7.2. Ableitungen und lineare Approximation

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1 7.. Ableitungen und lineare Approximation Eindimensionale Ableitungen und Differentialquotienten einer Funktion bekommt man bekanntlic als Limes von Differenzenquotienten f ( a) = f ( a + ) f( a ) = x a f( x ) f( a) x a. Die Steigung der Tangente in einem Punkt mit der Ordinate a ist nicts anderes als die Ableitung vorausgesetzt natürlic daß diese Tangente existiert d.. daß die Funktion zumindest in diesem Punkt differenzierbar ist (insbesondere keinen Knick und keinen Sprung at). Es gilt dann f ( a + ) = f( a ) + f ( a ) + o( ) wobei o( ) eine Funktion ist die scneller gegen 0 konvergiert als d.. o( ) = 0. Beispiel : Parabel und Tangente f( x ) = x f ( a + ) = f( a ) + f ( a) + o( ) ( a + ) = a + a + f ( a) = a o( ) =

2 Einige spezielle Ableitungen Die Ableitung der Potenzfunktion x n ist n x ( n ) : ( a + ) n a n = n a ( n ) + ( q( ) ) mit einem Polynom q( ) one konstantes Glied. Die Ableitung der Exponentialfunktion e( x ) = e x ist e x : e ( a + ) e( a) = e( a ) 0 e( ) = + 0 k = k! ( k + ) e( a ) = e( a ). Die Ableitung der Logaritmusfunktion ln( x ) ist x : x a ln( x ) ln( a ) x a y b = = e( y ) e( b ) y b e( b ) = a ( mit y = ln( x ) und b = ln( a )). Die Ableitung der Sinusfunktion sin( x ) ist cos( x ) : sin ( a + ) sin( a) sin( a ) cos( ) + cos( a ) sin( ) sin( a ) = = sin( a) cos( ) + cos( a ) sin( ) = cos( a ). Dazu berecnen wir cos( ) = sin( ) = ( cos( ) + ) cos( ) ( cos( ) + ) 0 sin( ) = 0 Die Ableitung der Cosinusfunktion cos( x ) ist sin( x ) (mit einer änlicen Recnung). Lineare Approximation sin( ) cos( ) + = 0. Entsprecende Approximationsmöglickeiten at man auc für Funktionen zwiscen Teilmengen merdimensionaler Räume wobei man Tangenten im Falle von Kurven durc Tangentialvektoren im Falle von Fläcen bzw. Funktionsgebirgen ingegen durc Tangentialebenen zu ersetzen at. Aus der linearen Algebra wissen wir andererseits daß man Geraden Ebenen und allgemeinere Unterräume mit Hilfe linearer Abbildungen und diese wiederum mit Matrizen bescreiben kann. Gegeben sei eine Funktion f zwiscen einer Teilmenge A des R n und einer Teilmenge B des R m. Wir wollen Funktionswerte f ( a + ) in der Näe eines Punktes (bzw. Vektors) a im Inneren des Definitionsbereics A annäern (approximieren) indem wir zum Funktionswert f( a ) den Wert einer geeigneten linearen Funktion angewandt auf einen Versciebungsvektor aus R n addieren.

3 Die Ableitung m x n. der Funktion f an der Stelle a ist eine mit f ( a ) oder Df(a) bezeicnete Matrix (!) aus R ( ) Sie existiert und ist festgelegt durc die Gleicung f ( a + ) = f( a ) + f ( a ) + o( ) falls die Restfunktion o( ) scneller gegen 0 get als der Vektor (!). Präzise bedeutet das: oder explizit: o( ) = 0 Zu jedem ε > 0 gibt es ein δ > 0 so daß aus < δ stets o( ) < ε folgt. Im Allgemeinen ängt die Funktion o( ) nict nur von sondern auc von der Funktion f und meist auc von der gewälten Stelle a ab. Existiert die Ableitung in jedem Punkt einer Teilmenge T von A so wird dadurc eine neue Abbildung Df = f von T nac R ( m x n ) definiert die jedem Punkt aus T die Ableitung in diesem Punkt zuordnet. Das (totale) Differential von f an der Stelle a ist die zugeörige lineare Abbildung df( a ) von R n nac R m mit df( a )( ) = f ( a). Falls es existiert nennt man f (total) differenzierbar im Punkt a. Die Tangentialfunktion Tf( a)( x ) = f( a ) + f ( a ) ( x a) bescreibt anscaulic die lineare Approximation an f in der Näe des Punktes a wobei wir ier den variablen Punkt a + mit x bezeicnet aben. Wie man merdimensionale Ableitungen Differentiale und Tangentialfunktionen generell berecnet werden wir in Kürze mit Hilfe sogenannter partieller Ableitungen seen. Zunäcst betracten wir einige einface Beispiele wo solce Recnungen überflüssig sind. Spezialfall : Affine Abbildungen Die einfacsten und "glattesten" differenzierbaren Funktionen sind natürlic diejenigen die sic selbst linear approximieren d.. selbst linear oder wenigstens affin sind also von der Form f( x ) = M x + c mit einer Matrix M aus R ( m x n ) und einem konstanten Vektor c aus R m. Für solce Abbildungen f ist f ( a) = M konstant. Spezialfall : Eindimensionale Ableitungen Für m = und n = ist f ( a ) eine Zal und zwar die üblice Ableitung (Steigung) im Punkt a.

4 Die Tangentialfunktion Tf( a)( x ) = f( a ) + f ( a ) ( x a) ist dann durc eine "Punkt-Steigungs-Gleicung" gegeben. Beispiel : Kubisce Parabel f(x) = x 3 f ( a + ) = f( a ) + f ( a) + o( ) ( a + ) 3 = a a + 3 a + 3 f ( a) = 3 a o( ) = 3 a + 3 Tf( a)( x ) = 3 a x a 3 Spezialfall 3: Ableitungen von Kurven Eine auf einem Intervall definierte Funktion f nac R m bescreibt eine Kurve im m-dimensionalen Raum insbesondere eine ebene Kurve für m = und eine Raumkurve für m = 3. Der Spaltenvektor f ( a ) ist ein Tangentialvektor an die Kurve im Punkt a pysikalisc interpretierbar als Gescwindigkeitsvektor falls man die Eingangsvariable als Zeitparameter auffaßt. Sein Betrag ist die (skalare) Gescwindigkeit (die man z.b. auf der Skala des Tacometers abliest). Beispiel 3: Ebene Rollkurven ensteen etwa durc Abrollen eines kleinen um einen großen Kreis. Bei fest gewälten Zalen c (Abstand vom Mittelpunkt des abrollenden Kreises mit Radius ) und d (Abstand der Mittelpunkte) sind sie gegeben durc k(t) = d cos( t) c cos( d t). d sin( t) c sin( d t) Die Ableitung wird für die beiden Koordinatenfunktionen separat bestimmt.

5 k ( t) = d sin( t) + c d sin( d t ) k ( t ) = d cos( t) c d cos( d t ). Die Tangenten zum Zeitpunkt t aben dann die komponentenweise Parameterdarstellung k ( t ) + s k ( t ) = d cos( t) c cos( d t) + s d ( sin( t) + c sin( d t ) ) k ( t ) + s k ( t ) = d sin( t) c sin( d t) + s d ( cos( t ) c cos( d t ) ). Für den Sonderfall c = 0 aben wir einfac eine Rotation um den Ursprung im Abstand d. Der Tangentialvektor [ d cos( t ) d sin( t )] T at die gleice Länge wie der rotierende Radiusvektor und stet senkrect auf diesem. Dies eröffnet eine besonders anscaulice Möglickeit die Ableitung von Sinus und Cosinus zu bestimmen: Der Radiusvektor des Eineitskreises mit Spitze beim Winkel t (im Bogenmaß!) ist r( t ) = [ cos( t ) sin( t) ] T. Seine Ableitung ist ein Tangentialvektor also senkrect dazu. Der Quotient aus der Länge des Differenzvektors zwiscen zwei Radien und dem entsprecenden Kreisbogenstück r ( t + ) r( t ) näert sic dem Wert wenn gegen 0 strebt. Also muß der Ableitungsvektor die Länge aben. Es bleibt nur die Möglickeit r ( t ) = [ sin( t ) cos( t) ] T und wir aben die Ableitungen von Cosinus und Sinus one Recnerei mit einem Sclag erledigt.

6 Für den Fall c = und d = 6 zeicnen wir noc einmal die Rollkurve und dazu einige Tangentialvektoren. Die skalare Gescwindigkeit ist die Länge des jeweiligen Tangentialvektors in diesem Beispiel also ( d sin( t ) + c d sin( d t )) + ( d cos( t ) c d cos( d t )) = d + c c cos ( ( d ) t) Wie man an der Länge der Tangentialvektoren siet wird in den stärker gekrümmten Kurven abgebremst. Die obige Rollkurve at nict eine Secser- sondern eine Fünfer-Symmetrie denn das Verältnis des großen zum kleinen Kreisradius ist gleic d = 5. Das Kurvenbild wiederolt sic also bei einer Umdreung fünf mal. Beispiel 4: Eine räumlice Scneckenlinie wäcst mit einem exponentiellen Faktor c t. Bei Rotation um die Wacstumsacse enstet daer folgende Kurve: f( t ) c t cos( t) c t ln( c ) cos( t) c t sin( t ) = c t sin( t) f ( t ) = c t ln( c ) sin( t) + c t cos( t ) d c t d c t ln( c ) c =.05 d = 3

7 Spezialfall 4: Ableitungen von Fläcen Eine Funktion f von einer Teilmenge des n-dimensionalen Raumes R n nac R bescreibt eine Hyperfläce im Falle n = eine gewönlice Fläce. Die Tangentialebene im Punkt a ist dann gegeben durc die obige Tangentialfunktion Tf ( a x ). Man nennt den Zeilenvektor f ( a ) in diesem Fall den Gradienten im Punkt a. Der lineare Zuwacs f ( a ) ( x a) ist als Skalarprodukt der Zeile f ( a ) mit der Spalte x a zu versteen. Im Folgenden interessiert uns vor allem der Fall n =. Hier ist alternativ folgende Notation üblic: Man bezeicnet die beiden Komponenten - eines festen Punktes bzw. Ortsvektors mit x 0 und y 0 - eines variablen Punktes bzw. Vektors mit x und y. Der Differenzvektor at dann die Komponenten = x x 0 und = y y 0 und die Tangentenfunktion einer im Punkt ( x 0 y 0 ) differenzierbaren Funktion f lautet Tf( x 0 ) ( x y ) = f ( x 0 ) + f x ( x 0 )( x x 0 ) + f y ( x 0 )( y y 0 ) wobei f x ( x 0 ) und f y ( x 0 ) die Komponenten des Gradienten f ( x 0 ) sind die so genannten partiellen Ableitungen nac x und y. Man erält sie indem man nac einer der Variablen ableitet und dabei die andere als Konstante betractet. Mer davon in Abscnitt 7.3.) Wenn man es ganz genau nimmt muss man ier überall eigentlic x f 0 statt f ( x y 0 ) usw. 0 screiben. Das ist aber ebenso unbequem wie platzraubend und wird fast nie gemact. Beispiel 5: Paraboloid mit Tangentialebenen f ( x y ) = x + y f ( x ) = x 0 + y 0 + x 0 + y f ( x 0 ) = [ x 0 y 0 ] o( ) = f( ) Tf ( x 0 ) ( x y ) = + + x 0 ( x x 0 ) + y 0 ( y y 0 ) x 0 y 0

8 Wagen wir uns jetzt noc an beliebige Dimensionen m und n. Koordinatenfunktionen und Jacobi-Matrix Im allgemeinsten Fall einer beliebigen Funktion f von R n nac R m betractet man die Koordinatenfunktionen f i von R n nac R mit f( a) T = [ f ( a )... f m ( a )]. Falls f in a differenzierbar ist at die Jacobi-Matrix genannte Ableitung Df( a ) = f ( a ) als Zeilen die Gradienten Df i ( a ). Es ist also speziell für m = und n = (nac Umbenennung von x in x und von x in y): Df ( x y ) = ( x y ) f y ( x y ) ( x y ) ( x y ) f x f x f y Dabei ist ( x y ) die Ableitung von f ( x y ) nac x bei konstant gealtenem y usw. f x Beispiel 6: Eine Jacobi-Matrix f ( x y ) Df ( x y ) x + y = x y x y = y x Die beiden Koordinatenfunktionen in einem Bild: Differentiationsregeln Die aus der eindimensionalen Differentialrecnung bekannten Regeln für das Ableiten zusammengesetzter Funktionen treffen bei rictiger Interpretation auc für öere Dimensionen zu. Was wir über stetige Funktionen gesagt aben gilt entsprecend abgewandelt auc für zwei differenzierbare Funktionen f und g. Summenregel Sind f und g auf der gleicen Menge differenzierbar so auc f +g und f - g und es gilt (f +g) = f + g (f - g) = f - g.

9 Produktregel Sind f und g differenzierbare Funktionen von einer Menge A reeller Zalen nac R m und bedeutet f * g das elementweise Skalarprodukt (oder das Vektorprodukt falls m = 3) so ist auc die Funktion f * g von A nac R wieder differenzierbar und für a aus A gilt: (f * g) (a) = f (a) * g(a) + f(a) * g (a). Speziell gilt für den eindimensionalen Fall (in verkürzter Screibweise): (f g) = f g + f g. Kettenregel Ist der Wertebereic von g eine Teilmenge des Definitionsbereics von f so ist die durc (f o g)(x) = f(g(x)) definierte Verknüpfung f o g wieder differenzierbar mit den Ableitungen (f o g) (a) = f (g(a)) g (a). Dabei stet auf der recten Seite das Matrizenprodukt! Rezept: äußere Ableitung bilden - einsetzen - innere Ableitung bilden - multiplizieren Das Bilden der inneren Ableitung (nac g) wird Nacdifferenzieren genannt. Der Beweis der Kettenregel mit Hilfe der linearen Approximation ist relativ einfac wir lassen in ier aber weg. Die Kettenregel ist eines der wictigsten Werkzeuge für die Berecnung versciedenster Ableitungen. Komplizierte Funktionen können mit irer Hilfe in einfacere "zerlegt" werden.

10 Beispiel 7: Die Produktabbildung p von R nac R ist gegeben durc p ( x y ) = x y. Vergleicen wir die explizite Gleicung mit der teoretiscen Formel so seen wir: p (xy) = [ y x ]. p ( x ) = x 0 y 0 + y 0 + x 0 + p ( x ) = p ( x 0 ) + p ( x 0 ) + o ( ) Mit der Kettenregel folgt nun sofort die Produktregel: (f g) = (p o (fg)) = (p o (fg)) (f g ) = g f + f g. Analog get es in öeren Dimensionen mit dem Skalarprodukt (und im R 3 sogar mit dem Vektorprodukt aber das wird etwas komplizierter). Beliebige Exponenten und Basen Für Potenzfunktionen x c mit konstanten nictnegativen Exponenten c liefert die Kettenregel die Ableitung D( x c ) = D ( e( c ln( x ) )) = e( c ln( x ) ) c x = c x xc = c x ( ) wärend c x bei konstanter Basis c die folgende Ableitung at: Inversionsregel D( c x ) = D ( e( x ln( c ) )) = e( x ln( c ) ) ln( c ) = c x ln( c ). c Ist f invertierbar und differenzierbar so auc die Umkerfunktion g mit f( x) = y <=> x = g( y ) und es gilt Dg(x) = Df ( g( x )) ( ). Auc diese Gleicung bei der die recte Seite die Inverse der Matrix Df ( g( x ) ) bedeutet folgt unmittelbar aus der Kettenregel: Wegen f o g (x) = x ist D(f o g)(x) die Eineitsmatrix. (Leider kann man nict so einfac die Differenzierbarkeit der Umkerfunktion einer differenzierbaren Funktion beweisen; aber das ist für die Praxis auc weniger wictig.) Ableitungen von Umkerfunktionen Mit der Inversionsregel erält man viele wictige Formeln für das Differenzieren (und später auc das Integrieren) gängiger Funktionen z.b.

11 Funktion Ableitung Umkerfunktion Ableitung x c c x ( ) c c x e x e x ln( x ) sin( x ) cos( x ) = sin( x ) arcsin( x ) cos( x ) sin( x) = cos( x ) arccos( x ) tan( x ) + tan( x ) arctan( x ) cot( x ) cot( x ) arccot( x ) c x c x x x + x + x sowie analoge Formeln für die "yperboliscen" Funktionen sin(x) cos(x) usw. Beacten Sie daß arcsin( x ) und arccos( x ) zwar die gleice Ableitung aben aber nict die selbe Funktion darstellen sondern sic um die additive Konstante π untersceiden: π π arccos( x ) = arcsin( x ) und analog arccot( x ) = arctan( x ). arcsin( x ) arcsin ( x ) = x arctan( x ) arctan ( x ) = + x