Modul 101: Einführung
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- Nadine Auttenberg
- vor 5 Jahren
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Transkript
1 Modul 101: Einführung
2 Einführung Zahlen und Zahlmengen Symbole Funktionen Umkehrfunktion 2
3 Zahlmengen:!! "! #! $! % 3
4 Zahlmengen:!! "! #! $! %! = { 1, 2, 3,...} n Die natürlichen Zahlen sind von Gott gemacht, alles andere ist Teufelswerk. 4
5 Zahlmengen:!! "! #! $! %! = { 1, 2, 3,...} n! = {...,! 3,! 2,!1, 0, 1, 2, 3,...} z 5
6 Zahlmengen:!! "! #! $! %! = { 1, 2, 3,...} n! = {...,! 3,! 2,!1, 0, 1, 2, 3,...} z {! = p } p!", q!# q Zeichnung für!?!uotient 6
7 Zahlmengen:!! "! #! $! % {! = p } p!", q!# q Zeichnung für!? Zahlengerade? 7
8 Zahlmengen:!! "! #! $! % {! = p } p!", q!# q Zeichnung für!? Wo liegen die rationalen Zahlen? In jedem Dorf gibt es welche, selbst in Hinterkleinlützelheim. Es gibt aber noch viel mehr nicht rationale (irrationale) Zahlen. 8
9 Zahlmengen:!! "! #! $! % {! = p } p!", q!# q Zeichnung für!? Wo liegen die rationalen Zahlen? In jedem Dorf gibt es welche, selbst in Hinterkleinlützelheim. Es gibt aber p noch viel mehr nicht rationale (irrationale) Zahlen. q!! r s!! 9
10 Zahlmengen:!! "! #! $! % {! = p } p!", q!# q Zeichnung für!? Wo liegen die rationalen Zahlen? In jedem Dorf gibt es welche, selbst in Hinterkleinlützelheim. Es gibt aber p noch viel mehr nicht rationale (irrationale) Zahlen. q!! r s!! Mittelpunkt ebenfalls!! 10
11 Zahlmengen:!! "! #! $! % {! = p } p!", q!# q Zeichnung für!? Wo liegen die rationalen Zahlen? In jedem Dorf gibt es welche, selbst in Hinterkleinlützelheim. Es gibt aber noch viel mehr nicht rationale (irrationale) Zahlen. 11
12 Zahlmengen:!! "! #! $! % {! = p } p!", q!# q Zeichnung für!? Wo liegen die rationalen Zahlen? In jedem Dorf gibt es welche, selbst in Hinterkleinlützelheim. Es gibt aber noch viel mehr nicht rationale (irrationale) Zahlen. d d = s 2; 2!! (irrationale Zahl) 2 "" s 12
13 Zahlmengen:!! "! #! $! % 2!! (irrationale Zahl) 2 "" 13
14 Zahlmengen:!! "! #! $! % 2!! (irrationale Zahl) 2 "" Indirekter Beweis: Gegenteil führt zu Widerspruch 14
15 Zahlmengen:!! "! #! $! % 2!! (irrationale Zahl) 2 "" Indirekter Beweis: Gegenteil führt zu Widerspruch Annahme 2 = p q q 2 = p q 2 2 = p 2 d.h. 2!! mal q quadrieren 15
16 Zahlmengen:!! "! #! $! % 2!! (irrationale Zahl) 2 "" Indirekter Beweis: Gegenteil führt zu Widerspruch Annahme 2 = p q q 2 = p q 2 2 = p 2 d.h. 2!! mal q quadrieren 16
17 Zahlmengen:!! "! #! $! % 2!! (irrationale Zahl) 2 "" Indirekter Beweis: Gegenteil führt zu Widerspruch Annahme 2 = p q q 2 = p q 2 2 = p 2 d.h. 2!! mal q quadrieren 17
18 Zahlmengen:!! "! #! $! % 2!! (irrationale Zahl) 2 "" Indirekter Beweis: Gegenteil führt zu Widerspruch Annahme 2 = p q d.h. 2!! q 2 = p q 2 2 = p 2 links: ungerade Anzahl Primfaktoren 2 mal q quadrieren 18
19 Aber 2 ist doch eine gerade Zahl? ungerade Anzahl Primfaktoren 2 19
20 Aber 2 ist doch eine gerade Zahl? ungerade Anzahl Primfaktoren 2 20
21 Zahlmengen:!! "! #! $! % 2!! (irrationale Zahl) 2 "" Indirekter Beweis: Gegenteil führt zu Widerspruch Annahme 2 = p q q 2 = p q 2 2 = p 2 d.h. 2!! mal q quadrieren ungerade Anzahl Primfaktoren 2 gerade Anzahl Primfaktoren 2 Annahme 2!! falsch " 2 #! 21
22 Zahlmengen:!! "! #! $! %!eelle Zahlen: Menge der rationalen und der irrationalen Zahlen Ganze Zahlengerade, lückenlos Buchstabe! 0 1 x 22
23 Zahlmengen:!! "! #! $! % Komplexe Zahlen (!omplex Numbers) siehe später 23
24 Zahlmengen:!! "! #! $! % Bruch und Dezimalbruch 1 4 = 1: 4 = 0.25 no problem 1 3 = 1 : 3 = Taschenrechner (approximativ) 1 3 = 1 : 3 = 0.3 Periodizitätsangabe (exakt) 24
25 Betrag (Absolutbetrag) Definition: x = " $ x # %$!x falls falls x & 0 x < 0 Beispiele: 3.7 = 3.7!3.7 = 3.7 a =?!a =? 25
26 Betrag (Absolutbetrag) Definition: x = " $ x # %$!x falls falls x & 0 x < 0 Beispiele: 3.7 = 3.7!3.7 = 3.7 a =?!a =? 26
27 Betrag (Absolutbetrag) Definition: x = " $ x # %$!x falls falls x & 0 x < 0 Beispiele: 3.7 = 3.7!3.7 = 3.7 a =?!a =? 27
28 y = f ( x) = x 2! 1 28
29 y = g( x) = x 2!1 29
30 y = f ( x) = x 2! 1 30
31 y = g( x) = x 2!1 31
32 y = f ( x) = x 2! 1 32
33 y = g( x) = x 2!1 33
34 Symbole {... } Menge { 3, 5, 12}! Element 5!{ 3, 5, 12} " kein Element 4 "{ 3, 5, 12} # Teilmenge { 3, 12} # { 3, 5, 12} $ keine Teilmenge { 3, 4} $ { 3, 5, 12} \ ohne { 3, 5, 12} \ { 3, 12} = { 5} 34
35 A = { 3, 5, 12} A! A = A 2 = {( x, y) x "A, y "A} A! A = A 2 = ( 3, 3), ( 3, 5), ( 3, 12), # % $ % &% ( 12, 3), ( 12, 5), 12, 12 ( 5, 3), ( 5, 5), ( 5, 12), ( ) ' % ( % )% Menge der geordneten + 3, 5 ( ) * ( 5, 3) Zahlenpaare 35
36 A = { 3, 5, 12}, B = { 4, 5, 6, 9} A! B = {( x, y) x "A, y "B} A! B = ( 3, 4), ( 3, 5), ( 3, 6), ( 3, 9), # % $ % &% ( 12, 4), ( 12, 5), ( 12, 6), 12, 9 ( 5, 4), ( 5, 5), ( 5, 6), ( 5, 9), ( ) ' % ( % )% 36
37 A = { 3, 5, 12}, B = { 4, 5, 6, 9} Vertauschte Reihenfolge B! A = ( x, y) x "B, y "A { } B! A = #( 4, 3), ( 4, 5), ( 4, 12), ' % % %( 5, 3), ( 5, 5), ( 5, 12), % $ ( %( 6, 3), ( 6, 5), ( 6, 12), % % % &% ( 9, 3), ( 9, 5), ( 9, 12) )% 37
38 Intervalle [ a,b] = { x!! a " x " b} a abgeschlossenes Intervall [Endpunkte dabei] b x 38
39 Intervalle a,b [ ] = x!! a " x " b { } a abgeschlossenes Intervall [Endpunkte dabei] ( a,b) = ] a,b[ = { x!! a < x < b} b x verschiedene Schreibweisen 39
40 Intervalle [ a,b] = { x!! a " x " b} a abgeschlossenes Intervall [Endpunkte dabei] ( a,b) = ] a,b[ = { x!! a < x < b} b x a b x offenes Intervall (Endpunkte nicht dabei) 40
41 Funktionen Assoziationen? 41
42 Funktion Funktion Funktion Funktion Funktion Funktion Funktion Funktion Funktion Funktion Funktion Funktion Funktion Funktion Funktion Funktion Funktion Funktion 42
43 Funktionen Beispiel: Ideales Gas p = RT V p( T ) = R V T je mehr Temperatur, desto mehr Druck p( V ) = RT V je mehr Volumen, desto weniger Druck 43
44 f : A!! 44
45 Funktionsvorschrift f : A!! Definitionsbereich 45
46 Funktionsvorschrift f : A!! Definitionsbereich x!a! y = f ( x)!" 46
47 Funktionsvorschrift Definitionsbereich Argument Input f : A!! x!a! y = f ( x)!" 47
48 Funktionsvorschrift f : A!! Definitionsbereich x!a! y = f ( x)!" Argument Input Funktionswert, Bild, Output 48
49 Funktionsvorschrift f : A!! Definitionsbereich x!a! y = f ( x)!" Argument Input Funktionswert, Bild, Output Zu jedem x!a gehört genau ein y!! 49
50 Beispiel f :[!2, 3] "! x " y = f ( x) = x 2 Zu jedem x!["2, 3] gehört genau ein y!! 50
51 Wie ist es umgekehrt? Mehrere x-werte mit demselben Funktionswert y = 2 y = 2 Zu jedem x!["2, 3] gehört genau ein y!! 51
52 Lineare Funktion: f ( x) = ax + b f ( x) = 1 2 x
53 Lineare Funktion: f ( x) = ax + b ( ) = 1 2 x f x 1 2 Steigung 1 f ( x) = 1 2 x + 1 Steigung 53
54 Lineare Funktion: f ( x) = ax + b ( ) = 1 2 x f x 1 2 Steigung 1 Achsenabschnitt f ( x) = 1 2 x + 1 Steigung Achsenabschnitt 54
55 Potenzfunktion : f ( x) = x n y = f ( x) = x n Potenzfunktionen für n = 1, 2, 3, 4, 5 55
56 Potenzfunktion : f ( x) = x n y = f ( x) = x 1 Potenzfunktionen für n = 1, 2, 3, 4, 5 Gerade 56
57 Potenzfunktion : f ( x) = x n y = f ( x) = x 2 Potenzfunktionen für n = 1, 2, 3, 4, 5 Parabel 57
58 Potenzfunktion : f ( x) = x n y = f ( x) = x 3 Potenzfunktionen für n = 1, 2, 3, 4, 5 Kubische Parabel 58
59 Potenzfunktion : f ( x) = x n y = f ( x) = x 4 Potenzfunktionen für n = 1, 2, 3, 4, 5 Parabel vierten Grades 59
60 Potenzfunktion : f ( x) = x n y = f ( x) = x 5 Potenzfunktionen für n = 1, 2, 3, 4, 5 Parabel fünften Grades 60
61 Polynomfunktion n-ten Grades: f ( x) = a n x n + a n!1 x n!1 +""" + a 1 x + a 0 y = f ( x) = 0.01x x 4! 0.16x 3! 0.5x x
62 Polynomfunktion n-ten Grades: f ( x) = a n x n + a n!1 x n!1 +""" + a 1 x + a 0 y = f ( x) = 0.01x x 4! 0.16x 3! 0.5x x Nullstellen 62
63 Polynomfunktion n-ten Grades: f ( x) = a n x n + a n!1 x n!1 +""" + a 1 x + a 0 Allgemein: höchstens n Nullstellen 63
64 Rationale (gebrochene) Funktionen: h( x) = Polynomfunktion! f ( x) g( x) " Polynomfunktion Problem: Nullstellen von g( x) 64
65 Beispiel: h x ( ) = f x ( ) ( ) = ( x!1) ( x!3) ( x!2) ( x!4) = x2!4x+3 g x x 2!6x+8 Größtmöglicher Definitionsbereich A =! \ { 2, 4} 65
66 Beispiel: h x ( ) = f x ( ) ( ) = ( x!1) ( x!3) ( x!2) ( x!4) = x2!4x+3 g x x 2!6x+8 Größtmöglicher Definitionsbereich A =! \ { 2, 4} Asymptoten 66
67 Hoch - hoch ( ) = 2 81! " ( 2 3 ) 4 = 8 4 = 4096 Was gibt mehr? 67
68 Hoch - hoch ( 2 34 ) = 2 81! "10 24 ( 2 3 ) 4 = 8 4 = 4096 Quadrillionen 68
69 Hoch - hoch ( 2 34 ) = 2 81! "10 24 ( 2 3 ) 4 = 8 4 =
70 Hoch - hoch ( 2 34 ) = 2 81! "10 24 ( 2 3 ) 4 = 8 4 = 4096 Wenn Klammern fehlen: Oben beginnen ( 2 34 = 2 34 ) = 2 81! "
71 x 4 = xxxx 4 gleiche Faktoren x x 3 = xxx x 2 = xx x 1 = x x 0 = 1 x!1 = 1 x x!2 = 1 x 2 x!3 = 1 x 3 x!4 = 1 x4 71
72 x 4 = xxxx x 3 = xxx x 2 = xx x 1 = x x 0 = 1 x!1 = 1 x x!2 = 1 x 2 x!3 = 1 x 3 x!4 = 1 x4 durch x durch x durch x durch x durch x durch x durch x durch x 72
73 x 4 = xxxx x 3 = xxx x 2 = xx x 1 = x x 0 = 1 x!1 = 1 x x!2 = 1 x 2 x!3 = 1 x 3 x!4 = 1 x4 durch x durch x durch x Da waren es noch zwei! durch x durch x durch x durch x durch x 73
74 x 4 = xxxx x 3 = xxx x 2 = xx x 1 = x x 0 = 1 x!1 = 1 x x!2 = 1 x 2 x!3 = 1 x 3 x!4 = 1 x4 durch x durch x durch x durch x durch x durch x durch x durch x 74
75 passend! x 4 = xxxx x 3 = xxx x 2 = xx x 1 = x x 0 = 1 x!1 = 1 x x!2 = 1 x 2 x!3 = 1 x 3 x!4 = 1 x4 durch x durch x durch x durch x durch x durch x durch x durch x 75
76 Negative Exponenten x 4 = xxxx x 3 = xxx x 2 = xx x 1 = x x 0 = 1 x!1 = 1 x x!2 = 1 x 2 x!3 = 1 x 3 x!4 = 1 x4 durch x durch x durch x durch x durch x durch x durch x durch x 76
77 Potenzfunktionen mit negativen Exponenten y = f ( x) = x!1 = 1 x 77
78 Potenzfunktionen mit negativen Exponenten y = f ( x) = x!1 = 1 x A Definitionsbereich A = { x! 3 " x " 3, x # 0} = [!3, 3] \ { 0} Division durch Null 78
79 Potenzfunktionen mit negativen Exponenten y = f ( x) = x!1 = 1 x A Definitionsbereich A = { x! 3 " x " 3, x # 0} = [!3, 3] \ { 0} Division durch Null 79
80 Potenzfunktionen mit negativen Exponenten y = f ( x) = x!1 = 1 x A { } =!3, 3 [ ] \ 0 [ ) " ( 0, 3] = [!3, 0[ " ] 0, 3] Definitionsbereich A = x! 3 " x " 3, x # 0 A =!3, 0 { } Vereinigung 80
81 Potenzfunktionen mit negativen Exponenten y = f ( x) = x!1 = 1 x Definitionsbereich A = x! 3 " x " 3, x # 0 A { } { } = [!3, 3] \ 0 [ ) " ( 0, 3] = [!3, 0[ " ] 0, 3] A =!3, 0 Vereinigung 81
82 Potenzfunktionen mit negativen Exponenten y = f ( x) = x!1 = 1 x Umgekehrte Proportionalität Je mehr, desto weniger 82
83 Potenzfunktionen mit negativen Exponenten Eine Maschine benötigt 5 Arbeitstage. Wie viele Arbeitstage brauchen 10 Maschinen? Umgekehrte Proportionalität Je mehr, desto weniger 83
84 Ein Mississippidampfer braucht 5 Tage, um den Mississippi hinaufzudampfen. Wie viele Tage brauchen 10 Dampfer? 84
85 Potenzfunktionen mit negativen Exponenten y = f ( x) = x!2 = 1 x 2 Definitionsbereich A =! \ { 0} 85
86 Potenzfunktionen mit negativen Exponenten Coulomb Newton
87 Potenzfunktionen mit negativen Exponenten Räumliche Ausbreitung Quelle Verdoppelung der Distanz ein Viertel der Intensität 87
88 Sicht von Michael Faraday ( ) 88
89 ! " # Gebrochene Exponenten x $ % & = =? x 1 2 ' x 1 2 = x = x 1 = x ( x 1 2 = x ( x ) 0) Allgemein: x p q =! " # x 1 q $ % & p ( q ) = x p q = x p = ( x p ) 1 q ( x ) 0) 89
90 Gebrochene Exponenten! " # x $ % & = x 1 2 ' x 1 2 = x = x 1 = x ( x 1 2 = x ( x ) 0) Allgemein: x p q =! " # x 1 q $ % & p ( q ) = x p q = x p = ( x p ) 1 q ( x ) 0) 90
91 Gebrochene Exponenten! " # x $ % & = x 1 2 ' x 1 2 = x = x 1 = x ( x 1 2 = x ( x ) 0) Allgemein: x p q =! " # x 1 q $ % & p ( q ) = x p q = x p = ( x p ) 1 q ( x ) 0) 91
92 Gebrochene Exponenten! " # x $ % & = x 1 2 ' x 1 2 = x = x 1 = x ( x 1 2 = x ( x ) 0) Allgemein: x p q =! " # x 1 q $ % & p ( q ) = x p q = x p = ( x p ) 1 q ( x ) 0) 92
93 Gebrochene Exponenten y = f ( x) = x 1 2 = x = sqrt( x) 93
94 Gebrochene Exponenten y = f ( x) = x 1 2 = x = sqrt( x) x! 0 Wurzel nicht negativ 94
95 Gebrochene Exponenten y = f ( x) = x 1 2 = x = sqrt( x) x! 0 Wurzel nicht negativ Definitionsbereich A = { x x! 0} 95
96 Umkehrfunktion (inverse Funktion) Funktion : x y = f x ( ) kein Exponent Umkehrfunktion : y x = f 1 ( y) Bezeichnungsproblem : x a y = f!1 ( x) Liestal hin und zurück 96
97 Umkehrfunktion (inverse Funktion) Funktion: x! y = f ( x) kein Exponent Umkehrfunktion: y! x = f [!1 ] y [ ] x Bezeichnungsproblem: x! y = f!1 ( ) ( ) Liestal hin und zurück 97
98 Umkehrfunktion (inverse Funktion) Funktion: x! y = f ( x) kein Exponent Umkehrfunktion: y! x = f [!1 ] y [ ] x Bezeichnungsproblem: x! y = f!1 ( ) ( ) Liestal hin und zurück 98
99 Umkehrfunktion (inverse Funktion) Funktion: x! y = f ( x) kein Exponent Umkehrfunktion: y! x = f [!1 ] y [ ] x Bezeichnungsproblem: x! y = f!1 ( ) ( ) Liestal hin und zurück 99
100 x! y = f ( x) = x 2 Umkehrung: y!? x Existenzproblem : y = 1 kein passendes x Existenzproblem: y =!1 kein passendes x Eindeutigkeitsproblem : y = 2 zwei passende x, Eindeutigkeitsproblem: y = 2 zwei passende x : x 1 = 2 x 2 =! 2 x 1 = 2, x 2 = 2 100
101 x! y = f ( x) = x 2 y = 1 Umkehrung: y!? x Existenzproblem: y =!1 kein passendes x Eindeutigkeitsproblem: y = 2 zwei passende Tiefstapler x : x 1 = 2 x 2 =! 2 101
102 y = 2 x! y = f ( x) = x 2 y = 1 Umkehrung: y!? x Existenzproblem: y =!1 kein passendes x Eindeutigkeitsproblem: y = 2 zwei passende x : x 1 = 2 x 2 =! 2 102
103 Funktion und Umkehrfunktion A Funktion y = f ( x) = x 2 Eingeschränkter Definitionsbereich für f A = { x x! 0} Umkehrfunktion [ ] x g( x) = f "1 ( ) = x 103
104 Funktion und Umkehrfunktion y = x A Funktion y = f ( x) = x 2 Eingeschränkter Definitionsbereich für f A = { x x! 0} Umkehrfunktion [ ] x g( x) = f "1 ( ) = x Spiegelachse y = x 104
105 Funktion und Umkehrfunktion A Funktion y = f ( x) = x 2 Eingeschränkter Definitionsbereich für f A = { x x! 0} Der kleine Unterschied Umkehrfunktion [ ] x g( x) = f "1 ( ) = " x Der kleine Unterschied
106 Funktion und Umkehrfunktion A y = x Funktion y = f ( x) = x 2 Eingeschränkter Definitionsbereich für f A = { x x! 0} Umkehrfunktion [ ] x g( x) = f "1 ( ) = " x Spiegelachse y = x
107 Funktion und Umkehrfunktion Wie finden wir die Umkehrfunktion? (1) x y x und y vertauschen (2) nach y auflösen 107
108 Funktion und Umkehrfunktion Beispiel: y = 1 2 x + 1 ( 1) x! y x = 1 2 y + 1 ( 2) nach y auflösen 1 2 y = x " 1 y = 2x " 2 108
109 Funktion und Umkehrfunktion Beispiel: y = 1 2 x + 1 ( 1) x! y x = 1 2 y + 1 ( 2) nach y auflösen 1 2 y = x " 1 y = 2x " 2 109
110 Funktion und Umkehrfunktion Beispiel: y = 1 2 x + 1 ( 1) x! y x = 1 2 y + 1 ( 2) nach y auflösen 1 2 y = x " 1 y = 2x " 2 110
111 Funktion und Umkehrfunktion Beispiel: y = 1 2 x + 1 ( 1) x! y x = 1 2 y + 1 ( 2) nach y auflösen 1 2 y = x " 1 y = 2x " 2 111
112 Funktion und Umkehrfunktion Funktion: y = 1 2 x
113 Funktion und Umkehrfunktion Funktion: y = 1 2 x + 1 Umkehrfunktion: y = 2x! 2 113
114 Funktion und Umkehrfunktion Funktion: y = 1 2 x + 1 Umkehrfunktion: y = 2x! 2 Spiegelachse y = x 114
115 Funktion f Definitionsbereich von f Umkehrfunktion f [!1 ] x 2 [ 0," ) x x 3 3! x e x! ln( x) 10 x! log 10 ( x) sin x ( ) $! # 2, # 2 % & ' arcsin ( x) cos( x) [ 0,# ] arccos( x) tan( x) (! # 2, # ) arctan ( x) 2 115
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