Didaktik der Analysis

Transkript

1 Jürgen Roth Didaktik der Analysis Modul 12a: Fachdidaktische Bereiche 2.1

2 Inhalt Didaktik der Analysis 0 Organisatorisches 1 Ziele und Inhalte 2 Folgen und Vollständigkeit in R 3 Ableitungsbegriff 4 Integralbegriff 2.2

3 Danckwerts & Vogel (2006): Analysis verständlich unterrichten. Heidelberg: Spektrum Akad. Verlag, S Büchter, A.; Henn, H.-W. (2010): Elementare Analysis. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag Didaktik der Analysis Kapitel 2: Folgen und Vollständigkeit in R 2.3

4 Woher kamen die Folgen, was leisten sie und warum? Danckwerts, Vogel (2006): Analysis verständlich unterrichten. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag. S Beschreibung iterativer Prozesse Beispiele: Diskrete Modellierung Heron-Verfahren Ist 00, 99 = 11? Komplementarität von Produkt- und Prozessorientierung (Vgl. das Skript Didaktik der Zahlbereichserweiterungen, Kapitel 5: Reelle Zahlen R) Folgen und Konvergenz Intervallschachtellungssatz & Archimedisches Axiom Vollständigkeit von R Grundvorstellung: Lückenlosigkeit der Zahlengeraden Berechnungs- & Beweisinstrument Beispiele: Approximation von 2 Beweise: Zwischenwertsatz Monotoniekriterium operative Fassung 2.4

5 Heron-Verfahren (Wurzelberechnung) Berechnungsgrundlage für Straßenreinigungsgebühren: An die Straße grenzende Grundstückslänge (Frontmetermaßstab). Der Eigentümer von Grundstück B muss mehr bezahlen als der von Grundstück A, obwohl Grundstück A größer ist. Gemeinderat: Für ein größeres Grundstück mehr zahlen. Lösung: Quadratwurzelmaßstab als Bemessungsgrundlage Straßenreinigungsgebühren werden aus der Seitenlänge eines zum Grundstück flächeninhaltsgleichen Quadrats berechnet. Frage: Wie findet man die Seitenlänge dieses Quadrats? A B 2.5

6 Heron-Verfahren (Wurzelberechnung) 2.6

7 Heron-Verfahren (Wurzelberechnung) Gesucht: AA aa 0 = 4 Anfangswert: aa 0 AA = 24 bb nn = AA aa bb 0 = AA = 24 nn aa 0 4 = 6 bb 1 = AA = 4,8 aa 1 aa nn+1 = aa nn + bb nn 2 = aa nn + AA aa nn 2 aa 1 = aa 0 + bb 0 2 = 5 Schnell konvergierende Intervallschachtelung. 2.7

8 Reelle Zahlen Die reellen Zahlen entsprechen eineindeutig den sämtlichen Punkten der Zahlengeraden. Arnold Kirsch

9 Irrationalität von

10 o. B. d. A. heißt ohne Beschränkung der Allgemeinheit. Existenz irrationaler Zahlen Definition Eine reelle Zahl xx heißt Satz rational, wenn sie sich in der Form xx = mm mit mm Z und nn nn N schreiben lässt, andernfalls irrational. Es gibt keine rationale Zahl xx mit xx 2 = 2. Beweis (Widerspruchsbeweis) Wenn xx 2 = 2 ist, dann gilt für alle Lösungen xx dieser Gleichung xx Q. Annahme: pp xx qq(xx) Es gibt o. B. d. A. einen Bruch mm nn mit mm, nn N für den gilt: mm 2 = 2 nn mm 2 = 2nn 2 mm mm = 2 nn nn In der Primfaktorzerlegung von mm mm tritt die Zahl 2 in einer geraden Anzahl auf, in der von 2 nn nn tritt die Zahl 2 dagegen in einer ungeraden Anzahl auf. Widerspruch zur Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung! Es kann keine rationale Zahl xx mit xx 2 = 2 geben. 2.10

11 Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung Beweis Annahme: Es gibt natürliche Zahlen mit mehreren unterschiedlichen Zerlegungen. Dann gibt es darunter eine kleinste Zahl nn. nn kann keine Primzahl sein (Warum?). Zwei Zerlegungen von nn können keinen gemeinsamen Primfaktor pp enthalten, da dann auch nn pp zwei verschiedene Zerlegungen hätte und kleiner als nn wäre. Widerspruch zu nn ist minimal. Es gilt also: nn = pp aa = qq bb mit pp, qq P pp qq aa bb Das letzte Argument ist das Lemma von Euklid: Teilt eine Primzahl ein Produkt, so auch mindestens einen der Faktoren. pp aa bb pp aa pp bb. Da nn durch pp teilbar ist, muss einer der Faktoren der anderen Zerlegung durch pp teilbar sein und das ist bb, denn qq ist prim. Also taucht ein beliebiger Primfaktor stets in beiden Zerlegungen auf und damit sind sie identisch. # 2.11

12 Inkommensurabilität Pentagon Es gibt kein gemeinsames Maß für die Diagonale dd und die Seite aa des regelmäßigen Fünfecks. dd = 1 aa + dd 1 aa = 1 dd 1 + aa 1 Im zweiten Fünfeck: dd 1 = 1 aa 1 + dd 2 aa 1 = 1 dd 2 + aa 2 Im dritten Fünfeck: dd 2 = 1 aa 2 + dd 3 aa 2 = 1 dd 3 + aa 3 dd = 1 aa + dd 1 aa = 1 dd 1 + aa 1 Wäre ee ein gemeinsames Maß von dd und aa, dann auch für jedes Paar dd nn, aa nn. Die Längen nehmen aber bei jedem Schritt um mehr als die Hälfte ab und werden damit sicher kleiner als jedes ee. 2.12

13 Definitionen Definition Eine Folge ist eine Funktion, die jedem Element der Menge der natürlichen Zahlen genau ein Element der Menge der reellen Zahlen zuordnet. N R, nn aa nn Definition Eine Folge aa nn nn N heißt konvergent gegen aa, wenn es zu jeder Toleranz εε > 0 eine Nummer nn 0 gibt, so dass für alle nn nn 0 gilt: aa nn aa < εε aa heißt dann Grenzwert der Folge aa nn nn N und man schreibt: aa = lim nn aa nn 2.13

14 Folge 11 nn nn N und εε-schlauch 2.14

15 Verbalisierungen für Grenzprozesse Konvergenz der Folge 11 nn nn N Sprechweisen (1) 1 kommt mit wachsendem nn nn der 0 beliebig nahe. (2) 1 strebt gegen 0 für nn nn gegen. (3) 1 kommt mit wachsendem nn nn der 0 immer näher. (4) 1 kommt der 0 immer näher nn ohne sie jemals zu erreichen. Verbale Vereinfachung Verfälschung Welche davon sind geeignet? (1) Ohne Einschränkung geeignet. (2) Ohne Einschränkung geeignet. (3) Problematisch! 1 kommt auch nn der 1 immer näher, aber nicht beliebig nahe (vgl. (1))! (4) Grenze zur inhaltlichen Verfälschung deutlich überschritten! Auch konstante Folgen sind konvergent! 2.15

16 Intervallschachtelungen Intervallschachtelungssatz Zu jeder Intervallschachtelung aa 1 aa 2 aa 3 bb 3 bb 2 bb 1 (wobei aa nn, bb nn R und die Intervalllänge bb nn aa nn beliebig klein wird) gibt es ein xx R, das in allen Intervallen enthalten ist. Für alle nn N gilt also: aa nn xx bb nn Archimedisches Axiom Zu je zwei Größen yy > xx > 0 existiert eine natürliche Zahl nn N mit nn xx > yy. Bemerkungen Die Eigenschaft, dass keine Intervallschachtelung auf der Zahlengeraden ins Leere trifft, präzisiert die Vorstellung von der Lückenlosigkeit. Die Intervallschachtelung greift auf die Folgen der Intervallgrenzen zurück und wird zum Werkzeug zur näherungsweisen Berechnung neuer reeller Zahlen. Wird bereits in der Sek. I zu Umfangs, Flächeninhalts- und Volumenberechnung genutzt. 2.16

17 Vollständigkeit von R ist notwendig! Zwischenwertsatz Wechselt eine in einem Intervall stetige Funktion ihr Vorzeichen, dann hat sie dort mindestens eine Nullstelle. Ist ff: aa, bb R stetig und ff aa < 0 < ff(bb) oder ff aa > 0 > ff bb dann gibt es mindestens ein xx 0 [aa, bb] mit ff xx 0 = 0. Beispiel: II = {xx Q 0 xx 2} ff: 0; 2 R, xx xx 2 2 GG ff 2 Q aa xx 0 bb 2.17

18 Vollständigkeit von R ist notwendig! Monotoniekriterium Eine auf einem Intervall differenzierbare Funktion mit überall positiver Ableitung ist dort streng monoton wachsend. Beispiel: II = {xx Q 0 xx 3} ff: II R, xx 1 2 xx 2 ff xx = 2xx > 0 2 xx 2 2 Ist ff: aa, bb R differnzierbar und ff xx > 0 für alle xx [aa, bb], dann folgt für alle xx 1, xx 2 aa, bb mit xx 1 < xx 2, dass gilt: ff xx 1 < ff(xx 2 ) Strenge Monotonie verletzt! 2.18