Differenzial- und Integralrechnung V

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1 Differenzial- un Integralrecnung V Rainer Hauser Dezember Einleitung 1.1 Rationale Funktionen Rationale Funktionen sin Funktionen in er Form von Brücen, eren Zäler un Nenner Polynome sin. Durc vollstäniges Faktorisieren von Zäler un Nenner un anscliessenem Kürzen kann man gemeinsame Faktoren eliminieren un auf iese Weise so genannte beebbare Definitionslücken beeben. Damit aben Zäler un Nenner keine gemeinsamen Nullstellen mer. Die Nullstellen es Zälers sin esalb auc ie Nullstellen er rationalen Funktion, wären ie Nullstellen es Nenners nict beebbare Definitionslücken sin un Pole genannt weren. Die Grapen von rationalen Funktionen aben vertikale Asymptoten bei en Polen. Ist er Gra es Nennerpolynoms grösser als erjenige es Zälerpolynoms, so bilet ie x-acse eine orizontale Asymptote. Sin Zäler- un Nennerpolynom vom gleicen Gra, so gibt es ebenfalls eine orizontale Asymptote, ie aber nict mer mit er x-acse zusammenfällt. Ist er Gra es Zälerpolynoms grösser als erjenige es Nennerpolynoms, so sin auc krummlinige asymptotisce Kurven möglic. 1.2 Ableitung un Integral Polynome lassen sic mit Hilfe er Summen- un Faktorregel, ie urc ie Formeln x (af(x) + b g(x)) = a x f(x) + b x g(x) (af(x) + b g(x)) x = a f(x) x + b g(x) x zusammengefasst weren können, sowie er Potenzregel einfac ableiten un integrieren. Mit Hilfe er Quotientenregel lassen sic rationale Funktionen ableiten. Sin Zäler- oer Nennerpolynom faktorisiert, muss man sie zum Ableiten nict ausmultiplizieren, sonern kann ie Prouktregel benutzen. Das Integrieren von rationalen Funktionen ist ingegen nict so einfac. 2 Kettenregel 2.1 Verkettung von Funktionen Ist beispielsweise f(x) = 3x + 2 un g(x) = x 2, so ist ie zusammengesetzte Funktion bekanntlic efiniert urc g f(x) = g(f(x)) = (3x + 2) 2. Ist f: x y = f(x) un g: y z = g(y), so gilt für ie Zusammensetzung g f: x y = f(x) z = g(y) = g(f(x)). Die Funktion f eisst innere un ie Funktion g eisst äussere Funktion. Ist x y = f(x) un g: y z = g(y), so ist ie Ableitung von g f urc ie Kettenregel x (g f)(x) = x (g(f(x)) = g (f(x)) f (x) (1) bestimmt. Man screibt meist einfacer z x = z y y für ie Funktionen y = y(x) un z = z(y) = z(y(x)). x 1

2 Ist : x x 2 + 3, so kann iese Funktion als = g f zusammengesetzt aus en beien Funktionen f: x x un g: x x betractet weren. Mit f (x) = 2x un g (y) = 1 gilt also für ie Ableitung (x) = g (f(x)) f (x) = Die Kettenregel folgt aus (g f)(x + ) (g f)(x) = 1 2 x x = x x g(f(x + )) g(f(x)) = g(f(x + )) g(f(x)) f(x + ) f(x) urc Einsetzen von k = f(x + ) f(x) un f(x + ) = f(x) + k. Man bekommt (g f)(x + ) (g f)(x) = g(f(x) + k) g(f(x)) k f(x + ) f(x) = 2 y g(y + k) g(y) k mit y = f(x) un kann ie beien Grössen un k wie üblic nac 0 geen lassen. f(x + ) f(x) f(x + ) f(x) 2.2 Integrieren urc lineare Substitution Ist ie Funktion f(x) von er Form g(ax + b), so ergibt sic eine Stammfunktion F, inem man ax + b urc t ersetzt, von t g(t) eine Stammfunktion t G(t) ermittelt un zum Scluss ie Substitution wieer rückgängig mact, was als f(x) = g(ax + b) F (x) = 1 G(ax + b) (2) a zusammengefasst weren kann. Diese als Integrieren urc lineare Substitution bezeicnete Metoe kann urc ie Kettenregel mit F (x) = 1 a G (ax + b) a = g(ax + b) = f(x) bewiesen weren. 1 Ist f(x) = 2 1, so kann mit g(t) = 4x t un G(t) = t + c ie Funktion F (x) = 1 4x c als 4 Stammfunktion von f(x) bestimmt weren. 2.3 Umkerfunktion Wenn f: a b eine Zuornung ist, so ornet f 1 : b a ieselben Elemente miteinaner vertausct zu. Ist f eine Funktion, so gilt f(a) = b un f 1 (b) = a. Allgemein gilt also mit y = f(x) auc x = f 1 (y), aber azu müssen ie Zuornungen x f(x) un y f 1 (y) eineutig sein. Anernfalls muss er Wertebereic eingescränkt weren, um iese Zuornungen eineutig zu macen. ist f(x) = x 2, so ist f 1 (x) = x, wenn man ie Werte von x auf x 0 einscränkt. Der Grap er Umkerfunktion ist er an er Winkelalbierenen y = x gespiegelte Grap er ursprünglicen Funktion, wie man an er nebensteenen Abbilung siet, in er ie Grapen er Funktionen e x un ln(x) abgebilet sin. Die Funktion e x bilet R auf R + ab, un ie Logaritmusfunktion ist somit nur auf R + efiniert. Die Ableitung er Umkerfunktion lässt sic mit er Kettenregel (1) finen. Wegen g(x) = f(f 1 (x)) = x gilt g (x) = 1 = f (f 1 (x)) (f 1 ) (x) un weiter ie Ableitung er Umkerfunktion. x f 1 1 (x) = f (f 1 (x)) (3) 2

3 3 Ableitung un Integral weiterer Funktionen 3.1 Trigonometrisce Funktionen Legt man einen Eineitskreis mit Mittelpunkt M so in ein Koorinatensystem, ass M im Ursprung liegt, so at ein Punkt P auf em Kreis ie Koorinaten (cos(x), sin(x)), wobei x er Kreisbogen von er x-acse zum Punkt P ist. Wie man in er nebensteenen Abbilung siet, sin ie Längen x un sin(x) für kleine Werte x fast gleic. Das eisst aber, ass ie Sinusfunktion bei x = 0 ie Steigung 1 at. Weiter ist ie Steigung er Sinusfunktion bei x = ± π 2 offensictlic 0, weil sic ort ein lokales Minimum bezieungsweise Maximum befinet. Diese Überlegungen mögen ier genügen, um ie folgenen Regeln zu begrünen. Es gilt für ie Sinusfunktion un sin(x) = cos(x) x cos(x) = sin(x) x für ie Cosinusfunktion. Für ie Tangens- un Cotangensfunktion finet man x tan(x) = 1 cos(x) 2 mit er Quotientenregel un mit sin(x) 2 + cos(x) 2 = 1 sin(x) x = cos(x) + c (4) cos(x) x = sin(x) + c (5) x cot(x) = 1 sin(x) 2 Integrale sin nict immer leict zu finen, aber mit er Folgerung f (x) (f(x)) n x = 1 n + 1 (f(x))n+1 aus er Proukt- oer Kettenregel beispielsweise lassen sic kompliziertere Integrale wie as Integral bestimmen. cos(x) sin(x) 2 x = sin(x)3 3 + c 3.2 Exponentialfunktion Die Logaritmusfunktion log a (x) ist ie Umkerfunktion von a x. Um ie Ableitung er Funktion f(x) = a x zu bekommen, formt man en Differenzialquotient folgenermassen f f(x + ) f(x) a x+ a x a x (a 1) (x) = lim = lim = lim um. Wegen f (x) = a x a 1 lim 0 ist er Grenzwert nur vom Wert a, nict aber von x abängig. Approximiert man en Grenzwert für a = 2, bekommt man einen Wert, er kleiner als 1 ist, wären man für a = 3 einen Wert grösser als 1 bekommt. Somit stellt sic ie Frage, ob in er obigen Abbilung zwiscen en Grapen von 2 x un 3 x er Grap einer Exponentialfunktion a x liegt, für ie a 1 lim = 1 0 gilt. Es gibt so eine Funktion mit a = e er Euler scen Zal. Es gilt somit x ex = e x e x x = e x + c (6) für iese Exponentialfunktion. 3

4 Für ie Exponentialfunktionen von er Form f(x) = b a x mit einer beliebigen Basis a lassen sic Ableitung un Integral aus f(x) = b a x = b (e ln(a) ) x = b e ln(a) x mit er Kettenregel (1) un er linearen Substitution (2) bestimmen un lassen sic also auf ie Basis e zurückfüren. Für ie allgemeine Exponentialfunktion f(x) = b e k x gilt f (x) = b k e k x un b e k x x = b k ek x + c. 3.3 Logaritmusfunktion Weil ln(x) ie Umkerfunktion von e x ist, gilt für f(x) = e x nac (3), woraus x ln( x ) = 1 x (f 1 ) (x) = x ln(x) = 1 f (f 1 (x)) = 1 e ln(x) = 1 x 1 x x = x 1 x = ln( x ) + c (7) für ie Ableitung un as Integral folgt. (Damit ist auc as Integral für f(x) = x n mit n = 1 gefunen, as sic mit er Potenzregel nict bestimmen lässt.) Die allgemeine Logaritmusfunktion f(x) = log a (x) lässt sic mit em Basiswecselsatz für en Logaritmus log a (b) log b (c) = log a (c) bestimmen. Wegen log a (x) = ln(x) ln(a) folgt x log a(x) = 1 ln(a) 1 x für alle a > 0. Man löst [ 5 ] 2 3x + 2 x = 3 ln( 3x + 2 ) = 5 ( ) 5 ( 8 ) ln(8) ln(2) = ln = 5 ln(4) mit linearer Sub- 2 3 stitution (2). Weil beim Logaritmus nur positive Werte von x erlaubt sin, ie Funktion x x 1 aber ausser für x = 0 überall auf R efiniert ist, at man ie Ableitung un as Integral in (7) mit einem eleganten Trick auf ganz R \ {0} ausgeent. Mit ln( x ) wir ie Logaritmusfunktion als ln( x) auf negative x erweitert. 4 Anwenungen 4.1 Extremwertaufgaben Probleme mit Extremwerten sin äufig. In er Wirtscaft will man beispielsweise en Gewinn maximieren un ie Kosten minimieren. Bei Extremwertaufgaben get man wie folgt vor: 1. Man bestimmt eine Formel für ie Grösse, ie extremal gemact weren soll. 2. Durc Nebenbeingungen eliminiert man alle Variablen bis auf eine. 3. Man untersuct, für welcen Definitionsbereic ie Formel sinnvoll ist. 4. Man bestimmt ie Stellen, für ie ie urc ie Formel ausgerückte Funktion extremal ist. Man beacte, ass ie extremalen Stellen auc auf em Ran es Definitionsbereics liegen können. In einem Dacstock möcte er Besitzer es Hauses einen Raum wie in er nebensteenen Abbilung gezeigt einricten. Der Raum in er Form eines Quaers soll ein möglicst grosses Volumen aben. Im ersten Scritt bestimmt man eine Formel für as Volumen, as maximiert weren soll. Man mact also en Ansatz V = x y 10, wobei man ie Eineit Meter weglassen kann, weil alle Masse in Meter angegeben sin. Im zweiten Scritt versuct man, y urc x un ie gegebenen Grössen auszurücken. Aus en Stralensätzen folgt x : 8 = (5 y) : 5, womit man y = x in er obigen Formel einsetzen un V = x (5 5 8x) 10 bekommen kann. 4

5 Diese Formel liefert, wie man sic im ritten Scritt überlegt, für x-werte im offenen Intervall von 0 bis 8 ein Volumen V > 0. Der Definitionsbereic ist also 0 < x < 8. Im vierten un letzten Scritt bestimmt man ie extremalen Stellen urc Ableiten er Funktion V (x) = x ( x) 10 = 50x 4 x2 un bekommt aus V (x) = x en stationären Punkt x = 4. Ist x = 4 m, so ist y = 2.5 m un as maximale Volumen ist somit V max = 100 m 3. Mancmal aben Extremwertaufgaben auc einen Parameter wie im folgenen istoriscen Beispiel. Zur Zeit von Joannes Kepler at man as Volumen eines Fasses öcst ungenau amit bestimmt, ass man einen Stab ins Spunloc gesteckt at un ie maximal möglice Länge es Stabes im Fass wie in er nebensteenen Abbilung argestellt bestimmt at. Ein Fass mit ser grosser Länge l un ser kleinem Raius r at zwar ein kleines Volumen, aber ie Länge es Stabes kann so ser gross gemact weren. Da zu jener Zeit ie Fässer zum Transport von Flüssigkeiten ergestellt wuren, gab es keine Fässer mit absurer Länge un verscwinenem Raius. Die folgene Aufgabe ist esalb eer akaemisc. Fässer sin normalerweise baucig, sollen ier aber als Zyliner matematisc argestellt weren, un as Spunloc sei exakt in er Mitte einer Mantellinie. Die Frage ist, wie gross as Volumen eines Fasses maximal sein kann, wenn ie Grösse fest gegeben ist. Der Parameter in ieser Aufgabe ist ie Grösse. Das zu maximierene Volumen es Fasses ist V = π r 2 l. Nac em Satz von Pytagoras gilt 2 = ( l 2 )2 + (2r) 2, soass man eine er beien Unbekannten l un r eliminieren kann. Eliminiert man r 2 = ( 2 )2 ( l 4 )2 un setzt x = l, so wir V (x) = π (( 2 )2 ( x 4 )2) x. Weil V von abängt, screiben wir nac Vereinfacungen V (x) = π 2 4 x π 16 x3 efiniert für 0 < x < 2. Setzt man ie Ableitung von V (x) gleic 0, bekommt man V π 2 (x) = 16 x2 = 0 mit er positiven Lösung x = l = 2 3 un r = 6. Für as Verältnis gilt l : r = 2 2, soass as Volumen es Fasses für gegebenes bei iesem Verältnis am grössten ist. 4 3π Wenn eine Funktion mit Wurzeln maximiert oer minimiert weren soll, erscwert as ie Berecnung. Glücklicerweise gilt aber, ass jee Extremstelle von x f(x) auc Extremstelle von x (f(x)) 2 ist. Ist also f(x) eine Wurzelfunktion, kann man stattessen ie wurzelfreie Funktion f(x) 2 untersucen. Gesuct ist ie maximale Rectecksfläce A = x y, ie man einem Halbkreis mit Raius r einscreiben kann. Für ie Recnung sei r = 2 angenommen. Mit x y2 = r 2 = 4 kann man y eliminieren un bekommt A(x) = x 4 x2 4. Statt A(x) zu maximieren, bestimmen wir ie stationären Punkte von B(x) = (A(x)) 2 = x 2 (4 x2 4 ) un bekommen B (x) = x(8 x 2 ) mit en rei Lösungen x = 0 un x = ±2 2, von enen nur x = 2 2 im Definitionsbereic 0 < x < 2r liegt. Es folgt y = 2 un A = Funktionsscaren Mancmal möcte man nict eine einzelne Funktion, sonern eine Menge von Funktionen, eren Elemente urc einen Parameter unterscieen weren, gemeinsam mit matematiscen Mitteln untersucen. Ist ie Grösse a er Parameter, so screibt man für ie einzelne Funktion f a (x) un nennt ie Menge aller urc a parametrisierten Funktionen eine Funktionsscar. Im Punkt (0, 0) stee eine Wurfmascine, ie as Ziel im Punkt (10, 2) treffen soll. Je nac Abwurfwinkel gibt es eine Flugban y = ax 2 +bx+c, ie urc ie beien Punkte (0, 0) un (10, 2) get. Der Parameter a muss negativ sein, un ie beien Parameter b un c lassen sic eliminieren. Weil ie Flugban urc (0, 0) geen muss, ist c = 0, un weil ie Flugban urc (10, 2) get, ist b = a. Die Flugban für ein gegebenes a < 0 ist also er Grap er Funktion f a (x) = ax 2 + (0.2 10a)x. Eine Funktionsscar als parametrisierte Menge von Funktionen lässt sic als Ganzes analysieren. Die Ableitung etwa ist f a(x) = 2ax + (0.2 10a), un er Sceitel er Flugban liegt beim x-wert x = a. 5

6 4.3 Differenzialgleicungen In er algebraiscen Gleicung 3x 2 7x + 5 = 0 wir eine reelle Zal gesuct, welce iese Gleicung erfüllt. Um sie zu erfüllen, muss ieselbe Zal für as x im quaratiscen un für as x im linearen Term eingesetzt weren. In einer Differenzialgleicung oer einem Differenzialgleicungssystem wir nict eine Zal, sonern eine Funktion gesuct, wobei Bezieungen zwiscen er Funktion un einigen irer Ableitungen gegeben sin. Eine einface Differenzialgleicung ist f(x) = f (x). Sie verlangt, ass eine Funktion gleic irer Ableitung ist. Diese Bezieung lässt sic beispielsweise urc f(x) = e x erfüllen, weil nac (6) ie Ableitung von e x auc wieer e x ist. In er Pysik kommen Differenzialgleicungen äufig vor. Ist s(t) er Ort eines Massenpunktes zur Zeit t, so ist ie Gescwinigkeit v(t) ie Ableitung von s(t) nac t un Bescleunigung a(t) ie Ableitung von v(t) bezieungsweise ie zweite Ableitung von s(t) nac t. Ist ie wirkene Kraft F abängig vom Ort, so fürt as wegen Kraft gleic Masse mal Bescleunigung zu einer Differenzialgleicung. Dieser Zusammenang soll am Hooke scen Gesetz vereutlict weren. Nac iesem Gesetz ist ie Kraft proportional zur Auslenkung s(t), un es gilt somit für ie Feerkraft F = D s(t) mit er Feerkonstanten D. Wegen F = m a(t) un a(t) = v (t) = s (t) eisst as F = D s(t) = m s (t). Diese Gleicung beauptet einen Zusammenang zwiscen er Funktion s(t) un eren zweiter Ableitung. Löst man iese Differenzialgleicung, bekommt man ie Bewegungsgleicung für en Massenpunkt in ieser Situation. Für ie Differenzialgleicung screiben wir s (t) = k s(t) mit k = D m. Nac (4) un (5) sin ie Sinus- un Cosinusfunktion geeignete Kaniaten zur Lösung ieser Differenzialgleicung. Mit em Ansatz s(t) = A sin(a t)+b cos(b t) ist s (t) = A a 2 sin(a t) B b 2 cos(b t). Um ie Gleicung s (t) = k s(t) zu erfüllen, muss a 2 = b 2 = k oer a = b = k gelten. Desalb screibt man lieber s (t) = ω 2 s(t) mit a = b = ω. Die Funktion s(t) = A sin(ω t) + B cos(ω t) mit ω 2 = D m ist also eine Lösung er aus em Hooke scen Gesetz abgeleiteten Differenzialgleicung. 6