A = 2 a = 2 Flächeninhalt des Quadrates. Was verbirgt sich hinter 2? Wie sieht die Zahl aus? Wie kann man sie hinschreiben? Kann man sie hinschreiben?
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- Bernd Böhm
- vor 7 Jahren
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1 C:\Eigene Dateien\Unterricht\Mathe 9M \Wurzel \Wurzel - irrationale Zahl.doc Seite 1 von 1 Die Fläche eines uadratischen Sandsiellatzes soll so verdoelt werden, dass wieder ein Quadrat entsteht. An den Ecken stehen jedoch Bäume, die nicht entfernt werden sollen. Wie kann man das Quadrat verdoeln? Wie lang ist die Seite des neuen Quadrats? so lang wie die Diagonale des Ursrungsuadrats Zeichnung im Maßstab 1m 4cm (5 : 1) Messung 5,6cm 1,4m A = 1,96m 5,65cm 1,415m A = 1, m 5,7cm 1,45m A =,03065m Berechnung: a = = Satz des Pythagoras A = a = Flächeninhalt des Quadrates Was verbirgt sich hinter? Wie sieht die Zahl aus? Wie kann man sie hinschreiben? Kann man sie hinschreiben? 1m 1m Kann man mit Hilfe einer rationalen Zahl (mit einem endlichen Dezimalbruch) schreiben? Gesucht ist eine rationale Zahl a, so dass a =, also a = ist. a a a =? Vergleich von a mit 1 1 nein 1 < 4 nein > 3 1,5 3 =, 5 > 4 5 1,5 5 = 1, 565 < , = 1, < Wie lange noch rumrobieren? Vielleicht ist die rationale Zahl a so beschaffen, dass Zähler und Nenner Stellen haben? kilometerlange Tafeln, Stunden von Zeit Was rechnet der Taschenrechner aus? = 1, (11 Stellen nach dem Komma) Eingeben: 1, = 1, < auch nur gerundet, stimmt nicht exakt. Antwort: ist keine rationale Zahl. Es gibt keine rationale Zahl a, deren Quadrat a = ist. Die Länge der Diagonale eines Quadrates der Seitenlänge 1 lässt sich nicht mit einer rationalen Zahl angeben.
2 C:\Eigene Dateien\Unterricht\Mathe 9M \Wurzel \Wurzel - irrationale Zahl.doc Seite von Beweis? Wir müssten alle rationalen Zahlen zwischen 1 und durchrobieren. geht nicht. Wir führen den Beweis aus mehreren Gründen: 1. um zu zeigen, dass keine rationale Zahl ist,. um zu zeigen, dass das System der rationalen Zahlen nicht erfekt ist, 3. um ein Beisiel für einen Unmöglichkeitsbeweis zu geben (Es ist unmöglich, unter den vielen rationalen Zahlen eine zu finden, deren Quadrat = ist.) 4. um eine wichtige Beweismethode zu verdeutlichen: indirekter Beweis indirekter Beweis: Wir nehmen das Gegenteil von dem an, was wir zeigen wollen und führen dies zu einem Widersruch. Damit ist gezeigt, dass das Gegenteil nicht stimmen kann. Behautung: Annahme: Beweis: ist irrational (nicht rational) ist rational, also = mit, N und (echter Bruch) = = (Quadrieren, Potenzgesetz Div. mit gl. Ex.) = Primfaktorzerlegung von und ( ) = ( ) 1 n 1 m 1 n = 1 m Alle Primfaktoren von kommen in doelt vor. 1 1 n n = 1 1 m n + n = n Primfaktoren 1 + m Primfaktoren gerade Anzahl ungerade Anzahl m Primfaktordarstellung von : = 1 n = Produkt von n Primzahlen Bs.: = = 156 = 78 = 39 = 3 13 = 1 Primfaktordarstellung von : = 1 Produkt von m Primzahlen 3 m 4 5 Das kann niemals das gleiche ergeben, da die Primfaktoren einer Zahl eindeutig festgelegt sind. (Zu jeder Zahl gehören ganz bestimmte Primfaktoren.) Widersruch Annahme kann nicht stimmen ist eine irrationale Zahl. Der Beweis funktioniert genau für alle Radikanten mit einer ungeraden Primfaktorenanzahl. ( also auch für alle Primzahlen) für den Beweis, dass 6 irrational ist funktioniert er nicht, da. aber: 6 = 3 6 = 3 = irrationale. irrationale Man kann nicht als endlichen Dezimalbruch schreiben. Taschenrechner: 1, (11 Stellen) Gedicht von Aigner: 1, (4 Stellen) Comuter: mehr als 10Millionen Stellen Alle natürlichen Zahlen, die keine Quadratzahlen sind, haben in der Menge der rationalen Zahlen keine Quadratwurzel. ( 3 ist nicht rational, 4 = ist rational, 8 ist nicht rational, 64 = 8 ist rational) HA: 1. Zeige, dass 8 irrational ist.. Warum funktioniert der Beweis für 4 nicht?
3 C:\Eigene Dateien\Unterricht\Mathe 9M \Wurzel \Wurzel - irrationale Zahl.doc Seite 3 von 3 Hr. Stauff aus Würzburg: (Mathedidaktiker) Das Einzige, was "man" über die Wurzel aus weiß (und was in der formalen Darstellung so genial kodiert ist), ist doch - einerseits, dass ihr Dezimalwert herzhaft scheißegal - andererseits, dass ihr Quadrat erstaunlicherweise exakt (also millimetergenau) wieder ergibt! Zur Geschichte der reellen Zahlen Auf baylonischen Keilschrifttafeln fand man ersten Hinweise für das Rechnen mit irrationalen Zahlen. (um 1700 v. Chr.) 17 o Näherung für war = 1,416 1 o Den Babyloniern muß bekannt gewesen sein, daß es sich dabei nicht um einen genauen Wert handelt o wahrscheinlich kannten sie auch ein Verfahren, um die Genauigkeit des Wertes zu verbessern. Griechische Mathematik: o Zahl = stets eine natürliche Zahl o Brüche wurden nicht als Zahlen betrachtet, sondern als Verhältnisse von Zahlen o Man kannte auch die Diagonalen eines Quadrates. o Eudoxos von Knidos entwickelte eine Theorie, die der Irrationalzahlen sehr nahe kommt (etwa v. Chr.) o Entdeckung war ein tiefer Schock für die antiken Griechen (Den Entdecker soll man während einer Seefahrt kurzerhand ins Meer geworfen haben.) o Erst zu Beginn der Neuzeit haben sich die Brüche und irrationalen Zahlen in der Algebra endgültig durchgesetzt.!"michael Stifel ( ) und Simon Stevin ( ) versuchen den Begriff der irrationalen Zahl durch eine genaue Definition zu klären.!"aber erst Bernhard Bolzano ( ), Richard Dedekind ( ) und Georg Cantor ( ) gelingt es, vom heutigen Standunkt aus befriedigende Theorien über reelle Zahlen zu entwickeln.!"georg Cantor bedient sich dazu der sog. Fundamentalfolgen. Für diese werden Rechenvorschriften definiert und anschließend die Rechenregeln bewiesen. Richard Dedekind definiert die reellen Zahlen mit Hilfe des Dedekindschen Schnitts. Er kommt dabei auf einem anderen Weg als Georg Cantor zu den gleichen Ergebnissen. Zahlengerade der rationalen Zahlen Dem Punkt P ist keine rationale Zahl zugeordnet. Die rationale Zahlengerade hat Löcher. Nicht an jedem Punkt steht eine rationale Zahl angeschrieben. Auf der Zahlengeraden gibt es unendlich viele Punkte, denen keine rationale Zahlen zugeordnet sind.
4 C:\Eigene Dateien\Unterricht\Mathe 9M \Wurzel \Wurzel - irrationale Zahl.doc Seite 4 von 4 Intervallschachtelungen Wie groß ist 3? 3 liegt zwischen 1 und, weil 1 < 3 < (1 < 3 < 4) 1,7 und 1,8 weil 1,7 < 3 < 1,8 (,89 < 3 < 3,4) 1,73 und 1,74 weil 1,73 < 3 < 1,74 (,999 < 3 < 3,076) 1,73 und 1,733 weil 1,73 < 3 < 1,733 (,99984 < 3 < 3,00389) 1,730 und 1,731 weil 1,730 < 3 < 1,731 (,99984 < 3 < 3, ) Intervallschachtelung: Intervalllänge: [1 ; ] 1 [1,7 ; 1,8] 0,1 [1,73 ; 1,74] 0,01 [1,73 ; 1,733] 0,001 [1,730 ; 1,731] 0,0001 ; Die (unendlich vielen) Intervalle rationaler Zahlen bilden eine Intervallschachtelung, wenn gilt: Jedes Intervall ist im vorangehenden enthalten. Die Intervalllängen nehmen ab und werden beliebig klein. Die Intervallschachtelung bestimmt auf der Zahlengeraden genau einen Punkt. Intervallschachtelung: Intervalllänge: [0 ; 1] 1 [0,1 ; 0,] 0,1 [0,11 ; 0,1] 0,01 [0,111 ; 0,11] 0,001 [0,1111 ; 0,111] 0,0001 ; Ist das eine Intervallschachtelung? 1 Welche Zahl wird durch diese Intervallschachtelung beschrieben? = 0, 1 9 Unterschied zu 3? Intervallschachtelung hat ein rationales Zentrum. nicht abbrechender Dezimalbruch 0, = 0,1 ist eriodisch. 3 ist nicht eriodisch. Auf der Zahlengeraden ist jedem Punkt, der nicht mit einer rationalen Zahl belegt ist, ein nicht-abbrechender und nicht-eriodischer Dezimalbruch zugeordnet. Die Menge aller Dezimalbrüche bilden die Menge der reellen Zahlen R.
![< 3,00389) 1,730 und 1,731 weil 1,730 < 3 < 1,731 (,99984 < 3 < 3,00017041) Intervallschachtelung: Intervalllänge: [1 ; ] 1 [1,7 ; 1,8] 0,1 [1,73 ; 1,74] 0,01 [1,73 ; 1,733] 0,001 [1,730 ; 1,731]](/docs-images/48/21072277/images/page_4.jpg "0,0001 ; Die (unendlich vielen) Intervalle rationaler Zahlen bilden eine Intervallschachtelung, wenn gilt: Jedes Intervall ist im vorangehenden enthalten.")
5 C:\Eigene Dateien\Unterricht\Mathe 9M \Wurzel \Wurzel - irrationale Zahl.doc Seite 5 von 5 Intervallschachtelung von 5? Begründung [ ; 3] 4 < 5 < 9 [, ;,3] 4,84 < 5 < 5,9 [,3 ;,4] 4,979 < 5 < 5,0176 [,36 ;,37] 4, < 5 < 5, [,360 ;,361] 4, < 5 < 5, ;
![Begründung [ ; 3] 4 < 5 < 9 [, ;,3] 4,84 < 5 < 5,9 [,3 ;,4] 4,979 < 5](/docs-images/48/21072277/images/page_5.jpg "< 5,0176 [,36 ;,37] 4,999696 < 5 < 5,004169 [,360 ;,361] 4,999696 < 5")
6 C:\Eigene Dateien\Unterricht\Mathe 9M \Wurzel \Wurzel - irrationale Zahl.doc Seite 6 von 6 Wie kann man aus einem Quadrat mit dem Flächeninhalt A ein Quadrat konstruieren, dass den doelten, 3-fachen, 4-fachen, 5-fachen, Flächeninhalt hat? doelter Flächeninhalt siehe Sandkastenaufgabe 4-facher Flächeninhalt das gleiche mit dem. Quadrat (das mit Flächeninhalt A) 3-facher Flächeninhalt funktioniert erst mal nicht so Wie kommt man an die Seitenlänge 3 ran?!"konstruktion eines Quadrates mit Seitenlänge 1 liefert Diagonale.!"Satz des Pythagoras: In jedem rechtwinkligen Dreieck ABC mit den Katheten a und b und der Hyotenuse c gilt: a + b = c C b a Bs.: = = 5 = 5 A!" Dreieck mit den Katheten 1 und, da 1 + ( ) = 1+ = 3 c B Konstruktion der Streckenlängen n :
7 C:\Eigene Dateien\Unterricht\Mathe 9M \Wurzel \Wurzel - irrationale Zahl.doc Seite 7 von 7 Standardbeweis: Behautung: Annahme: ist irrational (nicht rational) ist rational, also = mit, N und (echter Bruch) Der Bruch sei vollständig gekürzt. ( und haben keinen gemeinsamen Teiler.) Beweis: = = (Quadrieren, Potenzgesetz Div mit gl. Ex.) = Nebenrechnung: ist ein Teiler von ( ist durch teilbar, gerade Zahl: m m N ist gerade) (m) = 4m = (m ) ist Teiler von ( ist durch teilbar, ist gerade) ist darstellbar als = n mit n N ungerade Zahl: m + 1 ( n ) = (m + 1) = 4m + 4m + 1 4n = = (m + m) + 1 n = ist ein Teiler von ( ist durch teilbar, ist gerade) Das Quadrat einer geraden ist ein Teiler von ( ist durch teilbar, ist gerade) Zahl ist gerade. Das Quadrat und haben den gemeinsamen Teiler einer ungeraden Zahl ist ungerade. Widersruch zur Annahme, dass vollständig gekürzt sei. Annahme kann nicht stimmen ist eine irrationale Zahl.
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