Dreieck kennt mn den Winkel n der Spitze (γ = 5,4 ) und die Bsislänge c = 6,00 cm. Berecne die Höe uf die Bsis und die Scenkellänge! 9 Lösung XX Trigonometrie 3 α = 90 tn α = c γ = 90 6, = 63,8 = 0,5 c tn α = 6,0 cm 0,5c cos α = 0,5c b b = 0,5c cosα = 6,79 cm

12 9 Üben XX Trigonometrie 3 Ein Prllelogrmm ist durc die Seitenlängen = 0 cm und b = 8,0 cm und den spitzen Winkel α = 55 bestimmt. Berecne den Fläceninlt des Prllelogrmms. 9 Lösung XX Trigonometrie 3 α b sin α = b = b sin α A = = b sin α = 65,5 cm

13 9 Üben XX Trigonometrie 33 Bestimme die Mße ller Rectecke mit gnzzligen Seitenlängen, die einen Fläceninlt von 60 cm ben. Wie groß ist in diesen Rectecken jeweils der spitze Winkel, den die Digonlen miteinnder einscließen. (Fertige für einen der Fälle eine Skizze, dmit du erkennst, wie du den Winkel berecnen knnst.) 9 Lösung XX Trigonometrie 33 D C Es gilt: CM BC tn α = = SM AB S α M Der gesucte Winkel ist α bzw α A B AB BC α 0,95 3,8 4,93,6 30,96 59,0 Scnittwinkel,9 7,6 9,9 45, 6,9 6,9

14 9 Üben XX Trigonometrie 34 Berecne den Winkel ß! Zustzufgbe: Konstruiere die Figur mit Zirkel und Linel 90 6 cm β 3 cm 90 9 Lösung XX Trigonometrie 34 ß tn 3 ß = = 0,5 = 6,56 ß = 53, 6

15 9 Üben XX Trigonometrie 35 Berecne die Länge der Strecke x! D 8 cm x A B C 9 Lösung XX Trigonometrie tn 70 = AB = =,9 AB tn tn 30 = AC = = 3,86 AC tn30 x = 3,86,9 = 0,95 (cm)

16 9 Üben XXX Trigonometrie 36 Zeicne ein Trpez ABCD mit AB CD und AB = 7,5 cm, AD = 5,5 cm, α = 50 und ß = 70 und berecne seinen Fläceninlt 9 Lösung XXX Trigonometrie 36 Die Formel für den Fläceninlt des + c Trpezes ist: A =, lso bruct mn die Höe und c = CD D C sin 50 = = AD sin50 = 4, AD CQ CQ tn 70 = QB = =,5 QB tn70 AP cos 50 = AP = AD cos50 = 3,5 AD CD = PQ = 7,5 3,5,5 =,5 A 50 P Q 70 B ( 7,5 +,5 ) 4, A = = cm

17 9 Üben XX Trigonometrie 37 Ein Drcenflieger gleitet one Aufwind in einem Winkel α von etw 8 ins Tl. ) Welce Flugweite erreict er, wenn er us eine Höe von 5 m strtet? b) Aus welcer Höe muss er strten, wenn er dbei, km weit fliegen will? c) Wie lng ist in beiden Fällen seine Flugstrecke und wie lnge befindet er sic etw in der Luft, wenn seine Fluggescwindigkeit 7 m s beträgt? (siee Cornelsen Fokus Mtemtik 9 S. 45/ Aufgbe ) 9 Lösung XX Trigonometrie 37 Es gilt: tn α = und sin α = Flugweite Flugstrecke ) Flugweite = = 889 m tn8 b) = Flugweite tn 8 = 69 m c) Flugstreck e = = 898 m bzw. 4 m sin8 Die Flugzeit beträgt dnn 8 s bzw. 73 s.

18 9 Üben XXX Trigonometrie 38 Die Seiten des Quders ABCDEFGH sind = 6 cm, b = 3 cm und c = 4 cm lng. Wie groß ist der Winkel, den die H G Rumdigonle [AG] mit folgenden Strecken einscließt? E F c ) [AC] b) [AF] c) [AD] d) [GH] D C e) [GC] f) [GB] b A B 9 Lösung XXX Trigonometrie 38 CG 4 ) Ds Dreieck ACG ist rectwinklig bei C mit AG = 6. sin α = = α = 30, 8 AG 6 FG 3 b Ds Dreieck AFG ist rectwinklig bei F mit. sin ß = = ß =, 6 AG 6 c) Ds Viereck AFGD ist ein Recteck, lso ist γ = 90 - ß = 67,4. HG 6 d) Ds Dreieck AHG ist rectwinklig bei H. sin δ = = δ = 50, AG 6 e) Im Dreieck ACG gilt: ε = 90 - α = 59,. AB 6 f) Ds Dreieck ABG ist rectwinklig bei B. sin ε = = ε = 50, AG 6

19 9 Üben XXX Trigonometrie 39 Bei einer gerden Pyrmide mit qudrtiscer Grundfläce (Seitenlänge = 8 cm) ist der Neigungswinkel α einer Seitenfläce gegen die Grundfläce 60. ) Berecne ds Volumen der Pyrmide. (exkter Wert!) (Ds Volumen einer Pyrmide ist V = G 3, wobei G die Grundfläce und die Höe der Pyrmide ist.) b) Welcen Neigungswinkel ß besitzt eine Seitenknte gegen die Grundfläce? c) Berecne den Oberfläceninlt der Pyrmide (exkter Wert!) (Grfik siee Cornelsen Fokus Mtemtik 9 Seite 47/ Aufgbe 5) 9 Lösung XXX Trigonometrie 39 ) tnα = = tnα = 4 tn60 = = 3 V = b) tnß = = = = ß = 50, 8 AM c) cosα = = = = = 8 cosα cos60 Seitenfläce: A = = Oberfläce = = 9

20 9 Üben XXX Trigonometrie 30 Ein Spziergänger (Augenöe,7 m), siet die Oberknte eines Hocuses unter einem Winkel von 35 gegen die Wgrecte. Ncdem er sic dem Hocus um weitere 50 m genäert t, siet er die Oberknte unter einem Winkel von 50. Wie oc ist ds Hocus? (Grfik siee Cornelsen Fokus Mtemtik 9 Seite 47/ Aufgbe 9) 9 Lösung XXX Trigonometrie 30 Die Höe des Hocuses b Augenöe sei, die Entfernung m Ende zum Hocus x. ' ' tn35 = bzw. tn 50 = x + 50 x Durc Auflösen nc x und Gleicsetzen erält mn: ' ' tn35 tn50 50 = ' = 50 ' = = tn35 tn50 tn35 tn50 tn50 tn35 tn35 tn50 = 84,9 m Die Höe des Hocuses ist lso 86,6 m.

21 9 Üben EXP Trigonometrie 3 Gregor (Gewict 600 N) färt mit einem Sclepplift. Ds Seil zum Bügel des Lifts bildet mit der Hngrictung einen 35 - Winkel. Die Krft F t einen Betrg von 40 N. Die Spur, längs der Gregor inufgescleppt wird, ist 750 m lng. Berecne die Arbeit, die dbei vom Lift n Gregor verrictet wird. 9 Lösung EXP Trigonometrie 3 Die Arbeit W ist definiert ls W = Krftnteil in Wegrictung zurückgelegter Weg. W = F s s Fs Es gilt: cosα = F F s = F cosα W = F s cosα W = 40 N 750 m cos 35 = 4,6 kj

22 9 Üben EXP Trigonometrie 3 Um die Breite eines Bcs zu bestimmen, messen Luks und Sopie m Ufer eine Stndlinie [ST] der Länge 9 m us. Von jedem der beiden Endpunkte der Stndlinie us peilen sie einen Bum B uf der nderen Seite des Bcs n und messen die Winkel α = 5 und ß = 4. Berecne us diesen Angben die Breite des Bcs. 9 Lösung EXP Trigonometrie 3 Es gilt: tn ß = und tn α = = SF tnß bzw. = FT tnα SF FT Setzen wir x = SF, so ist FT = 9 x, und der entstet durc Gleicsetzen: x tnß = ( 9 x) tnα Ausmultiplizieren und umformen: x tn ß + x tn α = 9 tn α 9 tnα x = = 7, 3 und = 5,0 tnß + tnα Die Breite des Bcs ist 5 m.

23 9 Üben EXP Trigonometrie 33 Die geogrpisce Breite der Wendekreise beträgt ϕ = 3,45, die der Polrkreise ϕ = 66,55. (vergleice Skizze mit den geogrpiscen Koordinten eines Ortes P) ) Berecne jeweils Rdius und Umfng der speziellen Breitenkreise. b) Bei welcem Breitengrd ist der Umfng des Breitenkreises ein Drittel der Länge des Äqutors? Der Erdrdius ist 6370 km. 9 Lösung EXP Trigonometrie 33 Für den Zusmmenng zwiscen Rdius r eines Breitenkreises und dem Erdrdius r R R gilt: sin( 90 ϕ) = r = R sin( 90 ϕ) = R cosϕ ) Wendekreise: r = 5844 km, u = 3678 km Polrkreise: r = 535 km, u = 597 km b) Wenn der Umfng des Breitenkreises gleic einem Drittel der Länge des Äqutors ist, so gilt dies uc für den Rdius. r = R 3 cos ϕ = 3 ϕ = 70,53

24 9 Üben XX Trigonometrie 34 Bei dieser Aufgbe sollst du one Tscenrecner uskommen! ) Es ist cos α = 0,8; berecne one Tscenrecner die Werte für sin α und tn α. b) Welce Werte für cos ß und tn ß ergeben sic, wenn sin ß = 3 ist? (exkte Werte!) 9 Lösung XX Trigonometrie 34 ) sinα = ( cosα) = 0,8 = 0, 6 sinα 0,6 tn α = = = cosα 0,8 b) cosß = ( sinß) = ( ) = = tnß = sinß cosß = 3 3 = = 4

25 9 Üben XXX Trigonometrie 35 Berecne sin ß und cos ß, wenn tn ß = 0,4 ist, one den Tscenrecner zu verwenden! 9 Lösung XXX Trigonometrie 35 Es gilt: sinß tn ß = und cosß = ( sinß) cosß tnß = sinß ( sinß) Mit sin ß = x ergibt sic die Gleicung x 0,4= x x 0,6 = ( x ) 0,6 ( x ) = x,6 x = 0,6 x = 4 = 0, 9 x 37 sin ß = 4 cos ß = 4 = 5 = 5 0, 9 9 =

26 9 Üben XX Trigonometrie 36 Welce Terme ben den gleicen Wert? ) tnß cosß b) c) sinß tnß 3 d) sin sinß e) sin ß + sinß cos ß f) sin ß g) i) l) cosß cosß tnß sinß tnß n) tn ß o) ) k) ß cos ß cosß cos m) cos ß sinß (siee Cornelsen Fokus Mtemtik 9: Seite 38 / Aufgbe 4) ß 9 Lösung XX Trigonometrie 36 Vereinfcen der Terme ergibt: ) sin ß b) d) g) k) sinß cosß cos ß cos ß c) cos ß e) sin ß f) sin ß ) tn ß sin ß i) sinß l) cos ß m) cos ß n) tn ß o) sinß Die Terme ), e), f) sind gleicwertig, ebenso die Terme c), l) und m) sowie die Terme d), i) und o).

27 9 Üben XX Trigonometrie 37 Vereinfce folgende Terme: ) + cosα cosα 4 4 b) sin α cos α c) cos α + sinα tnα (siee Cornelsen Fokus Mtemtik 9: Seite 40 / Aufgbe 7) 9 Lösung XX Trigonometrie 37 ) + cosα cosα = cos α = sinα 4 4 b) α cos α = ( sin α cos α) ( sin α + cos α) sin = sin α - cos α = sin α - c) sinα cosα + sinα tnα = cosα + sinα cosα cos = α + sin cosα α = cos α