Mathematik GK m3, 2. KA gebr. rat. Funktionen / Steigungen Lösung

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1 Aufgabe 1: Gebrocen rationale Funktion Gegeben ist die folgende gebrocen rationale Funktionen f (x)= 0.5x4 +2 x 3 16x 2 x 3 6x 2 +12x Berecne die Nullstellen der Funktion. (Kontrolllösung: x 1 =0 ; x 2 = 8 ; x 3 =4 ) Hinweis: Die Aufgabe ist lösbar, one eine Nullstelle für den Zäler zu raten (zumal die Lösungen angegeben sind). Ein Lösungsweg, der dieses Probieren als Lösungsweg benutzt ist zulässig, fürt aber zu Punktabzug! Nullstellen der Funktion: Nullstellen des Zälers, die nict gleiczeitig Nullstellen des Nenners sind. NST des Zälers: 0=0.5x n 4 +2 x n 3 16x n 2 0=x n 2 (0.5x n 2 +2 x n 16) Damit ist x 1 =0 ein doppelte NST. Betracte Klammer: 0=0.5x n 2 +2 x n = x n 2 +4x n 32 p-q-formel: x 2 /3 = 2± = 2± 36= 2±6 x 2 = 2 6= 8 ; x 3 = 2+6=4 NST des Nenners: x 4 =2 muss eine Nullstelle sein (siee folgende Aufgabe). Polynomdivision: ( x 3 6x 2 +12x 8):(x 2)=x 2 4x+4 (x 3 2x 2 ) 4x 2 +12x 8 ( 4x 2 +8x) 4x 8 (4x 8) 0 Weitere Nullstellen: 0= x n 2 4x n +4 Mit 2. binomiscer Formel: 0=( x n 2) 2 x 4 =2 ist also eine dreiface NST des Nenners. Es gibt keine Übereinstimmung zwiscen den NST des Zälers und denen des Nenners. Damit sind x 1 =0 ; x 2 = 8 ; x 3 =4 die Nullstellen der Funktion. 1.2 Zeige mit Hilfe einer Recnung, dass x 4 =2 die einzige Polstelle der Funktion ist. Wenn die Recnung dazu bereits in Aufgabe 1.1 gemact wurde, genügt ein Hinweis. siee Recnung Aufgabe Erkläre: Was ist eine ebbare Definitionslücke? Wie siet ein Grap aus, der an der Stelle x 0 eine Polstelle at? Wie siet dazu im Vergleic ein Grap aus, der an der Stelle x 0 eine ebbare Definitionslücke at? Eine ebbare Definitionslücke tritt auf, wenn eine (einface, doppelte, dreiface, usw.) Nullstelle des Nenners gleiczeitig eine (einface, doppelte, dreiface, usw.) Nullstelle des Zälers ist. An einer Polstelle näern sic die Funktionswerte einer senkrecten Asymptote, d.. sie laufen gegen ±. Der Grap verläuft an dieser Stelle genauso wie der Grap der Funktion, bei welcer der betreffende Nullstellenterm gekürzt wurde, abgeseen davon, dass er genau an dieser Stelle ein Loc bzw. eine Lücke at. Seite 1 von 5

2 1.4 Bestimme mit Hilfe einer Recnung das Grenzwertveralten der Funktion für x ±. Polynomdivision: (0,5 x 4 +2x 3 16x 2 ):(x 3 6x 2 +12x 8)=0,5 x+5+ 8x2 56x+40 x 3 6x 2 +12x 8 (0,5 x 4 3x 3 +6x 2 4x) 5x 3 22x 2 +4x (5x 3 30x 2 +60x 40) 8x 2 56x+40 x ± x 3 6x 2 +12x 8 = x ± ( 0,5 x+5+ 8x2 56x+40 x 3 6x +12x 8) = (0,5 x+5)+0=± 2 x ± 1.5 Berecne ggf. vorandene waagerecte oder sciefe Asymptoten. Sciefe Asymptote: g ( x)=0,5 x+5 Recnung siee Aufgabe Erkläre kurz, warum man auc one Recnung am Funktionsterm seen kann, dass es eine sciefe Asymptote sein muss. Weil Zäergrad Nennergrad =1, muss die Asymptote eine lineare Funktion sein. 1.7 Bestimme mit Hilfe einer Recnung das Grenzwertveralten der Funktion an der Polstelle. x 2 x<2 x 3 6x 2 +12x 8 = 0,5 x 2 ( x+8) ( x 4) =+ + + x 2 ( x 2) 3 (+ x<2 = + ) x 2 x>2 x 3 6x 2 +12x 8 = weil bei einer dreifacen Polstelle das Vorzeicen wecseln muss. Seite 2 von 5

3 1.8 Zeicne die Nullstellen, senkrecten Asymptoten und waagerecten oder sciefen Asymptoten in der Koordinatensystem auf der Rückseite des Blattes ein. Skizziere anscließend den Funktionsverlauf mit einem farbigen Stift (nict rot). Seite 3 von 5

4 Aufgabe 2: Durcscnittlice und momentane Steigungen 2.1 Berecne den Differenzenquotienten für die Funktion f (x)=2x 2 +4 im Intervall [2 ;6]. f (b) f (a) f (6) f (2) m= = = ( ) = = 64 b a = Berecne die lineare Näerungsfunktion für die Funktion f (x)=2 x im Intervall [1; 4]. f (b) f (a) f (4) f (1) Steigung: m= = = = 16 2 = 14 Der Punkt (1 f (1)) liegt auf b a dem Grapen von f und auf dem Grapen der linearen Näerungsfunktion, welce die allgemeine Funktionsgleicung g ( x)=mx+n at. Steigung und Punkt einsetzen: g(1)=m 1+n 2 1 = n =n 8 3 =n Damit ist g( x)= 14 3 x Berecne den Differentialquotienten für die Funktion f (x)=2x 2 +4 an der Stelle x 0 =2 mit der -Metode. = = f (x 0 +) f (x 0 ) f (2+) f (2) = 0 2 ( )+4 (8+4) = 0 (8+2)=8 = 0 (2 (2+) 2 +4) ( ) = Berecne den Differentialquotienten für die Funktion f (x)=2x 2 +4 an der Stelle x 0 =2 mit der x-metode. f ( x) f ( x 0 ) x x 0 x x 0 = x 2 = x 2 2( x+2)(x 2) x 2 f ( x) f (2) = x 2 x 2 = x 2 (2(x +2))=2 (2+2)=8 2 x 2 +4 ( ) 2x 2 8 = x 2 x 2 x 2 = 2(x 2 4) x 2 x 2 Seite 4 von 5

5 Aufgabe 3: Halfpipe Wenn ein Skateboard über den Rand einer Halfpipe färt, bewegt es sic genau in die Rictung weiter, die es zuletzt auf der Halfpipe atte, (wenn wir Kleinigkeiten wir die Erdgravitation außer act lassen). Nemen wir an die Form der Halfpipe folgt der Funktion f (x)= 1 40 x4 2 im Intervall [ 3;+3]. Die Halfpipe ist also insgesamt 5 m breit. Berecne die Funktion, welce die geradlinige Flugban des Skateboards bescreibt, sobald das Skateboard die Halfpipe auf der recten Seite verlässt. Gesuct ist die Funktionsgleicung der Tangente an der Stelle x 0 =3. Die Steigung ist gleic dem Differentialquotienten: f (x) f (x m= 0 ) ( 1 40 x4 2 = ) ( ) = 1 x x 0 x x 0 x 3 x 3 40 ( x 4 2) (3 4 2) x 3 x 3 m= 1 40 x 4 81 x 3 x 3 = 1 40 (x 2 +9)( x 2 9) = 1 x 3 x 3 40 (x 2 +9)(x+3)(x 3) x 3 x 3 = 1 40 (x 2 +9)( x+3)= 1 x 3 40 (32 +9)(3+3)= = = =2,7 Der Punkt (3 f (3)) liegt auf dem Grapen von f und auf dem Grapen der Tangenten, welce die allgemeine Funktionsgleicung g ( x)=mx+n at. Steigung und Punkt einsetzen: g(3)=m 3+n = 27 3+n =n =n =n =n Also ist g( x)= x Seite 5 von 5