Mathe lernen mit Paul
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- Stephanie Kneller
- vor 10 Jahren
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1 Mte lernen mit Pul Die kleine Formelsmmlung Mit Gutscein für 2 kostenlose Unterrictsstunden
2 2 Mte lernen mit Pul Inlt Algebr Mße und Gewicte 4 Grundrecenrten 5 Brucrecnung 6 Potenzen und Wurzeln 7 Prozentrecnung 8 Zinsrecnung 9 Zinsrecnung, Dreistz 10 Qudrtisce Gleicungen 11 Logritmen/Wrsceinlickeitsrecnung 12 Geometrie Strlensätze 13 Winkelrten 14 Winkel n gescnittenen Gerden 15 Dreieck 16 Fläcenberecnung 18 Kreis und Linien 19 Kreis, Kreisring, Kreisusscnitt 20 Körperberecnung 21 Trigonometrie ZGS Scülerilfe GmbH, Stnd: Februr 2007
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4 4 Algebr Mße und Gewicte Längenmße: 1 Meter (m) = 100 Zentimeter (cm) = Millimeter (mm) 1 Kilometer (km) = m 1 Dezimeter (dm) = 10 cm 1 cm = 10 mm Fläcenmße: 1 Qudrtmeter (m 2 ) = 100 Qudrtdezimeter (dm 2 ) 1 Ar () = 100 m 2 1 Hektr () = 100 = m 2 1 Qudrtkilometer (km 2 ) = 100 = = m 2 Körpermße: 1 Kubikmeter (m 3 ) = Kubikdezimeter (dm 3 ) 1 dm 3 = Kubikzentimeter (cm 3 ) 1 cm 3 = Kubikmillimeter (mm 3 ) Holmße: 1 m 3 = 10 Hektoliter (l) = Liter (l) 1 l = 10 dl 1 l = 100 l = Deziliter (dl) Gewicte: 1 Grmm (g) = Milligrmm (mg) 1 Kilogrmm (kg) = g 1 Tonne (t) = kg 1 Pfund = 500 g = 0,5 kg 1 Unze = 28,35 g Dezimle Vielfce und dezimle Teile: 10 6 Meg (M), 10 3 Kilo (k), 10 2 Hekto (), 10 1 Dek (d), 10 1 Dezi (d), 10 2 Zenti (c), 10 3 Milli (m), 10 6 Mikro (µ)
5 Grundrecenrten 5 Grundrecenrten Addition: Subtrktion: Multipliktion: Division: + b = c (Summnd + Summnd = Summe) b = c (Minuend Subtrend = Differenz) b = c (Fktor Fktor = Produkt) : b = c (Dividend : Divisor = Quotient) b 0 Recengesetze Addition Multipliktion Kommuttivgesetze: + b = b + b = b Assozitivgesetze: ( + b) + c = + (b + c) ( b) c = (b c) Distributivgesetz: (b + c) = b + c
6 6 Brucrecnung Brucrecnung Erweitern: Multipliktion: Addition, Subtrktion: c c = Kürzen: = b b c b c b c c c d = Division: : = b d bd b d bc ± c = d ± cb b d bd Merke: Erweitere Brüce so, dss sie einen gemeinsmen Nenner ben. Addiere bzw. subtriere dnn die Zäler.
7 Potenzen und Wurzeln 7 Potenzen und Wurzeln Definitionen: Potenz: n = Speziell: 1 =, 0 = 1, ( 0) Wurzel: 2 2 = 2 n = x = n = x; x 0, n Zusmmenänge: n p = n+p n : p = n p ( n ) p = n p n b n = (b) n n : b n = ( : b) n n = 1 1 = n p = n p p 1 = n n n n n p
8 8 Prozentrecnung Prozentwertberecnung Gegeben: Prozentstz (p), Grundwert (G) Gesuct: Prozentwert (W) Lösung: 100 % G 1. Stz: p x Prozentformel: G p = W Stz: 1% G : Stz: (G : 100) p = W Prozentstzberecnung Gegeben: Prozentwert (W), Grundwert (G) Gesuct: Prozentstz (p) Lösung: G 100 % Prozentformel: W 100 = p G 1. Stz: W x 2. Stz: : G 3. Stz: (100 : G) W = p Grundwertberecnung Gegeben: Prozentstz (p), Prozentwert (W) Gesuct: Grundwert (G) Lösung: p W Prozentformel: W 100 = G p 1. Stz: 100 % x 2. Stz: 1% W : p 3. Stz: (W : p) 100 = G Vermerter Grundwert Gegeben: Prozentstz (p), Grundwert (G) Lösung: (100 + p) G = G+ 100 Gesuct: vermerter Grundwert (G + )
9 Zinsrecnung 9 Zinsberecnung Gegeben: Kpitl (K), Zinsstz (p), Zeit (t) Gesuct: Zinsen (Z) Lösung: K p t 100 = Z für t = Zeit in Jren K p t = Z für t = Zeit in Monten K p t = Z für t = Zeit in Tgen Zinsstzberecnung Gegeben: Kpitl (K), Zinsen (Z), Zeit (t) Gesuct: Zinsstz (p) Lösung: Z 100 = p für t = Zeit in Jren K t Z = p für t = Zeit in Monten K t Z = p für t = Zeit in Tgen K t Kpitlberecnung Gegeben: Zinsen (Z), Zinsstz (p), Zeit (t) Gesuct: Kpitl (K) Lösung: Z 100 p t = K für t = Zeit in Jren Z = K für t = Zeit in Monten p t Z = K für t = Zeit in Tgen p t
10 10 Zinsrecnung, Dreistz Zinseszinsberecnung Zinseszinsen (Endwert K n des Anfngskpitls K 0 nc n Jren) ( ) Lösung: K n = K 0 q n (100 + p) = K 0 n n = Ig K n Ig K Ig q Dreistz Verfren bei direkter Proportionlität: Scluss vom Wert der beknnten Mereit uf den Wert für eine (Mengen-)Eineit und von dieser Eineit uf die gesucte Mereit Beispiel: Beim Bcken benötigt mn für 5 kg Brot g Mel. Wie viel Mel benötigt mn für 3 kg Brot? 5 kg ^= g 5 : : 5 1 kg ^= 800 g kg ^= g Verfren bei indirekter Proportionlität: Scluss vom Wert der beknnten Mereit uf den Wert für eine (Mengen-)Eineit und von dieser Eineit uf die gesucte Mereit Beispiel: 6 Scüler benötigen 21 Stunden für ds Streicen eines Rumes irer Scule. Wie viele Stunden ätten 4 Scüler gebruct? 6 Scüler ^= 21 6 : 6 1 Scüler ^= : 4 4 Scüler ^= 31,5
11 Qudrtisce Gleicungen 11 Binomisce Formeln 1. binomisce Formel: ( + b) 2 = 2 + 2b + b 2 2. binomisce Formel: ( b) 2 = 2 2b + b 2 3. binomisce Formel: ( + b) ( b) = 2 b 2 Qudrtisce Gleicungen Allgemeine Form: x 2 + bx + c = 0 Allgemeine Lösung: x 1,2 = b ± (b2 4c) 2 Normlform: x 2 + px + q = 0 Lösung (pq-formel): x 1,2 = p (( ) ) p ± 2 q 2 2 Stz von Viet: x 1 + x 2 = p, x 1 x 2 =q In Linerfktoren: (x ) (x b) = 0 Lösung: x 1 =, x 2 =b Bemerkung: Eine qudrtisce Gleicung t genu zwei, eine oder keine Lösung in, wenn der Wurzelterm größer ist ls null, gleic null oder kleiner ls null.
12 12 Logritmen/Wrsceinlickeitsrecnung Definition b x = log b = x;, b > 0 Speziell: log b b = 1; log b 1 = 0 Logritmengesetze Erstes Logritmengesetz: Zweites Logritmengesetz: Dekdiscer Logritmus: log ( b) = log + log b log ( : b) = log log b log b = b log Speziell: log 1 b = log b = 1 log b log 10 = lg Ntürlicer Logritmus: log e = ln, mit der eulerscen Zl e = 2, Zusmmenänge: log b = log c speziell In lg = = log c b In b lg b log b log b = 1 Wrsceinlickeitsrecnung Binomilkoeffizient: ( ) n (spric: n über k ; k, n k ; 0 < k n) ist der Quotient ( ) ( ) ( ) n n (n 1) (n 2) [n (k 1)] n! n n = = = 1 = n k k k! (n k)! 0 1 Recenregeln: ( ) ( ) ( ) ( ) ( n n n n = + = n + 1 ) k, n k n k k k + 1 k + 1
13 Geometrie Strlensätze 13 Strlensätze Erster Strlenstz: SA 1 : SA 2 = SB 1 : SB 2 SA 1 : A 1 A 2 = SB 1 : B 1 B 2 SA 2 : A 1 A 2 = SB 2 : B 1 B 2 Zweiter Strlenstz: A 1 B 1 : A 2 B 2 = SA 1 : SA 2 Strlensätze A 1 B 1 : A 2 B 2 = SB 1 : SB 2 B 2 B 1 S A 1 A 2
14 14 Winkelrten Winkelrten Nullwinkel: Spitzer Winkel: = 0 < 90 Recter Winkel: Stumpfer Winkel: = < < 180 Gestreckter Winkel: Überstumpfer Winkel: = < < 360 Vollwinkel: Winkel über 360 : = 360 > 360
15 Winkel n gescnittenen Gerden 15 Winkel n gescnittenen Gerden Nebenwinkel ergänzen einnder zu β = 180 β g Sceitelwinkel sind gleic groß. = β β g β g β g = 90 = 90 Stufenwinkel n gescnittenen Prllelen sind gleic groß. = β β β g ll g Wecselwinkel n gescnittenen Prllelen sind gleic groß. = β g = 90 g β g ll β g = 90
16 16 Dreieck Dreieck Fläce: A (Dreieck) = 1 c c 2 A (Dreieck) = 1 b 2 b A (Dreieck) = 1 2 Winkelsumme: + β + γ = 180 C b γ b c A c β B
17 17 Dreieck Gleicscenkliges Dreieck: Zwei Seiten ben dieselbe Länge ( = b) () c = 2 c 2 2 c c Gleicseitiges Dreieck: Alle Seiten ben dieselbe Länge ( = b = c), lle Winkel sind gleic groß ( = β = γ). 3 3 = 2 = A(D) = Rectwinkliges Dreieck: Fläce berecnet sic zu: A(D) = 1 b 2 Der Stz des Pytgors: c 2 = 2 + b 2 Der Höenstz des Euklid: 2 = p q Der Ktetenstz des Euklid: 2 = c p b 2 = c q C b A q c p B
18 18 Fläcenberecnung Fläcenberecnung Qudrt Prllelogrmm Umfng (U) = 4 Umfng (U) = 2 ( + b) Fläceninlt (A) = 2 Fläceninlt (A) = g Höe () = A g b g Recteck Trpez Umfng (U) = 2 ( + b) Umfng (U) = + b + c + d Fläceninlt (A) = b Fläceninlt (A) = (g 1 + g 2 ) 2 Höe () = 2 A g 1 + g 2 c g 2 b d b g 1 Dreieck Umfng (U) = + b + c Fläceninlt (A) = g 2 Höe () = 2 A g b c g
19 Kreis und Linien 19 Kreis und Linien Kreis Kreiszl (Ludolfsce Zl): π = 3,14159 π 3,14 Durcmesser = d, Rdius = r d = 2 r A = π r 2 = π d 2 4 U = 2π r= π d r d M M Sektor M Bogen Segment Linien m Kreis Tngente und Berürungsrdius sind senkrect zueinnder. Sene M Durcmesser Tngente Rdius Seknte Pssnte
20 20 Kreis, Kreisring, Kreisusscnitt Stz des Tles Stz des Tles: Periperiewinkel über einem Hlbkreis sind recte Winkel. M Kreisring und Kreisusscnitt Kreisring = r 2 r 1 A = π (r 2 2 r 2 1 ) U = 2π (r 1 + r 2 ) M r 1 r 2 Ringbreite Kreisusscnitt b = b= π r U A = b r A = π r M b A r Kreisbogen b
21 Körperberecnung 21 Körperberecnung Prism Pyrmide G: Grundfläce G: Grundfläce Volumen: V = G Volumen: V = 1 G 3 Oberfläce: O = 2G + M Oberfläce: O = G + M Mntelfläce: M = U* G *Umfng der Grundfläce G Zylinder Kegel Volumen: V = π r 2 Volumen: V = 1 π r 2 3 Oberfläce: O = 2πr (r + ) Oberfläce: O = π r (r + s) Mntelfläce: M = 2π r Mntelfläce: M = π r s G G
22 22 Körperberecnung Körperberecnung Kugel Mittelpunkt (M) Rdius (r) Volumen: V = 4 π r 3 3 Oberfläce: O = 4 π r 2 r
23 Trigonometrie 23 Trigonometrie Sinus: Kosinus: sin () = = Gegenktete r Hypotenuse cos () = b = Anktete r Hypotenuse Tngens: tn () = sin () = Gegenktete cos () Anktete Kotngens: cot () = cos () = Anktete sin () Gegenktete f(x) = y r b x Sinusstz = sin () b = sin (β) = sin () b sin (β) c sin (γ) c sin (γ) Kosinusstz: 2 = b 2 + c 2 2bc cos b 2 = 2 + c 2 2c cos β c 2 = 2 + b 2 2b cos γ b C γ A c β B
24 Gescenkt! Gutscein für 2 kostenlose Unterrictsstunden.* *Einfc usfüllen, btrennen und in der näcsten Scülerilfe bgeben!
25 Vornme Nme PLZ Ort Strße Geburtsdtum Telefon E-Mil Bitte usfüllen und in Irer Scülerilfe vor Ort bgeben. Gültig nur in teilnemenden Scülerilfen. Nur ein Gutscein pro Kunde. Nict gültig in Verbindung mit nderen Angeboten. Gültig nur für neue Kunden.
26 Unser Anspruc: Die Scülerilfe ilft Kindern, ire sculiscen Fäigkeiten zu verbessern, sodss sie wieder Selbstvertruen gewinnen und Selbstbewusstsein entwickeln. Unser Angebot: Qulifizierte und motivierte Ncilfelerer/-innen Individuelles Eingeen uf die Bedürfnisse der Kinder und Jugendlicen Regelmäßiger Austusc mit den Eltern über die Fortscritte des Kindes Weitere Informtionen: Für weitere Informtionen steen wir Inen montgs bis freitgs von 8.00 bis Ur gebürenfrei zur Verfügung: 0800/ ZGS Scülerilfe GmbH Pul doppel. design, T. Binder Stempelfeld
Großdruck. ohne Beispiele. (a + b) = a + 2ab + b. (a - b) = a - 2ab + b. (a + b) (a - b) = a - b. Zeitspannen: erste binomische Formel:
16 7 8 9 4 5 6 1 2 3 1 2 13 14 15 5 6 1 2 3 4 b c A B 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 17 18 19 20 21 22 23 24 25 C 13 14 15 16 9 10 11 12 7 8 2 2 2 erste binomische Formel: ( + b) + 2b + b 2 2 2 zweite binomische
Großdruck. mit Beispielen. (a + b) = a + 2ab + b. (a - b) = a - 2ab + b. (a + b) (a - b) = a - b. Zeitspannen: erste binomische Formel:
16 7 8 9 4 5 6 1 2 3 1 2 13 14 15 5 6 1 2 3 4 b c A B 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 17 18 19 20 21 22 23 24 25 C 13 14 15 16 9 10 11 12 7 8 2 2 2 erste binomische Formel: ( + b) + 2b + b 2 2 2 zweite binomische
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