Didaktik der Analysis

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1 Jürgen Roth Didaktik der Analysis Modul 12a: Fachdidaktische Bereiche 3.1

2 Inhalt Didaktik der Analysis 0 Organisatorisches 1 Ziele und Inhalte 2 Folgen und Vollständigkeit in R 3 Ableitungsbegriff 4 Integralbegriff 3.2

3 Greefrath et al. (2016). Didaktik der Analysis. Heidelberg: Springer Spektrum, S. 137ff Danckwerts, R.; Vogel, D. (2006): Analysis verständlich unterrichten. Heidelberg: Spektrum Akad. Verlag, S. 45ff Büchter, A.; Henn, H.-W. (2010): Elementare Analysis. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag Didaktik der Analysis Kapitel 3: Ableitungsbegriff 3.3

4 menti.com Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff Hußmann, Prediger (2003): Vorstellungsorientierte Analysis auch in Klassenarbeiten und zentralen Prüfungen. PM 52(31), S lokale Änderungsrate Tangentensteigung Verstärkungsfaktor lokale lineare Approximation Roth, Siller (2016). Bestand und Änderung Grundvorstellungen entwickeln und nutzen. Mathematik lehren 199, S

5 Ableitung als Tangentensteigung Schritt 1 Definition der Steigung einer Kurve im Punkt P über die Steigung der Tangente in P Schritt 2 Tangente als Grenzlage von Sekanten Schritt 3 Berechnung der Tangentensteigung als Grenzwert 3.5

6 Ableitung als lokale Änderungsrate Beschreibungsebene Schritt 1 Schritt 2 Schritt 3 Schritt 4 formal f x 0 f x f x 0 f x f x x 0 0 f x f x 0 x x 0 = lim x x0 x x 0 relativer inhaltlich Zuwachs absoluter momentane Bestand im Zeitinter- Zuwachs (lokale) zum vall [x in der Zeit 0, x] Änderungsrate Zeitpunkt x 0 (mittlere von x 0 bis x zum Zeitpunkt x Änderungs- 0 rate) Differenz der termino- Funktions- Differenzen- Funktionslogiscwerquotienwerte Ableitung algebraisch analytisch 3.6

7 Ableitung als Verstärkungsfaktor Die Ableitung gibt an, wie stark sich die Änderung der unabhängigen Variable auf die abhängige Variable auswirkt Hohe Werte der Ableitung bedeuten schnelle/starke Änderung der Funktionswerte. Für kleine Änderungen Δx gilt: Δy f x Δx = 2x h 3.7

8 Ableitung als lokale lineare Approximation Danckwerts/Vogel (2006): Analysis verständlich unterrichten. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag, S

9 Welche Grundvorstellung wählen Sie zur Einführung? 3.9

10 Inhalte Kapitel 3: Ableitungsbegriff 3.1 Ableitung als Tangentensteigung 3.2 Ableitung als lokale Änderungsrate 3.3 Ableitung als Verstärkungsfaktor 3.4 Ableitung als lokale lineare Approximation 3.10

11 Kapitel 3: Ableitungsbegriff 3.1 Ableitung als Tangentensteigung 3.11

12 Tangentensteigung Schritte bei diesem Zugang 1. Schritt: Definition der Steigung einer Kurve im Punkt P über die Steigung der Tangente in P Zu beachten ist: 1. Schritt: Paradigmenwechsel vom geometrischen zum analytischen Tangentenbegriff 2. Schritt: Tangente als Grenzlage von Sekanten 3. Schritt: Berechnung der Tangentensteigung als Grenzwert 3.12

13 Was ist eine Tangente? Geometrische Sichtweise: Tangente als globale Stützgerade Analytische Sichtweise: Tangente als lokale Schmieggerade 3.13

14 Tangentensteigung Schritte bei diesem Zugang 1. Schritt: Definition der Steigung einer Kurve im Punkt P über die Steigung der Tangente in P Zu beachten ist: 1. Schritt: Paradigmenwechsel vom geometrischen zum analytischen Tangentenbegriff 2. Schritt: Tangente als Grenzlage von Sekanten 2. Schritt: Liegt quer zur Schmiegvorstellung der Tangente 3. Schritt: Berechnung der Tangentensteigung als Grenzwert 3. Schritt: Gibt es überhaupt einen Grenzfall von Sekanten? Eine Gerade durch einen Punkt ist gar nicht eindeutig festgelegt. 3.14

15 Tangente als Grenzlage von Sekanten Beispiel: f: R R 0 +, x x 2 P 1,1 ; Q x, f x Sekantensteigung: f x 1 x 1 = x2 1 x 1 = Die Sekantensteigung kommt der Zahl 2 beliebig nahe, wenn x gegen x 0 = 1 strebt. x + 1 (x 1) x 1 x 1 = x + 1 Tangentensteigung: f x 1 lim x 1 x 1 = lim x 2 1 x 1 x 1 = lim (x + 1) = 2 x

16 Kapitel 3: Ableitungsbegriff 3.2 Ableitung als lokale Änderungsrate 3.16

17 Lokale Änderungsrate Kontext Geschwindigkeiten Heute bin ich mit dem Auto von Landau nach Würzburg gefahren und habe für die 200 km genau 2 Stunden gebraucht. Dann waren Sie aber mit 100 km h nicht besonders schnell. Wie man s nimmt, manchmal bin ich über 150 km h Bewegungen gefahren. Die Weg-Zeit-Funktion t x(t) ordnet jedem Zeitpunkt t den bis dahin zurückgelegten Weg x zu. Anfahrvorgang (konstante Beschleunigung a = 2 m s 2 ) t x t = 1 2 a t2 = 1 m s 2 t 2 = m s 2 t 2 x t = 3.17

18 Lokale Änderungsrate Absolute Änderung (Zurückgelegter Weg x t = 1 m s 2 t 2 ) Erste Sekunde x 1 s x 0 s = 1 m s 2 1 s 2 1 m s 2 0 s 2 = 1 m 0 m = 1 m Zweite Sekunde x 2 s x 1 s = 1 m s 2 [ 2 s 2 1 s 2 ] = 1 m s 2 3 s 2 = 3 m Dritte Sekunde x 3 s x 2 s = 1 m s 2 [ 2 s 2 1 s 2 ] = 1 m s 2 5 s 2 = 5 m 0 s 1 s 0 m 1 m 1 s 1 m 2 s 4 m 2 s 3 s 4 m 9 m 3.18

19 Lokale Änderungsrate Absolute Änderung (Zurückgelegter Weg x t = 1 m s 2 t 2 ) In den 2 Sekunden von t 0 = 1 s bis t 1 = 3 s zurückgelegter Weg: x t 1 x t 0 = x 3 s x 1 s = 1 m 3 s 2 1 m 1 s 2 s 2 s 2 = 9 m 1 m = 8 m 1 s 1 m 3 s 9 m Zeitpunkt t zurückgelegter Weg x Zeitänderung Δt = 1 s Zeitänderung Δt = 1 s Zeitänderung Δt = 2 s Zeitänderung Δt = 1 s 0 s 0 m 1 s 1 m 2 s 4 m 3 s 9 m Wegänderung Δx = 1 m Wegänderung Δx = 3 m Wegänderung Δx = 8 m Wegänderung Δx = 5 m 3.19

20 x t = 1 m s 2 t 2 Lokale Änderungsrate Relative Änderung / Änderungsrate (Durchschnittsgeschwindigkeit) Um die mittleren Geschwindigkeiten in unterschiedlich langen Zeitintervallen [t 1, t 2 ] und t 3, t 4 vergleichen zu können, muss man die Wegdifferenz x t 2 x t 1 auf die zugehörige Zeitdifferenz t 2 t 1 beziehen: x t 2 x t 1 t 2 t 1 Im Zeitintervall [1 s, 2 s] werden im Mittel 22 m 1 2 m also 3 m pro Sekunde zurückgelegt. 2 s 1 s Im Zeitintervall [1 s, 3 s] werden im Mittel 32 m 1 2 m also 4 m pro Sekunde zurückgelegt. 3 s 1 s = 3 m 1 s = 3 m s, = 8 m 2 s = 4 m s, Im Zeitintervall [1 s, 3 s] ist die mittlere Geschwindigkeit (Durchschnittsgeschwindigkeit) mit 4 m also höher als im s Zeitintervall [1 s, 2 s] mit 3 m. s 3.20

21 x t = 1 m s 2 t 2 Lokale Änderungsrate Lokale Änderungsrate (Momentangeschwindigkeit) Wie groß ist die Momentangeschwindigkeit (lokale Änderungsrate) zu einem Zeitpunkt t 0 = 1s? Idee Mittlere Geschwindigkeiten in Zeitintervallen betrachten, die t 0 = 1s als Intervallgrenze besitzen. Zeitintervall [t 0, t] Mittlere Geschw. x t x(t 0) t t 0 im Zeitintervall [t 0, t] Zeitintervall [t, t 0 ] Mittlere Geschw. x t 0 x(t) t 0 t im Zeitintervall [t, t 0 ] [1 s; 2 s] 2 2 m 1 2 m 2 s 1 s = 3 m s [0 s; 1 s] 1 2 m 0 2 m 1 s 0 s = 1 m s [1 s; 1,1 s] 1,1 2 m 1 2 m 1,1 s 1 s = 2,1 m s [0,9 s; 1 s] 1 2 m 0,9 2 m 1 s 0,9 s = 1,9 m s [1 s; 1,01 s] 1,01 2 m 1 2 m 1,01 s 1 s = 2,01 m s [0,99 s; 1 s] 1 2 m 0,99 2 m 1 s 0,99 s = 1,99 m s [1 s; 1,001 s] 1,001 2 m 1 2 m 1,001 s 1 s = 2,001 m s [0,999 s; 1 s] 1 2 m 0,999 2 m 1 s 0,999 s = 1,999 m s 3.21

22 Lokale Änderungsrate Momentangeschwindigkeit x t = 1 m s 2 t 2 Je kleiner das Intervall [t 0, t] wird, je näher also t an t 0 = 1 s heranrückt, desto näher kommt die mittlere Geschwindigkeit dem Wert 2 m. Sie kommt ihm beliebig nahe. s Jede andere Annäherung an den Zeitpunkt t 0 = 1 führt zur selben Momentangeschwindigkeit. Lokale Änderungsrate Ist t ein benachbarter Zeitpunkt von t 0 = 1 s, dann ergibt sich für die mittlere Geschwindigkeit im Intervall 1 s, t der Wert: x t x(1 s) t 1 s = 1 m s 2 t2 1 s 2 t 1 s = 1 m s 2 t+1 s t 1 s t 1 s 1 m 1 s + t kommt dem Wert 2 m beliebig nahe, s 2 s wenn t genügend nahe bei 1 s liegt. = 1 m s 2 t + 1 s Damit ist die Momentangeschwindigkeit (lokale Änderungsrate) zum Zeitpunkt t 0 = 1 s bestimmt. Sie beträgt hier 2 m s. 3.22

23 Lokale Änderungsrate Vorteile des Zugangs zum Ableitungsbegriff als Übergang von der mittleren zur lokalen Änderungsrate: Kinematischer Kontext ist Teil der Alltagserfahrungen von Jugendlichen. (Straßenverkehr, Computerspiele, Sport, ) zeitliche Änderung von Geschwindigkeiten Zugang zum Begriff Momentanbeschleunigung Das Beispiel ist als universelles Modell überall tragfähig, wo ein Änderungsverhalten punktuell beschrieben werden soll. 3.23

24 Zusammenfassung: Ableitung als lokale Änderungsrate Formale Darstellung Inhaltliche Erläuterung f x 0 f x 0 Bestand f x f x 0 absolute Änderung f x f x relative Änderung / 0 (mittlere) x x 0 Änderungsrate f x f x momentane / 0 = lim lokale x x0 x x 0 Änderungsrate Bis zum Zeitpunkt x 0 zurückgelegter Weg. In der Zeit von x 0 bis x zurückgelegter Weg. In der Zeit von x 0 bis x zurückgelegter Weg bezogen auf die Zeitspanne x x 0. (Durchschnittsgeschwindigkeit im Zeitintervall [x 0, x]) Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt x

25 Historische Quelle Cauchy in seiner ersten Vorlesung "Differenzialrechnung" im Jahre 1815 zur Ableitung: Um die Begriffe zu fixieren, nehmen wir an, daß man bloß zwei Veränderliche betrachte; nämlich eine unabhängige Veränderliche x und eine durch y = f(x) bezeichnete Function von x. Wenn die Function f(x) zwischen zwei gegebenen Grenzen der Veränderlichen x continuierlich bleibt, und wenn man der Veränderlichen einen zwischen diesen Grenzen liegenden Werth beilegt; so wird ein der Veränderlichen ertheiltes unendlich kleines Increment auch eine unendlich kleine Veränderung der Function zur Folge haben. Also werden, wenn man Δx = i setzt, die beiden Glieder des Differenzenverhältnisses: Δy Cauchy (1836): Vorlesungen über die Differenzialrechnung. Braunschweig = f x + i f(x) i Δx unendlich kleine Größen sein. Aber während sich diese beiden Glieder unbestimmt und gleichzeitig der Grenze Null nähern, wird ihr Verhältniß selbst gegen eine andere Grenze, sie sei positiv oder negativ, convergiren können, welche das letzte Verhältniß der unendlich kleinen Differenzen Δy, Δx sein wird. Diese Grenze, oder dieses letzte Verhältniß, hat, wenn es existirt, für jeden particulären Werth von x einen bestimmten Werth; aber es variirt mit x. Danckwerts/Vogel (2006): Analysis verständlich unterrichten. Heidelberg: Spektrum Akad. Verlag, S. 66ff 3.25

26 Kapitel 3: Ableitungsbegriff 3.3 Ableitung als Verstärkungsfaktor 3.26

27 Inhaltlicher Zugang zur Ableitungsregel x 2 = 2x x 2 = 2x wird oft rein syntaktisch verstanden. Analog für x 3 = 3x 2 Inhaltlich Warum ist die lokale Änderungsrate des Flächeninhalts eines Quadrats der Kantenlänge x gleich seinem halben Umfang? Absolute Änderung des Flächeninhalts Für kleine h im Wesentlichen die schattierten Rechtecke. Relative Änderung des Flächeninhalts (mittlere Änderungsrate): Folgende Näherung ist beliebig gut, wenn h hinreichend klein ist: x+h 2 x 2 h = 2xh+h2 h = 2x + h 2x Das ist im Wesentlichen der halbe Umfang des Quadrats. x h x h Für kleine Änderungen Δx gilt: Δy f x Δx = 2x h 3.27

28 Kapitel 3: Ableitungsbegriff 3.4 Ableitung als lokale lineare Approximation 3.28

29 Ableitung als lokale lineare Approximation Danckwerts/Vogel (2006): Analysis verständlich unterrichten. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag, S Parabel x x 2 mit Tangente im Punkt P(1,1) Hineingezoomt

30 Welche Gerade ist beste lokale Approximation des Graphen? Schmiegeffekt der Tangente Unterschied von Parabel x x 2 und Tangente im Punkt P(1,1) in der Nachbarschaft von P(1,1) Wie groß ist die Abweichung r(h)? Funktionsgleichung: f x = x 2 f 1 + h t 1 + h f 1 = 1 P Tangentengleichung: t x = f x 0 + m x x 0 t x = x 1 Abweichung r h = f 1 + h t 1 + h = 1 + h 2 (1 + 2h) = 1 + 2h + h 2 1 2h = h 2 (*) r h = h 2 0 für h

31 Welche Gerade ist beste lokale Approximation des Graphen? Schmiegeffekt anderer Geraden bzgl. x x 2 durch P(1, 1) Wie groß ist die Abweichung r(h)? f 1 + h g(1 + h) f 1 = 1 P Funktionsgleichung: f x = x 2 Geradengleichung: g x = f x 0 + m x x 0 m 2 g x = 1 + m x 1 m 2 Abweichung r h = f 1 + h g 1 + h = 1 + h 2 (1 + mh) = 1 + 2h + h 2 1 mh = h m h (**) r h = h m h 0 für h

32 Grundverständnis: Schmiegeffekt Absolute Abweichung Tangente in P r h = h 2 (*) r h 0 für h 0 Andere Gerade durch P r h = h m h (**) r(h) 0 für h 0 Relative Abweichung Tangente in P r h h = h 0 für h 0 Andere Gerade durch P r h h r h h = h + 2 m mit m 2 2 m 0 für h 0 Offensichtlich ist die Bedingung r h 0 für h 0 h ein analytischer Ausdruck für die Schmiegeigenschaft der Tangente. Tangente Die verschärfte Restbedingung r h lim = 0 h 0 h (gegenüber lim r h = 0) h 0 charakterisiert die Tangente als bestapproximierende Gerade. 3.32

33 Ableitung als lokale lineare Approximation Der Graph von f lässt sich in der Nähe von x 0 durch die Tangente in x 0 so annähern, dass der Fehler r(h) der Approximation besonders gut, nämlich schneller als h, gegen null geht: f x 0 + h = t x 0 + h + r h = f x 0 + f xm 0 h + r h Zusammenfassung: Ableitung als lokale lineare Approximation y mit r h h 0 für h 0 x Tangentengleichung t x = f x 0 + f x 0 (x x 0 ) m Anwendungen: Num. Näherungen; Fehlerrechnung; Taylor-Abschätzung; Leibniz sche Differenziale; Newton-Verfahren; Beweis von Ableitungsregeln; Verallgemeinerbar in höhere Dimensionen 3.33

34 Zusammenfassung: Ableitung als lokale Linearisierung Danckwerts/Vogel (2006): Analysis verständlich unterrichten. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag, S Werte der Funktion nahe x 0 werden genähert durch Werte der Tangente nahe x 0 Fehler der Näherung Güte der Näherung für h 0 f x 0 + h t x 0 + h = f x 0 + f x 0 h r h = f x 0 + h t x 0 + h = f x 0 + h f x 0 f x 0 h r h h 0 Zuwächse der Funktion nahe x 0 werden genähert durch Zuwächse der Tangente nahe x 0 Fehler der Näherung Güte der Näherung für h 0 f x 0 + h f x 0 f x 0 h r(h) r h h 0 (Differenz Δy) (Differenzial dy) 3.34

35 Zusammenfassung: Ableitung als lokale Linearisierung Danckwerts/Vogel (2006): Analysis verständlich unterrichten. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag, S

36 Welche Grundvorstellung wählen Sie zur Einführung? 3.36

37 Definition über die lokale Änderungsrate Eine Funktion f: D R, D R heißt an der Stelle x 0 D differenzierbar, wenn der Grenzwert f x 0 + h f x 0 lim h 0 h existiert. Er heißt Ableitung von f an der Stelle x 0 und wird mit f (x 0 ) bezeichnet. Analytische Definitionen der Ableitung Danckwerts/Vogel (2006): Analysis verständlich unterrichten. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag, S Definition über die lokale lineare Approximation Eine Funktion f: D R, D R heißt an der Stelle x 0 D differenzierbar, wenn es eine Gerade t x0 durch den Punkt x 0, f x 0 gibt, so dass der Approximationsfehler r h f x 0 + h t x0 x 0 + h D der Bedingung r h lim h 0 h = 0 x 0 + h genügt. Die Steigung von t x0 heißt Ableitung von f an der Stelle x 0 und wird mit f (x 0 ) bezeichnet. 3.37

38 Exkurs: Tangentengleichung im Punkt P x 0, f x 0 an G f Berechnung der Tangentengleichung Funktionsgleichung einer Geraden: y = m x + t m ist die Steigung der Geraden. Für eine Tangente, die sich im Punkt P x 0, f x 0 an G f anschmiegt, gilt: m = f x 0 Da die Tangente durch P x 0, f x 0 verläuft, erfüllen dessen Koordinaten die Funktionsgleichung. Es gilt also: f x 0 = m x 0 + t Im Beispiel: f x = x 2 Mit f x = 2x folgt: m = 2 x 0 Mit P x 0, f x 0 = x 0, x 2 0 ergibt sich: x 2 0 = 2x 0 x 0 + t 2 t = x 0 Damit ergibt sich die Tangentengleichung im Punkt P x 0, f x 0 zu: y = 2x 0 x x