Rotationskörper

Transkript

1 .17.5 ottionskörper Im folgenden efssen wir uns mit Körpern, die ddurc entsteen, dss eine eene Kurve oder ein eenes Kurvenstück um eine Acse rotiert, die in der gleicen Eene liegt. Einige spezielle Typen von ottionskörpern sind mit iren erzeugenden Kurvenstücken in den folgenden Aildungen drgestellt. Ein ottionskörper sei durc ein rotierendes eenes Kurvenstück - Meridin gennnt - und die in der gleicen Eene liegende ottionscse gegeen. Legt mn in die Eene ein krtesisces Koordintensystem so, dss die ottionscse mit der x-acse zusmmenfällt, dnn wird der Meridin escrieen durc den Grpen der Funktion y = f(x), x [,] (s. A ). Durc eine Zerlegung des Intervlls [,] erlten wir n Teilintervlle [x i,x i+1 ] mit = < < < < < < < < =. A ottion eines Meridin um die x-acse 19-1

2 Indem wir in jedem Teilintervll [x i,x i+1 ] eine Zwiscenstelle ξ i wälen und die Meridinkurve in diesem Intervll durc den konstnten Wert f(ξ i ) ersetzen, näern wir den ottionskörper durc n Zylinder n (vgl. A ). A Annäerung eines ottionskörpers durc Zylinder Die Summe der Zylindervolumen ist ein Näerungswert für ds Volumen des ottionskörpers. Für ds Volumen jedes einzelnen Zylinders erlten wir nc der eknnten Formel V = Grundfläce Höe = π ξ = π ξ. Für ds Volumen des ottionskörpers gilt somit der Näerungswert: = π ζ. = Ist die Funktion f uf dem Intervll [,] stetig, so ist uc f uf diesem Intervll stetig. Dmit ist die Funktion f uf dem Intervll [,] integrierr und somit existiert der Grenzwert V = lim π f ( ζ ) x = π f ( x ) dx. n n k k k = 1 Stz : Die Funktion f: [,] I sei stetig und escreie einen Meridin, der um die x- Acse rotiert. Der so erzeugt ottionskörper t dnn ds Volumen 19 -

3 V = π f x dx ( ). Beispiel : (i) Ds Volumen einer Kugel mit dem dius r = ist gegeen durc ( ) ( ) VK = π x dx = π x dx = π x x = π (ii) Durc die Gleicung + =, x [,] wird eine Gerde escrieen. Bei der ottion um die x-acse escreit = den Meridin eines Kegels mit der Höe und dem dius. Für ds Kegelvolumen erlten wir: V K x dx = π = x dx = = π π π 3 3. (iii) Durc die Gleicung x - y = 1, x [,1], wird eine Gerde escrieen, die die x-acse im Punkt (1/,) scneidet. Bei der ottion um die x-acse escreit der Meridin f(x) = x - 1 einen Doppelkegel mit dem Volumen 1 1 V = π ( x 1) dx = π. 3 A : Meridin Doppelkegel Betrcten wir nun ottionskörper, die durc eine Fläce erzeugt werden. Dei nemen wir n, dss die Fläce durc die Funktionen f: [,] I und g: [,] I mit f(x) g(x) für lle x [,] egrenzt wird (s. A ): Stz.17.5.: Die Funktionen f,g: [,] I mit f(x) g(x) für x [,] seien stetig und egrenzen eine Fläcen, die um die x-acse rotiert. Der so erzeugte ottions-körper t dnn ds Volumen: V = π ( g ( x ) f ( x )) dx. Beispiel.17.5.: A : Erzeugende Fläce eines ottionskörpers 19-3

4 Wir etrcten den ottionskörper, der durc ottion eines Kreises um die x- Acse entstet. Der Astnd des Kreismittelpunktes von der x-acse sei >. Einen solcen Körper nennt mn Torus (nsculic ist ds der Scluc eines Autoreifens). Die fläcenerzeugende Funktionen sind dnn gegeen durc g( x) = r x +, x [-r,r] und f ( x) = r x +, x [-r,r]. Ds Volumen des Torus ist dnn: V = 8π r x dx = π r. r Bemerkung : ottionskörper, die ls ottions-acse die y- Acse eines krtesiscen Koordintensystems esitzen, werden wie folgt erecnet: A Toruserzeugende Fläce Konstruktion der Umkerfunktion, die den Meridin erzeugt (zw. Konstruktion der Umkerfunktionen, die die erzeugende Fläce egrenzen), Anwendung der eknnten Formeln für die ottion um die x-acse. Wictig: Die Integrtionsgrenzen ändern sic! Hinweis: Wir werden später (im Kpitel üer Kurven im I n ) eine einfcere Metode kennenlernen, wie ds Volumen von Körpern, die um die y-acse rotieren, erecnent werden können. Allerdings muss dnn die erzeugende Funktion differenzierr sein. Beispiel : Die Kurve der Funktion = rotiert zwiscen den Grenzen x 1 = und x = 1 ) um die x-acse, ) um die y-acse. Gesuct ist ds Volumen der ottionskörper. Lösung: ) ottion um die x-acse: 19-4

5 V = π x dx. 4 V x dx. ) ottion um die y-acse: = π ( 6 ) 19-5