HAK, HUM, HLSF, BAKIP (HTL1) Geogebra

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1 Finale Vorbereitung auf die srdp 2016 HAK, HUM, HLSF, BAKIP (HTL1) Geogebra Lösung der Bewegungsaufgabe a) Ansicht: Algebra und Grafik Eingabefenster : s(t)= Funktion[- x^3/180+x^2/2,0,100] ENTER 0der Eingabe laut Bild s(60) ENTER Der zurückgelegte Weg beträgt 600 m. b) Ansicht CAS, numerisches Rechnen (s(45)-s(30))/15 Die mittlere Geschwindigkeit des Zugs in diesem Intervall beträgt 13,75 m/s. c) s (45) Die Momentangeschwindigkeit nach 45 s beträgt 11,25 m/s. d) Die Momentangeschwindigkeit ist die (momentane) Änderungsrate der Weg-Zeit-Funktion und entspricht geometrisch der Steigung des Graphen der Weg-Zeit-Funktion an einer bestimmten Stelle. Der Graph der Weg-Zeit-Funktion hat die größte Steigung und damit die maximale Momentangeschwindigkeit im Wendepunkt bei tw = 30 Sekunden. 1

2 e) Eingabezeile s (x) ENTER Achsen nachjustieren, s nicht anzeigen Der Flächeninhalt gibt den zurückgelegten Weg in dem Zeitintervall [10: 50 ] an: s = 511,11 m f) CAS: (s (45)-s (30))/15 Die mittlere Geschwindigkeitsänderung im gegebenen Intervall beträgt -0,25 m/s². Die Geschwindigkeit nimmt in diesem Zeitintervall im Durchschnitt pro Sekunde um 25 m/s ab. Lösung der Trigonometrie - Aufgabe a) kein TE CAS-Fenster Die Entfernung der Boote beträgt rund 246,40 m. Tipp: Das Zeichen muss hinzugefügt werden, die Winkel werden sonst in rad verstanden. 2

3 c) Kein TE: Die Erklärung des Lehrers ist falsch. Begründung: h a = tan(30) h 2a = 1 2 tan (30) 1 2 tan (30) tan (15) Lösung zum Flächenintegral Hinweis: Dokumentieren IMMER in Worten! 1. Schritt: Die Nullstelle von y 2 wird berechnet ( hier ist auch eine ablesung möglich: x N = 1 2. Schritt: Das bestimmte Integral A1 wird in den Grenzen 1,5 und 1 berechnet und ergibt einen negativen Wert. Den Flächeninhalt des linken Teils des Pinbords ist der doppelte Betrag dieses errechneten Werts. 3. Schritt: Der Flächeninhalt des rechten Teils ergibt sich aus dem doppelten Wert des Integrals A2 zwischen den Grenzen 1 und 1,5. 4. Schritt: Man addiert beide Flächeninhalte. 1 A1 = 1,5 (x² + 0,5x 1,5) dx = 2,0604 Berechnet mit Algebrafenster f(x) eingeben A1=Integral[f,untere Grenze, obere Grenze] 1,5 A2 = 1 (x² + 0,5x 1,5) dx = 0,354 A2=Integral[f,untere Grenze, obere Grenze] A = -2*A1 + 2*A2 Der Flächeninhalt des Pinboards beträgt ca. 5,92 dm² Lösung zur Stochastik a) Kein TE: Es gibt genau 2 Möglichkeiten des Ausgangs: fehlerhaft oder nicht fehlerhaft. Die Versuche sind voneinander unabhängig. Die Wahrscheinlichkeiten bleiben konstant. b) Algebrafenster Binomial[100,0.05,6,false] Binomial[100,0.05,7,false] Zu 25,6 % sind 6 oder 7 fehlerhafte Leuchtmittel in der Stichprobe zu finden Tipp: Wahrheitswert der Verteilungsfunktion: Berechnet P( X = v) bei Wahrheitswert false Berechnet P( X v) bei Wahrheitswert true c) Kein TE: Durch diesen Ausdruck kann man die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass in der Stichprobe genau 4 fehlerhafte Leuchtmittel gefunden werden. 3

4 d) Kein TE 0,18² = 0,0324 3,24 % beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass in 2 unabhängigen Stichproben 5 fehlerhafte gefunden werden. e) Leider funktioniert die entsprechende Gleichung im CAS (noch) nicht. Daher die Gleichung im Algebrafenster eingeben: f(x) = Binomialkoeffizient (100,5)*x^5*(1-x)^95 Mit g(x) = 0.16 schneiden lassen mit Schneide [g,f,0,0.1] Vorsicht! Es gibt 2 Lösungen, jene näher bei 0 ist zu nehmen! Der Ausschuss beträgt ca. 4 %. Lösung B_ HUM-HLFS_ HAK: Finanzmathematik a) Barzahlung innerhalb von 14 Tagen: 66700(1 0,015) 1,5 % Autopreis ,50 Mit Kredit: ,50 (1+ 0,12*16/360) ; einfache Zinsen ,90 Es ist dies immer noch etwas günstiger als der Kauf nach 30 Tagen. Herr Maier soll den Überziehungskredit für die Bezahlung des Autos in Anspruch nehmen und innerhalb von 14 Tagen bezahlen. b) Algebra-Fenster Zinssatz[36,-922,53360,-26000] 0,4 % p.m. CAS-Ansicht: monatlicher Zinssatz 0,401 (0, )^12-1 ENTER äquivalenter (effektiver) Jahreszinssatz: 4,92 % 4

5 c) Zahlung[1.0506^(1/12)-1, 60, , 0, 0] 0 am Schluss: nachschüssige Zahlungen. Die monatlichen Raten betragen 1.005,66 d) Zinssatz[7,-11000, 66700,0,0] Tilgungsplan ansetzen mit Tabelle Zinssatz b übernehmen. Tilgungsrate am Ende des 2. Jahrs: 8.832,914 Restschuld am Ende des 2. Jahrs: ,341 e) Mit der Tabelle bei 5 % arbeiten Die Zahlung im 2. Jahr ,40 Lösung Wirtschaftsmathematik a) Punkte K 1 : (0 10) und (100 25) k = 15/100 K 1 (x) = 0,15x+10 K 1 (x) = 0,075x² + 10x b) Das Minimum der Grenzkostenfunktion muss bestimmt werden. Der x-wert des Minimums entspricht der Kostenkehre. x K = 20 ME Die Ableitung von K 1 ist linear, leitet man K 1 nochmals ab, so erhält man eine konstante Zahl. Diese Funktion hat daher keine Kostenkehre. Die Kurve K 1 dagegen hat eine Extremstelle. Das deutet darauf hin, dass die 2. Ableitungsfunktion existiert und null gesetzt werden kann. Die Kostenkehre existiert. c) Algebra und Grafikfenster K(x) in der richtigen Definitionsmenge eingeben: K (x) enter K (x) = 0,0018x 2 + 0,04x + 10 K(x)/x enter k(x) = 0,0006x 2 + 0,02x x 5

6 Schneide K (x) und k(x) ( nicht unbedingt notwendig Der Schnittpunkt der beiden Kurven legt mit dem y- Wert das Minimum der Stückkosten fest. Der x-wert entspricht dem Betriebsoptimum. Vektoren/Gleichungssysteme a) Lösung B BAKIP Übungshalber mit Geogebra konstruieren: 6

7 Mit Geogebra das Gleichungssystem lösen: CAS Die Gleichungen und die Variablen werden in Listen eingegeben. s(t) = -1,13t² + 11,3 t Algebra-Fenster: s(x) = -1,13x² + 11,3 x eingeben, dann s (x) eingeben. Die Berechnung erfolgt automatisch. Momentangeschwindigkeit v = 4,52 m/s Mittlere Geschwindigkeit vm = 4,52 m/s 2. Mengen Keine TE Insgesamt: 135 Schüler/innen Schifahren: 80 7

8 3. Folgen und Reihen Mit Geogebra konstruieren: 2. Seite 70,7 cm 3 c) af = < 10, 15, 20 > mit a n = 10 + (n 1) 5 a n n.tes Glied einer arithmetischen Folge., n Stelle, an der das n-te Glied in der Folge steht 8

9 Lösungen B_ Cluster 1B Lösung Aufgabe 1 a) Elementare Geometrie CAS Formeln: Fläche Kreisabschnitt: r2 π α zu berechnen: x = 5 2 aus den Angaben α= arccos ( ,52 2 5,5 2 ) 80 r h = r cos(α) 4,21 x(r h) Flächen zusammensetzen 139,28 cm² b) Funktionen Algebra + Graphik Zeichnen von p und g Schneide[p,g,0,4000] ca Stück Zuordnung: lineare Kostenfunktion 1,5x D Stückkosten A Erklärung: Die Stückkostenfunktion beschreibt die Abhängigkeit der Kosten pro Stück von der produzierten Menge an Matten. Die Grenzkostenfunktion ist die Ableitungsfunktion der Kostenfunktion und beschreibt die momentane Änderungsrate der Kosten i n Abhängigkeit von der produzierten Menge an Matten. Lösung Aufgabe 2 Lösung mit Geogebra a) kein TE 1. Kurve D, 2. Kurve B Der positive Parameter c verschiebt die Funktion um c nach oben, der negative Parameter c verschiebt die Funktion um c nach unten. 9

10 b) Algebra und Graphik beide Funktionen eingeben f,g Schneide [f,g,0,15] 0, Integral zwischen [g,f,0,14.33] 127,49 2 0,5 2 π = 125,92 Nach einer Entfernung von 2π wird der Geist wieder dieselbe Fläche haben, da die Cosinusfunktion periodisch mit der Periode 2π ist.. 10