IV. Zahlbereichserweiterung

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1 IV. Zahlbereichserweiterung 5./6. Klasse: Natürliche Zahlen;nach dem neuen Bildungslan auch negative ganze Zahlen 6. Klasse: Bruchzahlen 7. Klasse: Rationale Zahlen 9. Klasse: Reelle Zahlen (3) Z ganze Zahlen,,3,-,-,-3,... Z sind alle natürlichen Zahlen, negativen Zahlen und die Null (4) Q alle rationalen Zahlen Q { a / b I a,b є Z ٨ b 0} d.h. Q umfasst alle ganzen Zahlen und alle Bruchzahlen C () IB alle Bruchzahlen ½, 3 / 67,... Bruchzahlen umfassen IN (6) C alle komlexe Zahlen x + iy Imaginäre Einheit (5) IR alle reellen Zahlen 3, log5,... Die reellen Zahlen lernt der Hautschüler so nicht kennen. Sie rechnen zwar mit Potenzen und Wurzeln, aber nur mit solchen, die aufgehen z.b. 4 () IN alle natürlichen Zahlen,,3,... (Zahlen, die von Gott gegeben sind. Der Rest der Zahlen (wie Bruchzahlen) sind vom Geist des Menschen gemacht worden). Die negativen Zahlen o Bei den Griechen und Römern waren die negativen Zahlen unbekannt. o Auch bei Al-Khwarizmi gab es keine negativen Zahlen. o Sie traten erstmals bei den Indern auf (um 000 n. Chr.) o Cardano (6. Jhd.) gab negative Lösungen bei Gleichungen an. Er nannte sie ficta, fiktive Zahlen oder falsche Zahlen im Gegensatz zu vera, wahre Zahlen x + 3 hat keine wahre Lösung. Er versottete auch anfangs die Leute, die behauteten, dass - mal - gleich + gibt. Säter adatierte er es selbst. o Negative Zahlen werden dann lange Zeit affirmative (bejahende) Zahlen genannt. o Chr. Wolf (76) nahm sie im Mathematischen Lexikon auf: ositive negative Zahlen o Descartes (650) verwendete nur das Kartesische

2 Koordinatensystem (ohne negative Zahlen). Säter wurde es auf unser geläufiges Koordinatensystem erweitert. ( ) o D Alembert um 750: ( ) ( ) und ( ) Rechenzeichen und Vorzeichen sind etwas anderes... Einführung o Thermometer: Besonders beliebtes Besiel, da es sehr alltagsnah ist; außerdem ist beim Thermometer der Zahlenstrahl schon gegeben. o Guthaben und Schulden: Ein Lebensbezug ist zwar gegeben, aber die Schüler können sich nicht so damit identifizieren (ihr Giro-Konto dürfen sie nicht überziehen und der Kontostand der Eltern wissen sie meist nicht). o Fahrstuhl im Kaufhaus: (Aber häufig steht statt,,... U, U,... ) o Wasserstandsanzeiger: o Höhenmesser z.b. ist der Wassersiegel eines Flusses manchmal über und manchmal unter dem normalen Pegel. Ziel: Der Zahlenstrahl wird erweitert! neu.. Addieren und Subtrahieren negativer Zahlen z.b. +(-3)? -3 Der Schüler weiß, dass -3 bedeutet: auf dem Zahlenstrahl 3 Schritte nach links + ( 3) Thermometer: 3 +(-5 )? -5 Die Temeratur ist um 5 gefallen. 7?

3 . Schritt: + ( 7 ) 9. Schritt: Multilikation negativer Zahlen Zurückführung auf Addition: 4 ( 3) ( 3) + ( 3) + ( 3) + ( 3) Es gilt: a ( b) ( a) b ab Frage: Was gibt ( 3)? ( 3). Erklärung: Permanenzrinzi: ( Rechenregeln sollen im neuen Zahlenbereich weiterhin gültig sein) 3 ( 4) 8 ( 4) 4 0 ( ) ( ) ( 3) Erklärung: Distributivgesetz: (4 + ( 4)) ( 3) 0 +? 0 0 wird anders geschrieben Distributivgesetz: ausmultilizieren ( 3)( 4) Wenn unsere bisherigen Rechenregeln gültig bleiben sollen, dann muss sein (und zwar für ( a) ( b) a b a, b Q) 3. Erklärung: 5: er verdient 5 ro Tag 3

4 -5: er verliert 5 ro Tag 3: in drei Tagen -3: vor drei Tagen 5 3: er verliert jeden Tag 5. In drei Tagen hat er 5 weniger. 5 ( 3) : er verliert jeden Tag 5. Vor drei Tagen war er 5 reicher. +5 (4. Erklärung:) Umgangssrachlich: Doelte Verneinung z.b. - Es ist heute nicht nicht kalt. Es ist heute kalt. - Auf dem PH-Platz beseitigt man die Löcher des Kofsteinflasters. Das Kofsteinflaster ist vollständig. Merkregeln: o ungerade Anzahl an - : Ergebnis - o gerade Anzahl an - : Ergebnis + o ' + ' ' + ' ' + ' ' + ' ' ' ' ' ' ' ' + ' ' ' ' ' ' ' ' + ' o Koordinatensystem: _ + + _ o Kosinus: Die reellen Zahlen 4

5 .. Einführung o Wie groß ist x, wennn x²? o Wie groß ist die Seitenlänge eines Quadrates mit dem Flächeninhalt? a a (da ) T T ( T Tisch ) Es sielt keine Rolle, welches Zeichen man a anfangs einführt oder ob man gleich d t o Wie lang ist die Diagonale im Quadrat?.. Näherungsweises Wurzelziehen Gilt bei einem Näherungsverfahren: () das folgende Intervall liegt im vorhergehenden und () die Intervalllängen werden beliebig klein, so sagt man, die Intervalle bilden eine Intervallschachtelung. z.b. a a gesucht: a ² ²,5²,375²,375² ²,5²,5²,5²,4375².3. Begründung ist eine irrationale Zahl, d.h. sie ist nicht als Bruch darstellbar. Beweis: (Widersruchsbeweis) Annahme: ist ein Bruch. q () Voraussetzung: ggt (, q) ² q² q ² ² also ist ² durch teilbar und somit auch! ' 5

6 q ² ( ' )² q ² '² q² ist durch teilbar und somit auch q! Widersruch zur Annahme, dass und q teilerfremd sind! q.e.d. (Hinweis zum Widersruchsbeweis: vgl. Tatort : Angenommen A ist der Täter, dann müsste er um 9 Uhr dort gewesen sein, aber hier: Angenommen ist ein Bruch, dann müssen und q teilerfremd q sein ) Anderer Beweis: (jetzt: allgemeiner Beweis) Behautung: Annahme: a ist irrational a ist rational ² a a a P q q² ² a q² PFZ (Primfaktorzerlegung) von und q... )² a ( q q... q )² ( n m ( ² ²... n ² a q ² q ²... qm... a q q... ² ² ist teilbar durch a. ist teilbar durch a q ist auch teilbar durch a Widersruch zum Hautsatz der Zahlentheorie: Die Primfaktorzerlegung ist eindeutig! Exkurs: Behautung: Es gibt genau so viele Quadratzahlen wie natürliche Zahlen: Man kann jeder Quadratzahl eine natürliche Zahl zuordnen! ² ² 3² 4² Rechenregeln für irrationale Zahlen 6

7 Um die Existenz der reellen Zahlen zu sichern, bettet man sie in den Zahlenstrahl ein. Wenn man z.b. den Zahlenstrahl an einer beliebigen Stelle durchschneidet, trifft man sogar sehr wahrscheinlich nicht auf eine rationale Zahl. Denn zwischen zwei rationalen Zahlen gibt es unendlich viele irrationale Zahlen. Irrationale Zahlen lassen sich durch unendliche nicht-eriodische Dezimalbrüche darstellen. Bs.: - 0, e lim + n n - π 3, n e und π sind Zahlen, die nicht in einer Gleichung darstellbar sind (im Gegensatz zu a : x² a ). Es wäre zwar möglich: x ² π ² 0, aber dann wird schon die transzendente Zahl verwendet. Anschließend müssen die Rechenregeln erklärt werden. Die Rechenregeln gelten weiterhin. Hinzu kommen Wurzelgesetze, Zur Geschichte von Gesräch des Menon mit Sokrates 7