Analysis I. Skript. von Maximilian Schlund

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1 Analysis I Dozent: Prof. Suris Wintersemester 2006/07 Analysis I Skript von Maximilian Schlund Man beachte bitte, dass dies lediglich die L A TEX-Version meiner Mitschrit ist und kein offizielles Skript des Lehrstuhls oder des Dozenten! Ohne Gewähr und ohne Anspruch auf Vollständigkeit oder Richtigkeit. (Konstruktive) Kritik/Verbesserungsvorschläge/Korrekturen gerne per Mail an mich. (Nachname at in Punkt tum Punkt de)

2 INHALTSVERZEICHNIS 1 Inhaltsverzeichnis 0 Organisatorisches 1 1 Natürliche Zahlen 2 2 Ganze Zahlen, rationale Zahlen 4 3 Weitere Anwendungen der Induktion 8 4 Weitere Eigenschaften des Körpers Q 12 5 Reelle Zahlen 14 6 Reelle Folgen und Konvergenz 22 0 Organisatorisches Website der Vorlesung: www-lm.ma.tum.de/an1m067/ 0.1 Literatur O. Foster, Analysis1, Vieweg K. Königsberger, Analysis1, Springer V. Zorich, Mathematical analysis, Vol I, Springer, 2003 B. Gelbbaum, J. Olmsted, Counterexamples in analysis, Notation, Begriffe a A (a ist Element von A) A B (A ist Teilmenge von B) A B = {a a A und a B} (Durchschnitt) A B = {a a A oder a B} (Vereinigung) A \ B = {a a A und a / B} (Differenz) A B = {(a,b) a A,b B} (Menge aller geordneten Paare a,b) : für alle..., : existiert... oder es gibt... f : A B (Abbildung/Funktion) := heißt: ist definiert durch... Eine Relation auf A ist eine Teilmenge von A A N - natürliche Zahlen Z - ganze Zahlen Q - rationale Zahlen R - reelle Zahlen C - komplexe Zahlen Die Analysis beschäftigt sich mit: Grenzwerten, Stetigkeit, Differentiation, Integral Grenzprozesse

3 1 Natürliche Zahlen 2 1 Natürliche Zahlen N = {1,2,3,...}, N 0 = {0,1,2,3,...} 1.1 Peano-Axiome für N 0 : N 0 sei eine Menge mit einem ausgezeichneten Element 0 und einer Operation (Abbildung) ν : N 0 N 0 (Nachfolger-Abbildung) mit folgenden Eigenschaften: (P1) 0 / ν(n 0 ) (Kein Element in N 0 hat 0 als Nachfolger) (P2) x y ν(x) ν(y) (Verschiedene Elemente haben verschiedene Nachfolger) (P3) Das Induktionsaxiom: Sei M N 0 eine Teilmenge mit zwei Eigenschaften: a) 0 M b) x M ν(x) M Dann ist M = N 0 Man kann beweisen, dass alle Mengen mit diesen drei Eigenschaften gleich beschaffen (isomorph) sind. Man kann das Induktionsaxiom verwenden um: neue Begriffe zu definieren Sätze oder bestimmte Eigenschaften zu beweisen Definition 1.1 (Addition von natürlichen Zahlen) + : N 0 N 0 N 0 definiert man induktiv folgendermaßen: (wir schreiben a + b statt +(a,b) ) (I1) a + 0 = a (I2) a + ν(b) = ν(a + b) Laut dem Axiom (P3) ist die Addition für alle a,b N 0 definiert. Satz 1.2 (Eigenschaften der Addition) (a + b) + c = a + (b + c) a,b,c N 0 (Assoziativgesetz) a + b = b + a a,b N 0 (Kommutativgesetz) Allgemeine Bemerkung: Um eine Aussage über alle natürlichen Zahlen c zu beweisen, macht man zwei Schritte: (I1) Induktionsbasis: beweise die Aussage für c = 0 (I2) Induktionsschritt: beweise, dass aus der Aussage für c die Aussage für ν(c) folgt

4 1.1 Peano-Axiome für N 0 : 3 Beweis: Wir beweisen das Assoziativgesetz per Induktion bezüglich c (I1) (a + b) + 0 Def1.1(I1) = a + b Def1.1(I1) = a + (b + 0) (was für c = 0 zu beweisen war) (I2) Angenommen die Assoziativität gilt für irgendeine natürliche Zahl c N 0. Betrachte (a+b)+ν(c) Def1.1(I2) = ν((a+b)+c) IA = ν(a+(b+c)) Def1.1(I2) = a + ν(b + c) Def1.1(I2) = a + (b + ν(c)) (was für ν(c) zu beweisen war) Das beweist das Assoziativgesetz! Beweis des Kommutativgesetzes : Zuerst beweisen wir, dass 0 + a = a (= a + 0) per Induktion bezüglich a }{{} siehe Def1.1 (I1) = 0 (laut (I1) der Definition 1.1) (I2) Angenommen es gilt: 0 + a = a, dann: 0 + ν(a) Def1.1(I1) = ν(0 + a) IA = ν(a) (was zu beweisen war) (1 := ν(0)) Merke: a + 1 = a + ν(0) Def1.1(I2) = ν(a + 0) = ν(a) ν(a) = a + 1 Wir beweisen nun, dass n N 0 gilt:1 + a = ν(a) (= a + 1) }{{} gerade gezeigt Wir beweisen per Induktion bezüglich a (I1) Def1.1(I1) = 1 = ν(0) (I2) Annahme es gilt: 1 + a = ν(a) Dann: 1 + ν(a) Def1.1(I2) = ν(1 + a) IA = ν(ν(a)) = ν(a) + 1 (was zu beweisen war) Endlich beweisen wir, dass a,b N 0 : a + b = b + a. Dies beweisen wir per Induktion bezüglich b. (I1) a + 0 = 0 + a (wurde bereits bewiesen) (I2) Angenommen es gilt a+b = b+a, dann gilt: a+ν(b) Def1.1(I2) = ν(a+b) = 1 + (a + b) (es wurde bereits bewiesen, dass ν(n) = 1 + n) IA = 1 + (b + a) Assoziativgesetz = (1 + b) + a = ν(b) + a (was zu beweisen war) Definition 1.3 (Multiplikation) : N 0 N 0 N 0 (man schreibt a b statt (a,b)) ist folgendermaßen definiert: (I1) a 0 = 0 a N 0 (I2) a ν(b) = a b + a a,b N 0 Satz 1.4 (Übliche Eigenschaften der Multiplikation) a (b + c) = a b + a c a,b,c N 0 (1. Distributivgesetz)

5 2 Ganze Zahlen, rationale Zahlen 4 (a + b) c = a c + b c a,b,c N 0 (2. Distributivgesetz) (a b) c = a (b c) a,b,c N 0 (Assoziativgesetz) a 1 = 1 a = a a N 0 (neutrales Element/Einselement) a b = b a a,b N 0 (Kommutativgesetz) 2 Ganze Zahlen, rationale Zahlen 2.1 Ganze Zahlen Wir suchen Lösungen zu derartigen Gleichungen: 5 + x = 3 Problem: Keine Lösung N 0. Lösung: Erweiterung zu den ganzen Zahlen. Wir wollen die Lösung als Paar von natürlichen Zahlen auffassen (das dann als 2 interpretiert werden). Ein solches Paar wäre (3,5) aber auch (1,3) oder (98,100). Wir wollen alle solchen Paare als äquivalent deklarieren. (3,5) (1,3) (0,2) (100,102)... Allgemeiner: Es wird eine Relation auf der Menge N 0 N 0 von Paaren von natürlichen Zahlen eingeführt. (m 1,n 1 ) (m 2,n 2 ) m 1 + n 2 = m 2 + n 1 Eine Relation heißt Äquivalenzrelation, wenn sie reflexiv ist, d.h. (m, n) (m, n) symmetrisch ist, d.h. (m 1,n 1 ) (m 2,n 2 ) (m 2,n 2 ) (m 1,n 1 ) transitiv ist, d.h. aus (m 1,n 1 ) (m 2,n 2 ) und (m 2,n 2 ) (m 3,n 3 ) folgt (m 1,n 1 ) (m 3,n 3 ) Sobald man eine Äquivalenzrelation auf X hat, kann man die Äquivalenzklassen der x X definieren: ÄK(x) = {y X,y x} Eigenschaften: Wenn ÄK(x 1) ÄK(x 2) dann ÄK(x 1) ÄK(x 2) = Die Vereinigung aller Äquivalenzklassen ist die ganze Menge X. In unserem Fall: X = N 0 N 0, die Relation wurde oben definiert. Definition 2.1 (Ganze Zahlen) Die Menge Z von ganzen Zahlen ist die Menge der Äquivalenzklassen von N 0 N 0 bezüglich der obigen Relation (m 1,n 1 ) (m 2,n 2 ) m 1 + n 2 = m 2 + n 1 Daraus folgt, dass die natürlichen Zahlen eine Teilmenge der ganzen Zahlen bilden (N 0 Z) falls man N 0 n = ÄK(n,0) identifiziert. Die negativen ganzen Zahlen definiert man als n := ÄK(0,n).

6 2.1 Ganze Zahlen 5 Also: 0 = {(0,0),(1,1),(2,2)...} 1 = {(1,0),(2,1),(3,2)...}. 2 = {(0,2),(1,3),(2,4)...}. 23 = {(0,23),(1,24),(2,25)...} Definition 2.2 (Operationen mit ganzen Zahlen) Es seien a,b Z, a = ÄK(m 1,n 1 ), b = ÄK(m 2,n 2 ) Dann definiert man: a + b := ÄK(m 1 + m 2,n 1 + n 2 ) a b := ÄK(m 1m 2 + n 1 n 2,m 1 n 2 + m 2 n 1 ) Informelle Erklärung: Man denke sich a als a = m 1 n 1 und b als b = m 2 n 2 Dann soll die Additon so definiert sein, dass a + b = (m 1 + m 2 ) (n 1 + n 2 ) ergibt und die Multiplikation soll so definiert sein, dass gilt: a b = (m 1 n 1 ) (m 2 n 2 ) = (m 1 m 2 + n 1 n 2 ) (m 1 n 2 + n 1 m 2 ) Man muss überprüfen, dass die in Definition 2.2 definierten Operationen wohl definiert sind, d.h. unabhängig von der Wahl der Repräsentanten (m 1,n 1 ) für a und (m 2,n 2 ) für b sind. (Man zeigt z.b. dass aus (m 1,n 1 ) ( m 1,ñ 1 ) und (m 2,n 2 ) ( m 2,ñ 2 ) folgt, dass (m 1,n 1 ) + (m 2,n 2 ) ( m 1,ñ 1 ) + ( m 2,ñ 2 )) Bemerkung: Auf N 0 N 0 Z Z stimmen die neuen Operationen mit den alten überein, denn für a = ÄK(a,0), b = ÄK(b,0) N 0 hat man a + b = ÄK(a + b,0) und a b = ÄK(a b,0) Satz 2.3 Die Operationen + und haben auf Z Z die üblichen Eigenschaften aus den Sätzen 1.2 und 1.4: (A1) (a + b) + c = a + (b + c) a,b,c Z (A2) a + b = b + a a,b Z (A3) a + 0 = 0 + a = a a Z (M1) (a b )c = a (b c) a,b,c Z (M2) a b = b a a,b Z (M3) a 1 = 1 a = a a Z (D) a (b + c) = a b + a c a,b,c Z

7 2.2 Rationale Zahlen 6 Beweis: Einfach, aber langweilig... z.b. für (A2) a = ÄK(m 1,n 1 ), b = ÄK(m 2,n 2 ) dann ist a + b = ÄK(m 1 + m 2,n 1 + n 2 ) = ÄK(m 2 + m 1,n 2 + n 1 ) = b + a (d.h. die Eigenschaften für die Operationen auf Z folgen immer aus den entsprechenden Eigenschaften für N 0 ) Definition 2.4 (Die Negative) Für a = ÄK(m,n) setzt man: a = ÄK(n,m) Satz 2.5 (Grundeigenschaft der Negativen) (A4) a + ( a) = ( a) + a = 0 a Z Beweis: a + ( a) = ÄK(m,n) + ÄK(n,m) = ÄK(m + n,m + n) = 0 Definition 2.6 (Subtraktion) a b := a + ( b) a,b Z Diese Zahl a b ist die (eindeutige) Lösung der Gleichung b + x = a Für a = ÄK(a,0), b = ÄK(b,0) N 0 gilt: a b = ÄK(a,0) + ÄK(0,b) = ÄK(a, b) a = ÄK(m,n) a = m n Für a = ÄK(m,n) Z gilt genau eine der 3 folgenden Möglichkeiten: entweder m = n, dann a = 0 oder: kann man m aus n durch das sukzessive Bilden von Nachfolgern gewinnen, dann schreibt man a > 0 oder: kann man n aus m durch das sukzessive Bilden von Nachfolgern gewinnen, dann schreibt man a < 0 Satz 2.7 (Anordnung von Z) (O1) a Z gilt genau eine der Möglichkeiten: entweder a > 0 oder a = 0 oder a > 0 a < 0 (O2) a > 0 und b > 0 a + b > 0 (O2) a > 0 und b > 0 a b > Rationale Zahlen Wir können die Gleichung a x = b a,b Z nicht immer lösen. z.b.: 3x = 2 oder 5x = 2. Wir sagen, dass das Paar (2,3) die erste, und das Paar ( 2,5) die zweite Gleichung löst. hierbei soll gelten (2,3) (4,6) (6,9) ( 100, 150)...

8 2.2 Rationale Zahlen 7 Definition 2.8 (Rationale Zahlen) Die Menge Q von rationalen Zahlen ist die Menge von Äquivalenzklassen von Paaren (m,n) mit m,n Z, n 0 bezüglich der neuen Äquivalenzrelation (m 1,n 1 ) (m 2,n 2 ) m 1 n 2 = m 2 n 1 Die Elemente m := ÄK(m,1) = {(m,1),(2m,2),( 2m,2),(23m,23)...} werden mit den ganzen Zahlen Z identifiziert. Somit ist Z Q. Eigentlich noch zu zeigen: ist eine Äquivalenzrelation! Definition 2.9 (Operationen mit rationalen Zahlen) Es seien a = ÄK(m 1,n 1 ), b = ÄK(m 2,n 2 ) Q Man definiert: a + b := ÄK(m 1n 2 + m 2 n 1,n 1 n 2 ) a b := ÄK(m 1m 2,n 1 n 2 ) Zu zeigen: Summe und Produkt sind wohl definiert d.h. unabhängig von der Wahl der Repräsentanten (m 1,n 1 ) für a und (m 2,n 2 ) für b. Auf Z Z Q Q stimmen die neuen Operationen mit den alten überein: a = ÄK(a,1), b = ÄK(b,1) Z, dann gilt: a + b = ÄK(a b,1 1) = ÄK(a + b,1) a b = ÄK(a b,1 1) = ÄK(a b,1) Satz 2.10 (Eigenschaften der Addition und Multiplikation auf Q) Die Operationen + : Q Q Q und : Q Q Q haben die Eigenschaften (A1) bis (A4) und (M1) bis (M3) und (D). Beweis: folgt direkt aus den entsprechenden Eigenschaften für Z Definition 2.11 (Die Inverse) Für a = ÄK(m,n) Q mit m 0 setzen wir a 1 = 1 a := ÄK(n,m) Q Satz 2.12 (Eigenschaften der Inversen) (M4) a a 1 = a 1 a = 1 a Q Beweis: a a 1 = ÄK(m,n) ÄK(n,m) = ÄK(mn,mn) = 1 Definition 2.13 (Division von rationalen Zahlen) a b := a b 1 a Q,b Q \ {0} Diese Zahl ist die (eindeutige) Lösung der Gleichung b x = a (b 0) Für a = ÄK(a,1) Z,b = ÄK(b,1) Z \ {0} gilt: = ÄK(a,1) ÄK(1,b) = ÄK(a,b) a b Also: a = ÄK(m,n) Q a = m n Definition 2.14 (Körper) Eine Menge K mit zwei binären Operationen + : K K K und : K K K mit den Eigenschaften (A1) bis (A4), (M1) bis (M4) und (D) heißt ein Körper.

9 3 Weitere Anwendungen der Induktion 8 Q ist ein Körper Definition 2.15 Die Zahl a Q heißt positiv, wenn die ÄK von a ein Paar (m,n) mit m,n N enthält. (dann sind es unendlich viele solche Paare (lm,ln) mit l N) Satz 2.16 (Anordnung der Rationalen Zahlen) Für Q gelten die Eigenschaften (O1) bis (O3) aus dem Satz 2.7 Beweis: selbst überprüfen! Definition 2.17 (Angeordneter Körper) Ein Körper K heißt ein angeordneter Körper, falls es P K gibt derart, dass gilt: (O1) x K gilt genau eine der drei Aussagen: x P oder x = 0 oder x P (O2) x,y P x + y P (O3) x,y P x y P Somit ist Q ein angeordneter Körper (setze P gleich der Menge der positiven rationalen Zahlen). Schreibweise: x P x > 0 a > b a b > 0 ( a b P) a < b b a > 0 b > a a b (a > b oder a = b) a b (a < b oder a = b) Eigenschaften: x > y und a > 0 a x > a y x > y und a < 0 a x < a y x 2 = x x > 0 x 0 (Insbesondere 1 = 1 1 > 0) 3 Weitere Anwendungen der Induktion zur Erinnerung: Induktion kann benutzt werden für: Beweise Definitionen Satz 3.1 n N : n = 1 2n(n + 1)

10 3 Weitere Anwendungen der Induktion 9 Beweis: (I1) für n = 1 : 1 = 1 (I2) n n+1: n+(n+1) = 1 2 n(n+1)+(n+1) = (n+1)(1 2 n+1) = (n + 1)(n + 2), d.h. die Aussage für n Satz 3.2 n N, x K,x 1 gilt: 1 + x + x 2 + x x n = 1 xn+1 1 x Beweis: (I1) für n = 1 : 1 + x = 1 x2 1 x = 1 + x (I2) Angenommen, die Aussage gilt für n, dann gilt auch: 1+x+x 2 + +x n +x n+1 = 1 xn+1 1 x n+2 1 x 1 x, das ist die Aussage für n + 1 Satz 3.3 (Bernoullische Ungleichung) Sei x > 1 in einem angeordneten Körper K. Dann gilt n N 0 : (1 + x) n 1 + nx Beweis: (I1) für n = 0 : 1 1 +xn+1 = 1 xn+1 +x n+1 (1 x) 1 x = 1 xn+1 +x n+1 +x n+2 1 x = (I2) n n + 1: (1 + x) n+1 = (1 + x) n (1 + x) (1 + nx)(1 + x) = 1 + nx + x + 0 {}}{ nx (n + 1)x, mit > statt, sobald x 0. Also stimmt die Ungleichung auch für n + 1 und somit für alle n N 0 Definition 3.4 (Summen-/Produktzeichen) Es sei a : N 0 K eine Folge (man schreibt a k statt a(k)) Dann definiert man: (I1) 0 0 a k := 0 a k := 1 k=1 k=1 k=1 (leere Summe, bzw. leeres Produkt) (I2) n+1 n n+1 n a k := ( a k ) + a n+1 a k := ( a k ) a n+1 k=1 k=1 k=1 Somit sind n k=1 a k und n k=1 a k für alle n N 0 definiert. Definition 3.5 (Fakultät) n! := insbesondere ist 0! = 1 (leeres Produkt) n k k=1

11 3 Weitere Anwendungen der Induktion 10 Definition 3.6 (Binomialkoeffizienten) für n,m N : ( ) n := m m k=1 n k + 1 k Man spricht ( ) n m : m aus n. Es ist: ( ) n m = n(n 1)(n 2)...(n m+1) m und insbesondere ( ( n 0) = 1, n ( 1) = n, n ) 2 = n(n 1) 2 Satz 3.7 (Kombinatorische Deutung von n! und ( n m) ) a) n! = Anzahl von verschiedenen Anordnungen einer Menge aus n Elementen. b) ( n m) = Anzahl von verschiedenen m-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge. Beweis: a) Wähle das 1. Element- es gibt n Möglichkeiten, dann das 2. Element aus den restlichen (n 1), für die Wahl des 3. Elementes stehen noch (n 2) zur Verfügung, usw. Anzahl von verschiedenen Möglichkeiten: n (n 1) (n 2) (n 3) 2 1 = n! b) Um eine m-elementige Menge zu wählen, hat man n Möglichkeiten für die Wahl des 1. Elements, (n 1) für die Wahl des 2. Elements, usw. und schließlich (n m + 1) Möglichkeiten für die Wahl des m-ten Elements. Jede m- elementige Menge wurde dabei m! mal berücksichtigt. Die resultierende Anzahl: n(n 1)(n 2)...(n m+1) m ( ) n n(n 1)...(n m + 1) n(n 1)...(n m + 1)(n m)...1 = = = m m! m!(n m)! Aus dieser Darstellung sieht man die Symmetrie: ( ) ( ) n n = m n m Hilfssatz 3.8 (Pascalsche Regel) Für 0 < n gilt: ( ) ( n n 1 = m m Beweis: ( n 1 m ) + ( ) n 1 = m 1 ) + ( ) n 1 m 1 (n 1)! m!(n m 1)! + (n 1)! (m 1)!(n m)! = (n 1)! (m 1)!(n m)! ((n m) + m) = n! m!(n m)! n! (n m)!m!

12 3 Weitere Anwendungen der Induktion 11 Pascalsches Dreieck: n = 0 : 1 n = 1 : 1 1 n = 2 : n = 3 : n = 4 : n = 5 : m = 0 m = 1 Bsp.: 10 = Satz 3.9 (Binomischer Satz) Für x,y K und für n N 0 gilt: Beweis: (I1) n = 0: 1 = 1 m = 2 ) ( 5 3 (x + y) n = = n k=0 ( 4 3 m = 3 ) ) + ( 4 2 ( ) n x n k y k k = (I2) n n + 1 Angenommen, die Aussage gilt für n, so gilt: m = 4 m = 5 (x + y) n+1 =(x + y) n (x + y) = (x + y) n x + (x + y) n y n ( ) n n ( ) n x n k y k x + x n k y k y = k k k=0 k=0 n ( ) n n ( ) n x n k+1 y k + x n k y k+1 (k+1=l) = k k k=0 k=0 n ( ) n+1 n ( ) n x n k+1 y k + x n l+1 y l (k=l) = k l 1 k=0 l=1 n ( ) n+1 n ( ) n x n k+1 y k + x n k+1 y k = k k 1 k=0 k=1 ( ) n n [( ) ( )] ( ) n n n x n x n k+1 y k + y n+1 Pascalregel = 0 k k 1 n k=1 ( ) n + 1 n ( ) ( ) n + 1 n + 1 x n+1 + x n k+1 y k + y n+1 = 0 k n + 1 k=1 n+1 ( ) n + 1 x n k+1 y k k k=0 IV =

13 4 Weitere Eigenschaften des Körpers Q 12 also die Behauptung für n + 1. Somit ist der Satz per Induktion bewiesen 4 Weitere Eigenschaften des Körpers Q Definition 4.1 (Absoluter Betrag) Für ein x Q: x := { x falls x 0 x falls x < 0 Satz 4.2 a) Es gilt: x 0 x Q und x = 0 x = 0 } = max(x, x) b) Multiplikative Eigenschaft: x y = x y x,y Q c) Dreiecksungleichung: x + y x + y x,y Q Beweis: a) folgt aus der Definition. b) Fall 1: Fall 2: x 0 y < 0 x,y 0 xy 0; xy = xy = x y } x y 0; xy = xy = x ( y) = x y usw. (analog für die anderen 2 Fälle) c) x x y y x x y y } } x + y x + y (x + y) = ( x) + ( y) x + y x + y = max(x + y, (x + y)) x + y Folgerung 4.3 d) x = x x Q e) x y = x y x,y Q,y 0 f) x y x y x,y Q

14 4 Weitere Eigenschaften des Körpers Q 13 zu f): Aus y + (x y) = x und c) folgt: Analog: vertausche x und y: y + x y x x y x y x y y x Daher: x y max( x y, y x ) = x y Satz 4.4 (Archimedische Eigenschaft von Q) Für eine beliebige positive rationale Zahl x Q, x > 0 existiert ein n N mit n > x. Äquivalent: Für eine beliebige positive rationale Zahl ε Q, ε > 0 existiert ein n N mit 1 n < ε WARNUNG: Es gibt auch angeordnete Körper ohne Archimedische Eigenschaft! Beweis: Es sei x = p q p,q N p > 0,q 1 Setze: n := p + 1 n = p + 1 > p p q Geometrische Interpretation von rationalen Zahlen (Zahlengerade): p q q q q q x = p q hier z.b. q = 10 und p = 14 Satz 4.5 (Keine Löcher zwischen rationalen Zahlen) Seien x 1 < x 2 zwei rationale Zahlen. Dann existiert y Q zwischen x 1 und x 2. Beweis: Es seien x 1 = p1 q 1 < x 2 = p2 q 2 mit p 1,p 2 Z; q 1,q 2 N Dann gilt: p 1 < p 1 + p 2 < p 2 q 1 q 1 + q 2 q 2 Tatsächlich: für die linke Ungleichung: p 1 (q 1 + q 2 ) < q 1 (p 1 + p 2 ) p 1 q 2 < p 2 q 1 p 1 q 1 < p 2 q 2 was nach Voraussetzung wahr ist. (Rechte Seite analog)

15 5 Reelle Zahlen 14 ABER: Nicht jeder Punkt der Zahlengeraden entspricht einer rationalen Zahl! x Dieser Punkt ist keine rationale Zahl! Nach dem Satz des Pythagoras gilt: x 2 = = 2 Satz 4.6 Es gibt keine rationale Zahl x Q mit x 2 = 2 Beweis: Angenommen x = p q Q und x2 = 2 p 2 = 2q 2. Nehme einen solchen Bruch mit dem kleinstmöglichen q (dieser existiert für alle x Q siehe ZÜ7) Dann gilt: q < p < 2q. Aber dann für x = 2q p p q gilt: (x ) 2 = (2q p)2 (p q) 2 = 4q2 4qp + p 2 (p 2 =2q 2 ) 6q 2 4pq p 2 2pq + q 2 = 3q 2 2pq = 2 Aber der Nenner von x ist p q < q also kleiner als der Nenner von x. Widerspruch zur Annahme es gebe solch einen Bruch! 5 Reelle Zahlen Definition 5.1 (Dedekindscher Schnitt) Eine Teilmenge R Q, (R, R Q) heißt eine Schnittobermenge, falls: mit jeder Zahl r R gilt auch r R für alle r > r, r Q R enthält kein minimales Element: r R r R mit r < r Dann heißt L := Q \ R (L, L Q) Schnittuntermenge Das Paar α := (L,R) heißt ein (Dedekindscher) Schnitt; Zahlen r R heißen Oberzahlen bei α, Zahlen l L heißen Unterzahlen bei α Merke: es gilt: r R,l L : l < r mit jedem l L gilt auch l L für alle l Q, l < l Beispiel 1: Es sei x Q. Dann ist α = (L x,r x ) mit R x := {y Q; y > x} und

16 5 Reelle Zahlen 15 L x := {y Q; y x} ein Schnitt, den wir der Zahl x Q zuordnen. Für solche Schnitte enthält L x ein maximales Element (nämlich x). Beispiel2: R := {y Q; y 2 > 2} L := {y Q; y 0 oder (y > 0 und y 2 < 2)} Wir zeigen, dass (L,R) ein Schnitt ist, bei dem L kein maximales Element enthält. Zu zeigen ist: r > 0 und r 2 > 2 r > 0 und (r ) 2 > 2 r > r zu jedem r > 0 mit r 2 > 2 gibt es 0 < r < r mit (r ) 2 > 2 Wir zeigen dies, sowie: zu jedem l > 0 mit l 2 < 2 gibt es l > l mit (l ) 2 < 2 Nehme x Q, x > 0. Setze: Dann gilt: x = x(x2 + 6) 3x x > 0 a) x x = x(x2 + 6) 3x x = x(x2 + 6) x(3x 2 + 2) 3x 2 = 2x(2 x2 ) + 2 3x b)(x ) 2 2 = x6 + 12x x 2 (3x 2 + 2) 2 2 = x6 6x x 2 8 (3x 2 + 2) 2 = (x2 2) 3 (3x 2 + 2) 2 Also: x 2 < 2 (x x > 0 x > x) und (x ) 2 < 2 x 2 > 2 (x x < 0 x < x) und (x ) 2 > 2 Dieser Schnitt wird (nach der Definition 5.2) 2 heißen. L R x<0 x mit x²<2 x* mit (x*)²<2 x* mit (x*)²>2 x mit x²>2 Definition 5.2 (Reelle Zahlen) R ist die Menge aller Dedekindschen Schnitte. Q R wird erklärt als die Menge von Schnitten, bei denen die Schnittuntermenge ein maximales Element besitzt, d.h. die Menge von Schnitten der Gestalt (L x,r x ) aus Beispiel 1. Schnitte α = (L, R) bei denen L kein maximales Element enthält, heißen irrationale Zahlen. Somit ist 2 aus Beispiel 2 eine irrationale Zahl.

17 5 Reelle Zahlen 16 Definition 5.3 (Anordnung reeller Zahlen) Seien α 1 = (L 1,R 1 ) R, α 2 = (L 2,R 2 ) R zwei Schnitte. Man sagt, dass α 1 < α 2 falls es eine Oberzahl r 1 R bei α 1 gibt, die eine Unterzahl bei α 2 ist, d.h. falls r 1 R 1 und r 1 L 2 ( r 1 R 1 und r 1 / R 2 ) Es ist leicht einzusehen, dass für alle α 1,α 2 R genau eine der drei Möglichkeiten gilt: α 1 < α 2 oder α 1 = α 2 oder α 1 > α 2 Eines muss gelten: sollte R 1 R 2 sein, so r 1 R 1 mit r 1 / R 2 oder r 2 R 2 mit r 2 / R 1 Sie schließen einander aus: angenommen α 1 < α 2, d.h. r 1 R 1, r 1 L 2. Dann gilt für alle r 2 R 2 : r 1 < r 2. Das bedeutet: r 2 R 1 also R 2 R 1 (R 1 R 2 ) Analog zu zeigen: α 1 > α 2 impliziert R 1 R 2 (R 1 R 2 ) R1 R2 1 2 R2 R1 2 1 Satz und Definition 5.4 (Addition reeller Zahlen) Seien α 1 = (L 1,R 1 ) R, α 2 = (L 2,R 2 ) R zwei Schnitte. Dann ist: R 1 + R 2 := {r 1 + r 2 ;r 1 R 1 und r 2 R 2 } eine Schnittobermenge. Der entsprechende Schnitt heißt α 1 + α 2. Beweis: es ist zu zeigen: mit jeder Zahl r = r 1 + r 2 R 1 + R 2 gehören auch alle r > r zu R 1 + R 2 zu jedem r = r 1 + r 2 R 1 + R 2 gibt es r R 1 + R 2 mit r < r R 1 + R 2 Q (offensichtlich, da l 1 + l 2 / R 1 + R 2 für l 1 L 1, l 2 L 2 da L 1 L 2 ) Zu der ersten Eigenschaft: Es sei r = r 1 + r 2 R 1 + R 2 und r Q, r > r. Dann sei r = r 1 + r 2 mit r 1 = r 1 + (r r), r 1 > r 1 r 1 R 1 Zu der zweiten Eigenschaft: Es sei r = r 1 + r 2 R 1 + R 2. Dann gibt es r1 R 1, r2 R 2 mit r1 < r 1, r2 < r 2. Es gilt: r := r1 + r2 R 1 + R 2 und r < r

18 5 Reelle Zahlen 17 Wir zeigen nun: (A1)-(A4) gelten für die so eingeführte Addition. (A1),(A2) folgen unmittelbar aus den entsprechenden Eigenschaften der rationalen Zahlen. (A3) Existenz von 0 R mit: α + 0 = 0 + α = α α R 0 = (L 0,R 0 ), wobei L 0 = {y Q; y 0} und R 0 = {y Q; y > 0} zu zeigen: R + R 0 = R für eine beliebige Schnittobermenge R. Beweis: Wir zeigen: R + R 0 R. Man nehme r + r 0 R + R 0. r 0 R 0 r 0 > 0 r + r 0 > r R r + r 0 R Nun zeigen wir, dass R R + R 0. Dazu nehme man r R. Es gibt r R mit r < r. Damit gilt: r = }{{} r +(r r ) R + R 0 }{{} R R 0 Lemma 5.5 Es sei α = (L,R) ein Schnitt, dann gilt: ε > 0 (ε Q) gibt es l L und r R mit 0 < r l < ε Beweis: Nehme l 1 L, r 1 R. Laut der Archimedischen Eigenschaft von Q gibt es ein N N mit N > r1 l1 ε. Betrachte N + 1 Zahlen x k = l 1 + r1 l1 N k, k = 0,1,2,...,N Dann gilt: x 0 = l 1 L und x N = r 1 R. Es gibt unter x n die letzte Zahl aus L und die erste Zahl aus R. Sie sollen l bzw. r heißen. Also: 0 < r l = r1 l1 N < ε. (A4) ( α) + α = α + ( α) = 0 Sei α = (L,R) ein Schnitt. Setze α := ( L, R) mit L := {y Q; y R}, R := {y Q; y L}, falls α irrational L := {y Q;y x}, R := {y Q;y > x} falls α = x Q Zu zeigen: R + R = R 0 a) R + R R 0 : es seien r R, r R r = l mit l L. Dann r + r = r l > 0, d.h. r + r R 0 b) R 0 R + R: nach Lemma 5.5, gibt es zu jeder y R 0 die Zahlen. r R, l L mit y 1 := r l < y. Setze r := l + (y y 1 ) > l, so dass r R. Es gilt: r + r = r l + y y 1 = y Satz und Definition 5.6 (Multiplikation positiver reeller Zahlen) Seien α 1 = (L 1,R 1 ), α 2 = (L 2,R 2 ) Schnitte, α 1 > 0,α 2 > 0. Dann ist R 1 R 2 := {r 1 r 2 ; r 1 R 1, r 2 R 2 } eine Schnittobermenge. Der entsprechende Schnitt heißt α 1 α 2

19 5 Reelle Zahlen 18 Beweis: - völlig analog zum Satz 5.4 Wir beweisen, dass die Eigenschaften (M1)-(M4) und (D) für die so eingeführte Multiplikation erfüllt sind. (M1),(M2),(D) folgen sofort aus den entsprechenden Eigenschaften von Q. (M3): Existenz von 1 R mit α 1 = 1 α = α zu zeigen: 1 := (L 1,R 1 ) mit L 1 := {y Q;y 1} R 1 := {y Q;y > 1} R R 1 = R 1 R = R für beliebige Schnittobermenge R einer Zahl α > 0. a) R R 1 R: ist r R und r 1 R 1 r 1 > 1, so gilt r r 1 > r r r 1 R b) R R R 1 : ist r R, so gibt es r R mit r < r. Dann folgt r r > 1 r r R 1 und r = r r r (M4): Existens der Inversen für jedes Element: α 1 α = α α 1 = 1. Für jede rationale Zahl x definiert man den Schnitt x 1 = ( L, R), L := {y Q;y < 1 x }, R := {y Q;y > 1 x } Für jedes irrationale α = (L, R) R, α > 0 definiert man: α 1 := ( L, R) mit L := {y Q;y 0 oder 1 y L}, R := {y Q; 1 y L und y > 0} Zu zeigen: R R = R 1 a) R R R 1 : es seien r R, r R ( 1 er und 1 er L). Dann gilt es: l < r, deswegen r r = r l > 1, d.h. r r R 1. b) R 1 R R: es sei y R 1 y > 1. Wähle ein l L, l > 0. Nach Lemma 5.5 gibt es r R, l L mit l > l und 0 < r l < (y 1)l. Setze r = y r. Dann gilt es: r l < (y 1)l r < yl y r > 1 l r > 1 l r R und r r = y. Multiplikation von nicht-positiven reellen Zahlen: α 1 α 2 = ( α 1 ) α 2, falls α 1 < 0, α 2 > 0 = α 1 ( α 2 ), falls α 1 > 0, α 2 < 0 = ( α 1 ) ( α 2 ), falls α 1 < 0, α 2 < 0 = 0, falls α 1 = 0 oder α 2 = 0. Man überprüft die Eigenschaften (M1)-(M4), (D) Fall für Fall.

20 5 Reelle Zahlen 19 Satz 5.7 (Vollständigkeit reeller Zahlen) R ist ein angeordneter Körper, mit der Archimedischen Eigenschaft, sowie mit der folgenden Eigenschaft, die ihn von Q unterscheidet: (V) Sind A R und B R nichtleere Mengen mit α < β α A, β B so existiert γ R mit α γ β α A, β B A B Abbildung 1: A und B müssen nicht unbedingt zusammenhängend sein Beweis: (O1)-(O3) und Archimedische Eigenschaft sind leicht einzusehen. (bzw. wurden bereits bewiesen). Beweis von (V): L := {l Q; α A mit l α} = L α, L Q, L,L Q α A R := {r Q; β B mit r > β} = R β, β B Es gilt: l < r l L, r R. Wenn L R Q, dann c Q : (c / L und c / R). Also gilt α A, β B : α < c β Wenn L R = Q, dann ist γ := (L,R) ein Schnitt. Da α A, β B gilt: L α L, R β R haben wir α A, β B : α γ β R Q, R,R Q Man kann zeigen, dass es nur einen (bis auf Isomorphismen) archimedischen, angeordneten und vollständigen Körper gibt. Definition 5.8 (Schranke und Supremum/Infimum) a) Eine Menge A R heißt nach oben (nach unten) beschränkt, falls c R mit α c (bzw. α c) α A Die Zahl c heißt eine obere (eine untere) Schranke für A.

21 5 Reelle Zahlen 20 b) γ R heißt Supremum, oder die kleinste obere Schranke (Infimum, oder die größte untere Schranke) der Menge A R, falls sie eine obere (untere) Schranke für A ist und γ < γ α A mit α > γ (bzw. γ > γ α A mit α < γ ) Schreibweise: sup A oder: sup α α A inf A oder: inf α A α Satz 5.9 (Existenz von sup und inf) Für jede nichtleere nach oben (nach unten) beschränkte Menge A R existiert supa (bzw. inf A). Beweis: (für supa) Setze B := {β R; α A : α < β} Dann sind A und B wie in (V). Aus (V) folgt: γ R mit α γ β α A, β B, Wir zeigen: γ = supa. Dann ist γ eine obere Schranke für A. Sollte γ < γ auch eine obere Schranke für A sein, d.h. α γ α A so würde α < γ+γ 2 α A. Das würde bedeuten γ+γ 2 B und somit γ γ+γ 2. Widerspruch! Bemerkung supa (inf A) kann zu A gehören oder auch nicht! Intervalle sind beschränkte Mengen in R. [a,b] = {x R; a x b} geschlossenes Intervall (a,b) =]a,b[= {x R; a < x < b} offenes Intervall [a,b) = [a,b[= {x R; a x < b} halboffenes Intervall (a,b] =]a,b] = {x R; a < x b} halboffenes Intervall supa = b, inf A = a [a,+ ) = {x R;x a} (a,+ ) = {x R;x > a} (,a] = {x R;x a} (,a) = {x R;x < a} Definition 4.1 (vom Betrag) sowie Satz 4.2 mit Folgerungen gelten für R entsprechend.

22 5 Reelle Zahlen 21 a a a+ Epsilon-Umgebung: (a ε,a + ε) = {x R; x a < ε} = B ε (a) heißt die ε-umgebung der Zahl a R (ε > 0) Satz und Definition 5.10 (Wurzel vom Grad m N) Zu jeder Zahl a R, a > 0 und zu jeder Zahl m N, m 2 gibt es genau eine Zahl x R mit x m = a Diese Zahl wird durch m a bezeichnet. 2 a = a Beweis: B := {x R; x > 0 und x m > a} B ist nach unten beschränkt und nicht leer. (wenn a 1 ist 1 B und wenn a > 1 ist a B) Nach Satz 5.9 existiert c := inf B Behauptung: c m = a Es kann nicht sein, dass c m > a (d.h. c B) Denn: sollte c m > a gelten, dann gäbe es ein c B mit c < c so dass dann c keine untere Schranke mehr für B ist. Wähle (vgl. H10): c = c 1 c m a m c m 1 Tatsächlich gilt: 0 < c < c und: ( ( c 1 1 m (c ) m a = ( c 1 m c m ) m a c m 1 a = c m )) m a c m a > (Bernoulli Ungleichung) c m (1 cm a c m ) a = 0 Ferner, sollte c m < a gelten: betrachte (c + ε) m mit 0 < ε < c ma (a cm ), so dass: ( 1 ε ) m mε (Bernoulli) 1 c c > 1 1 a (a cm ) = cm a daher: ( c (c + ε) m 2 ε 2 ) m = < c2m c ε (c ε) m = c 2m cm c m (1 ε < c c )m m a Also wäre c + ε eine untere Schranke für B c ist nicht die größte untere Schranke Widerspruch zur Voraussetzung. Somit ist c m = a bewiesen. = a

23 6 Reelle Folgen und Konvergenz 22 6 Reelle Folgen und Konvergenz Definition 6.1 (Folge) Eine Funktion a : N R heißt eine (reelle) Folge. Bezeichnung: a(n) = a n (a n ) n N oder (a n ) n 1 Als Definitionsbereich kann man auch N 0 oder {n N 0 ; n k} benutzen. Die Bezeichnung lautet dann: (a n ) n 0 bzw. (a n ) n k Definition 6.2 (Monotone Folgen) Eine Folge (a n ) n 1 heißt: monoton wachsend, falls a n+1 a n n N monoton fallend, falls a n+1 a n n N streng monoton wachsend, falls a n+1 > a n n N streng monoton fallend, falls a n+1 < a n n N monoton falls sie monoton wachsend oder monoton fallend ist Beispiel: a1 a2 a3=a4 a5 a5=a6 a3 a2 a1 Abbildung 2: Monoton steigende und monoton fallende Folge Definition 6.3 (Beschränkte Folge) Eine Folge (a n ) n 1 heißt nach oben (nach unten) beschränkt, falls c R mit a n c n N (bzw. a n c n N) (a n ) n 1 heißt beschränkt, falls sie nach oben und nach unten beschränkt ist. a 6 a 3 a 1 a 4 a 2 c=a 5 Abbildung 3: Nach oben beschränkte Folge Definition 6.4 (Konvergenz) Eine Folge (a n ) n 1 heißt konvergent gegen die Zahl c R (die dann Grenzwert von (a n ) n 1 heißt), falls ε > 0 N N : n N : a n c < ε Schreibweise: lim n a n = c oder a n n c

24 6 Reelle Folgen und Konvergenz 23 alle Glieder mit n _> N sind hier c c c+ Bemerkung: N ist abhängig von ε. N = N(ε), je kleiner ε desto größer wird N. Konvergiert (a n ) n 1 nicht, so heißt die Folge divergent. Satz 6.5 (Eindeutigkeit des Grenzwertes) Ist lim n a n = c 1 und lim n a n = c 2, so gilt c 1 = c 2 Beweis: ε > 0 N 1 = N 1 (ε) N N 2 = N 2 (ε) N : a n c 1 < ε n > N 1 a n c 2 < ε n > N 2 Für N = N(ε) = max(n 1 (ε),n 2 (ε)) gelten beide Ungleichungen für alle n > N. Dann folgt mit der Dreiecksungleichung: c 1 c 2 a n c 1 + a n c 2 < 2ε n > N Sollte c 1 c 2 > 0 gelten, so hätte man einen Widerspruch (z.b. bei ε = 1 3 c 1 c 2 ). Daher ist c 1 = c 2. Satz 6.6 Jede nach oben (nach unten) beschränkte, monoton wachsende (fallende) Folge konvergiert. Beweis: Sei (a n ) n 1 monoton wachsend und nach oben beschränkt. Setzte c = sup a n n N Behauptung: c = lim n a n. Tatsächlich, ist c eine obere Schranke für A = n N{a n } Das heißt: a n c. ε > 0 ist c ε keine obere Schranke für A mehr, d.h. N N : a N > c ε Aber: (a n ) n 1 ist monoton wachsend. Daher ist a n > c ε n N

25 6 Reelle Folgen und Konvergenz 24 a n mit n _> N c a N c Beispiele: (a n ) n 1 = ( 1) n beschränkt, weil a n 1 ( n N) (a n ) n 1 = n n+5 beschränkt, weil 0 a n 1 (a n ) n 1 = 1000 n ist eine Nullfolge lim n a n = 0 (folgt aus der Archimedischen Eigenschaft) (a n ) n 1 = q n mit 0 < q < 1 ist eine Nullfolge lim n a n = 0. 1 q = 1 + x mit x > 0 1 q = (1 + x) n > 1 + nx > nx q n < 1 n nx (a n ) n 1 = n 2 n ist eine Nullfolge, weil n 2 < 2 n für n > 3 n 2 n < 1 n (a n ) n 1 = ( 1 + x n) n ist nach (T6) monoton für n > x und beschränkt a n+1 = a n 1 a m n x m ist nach (H10) monoton, beschränkt und konvergiert an m 1 gegen m x Satz 6.7 Jede konvergente Folge ist beschränkt Beweis: Es sei lim n = c. Nehme ε = 1 dann N 0 N so dass gilt: also a n < c + 1. Setze jetzt: a n c < 1 n N 0 C := max( a 1, a 2,..., a N0 1, c + 1) Dann sieht man a n < C n N Warnung: Nicht jede beschränkte Folge konvergiert Beispiel: a n = ( 1) n. Tatsächlich, sollte lim n a n = c, würde c 1 < ε und c + 1 < ε gelten. Widerspruch! Satz 6.8 Seien (a n ) n 1, (b n ) n 1 konvergent. Dann sind auch (a n +b n ) n 1 und (a n b n ) n 1 konvergent und es gilt: lim (a n + b n ) = lim a n + lim b n n n n lim n (a n b n ) = lim n a n lim n b n

26 6 Reelle Folgen und Konvergenz 25 Beweis: Es seien a = lim n a n und b = lim n b n Summe: ε > 0 N 1 = N 1 ( ε 2 ) N N 2 = N 2 ( ε 2 ) N : a n a < ε 2 n N 1 b n b < ε 2 n N 2 Setze N = max(n 1,N 2 ). Für alle n N gilt dann: a n + b n (a + b) < ε 2 + ε 2 = ε Produkt: Beide Folgen (a n ), (b n ) sind nach Satz 6.7 beschränkt. a n c, b n c n N ( ε ) ( ε ) ε > 0 N 1 = N 1 N N 2 = N 2 N : 2c 2c a n a < ε 2c n N 1 b n b < ε 2c n N 2 Setze N = max(n 1,N 2 ). Es gilt für alle n N: a n b n a b = (a n a)b n + a(b n b) a n a b n + a b n b < c ε 2c + c ε 2c = ε Satz 6.9 Es sei (b n ) n 1 eine konvergente Folge mit lim n b n = b 0. Dann konvergiert auch ( ) 1 1 mit lim = 1 b n n b n b n N Beweis: Es gibt N 0 N : b n b < b 2 für alle n N 0. Daraus folgt: b n > b 2 ( n N 0) ( ) ε b 2 ε > 0 N 1 = N : 2 b n b < ε b 2 2 Für alle n max(n 0,N 1 ) gilt: 1 1 b n b = b n b < ε b 2 b n b 2 ( n N 1 ) 1 b 2 b = ε

27 6 Reelle Folgen und Konvergenz 26 Folgerung 6.10 Sind (a n ) n 1, (b n ) n 1 zwei konvergente Folgen mit lim n a n = a und lim n b n = b 0, so konvergiert auch Beispiel: ( an b n ) n 1 a n mit lim = a n b n b a n = 5n3 + 6n 2 7n 3 8n konvergent, lim a n n = lim n n 7 8 = 5 7 n 2 Satz 6.11 Sind (a n ) n 1, (b n ) n 1 zwei konvergente Folgen mit a n b n n N, so gilt: lim a n lim b n n n Beweis: Setze a = lim n a n, b = lim n b n. Angenommen b < a. Zu b n a n für n _> N für n _> N b b+ a a jedem 0 < ε < a b 2 gibt es N = N(ε) mit a n a < ε, b n b < ε ( n N) Dann gilt: a n b n > (a ε) (b + ε) = a b 2ε > 0 Widerspruch zu a n < b n. Warnung: aus a n < b n folgt nur a b und nicht a < b! Beispiel: a n = 0, b n = 1 n Satz 6.12 Sind (a n ) n 1, (b n ) n 1 zwei konvergente Folgen mit a n b n n N und lim n a n = lim n b n = a, so gilt für jede Folge (c n ) n 1 mit a n c n b n : lim n c n = a Beweis: ε > 0 N N : a n a < ε und b n a < ε für alle n N Dann gilt auch: a ε < a n c n b n < a + ε für n N also c n a < ε ( n N) Definition 6.13 (Teilfolge) Sei (a n ) n 1 eine Folge und gegeben eine aufsteigende Folge natürlicher Zahlen n 1 < n 2 < n 3 <... Dann heißt k a nk = a(n k ) eine Teilfolge von (a n ) n 1. Bezeichnung: (a nk ) k 1

28 6 Reelle Folgen und Konvergenz 27 Offensichtlich: jede Teilfolge einer konvergenten Folge (a n ) n 1 konvergiert gegen a = lim n a n Definition 6.14 (Häufungspunkt) k R heißt ein Häufungspunkt für die Folge (a n ) n 1, falls ε > 0 gibt es unendlich viele n N für die gilt: a n k < ε Bemerkung (Unterschied zwischen Grenzwert und Häufungspunkt): Ist c der Grenzwert der Folge (a n ) n 1 befinden sich alle a n mit n N(ε) in der Epsilon-Umgebung von c, d.h. alle bis auf endlich viele. Ist h ein Häufungspunkt der Folge (a n ) n 1 so befinden sich in der Epsilon- Umgebung von h unendlich viele a n, aber es können ebenso unendlich viele a n außerhalb von B ε (a) liegen. Beispiele: a n = ( 1) n Häufungspunkte: +1 und 1 lim n a n = a a n besitzt genau einen Häufungspunkt, den Grenzwert a Q ist abzählbar (T7), d.h. es gibt eine injektive Folge a : N Q. In jedem Intervall der reellen Achse (h ε, h+ε) befinden sich unendlich viele Zahlen aus Q. Daher ist jede Zahl h R ein Häufungspunkt für (a n ) n N. Satz 6.15 h R ist genau dann Häufungspunkt der Folge (a n ) n N, wenn es eine Teilfolge (a nk ) k N gibt, mit lim k a nk = h Beweis: Sei h = lim k a nk Dann gilt: ε > 0 liegen in (h ε,h + ε) alle bis auf endlich viele Glieder der Folge (a nk ) k N, also unendlich viele Glieder der Folge (a n ) n N. Sei h ein Häufungspunkt von (a n ) n N. Sei (ε k ) k N eine Nullfolge, z.b. ε k = 1 k. Nehme n 1 mit a n1 h < ε 1 = 1 Nehme n 2 mit a n2 h < ε 2 = 1 2 Nehme n 3 mit a n3 h < ε 3 = 1 3 u.s.w n 1 < n 2 < n 3 < < n k sei eine Folge der Indizes mit a nk h < ε k = 1 k Dann gilt: lim k a nk = h

29 6 Reelle Folgen und Konvergenz 28 Satz 6.16 (von Bolzano-Weierstraß) 1 Jede beschränkte Folge reeller Zahlen besitzt Häufungspunkte. Insbesondere hat sie einen größten Häufungspunkt h = lim n a n = lim n supa n und einen kleinsten Häufungspunkt h = lim a n = lim inf a n n n Beweis: Es gelte l a n r n N Limes superior Limes inferior A :={x R; es gibt unendlich viele n mit a n x} B :={x R; es gibt höchstens endlich viele n mit a n > x} l A, r B A, B a < b a A, b B a A a A für alle a < a b B b B für alle b > b } x / A x B A B = R x / B x A Wir verwenden den Satz über die Vollständigkeit der reellen Zahlen (5.7): c R mit a c b für alle a A, b B. Wir zeigen c = lim sup n a n, also: c ist ein Häufungspunkt c > c c ist kein Häufungspunkt Für diese Zahl c und ε > 0 gilt: } { x / A x B es gibt unendlich viele n mit a n c ε x / B x A es gibt höchstens endlich viele n mit a n > c + ε daraus folgt: es gibt unendlich viele n mit c ε a n c + ε, d.h. c ist ein Häufungspunkt für a n Nehme c > c. Setze ε = c c 2. Dann ist c + ε = c + c 2 also gibt es höchstens endlich viele n mit a n c ε = c + ε = c+c 2, d.h. die ε Umgebung von c enthält höchstens endlich viele a n. Daher ist c kein Häufungspunkt von (a n ). Also: B c = lim n supa n Beweis der Existenz von lim inf n a n geht analog. 1 B.Bolzano ( ) tschechischer Theologe und Mathematiker, trotz Publikationsverbot Entdecker vieler Sätze der Analysis, wie man nach seinem Tod herausfand. K.Weierstraß ( ) bedeutender deutscher Mathmatiker, Gymnasiallehrer und später Universitätsprofessor in Berlin

30 6 Reelle Folgen und Konvergenz 29 Frage: Wie kann man Konvergenz einer Folge (a n ) n N feststellen, wenn der Grenzwert c unbekannt ist? Definition 6.17 (Cauchy-Folge/Fundamentalfolge) Eine Folge(a n ) n N reeller Zahlen heißt Cauchy Folge, falls ε > 0 : N = N(ε) N : a n a m < ε für alle m,n N Satz 6.18 (von Cauchy) Eine Folge (a n ) n N reeller Zahlen ist genau dann konvergent, wenn sie eine Cauchy Folge ist. Beweis: Es sei (a n ) eine konvergente Folge. lim n a n = c. Das bedeutet: } a ε > 0 N N : n c < ε 2 n N a m c < ε 2 m N a n a m a n c + a m c < ε n,m N Es sei (a n ) eine Cauchy-Folge. Wir zeigen zunächst, dass (a n ) eine beschränkte Folge ist. Für ε = 1 gibt es N 1 N mit a n a m < 1 m,n N 1. Es folgt: Jetzt gilt: n N 1 : a n a N1 < 1 Dreiecksungl. a n < a N1 + 1 ( n N 1 ) a n C := max( a 1, a 2,..., a N1 1, a N1 + 1 ) für alle n N D.h. a n ist beschränkt. Wir wenden den Satz von Bolzano-Weierstraß an: Es gibt eine konvergente Teilfolge (a nk ) k N mit lim k a nk = h (Sätze 6.15 und 6.16) Wir zeigen: lim n a n = h ε > 0 N 0 N : a nk h < ε 2 für alle n k N 0 ε > 0 N 2 N : a n a m < ε 2 für alle n,m N 2 Wähle ein n k max(n 0,N 2 ), dann gilt für alle n N 2 a n h a n a nk + a nk h < ε 2 + ε 2 = ε