Einstiegsphase Analysis (Jg. 11)

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1 Einstiegspase Analysis (Jg. 11) Ac Geradengleicungen: Eine Gerade g verlaufe durc P(-3/-2) und Q(4/3). Eine Gerade gee durc R(1/y) und stee senkrect auf g. Zeicne diese Geraden und stelle ire Gleicungen auf. Bestimmung der Geradengleicungen: Allgemeiner Ansatz: y m x + b (m Steigung ; b y-acsenabscnitt ) Die Steigung m einer Geraden wird mit dem Steigungsdreieck ermittelt: 5 Für g erält man dann m und für m ( Das Minus wegen der fallenden Geraden ) 5 Die Gleicungen sind dann noc nict vollständig ermittelt. Sie lauten : g: y 5 x + b und : y 5 x + c Die y-acsenabscnitte b bzw. c erält man, indem man für x und y einen bekannten Punkt der jeweiligen Geraden einsetzt. Dies ist z.b. für g der Punkt Q(4/3). Man setzt daer in die Gleicung von g den x-wert sowie den y-wert 3 ein. Man erält: b, woraus b folgt. 6 Entsprecend get man bei vor. Hier ist R(1/ ) m dy dx Lösung: g: y 5 1 x + und : y 5 x Weitere Erkenntnisse: Für die Steigungen m 1 und m 2 von zueinander ortogonalen Geraden gilt: m 1 m 2-1 Parallele Geraden besitzen die gleice Steigung m

2 Extremwertaufgaben 1) Auf einem Grundstück, dessen eine Seite durc eine Felswand begrenzt ist, soll ein recteckiger Hünerof angelegt werden. Dafür steen 60m Dratzaun zur Verfügung. Wie müssen Länge und Breite des Hünerofes gewält werden, damit der Fläceninalt maximal wird? Skizze: b b a Lösung: A a b soll maximal werden. a + 2b 60 a 60 2b Dies einsetzen in obige Gleicung: A(b) (60 2b) b 60b 2b 2. Der Grap ist eine nac unten geöffnete Parabel mit den Nullstellen b 0 und b 30. Der Sceitelpunkt S liegt demnac bei S(15 / 450)! Antwort: Der maximale Fläceninalt des Hünerofs beträgt 450m 2, Länge 30m, Breite 15m. 2) Umkerung der vorigen Aufgabe: Der Fläceninalt soll nun fest vorgegeben sein: A 150m 2. Dabei soll möglicst wenig Drat verbrauct werden. ( Die Dratlänge dl soll mininal sein! ). Lösung: dl a + 2b soll minimal werden. A a b 150 a 150 / b. Eingesetzt in obige Formel : dl (b) 150 / b + 2b. Grap: dl b Näerungslösung: b 8, ( exakt 5 ) a 1,3 ( 10 3 ) bl 34,6 ( 20 3 )

3 Einfürung des Ableitungsbegriffes Beispiel 1: Bei spiegelglatter Farban gerät ein Auto ins Rutscen und landet in P(0/6) (s.grafik) in den Stroballen. An welcem Punkt S at das Auto die Farban verlassen? Experimentiere mit dem TI83! Überlege dazu: Wie lässt sic die Rictung des Autos zum Zeitpunkt des Kontrollverlustes angeben? Versuce, eine angemessene Funktionsgleicungen zu finden und übertrage die gefundene Lösung (Grafik) in dein Heft. Anmerkung: Die Farban genüge der Gleicung f(x) 4 0,5x 2. Das Auto möge von links unten kommend längs des Grafen faren. Beispiel 2: Ein Islandbus mit maximal 55% Steigfäigkeit gerät in einen alten Geysir-Krater von 2km Durcmesser und 250m Tiefe. Das Querscnittsprofil ist parabelförmig. Kann der Bus aus eigener Kraft den Krater verlassen? Falls nict, wie weit kommt er? Versuce eine zeicnerisce Lösung. Scätze auc die Steigung am Kraterrand! Beispiel 3: Ein Mondfarzeug ist in einen paraboloidförmigen Krater geraten. Es kann maximal 40% Steigung bewältigen. Kommt es aus dem Krater eraus, wenn dieser 1,25m tief ist und sein Querscnitt durc die Funktionsgleicung (x) 0,1x 2 bescrieben werden kann?

4 Lösung von Beispiel 1: S(-2/2) Geradengleicung y 2x + 6 Lösung von Beispiel 2: y Die Ursprungsgerade at die Steigung des Islandbusses, nämlic m 0,55 55%. Versciebt man diese parallel bis zum Kraterrand, so erkennt man, dass ire Steigung größer als die Kratersteigung (diese beträgt am Rand 0,5 50% ) ist. Der Bus kann somit den Krater verlassen. x Lösung von Beispiel 3: Die Ursprungsgerade at die Steigung des Mondfarzeugs, nämlic m 0,4 40%. Versciebt man diese so, dass sie den Krater berürt (dies ist im Punkt (2 / 0,4) der Fall!), so erkennt man, dass ire Steigung geringer ist als die Steigung des Kraterrandes. Genauere Berecnungen liefern eine Steigung von ca. 0,%! y x

5 Übungen zur Tangentenbestimmung 1) Zeicne einen Viertelkreis mit r 5cm in ein x-y-koordinatensystem. Konstruiere in den Kreispunkten mit x 0, x 1, x 2, x 3, x 4 jeweils die Tangente an den Kreis und bestimme ire Steigung exakt. Lösung: Tangente t1: m1 0 ( waagerect ) Tangente t2: Tangente t3: Tangente t4: Tangente t5: Die Normale at die Steigung Die Normale at die Steigung Die Normale at die Steigung Die Normale at die Steigung Dann at t2 die Steigung m , Dann at t3 die Steigung m Dann at t4 die Steigung m , 5. 0, Dann at t5 die Steigung m5 4 1, 33. 3

6 2) Zeicne die Grapen von f(x) x(5-x) g(x) 2x(5-x) (x) 3x(5-x) sowie die zugeörigen Tangenten durc den Ursprung. Bestimme deren Steigung. y x Man kann leict ablesen, dass die Steigungen im Ursprung m 1 5, m 2 10, m 3 15 betragen. Dies lässt sic auc recnerisc erleiten.

7 Die Ableitung grafisc und recnerisc Gegeben sei eine Funktion f und ein Punkt P(x p /y p ) auf dem Grafen von f. Gesuct ist die Tangente t an den Grafen von f im Punkt P. Vorgeensweise: Wir zeicnen Sekanten durc P und durc "in der Näe von P liegende" Kurvenpunkte Q(x q /y q ) bzw. Q(x p +/f(x p +). Die Tangente t wird zunäcst intuitiv gezeicnet! Diese Sekanten s kommen der Tangente t umso näer, je kleiner gewält wird (vgl. Skizze). Das Steigungsdreieck dient als Hilfe für die folgenden Berecnungen. Beacte, dass x q x p + und daer x q x p gilt. Beispiel: f(x) x 2 ; x p 1 ; 0,5. Es ist also x q x p ,5 1,5 Da die Steigung m S einer jeden Sekante von abängt, nennen wir diese m S (), gesprocen: m S von.

8 Wir eralten für die Steigung m S () (für 0,5) der entsprecenden Sekante s: 2 2 y yq y p yq y p f ( xq) f ( xp ) f (1,5) f (1) 1,5 1 m S (0,5) 2, 5 x x x x x 0,5 0,5 q p q p Ergebnis: Die betreffende Sekante besitzt die Steigung 2,5. Berecne auc die Steigungen für 0,1 und 0,01. Was stellst du fest?? Das obige Beispiel lässt sic verallgemeinern: Wir verwenden zuerst ein allgemeines. Dann folgt mit f(x) x 2 und x p 1 : f(1) 1 2 sowie f(1+) (1+) 2 : m S Δy Δx y q y p x q x p y q y p x q x p 2 2 f x q f x p 2 gekürzt! f 1 f Lässt man nun gegen 0 streben ( grafisc bedeutet dies, dass die Sekanten auf die Tangente zuwandern), so ergibt sic der Wert als Grenzwert, d.. als Wert für die Tangentensteigung. Hinweis: Die Tangentensteigung m t wird auc als Ableitung f von f an der Stelle x p bezeicnet! Man screibt: f ' x p m t lim m S n Gelesen wird das so: f Stric von x p gleic m t gleic Limes von m S von für gegen Unendlic. f atte bei diesem Beispiel den Wert 2, also f (1) 2. Falls man für x p keinen festen Wert wie 1, sondern eine Variable x setzt, so kann man eine änlice Berecnung für m t bzw. f (x) durcfüren wie oben. Dann ist 2 2 f ( x + ) f ( x) ( x + ) x m S ( ) Man erält als Ergebnis für dieses Beispiel f(x) x 2 : Somit ist 2x die Ableitung von x 2 : f (x) 2x Nac diesem Prinzip kann man eine ganze Reie von Ableitungen bestimmen. Für trigonometrisce und andere spezielle Funktionen ist die Grenzwertbestimmung aber ser scwierig. Die Ableitungen der gängigen Funktionen sind in Tabellen aufgelistet. Hier einige Beispiele : f (x) k x x 2 x 3 x n sin(x) cos(x) (Konstante) f (x) 0 1 2x 3x 2 n x n-1 cos(x) -sin(x)

9 Tangentensteigung grafisc / recnerisc bestimmen mitilfe von Sekanten Beispiel: Grap der Funktion f mit f(x)x 3 ; Stelle a 0,4 In der folgenden Grafik soll die Tangentensteigung m t für P(0,4 / 0,064) exakt ermittelt werden. Ziel ist es, die Tangente an den Punkt P anlegen ( zeicnen ) zu können! Aufgaben: 1) Bescrifte die Punkte P(unteres Kreuz), Q 1 (oberes Kreuz) und Q 2 (mittleres Kreuz). Zeicne dann die Sekanten s 1 (PQ 1 ) und s 2 (PQ 2 ) ein und berecne ire Steigungen ms 1, ms 2 exakt. 2) Denke dir eine Sekante durc P und Q 3 (0,45 / y) gezeicnet. Berecne auc deren Steigung ms 3 exakt. Verfare ebenso mit Q 4 (0,35 / y). 3) Stelle den allgemeinen Term für m S () auf für einen beliebigen auf P zuwandernden Punkt Q. Vereinface diesen Term soweit wie möglic. Was gilt für 0? ( bedeutet: strebt gegen ). Zeicne anscließend die Tangente (farbig) ein. 4) Bestimme nun die Funktionsgleicung t(x) der ermittelten Tangente an P exakt! 5) Ermittle t(x) mitilfe des TI83. Grap zeicnen lassen und dann das Draw-Menü aufrufen und Tangent( wälen. Stelle 0,4 eintippen. Tangentengleicung wird dann angezeigt (approximativ! ).