= (Differenzenquotient).

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1 Micael Bulmann Matematik > Analysis > Ableitungen > Änderungsrate Von der mittleren zur momentanen Änderungsrate Für zwei versciedene Punkte P( 1 y 1 und Q( y auf der Zalenebene ergibt sic die Steigung m als: m y 1 (Differenzenquotient. y Der Steigung entsprict ein Steigungswinkel φ tan -1 (m. 1 Liegen die Punkte P und Q auf einer Funktion f: D f -> R, gilt also: P( 1 f( 1 und Q( f(, so wird der Differenzenquotient zur mittleren (durcscnittlicen Änderungsrate der Funktion auf dem Intervall [ 1 ; ] D f : f ( f ( 1 m (mittlere Änderungsrate. 1 Nac der Zweipunkteform für Geraden ergibt sic als Gleicung der Sekante durc die Punkte P( 1 f( 1 und Q( f( : y y y y y y y + (Sekante ( 1 + y1 1 y Die mittlere Änderungsrate der Funktion f( auf einem vorgegebenen Intervall [a; b] ist: m f ( b b f ( a (mittlere Änderungsrate a Haben für eine Funktion f: D f -> R und ein εd f die Punkte P und Q die Form P( f( und Q( + f( +, so wird die mittlere Änderungsrate m( f ( + f ( beim Grenzübergang (Limes -> im Falle der Eistenz des Grenzwerts zur momentanen Änderungsrate oder Ableitung der Funktion f im Punkt : m( f ( + f ( f ( + f ( mt f '( lim > (momentane Änderungsrate mit m t als Steigung der Tangente t im Punkt P( f( an die Funktion f(: t: y f ( ( + f ( (Tangente ' D f Beispiele a Gegeben sei die ganz rationale Funktion f ( als Parabel. Grades. An der Stelle, also im Punkt P( (wegen f( / soll die Ableitung f ( bestimmt werden. Dies ge- Micael Bulmann, Matematik > Analysis > Ableitungen > Änderungsrate 1

2 sciet recnerisc, indem der folgende Grenzübergang vollzogen wird: ( f ( + f ( f '( + + lim Dem entsprict geometrisc, dass mit 1 + (> ein Punkt Q( 1 f( 1 sic dem Punkt P( auf der Funktion f( näert ( ->, wobei die durc Q und P geenden Sekanten zur Tangenten an der Funktion im Punkt P werden, d..: die Sekantensteigungen m s aben die Tangentensteigung m t als Grenzwert (m s -> m t, mitin die Ableitung an der Stelle : f (. Funktion: f (, Ableitung an der Stelle, im Punkt P( Durcscnittlice Änderungsrate (Sekantensteigung -> momentane Änderungsrate (Tangentensteigung Micael Bulmann, Matematik > Analysis > Ableitungen > Änderungsrate

3 Micael Bulmann, Matematik > Analysis > Ableitungen > Änderungsrate 3

4 Es ist: f(, f (. Somit ergibt sic für die Tangentengleicung: t: y f (( + f( ( b Die Ableitung der Hyperbelfunktion f ( an der Stelle ist: f ( -,5. Geometrisc ergibt sic dies aus dem nacsteenden Grenzprozess: Funktion: f (, Ableitung an der Stelle, im Punkt P( 1 Durcscnittlice Änderungsrate (Sekantensteigung -> momentane Änderungsrate (Tangentensteigung Recnerisc gilt: f ( + f ( f '( + ( + lim , Die Tangente an die Funktion f( an der Stelle P( 1 lautet wegen f( 1 und f ( -,5: t: y f (( + f( -,5( + 1 -, ,5 +. c Eine andere Sictweise auf Sekanten, die sic einer Tangente an einem bestimmten Punkt einer Funktion annäern, gibt die folgende Situation der Bestimmung der Ableitung bzw. Tangentensteigung f (- an der Stelle - der Funktion f( /5. Gemäß den Ableitungsregeln (Potenz-, Faktor-, Summenregel, die ier Anwendung finden sollen, gilt: f ( /5 1 und damit: f (- -/5 1-1,8 als Tangentensteigung. Die Gleicung der Tangente lautet auf Grund von f(- /5 +,8: t: y f (-(+ + f(- -1,8(+ +,8-1,8 3,6 +,8-1,8,8. Die Sekanten durc die Punkte P und Q lauten: P(-,8, Q( -,8 -> y -,6 + 1,6 Micael Bulmann, Matematik > Analysis > Ableitungen > Änderungsrate

5 P(-,8, Q(3,5-1,5 -> y -,7 + 1, P(-,8, Q(3-1, -> y -,8 + 1, P(-,8, Q(,5-1,5 -> y -,9 + 1 P(-,8, Q( -1, -> y - +,8 P(-,8, Q(1,5-1,5 -> y -1,1 +,6 P(-,8, Q(1 -,8 -> y -1, +, P(-,8, Q(,5 -,5 -> y -1,3 +,6 P(-,8, Q( -> y -1, P(-,8, Q(-,5,55 -> y -1,5, P(-,8, Q(-1 1, -> y -1,6, P(-,8, Q(-1,5 1,95 -> y -1,7,6. Für die Sekantensteigungen m s -,6, -,7, gilt: Q -> P: m s -> m t mit m t als Tangentensteigung und Ableitung f (- -1,8. Zusammenfassung Differenzialrecnung ist die matematisce Lere von den Ableitungen, Ableitungen wiederum übertragen das Konzept von Gerade (y m+c und Geradensteigung (m auf beliebige (somit differenzierbare Funktionen f( und der Tangente (Tangentensteigung f ( in einem (beliebigen Kurvenpunkt P( f(. Differenzierbarkeit ist damit eine lokale (auf eine Stelle/einen Punkt bezogene Eigenscaft von Kurven und Funktionen. Literaturinweise: PAPULA, L., Matematik für Ingenieure und Naturwissenscaftler, Bd.1, Wiesbaden 11 7, S (Ableitung; REINHARDT, F., dtv-atlas zur Sculmatematik. Definitionen, Beweise, Sätze, Müncen 3 3, S.1f (Ableitung. Micael Bulmann, Micael Bulmann, Matematik > Analysis > Ableitungen > Änderungsrate 5