Kapitel III Funktionen in mehreren Veränderlichen
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- Leonard Frei
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1 Kpitel III Funktionen in mehreren Veränderlichen Einleitung: Geometrische Interprettionen A: Funktionen f : IR IR f : M IR, M IR Grph: gegebene Kurve. {( x f(x } : x M IR 2 : explizit Legt mn ndere Koordinten zugrunde, so sind ndere geometrische Interprettionen möglich. Ein wichtiges Beispiel sind Drstellungen über Polrkoordinten: ( ( x r krtesisch in Polrkoordinten. y ϕ Offensichtliche Trnsformtionsformeln: x = rcosϕ, y = rsinϕ bzw. r = x 2 +y 2, tnϕ = y x. Beschreibung in Polrkoordinten: {( r(ϕcosϕ ϕ r(ϕ Grph: r(ϕsinϕ } : φ M, z.b. r(ϕ r, ϕ 2π : Kreis um mit Rdius r r(ϕ r, ϕ 6π : derselbe Kreis, dreiml durchlufen.
2 r(ϕ = φ, ϕ [, Archimedische Spirle r(ϕ = cos2ϕ, ϕ 2π : Lemniskte Die Beispiele zeigen: Kurven im IR 2 sind u.u. in Polrkoordinten explizit drgestellt, wohingegen ds krtesisch nicht immer gelingt, s.kreis: r(φ = r bzw. y = ± r 2 x 2. B: Funktionen γ : IR IR n Einige Beispiele: γ : [,2π] IR 2, γ(t = γ : IR IR 3, γ(t = Richtungsvektor ( cost sint γ : [,4π] IR 3, γ(t = mit vier Umdrehungen +t rcost rsint ht Einheitskreislinie Gerde durch mit (r,h > fest Schrubenlinie
3 Definition: Eine Funktion γ : I IR n, I IR ein Intervll, notiert in der Form γ (t γ(t =., für die lle Komponentenfunktionen γ i (t, i n γ m (t stetig sind uf I nennen wir eine(prmetrisierte n dimensionle Kurve. Im Flle I = [,b] heißt γ( der Anfngspunkt, γ(b der Endpunkt von γ. Schließlich heißt γ geschlossen, flls γ( = γ(b gilt. Wir nennen γ gltt, flls llekomponenten differenzierbr sind, und in γ (t diesem Fll nennen wir γ(t :=. (Punktnottion ist hier üblicher γ n (t ls die Strichnottion der Ableitung den Tngentil- oder Geschwindigkeitsvektor von γ. Wir nennen γ stückweise gltt, flls I = [,b] und flls es eine Zerlegung Z : = t < t <...t k = b von [,b] gibt mit γ C [t ν,t ν ] ν =,...k, i =,...,n. In diesem Flle nennen wir b ( b L(γ := γ(t dt = γ γ n dt 2 die Bogenlänge von γ. Bemerkungen und Beispiele: (i Wir benutzen für x = x. x n IR n die Euklidische Norm ( n /2 x := xi 2. i= i= γ(t+h γ(t (ii : interpretierbr ls Durchschnittsgeschwindigkeit im h Intervll [t, t + h], geometrisch: Sekntenlge γ(t ist interpertierbr ls Momentngeschwindigkeit mit Tngentillge. Ist Z : = t <... < t k = b eine Zerlegung von [,b], so ist k γ(t i γ(t i die Länge des Polygonzuges zwischen den Punkten γ(t, γ(t,...,γ(t n. L(γ k i= k γ(t i γ(t i = i= γ(t i γ(t i b (t i t i γ(t dt t i t i (iii Beispiel: Kreis: γ(t = 2π r dt = 2πr. ( rcost rsint, t 2π L(γ = 2π ( rsint rcost dt =
4 ( t (iv explizite Kurve: γ(t = f(t C: Funktionen f : IR n IR Definition: Gegeben sei f : M IR, M IR n., t b L(γ = b +f 2 (t dt. (i Für c IR heißt N c := {x M : f(x = c} die Niveumenge von f zum Niveu c ; {( } x (ii G(f := : x M heißt der Grph von f ; f(x (iii Für festes =. n heißt die reelle Funktion f i f(,..., i,x, i+,..., n die i-te prtielle Funktion von f bei. (Dbei sei der Definitionsbereich von f i so gewählt, dss (,..., i,x, i+,..., n M gilt für lle x D. Ist llgemeiner v IR n ein fester Vektor der Länge, i.e. v =, so nennen wir f v : t f( + tv (t so, dss + tv M gilt die Richtungsfunktion von f bei in Richtung v. Bemerkungen: (i Im Flle n = 2 ist der Grph von f eine explizite Fläche im IR 3. Die Niveumengen N c sind ls Höhenlinien interpretierbr. Es hndelt sich dbei um implizit gegebene Kurven. Die Anlyse von N c und/oder den prtiellen Funktionen erlubt oftmls eine geometrische Interprettion. {( } x (ii Beispiel: f(x,y = x 2 +y 2 ; N c = : x y 2 +y 2 = c = { flls c < Ursprungskreis mit Rdius ( c flls c prtielle Funktionen, von us: f (x = f(x, = x 2 und ( f 2 (y = f(,y = y 2 : Prbeln; Richtungsfunktion von us ( / 2 in Richtung Nordost, lso v = / : f v (t = 2 2 t2 + 2 t2 = t 2, ebenflls prbolisch. G(f ht die Form eines Rottionsprboloids.
5 (iii Beispiel: f(x,y = x 2 +y 2 : N c =, flls c < bzw. ein Ursprungskreis ( mit Rdius c im Flle c. prtielle Funktionen bei : f (x = f(x, = x ; f 2 (y = y : G(f : Kegel (iv Beispiel: f(x,y = 3x 2y + : N c : Gerden mit Steigung 3 2 ; G(f : Ebene im IR 3 (v Beispiel: f(x,y = x 2 y 2 : N c : Kreis ( c ; f(x, = x2 ; f(,y = y 2 : Hlbkreise; G(f : obere Hälfte der Einheitskugel. (vi Für n 3 versgt unsere Anschuung. Lediglich für n = 3 besitzen dieniveumengen N c nochinterprettionsmöglichkeitlshöhenflächen (implizit gegebene Flächen im IR 3, z.b. f(x,y,z = x 2 + y 2 + z 2 : N c : Kugeln um. D: Funktionen T : IR n IR n Linere Abbildungen: T : x ( Ax, A gegebene (n,n Mtrix (vgl. Linere Algebr, z.b. A = : Drehung um π 2 ; A = ( cosϕ sinϕ : Drehungum ϕ, A = : Spiegelung sinϕ cosϕ n der x y -Ebene. Mtrixmultipliktion entspricht der Komposition; T ist bijektiv A ist regulär mit T : x A x; deta = Flächen- bzw. Volumenverhältnis von Bildfiguren zu Originlfiguren.
6 Nichtlinere Abbildungen T : IR n IR n, z.b. ( ( r rcosϕ (i T : (Polrkoordinten bijektiv zwischen ϕ rsinϕ ( (, [,2π und IR 2 \ r x (ii Kugelkoordinten im IR 3 : T : ϕ y mit ϑ z x = rcosϕcosϑ y = rsinϕcosϑ z = rsinϑ ( r : Abstnd vom Ursprung; ϕ : Längengrd, ϑ : Breitengrd : bijektiv zwischen (, [,2π ( π 2, π 2 und IR 3 \,,. Fzit: Solche Abbildungen T sind meist Koordintentrnsformtionen. E: Funktionen T : IR 2 IR 3 können wir uffssen ls (prmetrisierte Flächen im IR 3, z.b. F(s,t = + s + t 3, (s,t IR 2 : Ebene durch mit Richtungsvektoren F(ϕ,ϑ = der Einheitskugel F(ϕ,ψ = cosϕcosϑ sinϕcosϑ sinϑ (2+ cosψcosϕ (2+cosψsinϕ sinψ und 3. : π ϕ π, π 2 ϑ π 2 : Oberfläche, π ϕ,ψ π : Torus
7 F(s,t = F(x,y = (2+scostcos2t (2+scostsin2t ssint x y f(x,y, s, t 2π : Möbiusbnd, f : M IR, M IR 2 : explizite Fläche
10.2 Kurven und Bogenlänge
10.2 Kurven und Bogenlänge Definition: Sei c = (c 1,..., c n ) : [, b] R n eine stetige Funktion. Dnn wird c ls Kurve im R n bezeichnet; c() heißt Anfngspunkt, c(b) heißt Endpunkt von c. c heißt geschlossene
π 2 r 2 r 2 sin 2 (t)r cos(t) dt π 2 cos2 (t) cos(t) dt = r 2 π dt = cos(x) sin(x) u v = cos(x) sin(x) + = cos(x) sin(x) + x
Wir substituieren x x(t) r sin(t), t [ π, π ]. Dnn ist x (t) r cos(t), lso r x dx π π r π r r sin (t)r cos(t) dt π cos (t) cos(t) dt r π π cos (t) dt Wir integrieren cos mittels prtieller Integrtion: Sei
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. Stmmfunktion Definition Stmmfunktion: Gegeen sei eine Funktion f(). Gesucht ist eine Funktion F (), so dss d = f(). Die Funktion F() heisst Stmmfunktion. Schreiweise: F () = f()d. Mn spricht uch vom
t 1 t cos(t) sin(t) haben als Spur jeweils den Einheitshalbkreis in der oberen Halbebene.
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1 Ableitungen Definition: Eine Kurve ist eine Abbildung γ : I R R n, γ besteht also aus seinen Komponentenfunktionen γ 1 (t) γ(t) = γ n (t) Bild(γ) = {γ(t) t I} heißt auch die Spur der Kurve Beispiel:1)
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2.2. Die Tangentialebene. Definition 2.12 (Tangentialebene). Sei S eine reguläre Fläche, sei p S. Dann heißt
2.2. Die Tangentialebene. Definition 2.12 (Tangentialebene). Sei S eine reguläre Fläche, sei p S. Dann heißt { } T p S = X R 3 es gibt ein ε > 0 und eine glatte parametrisierte Kurve c : ( ε,ε) S mit c(0)
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4 Komplexe Integrtion 4. Kurven in sind nichts nderes ls Kurven des Ê 2. D ds später zu definierende komplexe Kurvenintegrl dem reellen Wegintegrl entspricht, ist es ebenflls orientiert und mn ist übereingekommen,
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nennt man eine Zerlegung (Partition, Unterteilung) des Intervalls [a, b]. Die Feinheit der Zerlegung ist dabei
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Inhalt vom 23.6. In dieser Übung soll zum einen die Parametrisierung von Flächen als auch die Berechnung von Flächeninhalten im Mittelpunkt stehen. Bevor wir jedoch damit anfangen, wollen wir noch beantworten,
3 Integration. viele Teilintervalle. Z (oder Z [a, b]) sei die Menge aller Zerlegungen von [a, b].
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Krlsruhe Institute of Technology 3 Integrtion (3.1) ) Z = {x,...,x n } mit = x < x 1 < < x n = b heißt eine Zerlegung von [,b] in endlich viele Teilintervlle. Z (oder Z [, b]) sei die Menge ller Zerlegungen
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Übungsufgben 8. Übung: Woche vom 5.12.-9.12.16 (Int.-R. I): Heft Ü1: 11.1 (,b,g,j); 11.2 (e,g,l,m,p); 11.3 (,c-e,q,r) Achtung(!): 2. Test (relle Fkt., Diff.-rechng.) wird m 2.12. freigeschlten (Duer: bis
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Satz 6.5 (Mittelwertsatz der Integralrechnung) Sei f : [a, b] R stetig. Dann gibt es ein ξ [a, b], so dass. b a. f dx = (b a)f(ξ) f dx (b a)m.
![Satz 6.5 (Mittelwertsatz der Integralrechnung) Sei f : [a, b] R stetig. Dann gibt es ein ξ [a, b], so dass. b a. f dx = (b a)f(ξ) f dx (b a)m.](/thumbs/74/70413961.jpg "Satz 6.5 (Mittelwertsatz der Integralrechnung) Sei f : [a, b] R stetig. Dann gibt es ein ξ [a, b], so dass. b a. f dx = (b a)f(ξ) f dx (b a)m.")
Stz 6.5 (Mittelwertstz der Integrlrechnung) Sei f : [, b] R stetig. Dnn gibt es ein ξ [, b], so dss 9:08.06.2015 gilt. f dx = (b )f(ξ) Lemm 6.6 Sei f : [, b] R stetig und m f(x) M für lle x [, b]. Dnn
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