4-9 Funktionen. Sei x eine Seitenlänge von R, dann ist die zweite Seitenlänge gleich U/2 x, und demnach ist der Flächeninhalt von R gleich

Transkript

1 4-9 Funktionen Am Ende von 43 wurde betont, dass die Verwendung der Differentialrechnung zur Bestimmung der Etremstelle einer quadratischen Funktion zwar praktisch, aber nicht notwendig ist: Immer reicht es aus, die Scheitelpunktsform anzugeben Beispiel: Rechtecke mit festgelegtem Umfang Wir betrachten alle Rechtecke mit vorgegebenem Umfang U und fragen, wann der Flächeninhalt maimal ist Satz Die Länge U sei vorgegeben Ist R ein Rechteck mit Umfang U, das kein Quadrat ist, so ist der Flächeninhalt von R echt kleiner als der Flächeninhalt des Quadrats mit Seitenlänge U/4 (das natürlich ebenfalls den Umfang U hat) Sei eine Seitenlänge von R, dann ist die zweite Seitenlänge gleich U/2, und demnach ist der Flächeninhalt von R gleich Dies ist eine quadratische Funktion in F() = ( U 2 ) = 2 + U 2 Um F() zu maimieren, kann man die Differential-Rechnung in Anspruch nehmen: Es ist F () = 2 + U/2 Aus 0 = 2 + U/2 folgt = U/4 Dann ist aber auch die zweite Seitenlänge U/2 U/4 = U/4, also handelt es sich um ein Quadrat Man kann das Miminum von F() auch finden, indem man einfach die Scheitelpunktsform dieser quadratischen Funktion bestimmt: Die -Koordinate des Scheitelpunkts von F() = c 2 + b mit c = 1 und b = U/2 ist b 2c = U/4 Noch elementarer ist folgender algebraische Zugang: Das Rechteck mit den Seitenlängen und U/2 hat den Flächeninhalt (U/2 ) Es gilt immer: (U/2 ) (U/4) 2, denn (U/4) 2 (U/2 ) = (U/4 ) 2 0 Dies zeigt, dass unter allen Rechtecken mit Umfang U das Quadrat den größtmöglichen Flächeninhalt hat Und man sieht auch, dass das Quadrat das einzige Rechteck mit größtmöglichem Flächeninhalt ist: Aus (U/2 ) = (U/4) 2 folgt nämlich (U/4 ) 2 = 0, also U/4 = Die Behauptung kann auch rein geometrisch bewiesen werden dies ist ein Zugang der schon für Grundschüler nachvollziehbar ist: Betrachte ein Rechteck R mit Seitenlängen und U/2 Wir nehmen an > U/4, etwa = U/4+b Eine ausführliche Diskussion findet man im Kapitel 6 des Buchs von Danckwerts- Vogel: Analsis verständlich unterrichten

2 Leitfaden 4-10 mit b > 0 Wegen 0 < U/2 = U/2 U/4 b = U/4 d ist b < U/4 Wir zeichnen das Quadrat mit Seitenlänge U/4 b U/4 b b b U/4 Links ist gestrichelt und schraffiert auch das Rechteck R zu sehen; das überstehenden Rechteck mit den Kantenlängen d und U/4 d haben wir im rechten Bild noch oben verschoben: Dabei wird das Quadrat nicht vollständig ausgefüllt, sonderns es bleibt ein kleines Quadrat mit Kantenlänge d frei Insgesamt zeigt sich, dass dieser durchaus bombastisch klingende Satz nur eine Eplikation der dritten binomischen Formel (a + b)(a b) = a 2 b 2 > a 2 (mit a = U/4) darstellt Da Optimierungsfragen ganz tpische Themenstellungen für den Einsatz von Mathematik im Alltag sind, empfiehlt es sich, wenn schon in frühen Jahren (SI oder sogar Grundschule) derartige Minimierungs- oder Maimierungsfragen diskutiert werden Erfolgt dies erst im Rahmen der Infinitesimalrechnung der Oberstufe, so wird fälschlicherweise der Eindruck erweckt, mit Hilfe der Infinitesimalrechnung würden Probleme gelöst, die es vorher gar nicht gab! 44 Gleichmäßig beschleunigte (konstant beschleunigte) Bewegungen: Zusätze (a) Wenn man von einer konstant beschleunigten Bewegung f(t) spricht, so handelt es sich nach Definition um eine zweimal differenzierbare Funktion f(t) mit f (t) konstant (= konstante Beschleunigung ) Es wird sich häufig als sinnvoll erweisen, Funktionen durch Eigenschaften der Ableitung zu charakterisieren Erste Beispiele: Eine differenzierbare Funktion ist genau dann konstant, wenn ihre Ableitung Null ist Eine differenzierbare Funktion ist genau dann linear, wenn ihre Ableitung konstant ist Eine differenzierbare Funktion ist genau dann quadratisch, wenn ihre Ableitung linear ist

3 4-11 Funktionen Man kann diese Charakterisierungen iterieren: Eine zweimal differenzierbare Funktion ist genau dann linear, wenn ihre zweite Ableitung Null ist Eine zweimal differenzierbare Funktion ist genau dann quadratisch, wenn ihre zweite Ableitung kanstant ist Dies ist gerade der Rahmen, in den der Begriff einer konstant beschleunigten Bewegung gehört Und weiter: Eine dreimal differenzierbare Funktion ist genau dann quadratisch, wenn ihre dritte Ableitung Null ist Die Charakterisierung differenzierbarer Funktionen durch die Vorgabe der Ableitung ist ein Teil der Integrationstheorie! (b) Bremsen Hier ist der Graph, der den Bremsweg s in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit v notiert (man betrachtet hier eine Vollbremsung): s g(v) = cv 2 v Warum ist auch hier der Funktionsgraph parabelförmig? Sei f(t) die zugehörige Zeit- Weg-Funktion, und f (t) deren Ableitung Da wir voraussetzen, dass f(t) eine konstant beschleunigte Bewegung ist, ist f (t) linear (mit von Null verschiedener Steigung) Die Funktion g ist die Hintereinanderschaltung der Umkehrfunktion von f (die Umkehrfunktion (f ) 1 ordnet der jeweiligen Geschwindigkeit den zugehörigen Zeitpunkt zu), gefolgt von der Funktion f (dem Zeitpunkt wird der Ort zugeordnet) Die Hintereinanderschaltung einer linearen Funktion und einer quadratischen Funktion ist eine quadratische Funktion! Beweis: Ist (f ) 1 (v) = α + βv und f(t) = a + b + c 2, so ist g(v) = f((f ) 1 (v)) = f(α + βv) = a + b(α + βv) + c(α + βv) 2 = (a + bα + c 2 α 2 ) + (b + 2αβ)v + β 2 v 2

4 Leitfaden 4-12 Die Tatsache, dass der Bremsweg quadratisch von der Geschwindigkeit abhängt, ist eine ganz wichtige Einsicht! Dies bedeutet: Bei doppelter Geschwindigkeit ist der Bremsweg viermal so lang, bei dreifacher Geschwindigkeit neunmal so lang Betrachtet man einen derartigen Bremsvorgang, so muss man zusätzlich noch die Reaktionszeit berücksichtigen Die Reaktionszeit ist von der Geschwindigkeit unabhängig (üblicherweise rechnet man mit b = 3/10 sec); der Weg, der in dieser Zeit zurückgelegt wird, ist proportional zur Geschwindigkeit Insgesamt sieht man: der Anhalteweg ist die Summe des Reaktionswegs und des Bremswegs Bei der Geschwindigkeit v ist der Reaktionsweg bv, der Bremsweg cv 2 (hier ist c eine Konstante, die vom jeweiligen Fahrzeug abhängt) insgesamt erhält man also: also eine tpische quadratische Funktion s(v) = bv + cv 2, 45 Zusatz: Vektorwertige Funktionen Die Lage eines Punkts im Raum wird (nach Wahl eines Koordinatensstems) durch drei reelle Zahlen beschrieben, also durch (,, z) oder auch (r 1, r 2, r 3 ) Dient dieses Zahlentripel dazu, die Lage eines Punkts (etwa des Schwerpunkts eines Körpers) zum Zeitpunkt t zu beschreiben, so kann man dies dadurch betonen, dass man etwa ((t), (t), z(t)) schreibt Bewegt sich der Punkt, so erhält man auf diese Weise drei Funktionen in Abhängigkeit von t mit Werten in R, also f 1 (t), f 2 (t), f 3 (t): I R (dabei ist I ein Zeitintervall, f 1 (t) ist die -Koordinate des Punkts zum Zeitpunkt t, entsprechend ist f 2 (t) die -Koordinate und f 3 (t) die z-koordinate Da man hier jedem Zeitpunkt t I den Vektor (f 1 (t), f 2 (t), f 3 (t)) zuordnet, spricht man von einer vektorwertigen Funktion f(t) = (f 1 (t), f 2 (t), f 3 (t)) Die Wurf-Parabel Wird ein Gegenstand geworfen, so erhält er einen Impuls in eine Richtung Ohne Einwirken anderer Kräfte würde er sich geradlinig weiterbewegen: eine derartige Bewegung wird folgendermaßen beschrieben: f(t) = (f 1 (t), f 2 (t), f 3 (t)), dabei sind f 1 (t), f 2 (t), f 3 (t) lineare Funktionen; also von der Form f i (t) = a i + b i t mit festen Zahlen a i, b i Wir sehen: zum Zeitpunkt t = 0 befindet sich der Körper an der Stelle (a 1, a 2, a 3 ), zum Zeitpunkt 1 an der Stelle (a 1 +, a 2 +b 2, a 3 +b 3 ), zum Zeitpunkt 2 an der Stelle (a 1 +2, a 2 +2b 2, a 3 +2b 3 ) und so weiter Die Geschwindigkeit ist hier durch die drei Komponenten, b 2, b 3 in den Koordinaten-Richtungen gegeben, dies liefert einen Vektor, den Geschwindigkeitsvektor (, b 2, b 3 ) Die Erdanziehungskraft liefert eine Beschleunigung in Richtung der 3Koordinate, also haben wir zur Funktion f(t) die Funktion g(t) = (0, 0, g 2 t2 ) zu addieren, insgesamt gilt also: f(t) + g(t) = (a 1 + t, a 2 + b 2 t, a 3 + b 3 t g 2 t2 ) Wir nehmen an, dass f 2 (t) = 0 für alle t gilt, dh dass wir als Wurfrichtung eine Richtung in der -z-ebene gewählt haben (durch Drehen des Koordinatensstems lässt

5 4-13 Funktionen sich dies immer erreichen), und zeichnen die Bildkurve aller Punkte z (a 1 + t, a 3 + b 3 t g 2 t2 ) (a) Ist 0, so ist dies eine Parabel, die nach unten geöffnet ist Dabei gilt: Die z-koordinate lässt sich in Abhängigkeit von der -Koordinate folgendermaßen beschreiben: z() = u + v + w 2 mit Konstanten u, v, w Beweis: = a 1 + t liefert t = 1 a 1 Also gilt für die dritte Koordinate z = a 3 + b 3 t g 2 ( t2 ) ( ) 2 1 = a 3 + b 3 a 1 g 1 2 a 1 ( ) ( ) ( ) = a 3 b 3a 1 + ga2 1 + g 2 = u + v + w 2 2b 2 1 2b 2 1 (mit u = a 3 b 3a 1, v =, w = ); wichtig ist hier nur, dass wir z in der Form u + v + w 2 schreiben können, nicht dagegen, wie u, v, w gegeben sind (b) Kennen wir drei Punkte auf einer nach unten geöffneten Parabel, so können wir einen quadratischen Term u + v + w 2 angeben, der diese Parabel beschreibt! Beispiel: die Parabel gehe durch die Punkte (1, 1), (4, 4), (6, 4) Mit dem Ansatz p() = u + v + w 2 erhalten wir 1 = p(1) = u + v + w 4 = p(4) = u + 4v + 16w 4 = p(5) = u + 6v + 36w Dies ist ein Gleichungssstem mit drei Gleichungen in drei Variablen, das man auflösen kann Man erhält (nachrechnen!) u = 4, v = 6, w = 1, also handelt es sich um die Parabel: p() = Zusatz zur Wurfparabel Betrachten wir das Bild z

6 Leitfaden 4-14 einer quadratischen Funktion f() = c 2 + b (hier ist a = 0, da f(0) = 0 gilt) Es gilt: Die Tangentensteigung im Ursprung ist b Beweis: Wir interpretieren f() als die Summe der Funktionen c 2 (mit Tangentensteigung 0 im Ursprung) und b (mit Tangentensteigung b) 46 Umkehr-Funktion: Wurzeln Sei f() eine quadratische Funktion Sind wir an einer Umkehrfunktion interessiert, so ist dies nur möglich, wenn wir den Definitionsbereich von f einschränken; auch die Umkehrfunktion, die wir erhalten, kann nicht auf ganz R definiert sein Betrachten wir zum Beispiel die Funktion f() = c 2 mit c > 0 Die Einschränkung auf die nicht-negativen reellen Zahlen R 0 liefert eine Bijektion von R 0 auf R 0, für diese Einschränkung ist die Umkehrfunktion g definiert, man erhält den Graphen von g durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden im ersten Quadranten Aus = c 2 folgt = c, mit der Konstanten c = 1 c (aus c > 0 folgt c > 0) Es ist also g() = c Wie üblich wollen wir auch für die Umkehrfunktion die unabhängige Variable mit bezeichnen, also g() = c f() = c 2 g() = c Von besonderem Interesse ist der Fall der Normalparabel, also c = 1 Dann ist auch c = 1 und wir erhalten als Umkehrfunktion g() =, das Bilden der Quadratwurzel Wie schon gesagt, ist g() nur für reelle Zahlen 0 definiert (aber das wissen wir ja: wir können Quadrat-Wurzeln nur aus nicht-negativen Zahlen ziehen) Noch ein Nachtrag zur Diskussion von konstant beschleunigten Bewegungen In Schulbüchern ist es durchaus üblich, neben den üblichen Zeit-Weg- und Zeit-Geschwindigkeits-Diagrammen auch Weg-Geschwindigkeits-Diagramme zu diskutieren Man denkt dabei zum Beispiel an eine Rennstrecke and trägt auf, an welcher Stelle welche Geschwindigkeit gefahren wird Hier soll kurz herausgearbeitet werden, dass in einem Weg-Geschwindigkeits-Diagramm das Anfahren mit konstanter Beschleunigung durch einen horizontal-liegenden Parabel-Ast beschrieben wird:

7 4-15 Funktionen Beweis: Wie wir wissen, erhalten wir im Zeit-Weg-Diagramm als Graph der Bewegungsfunktion f(t) eine Parabel, und im Zeit-Geschwindigkeitsdiagramm eine Ursprungsgerade (dies ist der Graph der Ableitung f (t)) s f(t) f (t) t t Wollen wir wissen, zu welchem Zeitpunkt ein vorgegebener Punkt der Rennstrecke ereicht wurde, so interessieren wir uns für die Umkehrfunktion g = f 1 von f Ist f(t) = ct 2, so ist g() = c mit einer Konstanten c (nämlich c = 1/ c) Die gesuchte Weg-Geschwindigkeitsfunktion ist nun nichts anderes als die Hintereinanderschaltung der Funktion g mit der Funktion f (t) = 2ct, also die Funktion h() = 2cg() = 2cc