Didaktik der Mathematik der Sekundarstufe II

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1 1 / 31 Didaktik der Mathematik der Sekundarstufe II 3. Folgen und Grenzwerte H. Rodner, G. Neumann Humboldt-Universität zu Berlin, Institut für Mathematik Sommersemester 2010/11 Internetseite zur Vorlesung: neumann/

2 Didaktik der Mathematik der Sekundarstufe II 2 / 31 Zahlenfolgen und Grenzwerte Didaktische Grundpositionen zu Folgen Definition des Grenzwerts einer Folge Arithmetische und geometrische Folgen Reihen

3 Didaktische Grundpositionen zu Folgen Traditionell: Systematische Einführung in die Theorie der Folgen und Grenzwerte Nach neuem Rahmenplan: 1 Nur noch in Fragmenten im Leistungskurs: allgemeine Eigenschaften von Funktionen (Grenzwert von Zahlenfolgen, Stetigkeit und Differenzierbarkeit und deren Zusammenhang), RLP, S Unterthema im Wahlpflichtfach 10 in "Beschränktes und logistisches Wachstum" Stattdessen werden Folgen nunmehr als natürliches Instrument zur Beschreibung iterativer Prozesse" DANCKWERTS, R.; VOGEL, D.: Analysis verständlich unterrichten, 2006, S. 18. begriffen, wie zum Beispiel bei der diskreten Modellierung realer Wachstumsprozesse. 3 / 31

4 Begriff der Konvergenz ε-umgebung einer Zahl a: 1 nach beiden Seiten offenes Intervall, das a als Mittelpunkt hat und dessen Intervallenden von a die Entfernung ε haben: U ε (a) = ]a ε ; a+ε[ = {x R a ε < x < a+ε} ε a Grenzwert einer Folge Die Zahl g heißt Grenzwert einer Folge (a n ), wenn in jeder (noch so kleinen) ε-umgebung von g unendlich viele Glieder der Folge liegen, aber außerhalb nur endlich viele, d. h. wenn man eine Platznummer n 0 angeben kann, sodass alle Glieder mit einer höheren Platznummer als n 0 in der Umgebung liegen. Wir schreiben lim = g oder a n g für n. n Erleichtert die Redundanz dieser Definition das Verständnis? 1 Die Beschreibungen bzw. Definitionen auf dieser Folie sind dem Schulbuch Elemente der Mathematik (Leistungskurs Analysis, Schroedel, 2008) entnommen. ε 4 / 31

5 Begriff der Konvergenz: Epsilon-Umgebung 5 / 31

6 Begriff der Konvergenz: Definition 2 Beide Darstellungen entnommen aus: Lambacher Schweizer, Mathematik für Gymnasien, Gesamtband Oberstufe mit CAS, Klett: Stuttgart / 31

7 Begriff der Konvergenz: Beweis 7 / 31 Zeigen Sie mit Hilfe der Definition der Konvergenz, dass die Folge (a n ) mit (a n ) = 2n2 3 3n 2 den Grenzwert 2 3 besitzt.

8 Nullfolgen 8 / 31 Besonderheit: Nullfolgen ε > 0 n 0 N, so dass n n 0 : a n < ε Ab einer bestimmten Platznummer werden die Beträge aller Folgenglieder beliebig klein (kleiner als jede noch so kleine positive Zahl). Nullfolgen sind besonders bedeutsam in Hinblick auf den Differentialquotienten (Ableitung).

9 Begriff der Konvergenz: Verbalisierung 9 / 31 Welche Sprechweise für die Grenzwertdefinition? 1. " 1 n 2. " 1 n 3. " 1 n 4. " 1 n kommt mit wachsendem n der Null beliebig nahe." strebt gegen null für n gegen unendlich." kommt mit wachsendem n der Null immer näher" kommt der Null immer näher, ohne sie jemals zu erreichen."

10 10 / 31 Grenzwerte und Konvergenz Grenzwertsätze für Folgen Falls die Folge (a n ) gegen A und die Folge (b n ) gegen B konvergiert, so gilt: Die Summenfolge (a n + b n ) konvergiert gegen A + B. Die Differenzfolge (a n b n ) konvergiert gegen A B. Die Produktfolge (a n b n ) konvergiert gegen A B. Die Quotientenfolge a n konvergiert gegen A. (B 0) b n B

11 Begriff der Konvergenz: Beispiele 11 / 31 Untersuchen Sie die Folgen auf Konvergenz oder Divergenz. Geben Sie gegebenenfalls den Grenzwert an. (a n ) = 1 n (b n ) = n 10 (cn ) = 4n+2n2 n 2 (d n ) = ( 1 2 )n (e n ) = 2 n (f n ) = n2 n+1 (g n ) = cos(n) (h n ) = ( 1)n n + 1 n (i n ) = (1 + 1 n )n

12 12 / 31 Arithmetische und geometrische Folgen Arithmetische Folge: Eine Folge (a n ) heißt arithmetische Folge, falls gilt: a n+1 = a n + d (für alle n N) Explizite Darstellung:

13 13 / 31 Arithmetische Folgen Arithmetische Folge: Eine Folge (a n ) heißt arithmetische Folge, falls gilt: a n+1 = a n + d ( n N) Explizite Darstellung: a n = a 1 + (n 1) d, d 0 ( n N) Zusammenhang zu linearen Funktionen

14 14 / 31 Geometrische Folgen Geometrische Folge: Eine Folge (a n ) heißt geometrische Folge, falls gilt: a n+1 = a n q (für alle n N) Explizite Darstellung:

15 15 / 31 Geometrische Folgen Geometrische Folge: Eine Folge (a n ) heißt geometrische Folge, falls gilt: a n+1 = a n q (für alle n N) Explizite Darstellung: a n = a 1 q n 1 (für alle n N) Zusammenhang zur Exponentialfunktion

16 Geometrische und arithmetische Folge in der Sek. I 16 / 31 Ein anfangs 800 m 2 großer Teich vergrößert sich durch die Baggerarbeiten jede Woche um 550 m 2. Bei Wasseruntersuchungen wird eine Algenart beobachtet, die sich sehr schnell vermehrt. Die von den grünen Algen bedeckte Fläche ist zu Beginn der Baggerarbeiten 1 m 2 groß, sie verdoppelt sich jede Woche. Ein Wissenschaftler behauptet: "Bald ist der ganze See grün!"bei den Beamten der Kommunalverwaltung erntet er nur ungläubiges Kopfschütteln. Wer hat Recht? Für die Betrachtung der Wachstumsprozesse in Wochen, also für den Defintionsbereich D = N {0}, beschreiben die Funktionswerte der zu ermittelnden Funktionen zur Berechnung des Flächeninhalts die Folgenglieder jeweils einer arithmetischen und geometrischen Folge.

17 Geometrische Folge 17 / 31 Welche der Folgen (a n ) bis (i n ) sind geometrischen Folgen? Beschreiben Sie das Konvergenzverhalten einer geometrischen Folge (a n ) = q n, q R.

18 Reihen 18 / 31 Ist (a n ) eine Folge, so entsteht durch die Partialsummen s n = n a i oder s n = i=0 n i=1 a i eine neue Folge (s n ): die Partialsummenfolge bzw. Reihe.

19 Harmonische Reihe 19 / 31 Interessant sind u. a. Reihen (s n ), die durch Nullfolgen (a n ) entstehen. Erklären Sie auf für Schüler verständliche Weise, dass die Reihe 1 (s n ) mit s n = unbeschränkt ist und deshalb divergiert. n n=1

20 Harmonische Reihe 20 / Zu finden in:

21 Harmonische Reihe 21 / 31 Veranschaulichung des langsamen Wachstums der harmonischen Reihe:

22 22 / 31 Geometrische Reihe Veranschaulichen Sie ikonisch, dass (t n ) mit t n = konvergiert. n=1 1 2 n

23 Konvergenz der Geometrischen Reihe 23 / 31

24 Geometrische Reihe Definition: Geometrische Reihe Ist (a n ) eine geometrische Folge mit a n = a 1 q n 1, so entsteht die zu dieser Folge gehörende Folge (s n ) der Teilsummen durch: s 1 = a 1 = a 1 s 2 = a 1 + a 2 = a 1 + a 1 q 1 s n = a 1 + a a n = a 1 + a 1 q a 1 q n 1 Die Folge (s n ) heißt geometrische Reihe. Satz: Eine geometrische Reihe sei gegeben durch das Anfangsglied a 1 und den konstanten Quotienten q. Dann gilt für das allgemeine Glied s n : s n = a 1 1 qn 1 q (q 1) 24 / 31

25 Geometrische Reihe Definition: Geometrische Reihe Ist (a n ) eine geometrische Folge mit a n = a 1 q n 1, so entsteht die zu dieser Folge gehörende Folge (s n ) der Teilsummen durch: s 1 = a 1 = a 1 s 2 = a 1 + a 2 = a 1 + a 1 q 1 s n = a 1 + a a n = a 1 + a 1 q a 1 q n 1 Die Folge (s n ) heißt geometrische Reihe. Satz: Eine geometrische Reihe sei gegeben durch das Anfangsglied a 1 und den konstanten Quotienten q. Dann gilt für das allgemeine Glied s n : s n = a 1 1 qn 1 q (q 1) 24 / 31

26 Geometrische Reihe: Grenzwert 25 / 31 Wie lautet der Grenzwert für 0 < q < 1: lim s n =? n

27 Geometrische Reihe: Grenzwert 26 / 31 lim n s n = lim n n a 1 q i 1 i=1 = lim n a 1 qn 1 q 1 (q 1) Für 0 < q < 1: lim n s n = a 1 1 q

28 Geometrische Reihe: Grenzwert 26 / 31 lim n s n = lim n n a 1 q i 1 i=1 = lim n a 1 qn 1 q 1 (q 1) Für 0 < q < 1: lim n s n = a 1 1 q

29 Geometrische Reihe: Grenzwert 26 / 31 lim n s n = lim n n a 1 q i 1 i=1 = lim n a 1 qn 1 q 1 (q 1) Für 0 < q < 1: lim n s n = a 1 1 q

30 Beispiele für die Konvergenz der geometrischen Reihe 27 / 31 Stellen Sie 0, 9 als geometrische Reihe dar und zeigen Sie, dass gilt: 0, 9 = 1 Paradoxon des Zenon von Elea (490 bis 430 v. Chr.): Achilles und die Schildkröte" Achilles und eine Schildkröte veranstalten ein Wettrennen. Die Schildkröte erhält einen Vorsprung von 100 m. Sie ist nur ein 1 10 mal so schnell wie Achilles. Läuft Achilles die ersten 100 m, so ist die Schildkröte schon 10m weiter, ist Achilles weitere 10 m gelaufen, so ist auch die Schildkröte schon 1m weiter. Kann Achilles sie also jemals erreichen? Berechnen Sie die Länge der Strecke, nach der Achilles die Schildkröte überholt, mit Hilfe der geometrischen Reihe.

31 Beispiele für die Konvergenz der geometrischen Reihe 28 / 31 0, 9 = lim n n 0, 9 0, 1 i 1 1 = 0, 9 1 0, 1 = 0, 9 0, 9 = 1 i=1 Achilles überholt die Schildkröte nach einer Streckenlänge von lim n s n in Metern mit: lim n s n = lim n n 100 0, 1 i 1 i=1 1 = , 1 = = 111, 1

32 29 / 31 Beispiel für diskrete Modellierung: Medikamentenspiegel Ein weiteres Beispiel für diskrete Modellierung (nach DANCKWERTS / VOGEL) Angenommen, innerhalb von 4 Stunden werden jeweils 25% eines Medikaments vom Körper abgebaut und ausgeschieden. Die wirksame Anfangsdosis sei d 0 = 125g. Alle vier Stunden werden 100g des Medikaments erneut gegeben. Beschreiben Sie, wie sich im Laufe der Zeit der Medikamentenspiegel im Körper entwickelt! Indizes: 4-stündige Perioden d 1 = = q d 0 + c rekursive Bildungsvorschrift: d n+1 = 3 4 d n = q d n + c (d i : Masse des Medikaments in Gramm) Stellen Sie eine explizite Bildungsvorschrift auf für d n.

33 29 / 31 Beispiel für diskrete Modellierung: Medikamentenspiegel Ein weiteres Beispiel für diskrete Modellierung (nach DANCKWERTS / VOGEL) Angenommen, innerhalb von 4 Stunden werden jeweils 25% eines Medikaments vom Körper abgebaut und ausgeschieden. Die wirksame Anfangsdosis sei d 0 = 125g. Alle vier Stunden werden 100g des Medikaments erneut gegeben. Beschreiben Sie, wie sich im Laufe der Zeit der Medikamentenspiegel im Körper entwickelt! Indizes: 4-stündige Perioden d 1 = = q d 0 + c rekursive Bildungsvorschrift: d n+1 = 3 4 d n = q d n + c (d i : Masse des Medikaments in Gramm) Stellen Sie eine explizite Bildungsvorschrift auf für d n.

34 29 / 31 Beispiel für diskrete Modellierung: Medikamentenspiegel Ein weiteres Beispiel für diskrete Modellierung (nach DANCKWERTS / VOGEL) Angenommen, innerhalb von 4 Stunden werden jeweils 25% eines Medikaments vom Körper abgebaut und ausgeschieden. Die wirksame Anfangsdosis sei d 0 = 125g. Alle vier Stunden werden 100g des Medikaments erneut gegeben. Beschreiben Sie, wie sich im Laufe der Zeit der Medikamentenspiegel im Körper entwickelt! Indizes: 4-stündige Perioden d 1 = = q d 0 + c rekursive Bildungsvorschrift: d n+1 = 3 4 d n = q d n + c (d i : Masse des Medikaments in Gramm) Stellen Sie eine explizite Bildungsvorschrift auf für d n.

35 29 / 31 Beispiel für diskrete Modellierung: Medikamentenspiegel Ein weiteres Beispiel für diskrete Modellierung (nach DANCKWERTS / VOGEL) Angenommen, innerhalb von 4 Stunden werden jeweils 25% eines Medikaments vom Körper abgebaut und ausgeschieden. Die wirksame Anfangsdosis sei d 0 = 125g. Alle vier Stunden werden 100g des Medikaments erneut gegeben. Beschreiben Sie, wie sich im Laufe der Zeit der Medikamentenspiegel im Körper entwickelt! Indizes: 4-stündige Perioden d 1 = = q d 0 + c rekursive Bildungsvorschrift: d n+1 = 3 4 d n = q d n + c (d i : Masse des Medikaments in Gramm) Stellen Sie eine explizite Bildungsvorschrift auf für d n.

36 29 / 31 Beispiel für diskrete Modellierung: Medikamentenspiegel Ein weiteres Beispiel für diskrete Modellierung (nach DANCKWERTS / VOGEL) Angenommen, innerhalb von 4 Stunden werden jeweils 25% eines Medikaments vom Körper abgebaut und ausgeschieden. Die wirksame Anfangsdosis sei d 0 = 125g. Alle vier Stunden werden 100g des Medikaments erneut gegeben. Beschreiben Sie, wie sich im Laufe der Zeit der Medikamentenspiegel im Körper entwickelt! Indizes: 4-stündige Perioden d 1 = = q d 0 + c rekursive Bildungsvorschrift: d n+1 = 3 4 d n = q d n + c (d i : Masse des Medikaments in Gramm) Stellen Sie eine explizite Bildungsvorschrift auf für d n.

37 Beispiel für diskrete Modellierung: Medikamentenspiegel Herleitung der expliziten Bildungsvorschrift für d 0 = 125, q = 3 4, c = 100: d 1 = q d 0 + c d 2 = q d 1 + c = q (q d 0 + c) + c = q 2 d 0 + c (q 1 + 1) d n = q n d 0 + c (q n q 1 + 1) lim s nd n = q n 1 d 0 + c (für 0 < q < 1) n 1 q 30 / 31

38 Beispiel für diskrete Modellierung: Medikamentenspiegel Herleitung der expliziten Bildungsvorschrift für d 0 = 125, q = 3 4, c = 100: d 1 = q d 0 + c d 2 = q d 1 + c = q (q d 0 + c) + c = q 2 d 0 + c (q 1 + 1) d n = q n d 0 + c (q n q 1 + 1) lim s nd n = q n 1 d 0 + c (für 0 < q < 1) n 1 q 30 / 31

39 Beispiel für diskrete Modellierung: Medikamentenspiegel Herleitung der expliziten Bildungsvorschrift für d 0 = 125, q = 3 4, c = 100: d 1 = q d 0 + c d 2 = q d 1 + c = q (q d 0 + c) + c = q 2 d 0 + c (q 1 + 1) d n = q n d 0 + c (q n q 1 + 1) lim s nd n = q n 1 d 0 + c (für 0 < q < 1) n 1 q 30 / 31

40 Beispiel für diskrete Modellierung: Medikamentenspiegel Herleitung der expliziten Bildungsvorschrift für d 0 = 125, q = 3 4, c = 100: d 1 = q d 0 + c d 2 = q d 1 + c = q (q d 0 + c) + c = q 2 d 0 + c (q 1 + 1) d n = q n d 0 + c (q n q 1 + 1) lim s nd n = q n 1 d 0 + c (für 0 < q < 1) n 1 q 30 / 31

41 Beispiel für diskrete Modellierung: Medikamentenspiegel Herleitung der expliziten Bildungsvorschrift für d 0 = 125, q = 3 4, c = 100: d 1 = q d 0 + c d 2 = q d 1 + c = q (q d 0 + c) + c = q 2 d 0 + c (q 1 + 1) d n = q n d 0 + c (q n q 1 + 1) lim s nd n = q n 1 d 0 + c (für 0 < q < 1) n 1 q 30 / 31

42 Beispiel für diskrete Modellierung: Medikamentenspiegel Herleitung der expliziten Bildungsvorschrift für d 0 = 125, q = 3 4, c = 100: d 1 = q d 0 + c d 2 = q d 1 + c = q (q d 0 + c) + c = q 2 d 0 + c (q 1 + 1) d n = q n d 0 + c (q n q 1 + 1) lim s nd n = q n 1 d 0 + c (für 0 < q < 1) n 1 q 30 / 31

43 Beispiel für diskrete Modellierung: Medikamentenspiegel 31 / 31 lim d n = 100 n = 400

44 Beispiel für diskrete Modellierung: Medikamentenspiegel 31 / 31 lim d n = 100 n = 400