Rechnen mit Brüchen (1) 6

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1 Rechnen mit Brüchen () 6. Erweitern und Kürzen Der Wert eines Bruches ändert sich nicht, wenn entweder Zähler und Nenner mit derselben natürlichen Zahl multipliziert werden: a a m ( a, b, m ) ERWEITERN, b b m oder Zähler und Nenner durch dieselbe natürliche Zahl dividiert werden: a a : m ( a, b, m ; m Teiler von a und von b) KÜRZEN b b : m Beachte: Differenz und Summen kürzen nur die Dummen!. Hauptgesetz der Bruchrechnung a a : b für a 0 und b b Divisionszeichen und Bruchstrich sind gleichwertig! Beachte: 0 0 b für b, aber a ist nicht definiert! 0. Addition und Subtraktion Regel: Brüche werden addiert (subtrahiert), indem man sie zuerst gleichnamig macht (Hauptnenner kgv der Nenner) und anschließend die Zähler addiert (subtrahiert) und den gemeinsamen Nenner beibehält. Beispiele: Fortsetzung nächste Seite Fachschaft Mathematik des OvTG Seite

2 Rechnen mit Brüchen () 6. Multiplikation Regel: Zwei Brüche werden multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert: a c a c füra, c 0 und b, d b d b d Beachte: Vor dem Ausmultiplizieren von a c und b d das Kürzen nicht vergessen! Beispiele: Division Regel: Durch einen Bruch wird dividiert, indem man mit dem Kehrbruch multipliziert: a c a d : für a 0 und b, c, d b d b c Beachte: Die Division zweier Brüche wird damit auf die Multiplikation zweier Brüche zurückgeführt. Beispiele: 9 : : : : : Fachschaft Mathematik des OvTG Seite

3 Rechnen mit gemischten Zahlen 6. Umwandeln von unechten Brüchen in gemischte Zahlen Beispiel: Beachte: oder: 8 : 9 Rest 9 darf nicht mit verwechselt werden! 9 bedeutet schließlich 9 +!. Umwandeln von gemischten Zahlen in unechte Brüche Beispiel: Addition und Subtraktion Beachte: Bei der Addition und Subtraktion ist die Verwendung gemischter Zahlen vorteilhaft! Beispiele: Multiplikation und Division Beachte: Beim Multiplizieren und Dividieren werden gemischte Zahlen in unechte Brüche verwandelt! Beispiele: Beachte: ( 55 : : ! 5 0 Kürzen) Fachschaft Mathematik des OvTG Seite

4 Übungsaufgaben zur Bruchrechnung 6. Berechne: 5 7 ; ; ; 5 : Berechne die Werte der folgenden Terme. Achte auf korrekte Rechenregeln ( Punkt vor Strich...) : 5 + : a) : 8 7 b) Fachschaft Mathematik des OvTG Seite

5 Zusammenhang von Bruch und Dezimalbruch 6. Erweiterte Stellenwerttafel Wir wissen z.b. von einer Größenangabe,6 Meter, dass... die Ziffer die Einer angibt (also die Ganzen) die Ziffer 6 die Dezimeter, also Zehntelmeter angibt (allgemein: Zehntel ) die Ziffer die Zentimeter, also Hundertstelmeter angibt (allgemein: Hundertstel ) Stellenwerttafel:... Hunderter Zehner Einer, Zehntel Hundertstel Tausendstel , 0... bedeutet: 05,0. Addition und Subtraktion Regel: Dezimalbrüche werden wie natürliche Zahlen addiert bzw. subtrahiert, wobei Komma unter Komma und gleichwertige Ziffern untereinander stehen. Beispiel: 5,6 + 7,089,9 Am Ende einer Dezimalzahl dürfen beliebig viele Nullen hinzugefügt oder weggelassen werden! Beispiele:,78 +,5,78 +,50 7, 68 0, 8,587 0,00 8,587,7 Um Fehler zu vermeiden untereinander schreiben wie oben. Multiplikation Regel: Dezimalbrüche werden miteinander multipliziert, indem man zunächst ohne Rücksicht auf das Komma multipliziert. Dann wird das Komma so gesetzt, dass das Ergebnis gleich viele Dezimalen hat wie alle Faktoren zusammen. Beispiel:,7,, 8 NR: 7 8 (Der. Faktor hat zwei Dezimalen, der. Faktor eine Dezimale, folglich muss das Ergebnis + Dezimalen besitzen.) Regel: Vorteilhaft kann man Dezimalbrüche multiplizieren, indem man bei beiden Faktoren das Komma um die gleiche Stellenzahl, aber in verschiedene Richtungen verschiebt. Beispiel: , Komma um Stellen nach links Komma um Stellen nach rechts Fachschaft Mathematik des OvTG Seite 5

6 Zusammenhang von Bruch und Dezimalbruch 6. Division Regel : Man dividiert einen Dezimalbruch durch eine natürliche Zahl, indem man wie bei natürlichen Zahlen dividiert und bei Überschreitung des Kommas im Dividenden das Komma auch im Ergebnis setzt. Regel : Da sich der Wert eines Quotienten nicht ändert, wenn man bei Dividend und Divisor das Komma um gleich viele Stellen in die gleiche Richtung verschiebt, kann man die Division durch einen Dezimalbruch auf die Division durch eine natürliche Zahl zurückführen. Beispiel:,69:6 0, Wird das Komma im Dividenden überschritten setze Komma im Ergebnis! 0:65 5 mal minus 0 0 fertig! 69:6 6 6 mal minus 56, hole 0 runter 6:6 0 0 mal minus 0 6, hole 9 runter :6 0 0 mal 6 0 minus 0, hole 6 runter Beispiele: 9, :, 7 0,056 :9,6,056 :96 0,0 56 : 0, : 8 00 Aufgaben: Führe auf der Rückseite dieses Blattes folgende Rechnungen durch: 7, + 8,0 6,05 5, 99,8, 5 0,, 08 0,8,8: ,55:, 7 70,658:, 0 Fachschaft Mathematik des OvTG Seite 6

7 Zusammenhang von Bruch und Dezimalbruch 6 Wichtige Brüche und Dezimalbrüche auf einen Blick 0,5 0,5 0, 75 0, 0, 0, 6 0, , , 75 0, 65 0, , 7 9 0, 0, 7 0, ,0 0, 00 usw , 0, 6 0, 5 0, 0, 0, 5 usw ,0 5 0, 0 0, 0 0, 05 usw Um einen beliebigen Bruch in einen Dezimalbruch umzuwandeln, wird entweder der Zähler durch den Nenner dividiert oder (falls möglich) der Bruch auf den Nenner 0, 00, 000,... erweitert. Letzteres ist nur möglich, wenn in der Primfaktorzerlegung des Nenners nur die Primfaktoren und / oder 5 auftreten. Aufgaben: Verwandle folgende Brüche in Dezimalbrüche und umgekehrt! ,7 0,7 0,,8 Berechne: + :9 0, 5 6 Fachschaft Mathematik des OvTG Seite 7

8 Flächeninhalt 5. Klasse der Flächeninhalt eines Rechtecks ist gleich dem Produkt aus Länge und Breite des Rechtecks A RE b b Sonderfall: Quadrat Seitenlänge a A Q Flächeninhalt eines Parallelogramms: a l A a a: Länge einer Parallelogrammseite h a : Länge der auf a stehenden Höhe P h a Flächeninhalt eines Dreiecks: Zwei gleiche Dreiecke lassen sich zu einem Parallelogramm zusammen legen a h a h a Fläche eines Dreiecks: A D a h a a Flächeninhalt eines Trapezes: Zwei gleiche Trapeze lassen sich zu einem Parallelogramm zusammen legen a + c h Fläche eines Trapezes: T ( ) a A c a h a Achtung: a und c sind die Längen der beiden parallelen Trapezseiten Beispielaufgaben:. Eine Parallelogrammseite ist 5 cm lang. Die dazu parallele Seite ist cm entfernt. Bestimme den Flächeninhalt des Parallelogramms.. In einem Dreieck ist die Seite c 7 cm lang, die Höhe h c cm lang. Welchen Flächeninhalt hat das Dreieck? cm. Das Trapez rechts hat den Flächeninhalt cm². Berechne die Höhe h a.. Ein Parallelogramm (a 6 cm, h a cm) hat den gleichen Flächeninhalt wie ein Trapez (c cm, h a cm). Bestimme durch Rechnung die Länge der Trapezseite a. h a 5 cm Fachschaft Mathematik des OvTG Seite 8

9 Rauminhalt (Volumen) Einheiten des Rauminhalts Um den Rauminhalt eines Körpers zu bestimmen, wird er mit sogenannten Einheitswürfeln vollständig und lückenlos ausgefüllt. Folgende Würfel werden dabei benutzt: Seitenlänge mm cm dm m km Raumeinheit mm (Kubikmillimeter) cm (Kubikzentimeter) dm l!! (Kubikdezimeter) m (Kubikmeter) km (Kubikkilometer) Beachte: Die Umrechnungszahl von einer Raumeinheit zur nächstkleineren bzw. nächstgrößeren Raumeinheit ist 000! Ausnahme: km³ m³ (finde eine Begründung hierfür!) Weitere Raumeinheiten (v.a. bei Flüssigkeiten verwendet): l dm³ ( Liter dm³) hl 00 l (Hektoliter) dl 0, l (Deziliter) cl 0,0 l (Zentiliter) ml 0,00 l cm (Milliliter) Volumen von Quader und Würfel Volumenformeln: V Quader l b h Länge l, Breite b, Höhe h V Quader G h V Würfel a a a a Grundfläche G des Quaders: G l b Seitenlänge a Beachte: Aus V G h folgt für die Höhe des Quaders h V : G und für die Grundfläche G V:h. Dabei zeigt sich, dass Volumeneinheit : Flächeneinheit Längeneinheit Volumeneinheit : Längeneinheit Flächeneinheit Fachschaft Mathematik des OvTG Seite 9

10 Zufallsexperimente / Relative Häufigkeit 6 Wird ein Experiment unter zu komplizierten, nicht kontrollierbaren Bedingungen durchgeführt und lässt sich deswegen nicht vorhersagen, welches Ergebnis eintreten wird, spricht man von einem Zufallsexperiment. Beispiele für Zufallsexperimente: Würfeln, Lotto, Münzwurf, Losen... Absolute Häufigkeit Wie oft tritt ein Ergebnis ein? Relative Häufigkeit Welchen Anteil an allen Ergebnissen hat ein bestimmtes Ergebnis? Beispiel: Beispiel: Beim zwanzigmaligen Würfeln würfelt Maria nur viermal eine Sechs. Absolute Häufigkeit der 6 h a (6) Relative Häufigkeit der 6 h r (6) 0 5 Tanja würfelt fünfmal eine Sechs, allerdings hat sie dreißigmal insgesamt geworfen Tanja würfelt öfter eine 6 als Maria ( fünf zu vier ) Im Vergleich aber schafft es Maria, häufiger eine 6 zu würfeln, weil die relative Häufigkeit bei Tanja beträgt, und das ist weniger als Werden kombinierte Fragen nach zwei bestimmten Merkmalen gestellt lassen sich diese oft durch eine geeignete Vierfeldertafel lösen. Beispiel: In einer Klasse mit insgesamt 9 Kindern fahren morgens 6 Mädchen und 5 Jungen mit dem Fahrrad zur Schule. Insgesamt hat die Klasse 6 Mädchen. Wie viele Jungen kommen morgens nicht mit dem Fahrrad? Aus der Angabe bekannt Daten 8 Jungen kommen morgens ohne Fahrrad 8 dies entspricht einem Anteil von der ganzen 9 Klasse, aber 8 der Jungen Mit Fahrrad Ohne Fahrrad Zeilensumme Mädchen Jungen 5 8 Spaltensumme 8 9 es kommen zwar mehr Mädchen als Jungen mit dem Fahrrad zur Schule ( 6:5 ) der Anteil der Fahrradfahrer unter den Mädchen ist aber kleiner als der Anteil der Fahrradfahrer unter den Jungen Beispiel: Die Schultaschen von Schülern erscheinen zu schwer; sie werden nach unnötigem Ballast untersucht. Tatsächlich werden bei allen Schülern an diesem Schultag ein nicht benötigtes Buch oder / und ein nicht erlaubtes Spielzeug gefunden. 7 haben beides dabei, außerdem 6 zwar kein Spielzeug, aber das unnötige Buch. Lege eine Vierfeldertafel an. Fachschaft Mathematik des OvTG Seite 0

11 Prozentrechnen 6 Bruchteile gibt man oft in Prozent (... von Hundert) an. Dabei gilt: % ; 00 p % p 00 Häufig vorkommende Prozentsätze sind: 5 % 0 % 0 % 5 % 50 % 75 % 00 % Bruchteil Grundgleichung der Prozentrechnung Ist G der Grundwert, P der Prozentwert und p der Prozentsatz, dann gilt: p P p P P G P bzw. bzw. G G 00 p p 00 Der Grundwert ist der Bezugswert, auf den sich die Rechnung bezieht. Dem Grundwert entsprechen 00 %. Beispiele: 0 a) 0% von Hier: p 0%, G 00, P ist gesucht b) Maxis Taschengeld wird an seinem. Geburtstag erhöht, es steigt von 0 auf 5. Um wie viel Prozent stieg das Taschengeld an? Hier: Grundwert: altes Taschengeld 0 Prozentwert: neues Taschengeld 5 Gefragt ist nach der Differenz zwischen dem neuen Prozentsatz und dem alten, dem 00 % entsprechen P 5 7 Prozentsatz:,7 7% Das Taschengeld wurde um 7 % angehoben! G 0 00 c) Nach einer Anhebung des Taschengeldes um 0 % bekommt Harry im Monat Taschengeld. Was bekam er vor der Taschengelderhöhung? Hier: Grundwert: gesucht ( was bekam er vorher? ) Prozentwert: P Prozentsatz: p 00 % + 0 % 0 % P P G p p Fachschaft Mathematik des OvTG Seite

12 Prozentrechnen 6 Aufgaben:. Berechnung des Prozentwertes P: Berechne 5 % von 00!. Berechnung des Grundwertes G: 5 % eines Geldbetrages sind 5. Berechne den Geldbetrag G!. Berechnung des Prozentsatzes p: Wie viel Prozent von 00 sind 5?. Mäxchens Taschengeld wurde zuerst von 0 um 0 % gekürzt, dann aber (wegen guter Mathenoten) wieder um 0 % erhöht. Mäxchen rechnet nach, was er jetzt als Taschengeld bekommt, und Wäre Mäxchens Reaktion genauso gewesen, wenn das Taschengeld zuerst von 0 um 0 % erhöht, dann aber (wegen schlechter Mathenoten) wieder um 0 % gekürzt worden wäre? Überprüfe rechnerisch deine Vermutung... Fachschaft Mathematik des OvTG Seite

13 Aufgaben zur Wiederholung () Kürze: a) 9 9 b) 0, 6, 5 0, 7 0, 5 0, 6 0, 55. Ordne der Größe nach: ; 7 ; a) Rechne günstig: + b) Berechne: c) Berechne: 7,6 + 0, a) Gib folgende gewöhnliche Brüche in Dezimalschreibweise an: 9 ; 7 ; 5 ; 5 8 b) Gib als gewöhnlichen Bruch an: 0,6;, 6 : 5. Berechne: a) b) , 7, 8 7 0, 6 + 9, 6 6. Frau Ida zahlte 00 monatlich 55,- Miete; 998 musste sie 00,- monatlich bezahlen. Berechne, um wie viel Prozent die Miete gestiegen ist! 7. Herr Franz verkauft eine wertvolle Münze über einen Fachhändler. Sie vereinbaren einen bestimmten Preis. Der Fachhändler sagt: Wir wollen mal sehen, was der Käufer dafür zahlen muss. Also, da ist zunächst der Preis der Münze, dazu kommen noch 5% Provision für meine Vermittlung und danach muss der Käufer ja auch noch 9% MWSt. zahlen. Da kommen wir insgesamt auf 9,9. Wie viel bekommt eigentlich Herr Franz? 8. Ein Schwimmbecken ist 5 m lang und 9,5 m breit. a) Wie viel Wasser enthält es, wenn seine Tiefe,9 m beträgt und das Becken voll gefüllt ist? b) Um wie viel sinkt der Wasserspiegel, wenn 7,5 hl Wasser abfließen? 9. Vervollständige die folgenden beiden Vierfeldertafeln. B B Zeilensumme B B Zeilensumme A 98 A 5 Spaltensumme 78 A 60% A Spaltensumme 0 8 Fachschaft Mathematik des OvTG Seite

14 Aufgaben zur Wiederholung () 6 0. Von den 80 Schülerinnen und Schülern der 6. Klassen des Gymnasiums Schlaustadt haben 6 als erste Fremdsprache Englisch. Diese haben die Wahl, ab der 7. Klasse als. Fremdsprache Französisch oder Latein zu wählen. 7 Mädchen wählen Französisch, wählen Latein. Bei den Jungen wählt genau die Hälfte Französisch. Wie viele Kinder wählen insgesamt Latein, wie viele Französisch?. Welche Höhe hat ein Trapez mit a 80 cm und c 8 cm (a und c sind parallel), das denselben Flächeninhalt hat wie ein Dreieck mit b, m und h b 0 cm? Ausführliche Lösungen erhaltet ihr zu Beginn des neuen Schuljahres. Fachschaft Mathematik des OvTG Seite