Repetitorium der Mathematik. StR Markus Baur

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1 Repetitorium der Matematik StR Markus Baur

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3 Repetitorium der Matematik für die bayerisce Oberstufe Markus Baur Studienrat für Matematik und Pysik Werdenfels-Gymnasium Wettersteinstraße Garmisc- Partenkircen

4 Inaltsverzeicnis 1 Grundlagen Analysis Grundsätzlice Zielsetzung Gleicungen und deren Lösungsmetoden Quadratisce Gleicungen Die algebraisce Gleicung Die Exponentialgleicung Logaritmusgleicungen Wurzelgleicungen Grenzwerte und Stetigkeit einer Funktion Grundlegende Definitionen Grenzwertrecnung bei gebrocen-rationalen Funktionen Elemente der Differentialrecnung Die Ableitungsfunktion Bescreibung des Krümmungsveraltens Elemente der Differentialrecnung bei rationalen Funktionen Weitere Ableitungsregeln Die Exponentialfunktion Die Logaritmusfunktion Trigonometrisce Funktionen Elemente der Kurvendiskussion Elemente der Integralrecnung Grundlegende Definitionen und Eigenscaften Integralfunktion und Stammfunktion Der Hauptsatz der Infinitesimalrecnung Anwendungen der Integralrecnung

5 Inaltsverzeicnis Vorwort Dieses Repetitorium stellt einen Wiederolungskurs für die Scülerinnen und Scüler der 12. Jargangsstufe an bayeriscen Gymnasien dar. Mit diesem Band (bzw. mit diesem pdf- Dokument) soll erreict werden, dass dem Leser ein umfassender Überblick über die Feinstruktur der drei Facgebiete gewärt wird. Vor allem auf dem Gebiet der Analysis auc als Infinitesimalrecnung bezeicnet sollen die Grundlagen und Grundstrukturen deutlic erausgestellt werden. Aus diesem Grund liegt der didaktisce Scwerpunkt auf diesem Kernziel und weniger auf einer ausscweifenden Einfürung in die einzelnen Detailaspekte der Facgebiete. Dies entsprict damit der Zielsetzung eine übersictlice Zusammenfassung zur Prüfungsvorbereitung zu screiben. Der Einstieg in die Facgebiete erfolgt durc eine Darstellung der Grundfertigkeiten. In der Analysis wird nac den Grundlagen dann ausfürlic auf die Funktionsklassen eingegangen. Mit diesem Vorgeen sollen die Leser mit den von der Konferenz der Kultusminister für Matematik Kernkompetenzen vertraut gemact werden. Dabei werden die folgenden 6 Kategorien unterscieden: K1: Matematisc argumentieren K2: Matematisce Probleme lösen K3: Matematisc Modellieren K4: Matematisce Darstellungen benützen K5: Umgang mit den symboliscen, tecniscen und formalen Elementen der Matematik K6: Matematisc kommunizieren Die in diesem Repetitorium angebotenen Aufgaben orientieren sic an diesen von der Konferenz der Kultusminister für das Abitur verbindlic vorgescriebenen und oben formulierten Kernkompetenzen. Garmisc- Partenkircen, den M a r k u B a ur 2

6 1 Grundlagen Analysis Die Analysis ist der Grundstein der modernen Naturwissenscaften. Vorallem die Pysik mit iren Bedürfnissen waren oft der Motor für die Weiterentwicklung der Matematik auf dem Gebiet der Infinitesimalrecnung. 1.1 Grundsätzlice Zielsetzung Die Anlaysis kann man in zwei untersciedlicen Hauptrictungen seen: Die erste Rictung bestet darin ausgeend von einem Funktionsterm möglicst viele Informationen durc geeignete Recnungen zum Verlauf des Funktionsgrafen zu erzielen, um den Grafen in einem Koordinatensystem one kleinscrittige Wertetabelle möglicst exakt zeicnen zu können. Die zweite Rictung get von einem vorgegebenen Grapen aus, von dem wiederum so viele Eigenscaften gewonnen werden können, damit man den Grapen mit Hilfe einer Funktionsgleicung modellieren kann. Beide Rictungen sind Gegenstand des matematisc- wissenscaftlicen Unterricts in der Oberstufe. 1.2 Gleicungen und deren Lösungsmetoden Gleicungen sind in der Infinitesimalrecnung ein wictiges Instrument. Mit Gleicungen werden carakteristisce Stellen des Funktionsgrapen einer Funktion berecnet, etwa die Nullstellen, Extremastellen oder Wendestellen. 1 Quadratisce Gleicungen In diesem Paragrap wird kurz wiederolt, wie eine Gleicung der Form ax 2 + bx + c = 0 zu lösen ist: Exemplarisc wird die nacsteende Gleicung gelöst: 2x 2 18x + 16 = 0 3

7 1 Grundlagen Analysis 1. Normierung: 2x 2 18x + 16 = 0 2 x 2 9x + 8 = 0 2. Isolation des x- freien Glieds: x 2 9x = 8 3. Quadratisce Ergänzung x 2 9x + ( ) 2 9 = Anwendung der binomiscen Formel und radizieren: ( x 9 ) 2 = x 9 2 = Auflösen des Betrags und Berecnung der Lösungen: x 1 = = 16 2 = 8 x 2 = = 2 2 = 1 Die Lösung einer quadratisce Gleicung kann man in folgende Scritte zusammenfassen: 1. Normierung der Gleicung: Es werden alle Termglieder durc den Koeffzienten a dividiert. 2. Das x- freie Termglied wird auf einer Gleicungsseite isoliert. 3. Auf beiden Seiten wird die Hälfte des Koeffizienten vor dem linearen Glied im Quadra addiert: ( ) b 2 2a 4. Es wird die passende binomisce Formel angewendet und anscließend beide Gleicungsseiten radiziert. 5. Die Lösungen erält man nac Auflösung des Betrags. 4

8 1.2 Gleicungen und deren Lösungsmetoden 2 Die algebraisce Gleicung Unter einer algebraiscen Gleicung wird eine Gleicung verstanden, die mindestens vom Grad 3 ist: Ein Beispiel ist: x 3 x 2 x + 1 = 0 1. Zunäcst wird durc gezieltes Raten eine Nullstelle gefunden x 0 = 1 2. Es wird dann eine Polynomdivision durcgefürt, indem durc x x 0 dividiert wird. ( x 3 x 2 x + 1 ) ( x 1 ) = x 2 1 x 3 + x 2 x + 1 x 1 0 Das Ergebnispolynom ist um einen Grad niedriger. Ist die Gleicung vom Grad größer als 3, dann muss die Polynomdivision so oft wiederolt werden, bis der Grad des Ergebnispolynom den Grad 2 erält. 3. Die so entsteende quadratisce Gleicung kann dann wie im vorigen Kapitel gelöst werden. In unserem Fall ist dies sogar noc einfacer, denn es entstet eine reinquadratisce Gleicung: x 2 1 = 0 x 1 = 1 x 2 = 1 Die Lösung einer algebraiscen Gleicung gesciet am besten durc folgende Vorgeensweise: 1. Durc Raten wird eine Nullstelle x 0 ermittelt. 2. Es wird eine Polynomdivision mit dem Divisor x x 0 durcgefürt. Dadurc wird das Ergebnispolynom um einen Grad reduziert. Diese beiden Scritte werden so lange wiederolt, bis das Ergebnispolynom den Grad 2 besitzt. 3. Die nun entstandene quadratisce Gleicung kann dann wie im ersten Abscnitt gelöst werden. 5

9 1 Grundlagen Analysis 3 Die Exponentialgleicung Unter einer Exponentialgleicung verstet man eine Gleicung, bei der die Unbekannte im Exponenten stet. e x 3 = 4 e x 1. Isoliere die Potenzen auf einer Seite der Gleicung: 2e x = 7 2. Dividiere alle Glieder der Gleicung durc den Koeffizienten vor der Potenz: e x = Wende auf beiden Seiten den natürlicen Logaritmus an: ( ) 7 x = ln 2 Eine Exponentialgleicung wird in der Grundform in folgenden Scritten gelöst: 1. Isoliere die Potenzen mit unbekannten Exponenten auf einer Seite der Gleicung und fasse sie zusammen. 2. Dividiere alle Termglieder durc den dadurc vor der Potenz entsteenden Koeffizienten. 3. Wende auf beiden Seiten den natürlicen Logaritmus an. 4 Logaritmusgleicungen Eine Logaritmusgleicung ist eine Gleicung, bei der die Unbekannte im Argument des Logaritmus vorkommt. ln(x + 3) ln(2 x) = ln 5 1. Bestimme die Definitionsmenge der Logaritmusgleicung: Das Argument des Logaritmus darf nict 0 oder negativ sein. Dies fürt zur Lösung der folgenden Ungleicungen: x + 3 > 0 x > 3 2 x > 0 x < 2 Nimmt man nun beide Ergebnisse zusammen, dann ergibt sic für die Gleicung die nacsteende Definitionsmenge: D =] 3; 2[ 6

10 1.2 Gleicungen und deren Lösungsmetoden 2. Zusammenfassen der linken Seite durc Anwendung der Logaritmusgesetze: ( ) x + 3 ln = ln 5 2 x 3. Damit diese Gleicung war ist müssen die Argumente übereinstimmen, was zu der Forderung fürt: x x = 5 4. Auflösen der entstandenen Gleicung: x + 3 = 5(2 x) x + 3 = 10 5x 6x = 7 x = 7 6 Da das Ergebnis in der Definitionsmenge ist, andelt es sic um die Lösung der Gleicung. Eine Logaritmusgleicung wird in folgenden Scritten gelöst: 1. Bestimme die Definitionsmenge der Gleicung. Dazu müssen alle Argumente der Logaritmen, die eine Unbekannte entalten größer Null gesetzt werden. Die Definitionsmenge ist die Scnittmenge der Lösungsmengen der einzelnen Ungleicungen. 2. Stelle mit Hilfe der Logaritmusgesetze die Form ln T (x) = ln a er. 3. Füre einen Vergleic der Argumente durc und löse die so entstandene Gleicung nac x auf. 4. Überprüfe, ob das Ergebnis in der Definitionsmenge liegt und screibe dann die Lösungsmenge der Gleicung an. 5 Wurzelgleicungen Eine Wurzelgleicung entält die Unbekannte im Radikanten der Wurzel: x 1 + x = 1 7

11 1 Grundlagen Analysis 1. Bestimme die Definitionsmenge der Gleicung. Dazu darf der Radikant nict kleiner als 0 sein, da Wurzeln aus negativen Zalen nict definiert sind auf den reellen Zalen. Das fürt zu der Ungleicung: Damit ist die Definitionsmenge: x 1 0 x 1 D = [1; [ 2. Isoliere die Wurzel auf einer Gleicungsseite: x 1 = 1 x 3. Quadriere beide Gleicungsseiten. Beacte dabei die 2. binomisce Formel auf der recten Seite: x 1 = 1 2x + x 2 4. Zusammenfassen: 1 = 1 3x + x 2 2 = x 2 3x x 2 3x = 2 5. Anwendung der Quadratiscen Ergänzung: ( x 3 ) 2 = Wurzelzieen und Betrag auflösen: x 3 2 = ±1 2 x 1 = 1 x 2 = 2 L = {1; 2} Die Wurzelgleicung wird in folgenden Scritten gelöst: 8

12 1.3 Grenzwerte und Stetigkeit einer Funktion 1. Bestimmung der Definitionsmenge der Gleicung. 2. Isolation der Wurzel auf einer Seite der Gleicung. 3. Quadrieren der beiden Gleicungsseiten unter Beactung der binomiscen Formeln. 4. Lösen der so entstandenen Gleicung, eventuell unter Verwendung der Quadratiscen Ergänzung, wenn nötig. 5. Vergleicen der Ergebnisse mit der Definitionsmenge. 6. Durcfürung der Einsetzprobe. 7. Anscreiben der Lösungsmenge. 1.3 Grenzwerte und Stetigkeit einer Funktion Die Ermittlung der Grenzwerte dient dazu, das Veralten der Funktion an den Rändern des Definitionsbereics zu bestimmen. Dabei untersceidet man zwiscen den äußeren Rändern und den Inneren Rändern des Definitionsbereics. 1 Grundlegende Definitionen Grenzwerte für x : Besitzt eine Funktion f(x) einen Grenzwert a für x, dann bedeutet dies, dass die Abweicung der Funktionswerte von dem Wert a immer geringer werden, je größer der x Wert wird. Dies bedeutet, dass ab einem bestimmten Wert x 0 die Abweicung der Funktionswerte kleiner als eine Scranke ε 0 wird. Dies kann man in der folgenden Ungleicung festalten: ε > 0 lim x f(x) = a f(x) a < ε mit x > x 0 Grenzwert gegen eine vordefinierte Stelle x 0 : Man kann in diesem Fall eine änlice Betractung einsclagen wie in dem ersten Fall: Ist der Grenzwert der Funktion für x x 0 der Funktion a, dann wird die Abweicung der Funktionswerte von dem Wert a für alle x- Werte für die gilt x x 0 < δ kleiner als eine Scranke ε. Dies kann man wieder mit einer Ungleicung ausdrücken: lim x x 0 f(x) = a f(x) a < ε mit x x 0 < δ δ > 0 und ε > 0 9

13 1 Grundlagen Analysis 2 Grenzwertrecnung bei gebrocen-rationalen Funktionen Bei den gebrocen-rationalen Funktionen ist die Grenzwertrecnung ein wictiges Mittel um wictige Informationen über den Verlauf des Funktionsgrapen zu eralten. In den folgenden Beispielen wird nun die systematisce Vorgeensweise gezeigt. Grenzwerte an den äußeren Rändern des Definitionsbereics Als Beispiel wird die nacsteende gebrocen- rationale Funktion betractet: f : x f(x) = x2 3x + 1 x 2 4x + 4 Es soll nun der Grenzwert gegen Unendlic gefunden werden: x 2 3x + 1 lim x x 2 4x Kürze Zäler und Nenner durc die öcste Potenz des Nenners, also in diesem Fall durc x 2 : x 2 3x + 1 lim x x 2 4x + 4 = lim x x 2 x x x 2 2. Nun wird die Grenzwertregel angewendet: lim x a x n = 0 x 2 3x + 1 lim x x 2 4x + 4 = lim x x 2 x = = 1 x x 2 Die Vorgeensweise wird ier nocmals zusammengefasst: 1. Kürze Zäler und Nenner der gebrocen- rationalen Funktion durc die öcste Potenz des Nenners. 2. Wende die Grenzwertregel lim x a x n = 0 an und bestimme dadurc den Wert des Grenzwertes. 10

14 1.3 Grenzwerte und Stetigkeit einer Funktion Generell kann man für den Grenzwert für eine gebrocen- rationale Funktion folgende Aussagen treffen. Ausgegangen wird dabei von der allgemeinsten Formulierung: f : x f(x) = a n x n + a n 1 x n a 0 b m x m + b m 1 x m b 0 n ist der Grad des Zälerpolynoms, m ist der Grad des Nennerpolynoms. In Abängigkeit des Zäler- und Nennergrads gilt: lim x a n x n + a n 1 x n a 0 b m x m + b m 1 x m b 0 = 1. = 0, wenn n < m, wenn also der Zälergrad kleiner ist als der Nennergrad. 2. = an b m, wenn n = m, wenn also Zäler- und Nennerpolynom den gleicen Grad besitzen. 3. =, wenn n > m, wenn der Zälergrad größer ist als der Nennergrad. Grenzwerte an den inneren Definitionsrändern Es wird die gebrocen- rationale Funktion f : x f(x) = x2 2x 3 x 2 1 betractet. Diese Funktion besitzt die Definitionslücken x 1 = 1 und x 2 = 1. Nun soll das Veralten der Funktion in der Umgebung dieser Stellen untersuct werden. Dabei muss man die Untersucung an einer Stelle immer von beiden Seiten er unternemen, also von größeren und kleineren Werten er. 1. Fakorisiere Zäler und Nennerpolynom mit dem Nullstellensatz: x 2 2x 3 = 0 x 2 2x = (x 1) 2 = 4 Damit gilt nac dem Nullstellensatz: Nac dem Nullstellensatz also: x 1 = ±2 x 1 = 1 x 2 = 3 x 2 2x 3 = (x + 1)(x + 3) x 2 1 = 0 x 2 = 1 x 1 = 1 x 2 = 1 x 2 1 = (x + 1)(x 1) 11

15 1 Grundlagen Analysis 2. Den faktorisierten Funktionsterm wenn möglic kürzen: f(x) = (x + 1)(x 3) (x 1)(x + 1) = x + 3 x 1 3. Bestimmen der beidseitigen Grenzwerte an den beiden Stellen: x 3 lim x 1 x 1 = 4 2 = 2 x 3 lim x 1 x 1 = 4 2 = 2 Die Funktion at damit an der Stelle x 1 = 1 eine ebbare Definitionslücke. Erklärung des Grenzwerts: x 3 lim x 1 x 1 = Für x 1 läuft der Zäler gegen 4. Für x 1 läuft der Nenner gegen 0. Damit ist der Grenzwert vom Betrag er. Weil der Nenner scwac positiv ist und der Zäler positiv ist ist der Grenzwert eben insgesamt x 3 lim x 1 + x 1 = Für x 1 + läuft der Zäler gegen 4. Für x 1 + läuft der Nenner gegen 0. Damit ist der Grenzwert vom Betrag er. Weil der Nenner scwac negativ ist und der Zäler positiv ist ist der Grenzwert eben insgesamt Damit at der Funktionsgrap an der Stelle x = 1 eine Polstelle erster Ordnung, wegen dem Vorzeicenwecsel. Steigkeit einer Funktion und stetige Fortsetzbarkeit Mit der Grenzwertrecnung kann man eine vorgegebene Funktion auf ire Stetigkeit prüfen. Anscaulic drückt sic die Stetigkeit einer Funktion durc einen Funktionsgrapen aus, der keine Sprungstellen besitzt. 12

16 1.3 Grenzwerte und Stetigkeit einer Funktion Exemplarisces Beispiel zur Stetigkeit Wir betracten das Stetigkeitsveralten der Funktion f : x f(x) = { x 2 x 2 x 2 x 2 3 x = 2 an der Stelle x 0 = 2. Die Stetigkeit kann man mit Hilfe des Grenzwertbegriffs wesentlic vereinfacen. An der Stelle x 0 = 2 muss die Funktion zwei Grenzwerte aben. einen linksseitigen Grenzwert x 0 einen rectseitigen Grenzwert x 0 + Somit bestet die Stetigkeitsuntersucung in zwei Scritten: 1. Berecnung des linksseitigen Grenzwerts. 2. Berecnung des rectsseitigen Grenzwerts. Berecnung des linksseitigen Grenzwerts: (2 ) 2 (2 ) 2 lim f(2 ) = lim lim 0 Berecnung des rectsseitigen Grenzwerts: = lim (2 + ) 2 (2 + ) 2 lim f(2 + ) = lim lim 0 = lim } = lim = 3 = lim = 3 Wir erkennen: Der rectswertige und linkswertige Grenzwert stimmen überein und darüberinaus gilt, dass er mit f(2) übereinstimmt. Somit kann man eine bequemere Definition der Stetigkeit mit Hilfe eines Grenzwertkriteriums geben: Eine Funktion f(x) ist an der Stelle x 0 stetig, wenn gilt: lim f(x 0 ) = lim f(x 0 + ) = f(x 0 )

17 1 Grundlagen Analysis Anwendung der Stetigkeit bei rationalen Funktionen Gegeben ist die rationale Funktion f : x f(x) = x 10x2 + x 3 x 4 1. Bestimme die maximale Definitionsmenge der Funktion f(x). 2. Bestimme die Scnittpunkte der Funktion f(x) mit den Koordinatenacsen. 3. Zeige, dass man die Funktion f(x) als eine Polynomfunktion zweiten Grades gescrieben werden kann. 4. Man zeige, dass f(x) an den Definitionslücken stetig fortsetzbar ist. 5. Zeicne den Grapen in ein Koordinatensystem. Lösung der Aufgaben 1. Bestimmung der maximale Definitionsmenge: Damit ist D = R \ {4} x 4 = 0 x = 4 2. Berecnung der Scnittpunkte des Funktionsgrapen mit den Koordinatenacsen f(0) = 36 4 = 9 x 3 10x x 36 = 0 Durc Raten erält man x 01 = 3.Die Polynomdivision durc x 3 ergibt das Ergebnis x 2 7x Dadurc ist noc die Gleicung x 2 7x + 12 = 0 zu lösen. Mit der Lösungsformel erält man die folgenden Lösungen x 02 = 3 x 03 = 4 14

18 1.3 Grenzwerte und Stetigkeit einer Funktion 3. Darstellung der Funktion als Polynomfunktion zweiten Grades: Dazu muss man zunäcst den Zäler und den Nenner in faktorisierter Darstellung angeben. Dies erreict man mit Hilfe der Nullstellen und dem Nullstellensatz für ganzrationale Funktionen: f(x) = (x 3)2 (x 4) x 4 In gekürzter Form eralten wir: Damit ist die Beauptung gezeigt. f(x) = (x 3) 2 f(x) = x 2 6x Stetige Fortsetzbarkeit an x 0 = 4 Die stetige Fortsetzung beweist man über das Grenzwertkriterium. Man bestimmt den linksseitigen und den rectsseitigen Grenzwert der Funktion f(x): linksseitiger Grenzwert lim f(4 ) = lim ((4 0 0 )2 6(4 ) + 9) = lim 0 ( ) = lim 0 ( ) = 1 rectsseitiger Grenzwert: lim f(4 + ) = lim (( )2 6(4 + ) + 9) = lim 0 ( ) = lim 0 ( ) = 1 Man siet, dass f(x) an der Stelle x 0 stetig fortsetzbar ist und an dieser Stelle eine Definitionslücke besitzt. 5. Zeicnung des Grapen der Funktion f(x) 15

19 1 Grundlagen Analysis 1.4 Elemente der Differentialrecnung Die Differentialrecnung findet iren Anfang bei dem Problem des Steigungsbegriffs eines Funktionsgrapen. 1 Die Ableitungsfunktion Beispiel Ein PKW färt mit der konstanten Gescwindigkeit v 0 = 20 m inter einem LKW er, s bis er mit a = 2,0 m bescleunigt, um den LKW zu überolen. Wärend der Bescleunigung wird der zurückgelegte Weg bescrieben durc die Funktion: f : x f(x) = s 2 2x x Ziel Matematisce Bescreibung der Gescwindigkeitsänderung bei dem Überolvorgang. An Hand der Grapik erkennt man: Die gesucte Änderungsrate ist die Steigung der Parbel an einer beliebigen Stelle x 0. Die - Metode Damit ist das Problem auf eine bekannte Fragestellung, nämlic die Tangentensteigung an der Stelle x 0 reduziert. Mit den obigen Bezeicnungen kann man die Steigung der Sekanten bescreiben über: m = f(x 0 + ) f(x 0 ) 16

20 1.4 Elemente der Differentialrecnung Setzt man nun an der Stelle von s(t) den Funktionsterm in den Differenzenquotienten ein, dann erält man: m = 2 (x 0 + ) (x 0 + ) (2x x 0 ) m = 2x x x x x 0 Mit weiteren Vereinfacungen erält man: m = 4x = (4x ) Die Tangentensteigung erält man, wenn man 0 get. Damit ist die Tangentensteigung: m t = 4x Weil algebraisc geseen die Tangentensteigung gerade der lokalen Änderungsrate entsprict, erält man als matematisce Bescreibung der lokalen Änderungsrate den Term: 4x Man siet außerdem: Der Term für die lokale Änderungsrate liefert für jedes beliebige x 0 genau einen Wert. Definition: Die lokale Änderungsrate ist eine matematisce Funktion. Diese Funktion at den Namen Ableitungsfunktion und wird mit f (x) bescrieben. In unserem Beispiel gilt also: f (x 0 ) = 4x Die ersten Ableitungsregel Eine der grundlegensten Funktionen stellen die Potenzfunktionen der Form f(x) = x n dar. Für diese Funktionen wird nun eine Ableitungsregel über die - Metode erarbeitet: f : x f(x) = x 3 g : x g(x) = x 4 Gemäß der - Metode macen wir für die Ableitung der Funktion f(x) den Ansatz: m = f(x 0+) f(x 0 ) m = (x 0+) 3 x 3 0 Mit der Summenformel für Trinome erält man beim Ausmultiplizieren: 17

21 1 Grundlagen Analysis m = x3 0 +3x2 0 +3x x 3 0 m = 3x2 0 +3x m = (3x2 0 +3x 0+ 2 ) m = 3x x Die Ableitungsfunktion erält man mit dem Grenzübergang: f (x) = lim 0 3x x f (x) = 3x 2 0 Die gleicen Scritte füren wir die Funktion g(x) durc. Dadurc eralten wir: m = g(x 0+) g(x 0 ) m = (x 0+) 4 x 4 0 Mit der Formel für das Quadronom erält man den folgenden Term: m = x4 0 +4x x x x 4 0 m = 4x x x m = 4x x x Die Ableitung erält man durc den Grenzübergang für 0 g (x) = lim 0 4x x x g (x) = 4x 3 0 Damit kann man nun einen sogenannten Ableitungskatalog erstellen: f(x) = x 2 f (x) = 2x f(x) = x 3 f (x) = 3x 2 f(x) = x 4 f (x) = 4x 3 Somit kann man eine erste allgemeine Ableitungsregel finden: f(x) = x n f (x) = n x n 1 Beweis der Regel Man setzt wieder allgemein an über den Differenzenquotienten mit f : x f(x) = x n : m = (x 0 + ) n x 0 Mit dem allgemeinen Term aus der Formelsammlung folgt für den ersten Teil: m = xn 0 + n x n a n 2 x n n x n 0 Klammert man nun noc aus und kürzt ergibt sic der folgende Term: Bildet man nun noc den Grenzübergang: Somit kommt man zu dem Ergebnis: m = n x n n f (x) = lim nx0 n n 0 f (x) = n x n

22 1.4 Elemente der Differentialrecnung Ableitungsfunktion einer Potenzfunktion: f(x) = x n f (x) = n x n 1 Differentialrecnung bei ganzrationalen Funktionen Man betractet nun im folgenden die Funktion f : x f(x) = x 3 +x 2. Definition Eine Funktion, welce ein Aggregat ist, dessen einzelne Glieder aus Potenzfunktionen besteen, eißt ganzrationale Funktion. Allgemein ist die ganzrationale Funktion gegeben durc die Funktionsvorscrift: f : x f(x) = a n x n + a n 1 x n a 0 Für die ganzrationale Funktion ist nun die Frage von Interesse, wie man die erste Ableitung am einfacsten bilden kann. 1. Leite die Funktion f(x) mit Hilfe der - Metode ab: m = ((x 0 + ) 3 + (x 0 + ) 2 x 3 0 x 2 0 Wendet man nun die Summenformel für das Binom und das Trinom an, dann erält man: m = x x x x x x 3 0 x 2 0 Vereinfacen und kürzen liefert insgesamt den Term: m = 3x x x 0 + Die Ableitung erält man über den Grenzwertübergang: f (x) = lim 0 3x x x 0 + = 3x x 0 2. Leite die Summanden der gegebenen ganzrationalen Funktion f(x) einzeln ab: g(x) = x 3 g (x) = 3x 2 0 (x) = x 2 (x) = 2x 0 Vergleict man dieses Ergebnis mit der aus der - Metode erzielten Ableitung, dann erält man die folgende Aussage: f (x) = g (x) + (x) 19

23 1 Grundlagen Analysis oder mit anderen Worten: Ableitungsregel 2 Die Ableitungsfunktion einer Summenfunktion g(x)+(x) ist gleic der Summe aus den Ableitungen der einzelnen Summanden g (x) + (x). Der Beweis dieser Regel ist ser einfac und verläuft über den Differenzenquotienten: f (x 0 + ) + g(x 0 + ) (x 0 ) g(x 0 ) (x) = lim 0 (x 0 + ) (x 0 ) g(x 0 + ) g(x 0 ) = lim + lim 0 0 = (x 0 ) + g (x 0 ) Der Nullstellensatz von ganzrationalen Funktionen Gegeben ist die Funktion f : x f(x) = x 3 x 2 12x. Gesuct sind die Scnittpunkte mit der x- Acse, also die Nullstellen. Dazu gilt f(x) = 0, was zu der Gleicung x 3 x 2 12x = 0 fürt. Da man keine Gleicungen dritten Grades lösen kann, muss man das Problem auf ein bekanntes zurückfüren,d. eine Gleicung von maximal zweiten Grades. Auf der linken Seite kann man aus allen Termen ein x ausklammern. Dies bedeutet: x(x 2 x 12) = 0 Ein Produkt ist immer dann 0, wenn einer seiner Faktoren 0 ist, was uns den folgenden Scritt das Auseinanderzieen der Gleicung erlaubt: x = 0 x 2 x 12 = 0 Die zweite Gleicung kann man nun mit der Lösungsformel oder der quadratiscen Ergänzung lösen und erält damit: x 1,2 = 1 ± x 1 = 4 x 2 = 3 Damit sind die Nullstellen der Funktion f(x) -3,0 und 4. Scwieriger wird das Problem bei folgender Funktion: f : x f(x) = x 3 2x 2 11x + 12 Hier ilft die Polynomdivision aus der 10. Jargangsstufe weiter: 20

24 1.4 Elemente der Differentialrecnung 1. Rate eine Nullstelle durc Einsetzen: x 0 = 1 2. Füre eine Polynomdivision mit dem Dividenden f(x) und dem Divisor x x 0 durc: (x 3 2x 2 11x + 12) (x 1) = x 2 x 12 Damit kann man nun den Funktionsterm f(x) wieder als Produkt angeben: f(x) = (x 1)(x 2 x 12) = 0 3. Man kann nun bei der Nullstellenberecnung die Gleicung dritten Grades in eine lineare und eine quadratisce Gleicung aufspalten. x 1 = 0 x 2 x 12 = 0 4. Mit der Lösungsformel erält man für die zweite Gleicung: x 1,2 = 1 ± x 1 = 4 x 2 = 3 Man erkennt: Durc das Anwenden der Polynomdivision wurde die ursprünglice Gleicung dritten Grades aufgespalten in eine lineare Gleicung und eine Gleicung zweiten Grades, also in lösbare Probleme. Ist f : x f(x) = a n x n + a n 1 x n a 0 eine ganzrationale Funktion und x 0 eine Nullstelle von f(x 0 ), dann kann gilt: f(x) = (x x 0 )(b n 1 x n 1 + b n 2 x n b 0 ) Lokale Extrema und Monotonieveralten einer ganzrationalen Funktion Man suct die lokalen Extremwerte der nacsteend genannten Funktion f : f(x) = x 3 9x x + 17 Man muss zunäcst die Stellen für x sucen, für welce gilt: f (x) = 0 Dazu muss man zunäcst die erste Ableitung bilden: f (x) = 3x 2 18x

25 1 Grundlagen Analysis Mit der oben genannten Forderung ergibt sic die folgende Gleicung: 3x 2 18x + 15 = 0 Die Lösung dieser Gleicung erfolgt über die Lösungsformel für quadratisce Gleicungen: x 1,2 = 18 ± ± 12 x 1,2 = 6 x 1 = 5 x 2 = 1 Damit lässt sic die Ableitung außerdem in der folgenden Art und Weise darstellen: f (x) = 3 (x 1)(x 5) Mit der fakorisierten Form der ersten Ableitung lässt sic dann eine Vorzeicentabelle für die erste Ableitung erstellen: < x < 1 1 < x < 5 5 < x < x x f (x) Anand der Vorzeicentabelle kann man nun erkennen, ob an den Nullstellen der ersten Ableitung jeweils ein lokales Extremum vorliegt: An x 0 = 1 wecselt die erste Ableitung ir Vorzeicen von + nac. Somit liegt an x 0 = 1 ein lokales Maximum vor. An x 0 = 5 wecselt die erste Ableitung ir Vorzeicen von nac +. Somit liegt an x 0 = 5 ein lokales Minimum vor. 22

26 1.4 Elemente der Differentialrecnung Die Krümmung und die zweite Ableitung Straßenbau zur Einfürung Eine Passstraße at auf dem Reisbrett den folgenden Verlauf: Dies Straße wird durc die Funktion f : x f(x) = x 3 x 2 x + 1 bescrieben. Für die Straßenbauingeneure ist vorallem der Kurvensceitelpunkt wictig. Dies ist jener Punkt, an welcem der Autofarer die Räder nict einsclagen muss, sie also in der Normalstellung steen. Diesen Punkt erält man an der Stelle, an welcer Grap seine Krümmung wecselt. Der Punkt, an welcem der Grap seine Krümmung wecselt, eißt Wendepunkt. 2 Bescreibung des Krümmungsveraltens Es stellt sic nun die Frage, wie man das Krümmungsveralten bescreiben kann. Dazu untersceidet man zwei untersciedlice Krümmungsarten. Der Grap bescreibt eine Linkskurve, was bedeutet, dass der Grap eine Linkskrümmung besitzt. Bei der Linkskrümmung nimmt die Steigung des Grapens zu. Das bedeutet: Die Steigung der ersten Ableitung ist positiv. Die Steigung der ersten Ableitung wird durc die zweite Ableitung bescrieben. Damit gilt: 23

27 1 Grundlagen Analysis Ist der Grap der Funktion linksgekrümmt, dann gilt für die zweite Ableitung: Linkskruemmung f (x) > 0 Der Grap bescreibt eine Rectskurve, was bedeutet, dass der Grap eine Rectsskrümmung besitzt. Bei der Rectskrümmung nimmt die Steigung des Grapens ab. Das bedeutet: Die Steigung der ersten Ableitung ist negativ. Die Steigung der ersten Ableitung wird durc die zweite Ableitung bescrieben. Damit gilt: Ist der Grap der Funktion rectsgekrümmt, dann gilt für die zweite Ableitung: Rectskruemmung f (x) < 0 Damit lässt sic die notwendige Bedingung für den Wendepunkt ableiten. Unter dem Wendepunkt verstet man den Punkt des Funktionsgrapen, an welcem der Funktionsgrap sein Krümmungsveralten ändert. Damit der Grap sein Krümmungsveralten ändert, muss die zweite Ableitung die nacsteende notwendige Bedingung erfüllen: Wendepunkt f (x) = 0 Anwendung auf das Eingangsbeispiel Bestimmung des Wendepunkts: f (x) = 3x 2 2x 1 f (x) = 6x 2 Notwendige Bedingung für den Wendepunkt f (x) = 0 6x 2 = 0 x = 1 3 Die Koordinaten des Wendepunkts sind: W ( 1 3 f(1 )). Mit der Kenntnis des Krümmungsveraltens an einer lokalen Extremstelle kann man die Art des lokalen Extremums be- 3 stimmen: An einem lokalen Maximum liegt eine Rectskrümmung vor f (x 0 ) < 0 An einem lokalen Minimum liegt eine Linkskrümmung vor f (x 0 ) > 0 Die an dem Beispiel der ganzrationalen Funktionen erlernten Konzepte der Differentialrecnung sind nun auf weitere Funktionenklassen übertragbar. 24

28 1.4 Elemente der Differentialrecnung 3 Elemente der Differentialrecnung bei rationalen Funktionen Definition Unter einer rationalen Funktion verstet man eine Funktion f : x f(x) = z(x) n(x) wenn z(x) und n(x) ganzrationale Funktionen sind Die Ableitungsfunktion für rationale Funktionen Beispiel zur Einfürung Zur Entlastung einer Bundesstraße sollen zwei rectwinklig sic scneidende Funktionen durc ein gerades Straßenstück verbunden werden. Die Straße darf dabei nict durc das eingezeicnete recteckige Grundstück mit der Länge 200 m und der Breite 100 m verlaufen. Eine Gruppe der Befürworter der neuen Straße wollen, dass das eingesclossene Fläcenstück minimal ist. 1. Erstelle eine Zeicnung 2. Funktionserstellung für die Dreiecksfläce: f(x) = bx x a Um die minimale Fläce zu bestimmen, benötigt man ein lokales Extremum dieser Funktion. Dazu ist notwendige Bedingung, die erste Ableitung zu kennen. Erarbeitung einer Ableitungsregel Wir setzen wieder über den Differenzenquotienten an: Man bildet nun den Hauptnenner: f (x 0 ) = z(x) z(x 0) n(x) n(x 0 ) x x 0 f (x 0 ) = z(x)n(x 0 ) n(x)z(x 0 ) n(x)n(x 0 ) x x 0 25

29 1 Grundlagen Analysis Man addiert im Zäler zunäcst z(x 0 )n(x 0 ) f (x 0 ) = z(x)n(x 0 ) z(x 0 )n(x 0 )+z(x 0 )n(x 0 ) n(x)z(x 0 ) n(x)n(x 0 ) x x 0 f (x 0 ) = n(x 0)(z(x) z(x 0 )) n(x)n(x 0 )(x x 0 ) z(x 0)(n(x) n(x 0 )) n(x)n(x 0 )(x x 0 ) Mit einem Grenzwertübergang x x 0 erkennt man: f (x 0 ) = n(x 0)z (x 0 ) n 2 (x 0 ) z(x 0)n (x 0 ) n 2 (x 0 ) Zusammengefasst ergibt sic dann für die Ableitung einer rationalen Funktion die nacsteende Ableitungsregel: Eine rationale Funktion der Form f : x f(x) = z(x) n(x) Ableitungsfunktion at die f (x 0 ) = n(x 0)z (x 0 ) z(x 0 )n (x 0 ) n 2 (x 0 ) Monotonie einer rationalen Funktion Da wir nun die Ableitungsfunktion einer rationalen Funktion bilden können, sind wir nun auc in der Lage, eine Monotonieuntersucung wie bei den ganzrationalen Funktionen durczufüren. Beispiel Gegeben ist die folgende rationale Funktion f : x f(x) = x2 6x + 9 x 2 4 Untersuce die Funktion auf lokale Extrema und gib gegebenenfalls Art und Lage der Extrema an. Scritt 1: Bestimmung der Ableitungsfunktion mit der Quotientenregel: f (x) = (2x 6)(x2 4) ((x 2 6x + 9) 2x (x 2 4) 2 f (x) = 2x3 8x 6x x x 2 18x (x + 2) 2 f (x) = 6x2 26x + 24 (x 2 4) 2 26

30 1.4 Elemente der Differentialrecnung Scritt 2: Bestimmung der Nullstellen der ersten Ableitung: Zäler Null setzen: 6x 2 26x + 24 = 0 6 ( x 13 ) 2 = x 1 = 3 x 2 = 4 3 Ableitungsfunktion in faktorisierter Darstellung anscreiben und eine Vorzeicenuntersucung in einer Tabelle darstellen: f (x) = 2(x 3)(x 4) (x 2) 2 (x + 2) 2 < x < 2 2 < x < 2 2 < x < 3 3 < x < 4 4 < x < x x (x + 2) (x 2) f (x) Scritt 4: Auswertung der Monotonietabelle: 1. Im Intervall < x < 2 ist f(x) streng monoton zunemend. 2. Im Intervall 2 < x < 2 ist f(x) streng monoton zunemend 3. Intervall 2 < x < 3 ist f(x) streng monoton zunemend. 4. Im Intervall 3 < x < 4 ist f(x) streng monoton abnemend. 5. Im Intervall 4 < x < ist f(x) streng monoton zunemend. 6. Das Mononotonieveralten kert sic an der Stelle x = 3 um und damit at die Funktion f(x) an x = 3 ein lokales Maximum. 7. Das Monotonieveralten kert sic an der Stelle x = 4 um und damit at die Funktion an dieser Stelle ein lokales Minimum. Anmerkung: Bei rationalen Funktionen werden aufgrund der Quotientenregel die Terme der öeren Ableitungen immer komplizierter. Daer ist es sinnvoller bei rationalen Funktionen die Art des lokalen Extremums mit der Vorzeicentabelle der ersten Ableitung zu bestimmen. 4 Weitere Ableitungsregeln Neben der Quotientenregel gibt es noc zwei weitere Differentationsregeln, mit deren Hilfe man ein Produkt und eine Verkettung von Funktionen ableiten kann. 27

31 1 Grundlagen Analysis Die Produktregel (x) = x g(x) = x 3 f(x) = g(x) (x) f(x) = x 3 x Um diese Funktion abzuleiten, get man folgendermaßen vor: Leite die erste Funktion ab und multipliziere sie mit der zweiten Funktion Leite die zweite Funktion ab und multipliziere sie mit der ersten Funktion Die Ableitung der Funktion ist dann die Summe der beiden so entstandenen Terme: f (x) = 3x 2 x + x x Die Produktregel lässt sic wie folgt zusammenfassen: Produktregel: f(x) = g(x) (x) f (x) = g (x) (x)+g(x) (x) Die Kettenregel Eine Verkettung von Funktionen ist die Anwendung einer Funktion auf einen ganzen Funktionsterm: f(x) = x 2 3x Hier wird die Wurzelfunktion auf die quadratisce Funktion angewendet. Eine derartige Funktion wird über die Kettenregel abgeleitet: Kettenregel: f(x) = g((x)) f (x) = g ((x)) (x) Wendet man nun diese Regel auf das Beispiel an, dann erält man: f (x) = 1 2 x 2 3x 2x 3 28

32 1.4 Elemente der Differentialrecnung 5 Die Exponentialfunktion Eine Funktion, deren Variable im Exponenten einer Potenz stet, wird allgemein als Exponentialfunktion bezeicnet. Die Exponentialfunktion mit der Basis e wird als natürlice Exponentialfunktion bezeicnet. e bezeicnet die Eulersce Zal. e = k=0 1 n! = 2, f : x f(x) = e x Wictige Merkmale dieser Funktion Definitionsmenge der Funktion sind die reellen Zalen. D = R Grenzwerte der Funktion Ableitung der Funktion lim x ex = lim x ex = 0 lim x x n e x = 0 f(x) = e x f (x) = e x 6 Die Logaritmusfunktion Die Logaritmusfunktion ist die Umkerfunktion zur Exponentialfunktion. Die Logaritmusfunktion, welce die Umkerfunktion der e- Funktion darstellt wird als Logaritmus naturalis, kurz ln bezeicnet. f : x f(x) = ln x Wictige Merkmale der Funktion Der Definitionsmenge sind die positiven, reellen Zalen. D = R + Grenzwerte der Funktion Ableitung der Funktion lim ln x = x lim x 0 ln x = f(x) = ln x f (x) = 1 x 29

33 1 Grundlagen Analysis 7 Trigonometrisce Funktionen f(x) = sin x g(x) = cos x Wictige Eigenscaften der Funktionen Nullstellen der Funktion: f(x) = 0 x = kπ g(x) = 0 x = 2k + 1 π 2 k ist dabei eine beliebige, ganze Zal. Ableitungen der Funktion f(x) = sin x f (x) = cos x g(x) = cos x g (x) = sin x Die Funktionen besitzen für x keinen Grenzwert, da diese periodiscen Funktionen unbestimmt divergent sind. 1.5 Elemente der Kurvendiskussion In diesem Abscnitt werden die wictigsten Scritte für eine Kurvendiskussion zusammengefasst. Bestimmung der Definitionsmenge der Funktion. Bestimmung der einfacen Symmetrieeigenscaften der Funktion: Punktsymmetrie zum Ursprung f(x) = f( x) Acsensymmetrie zur y- Acse: f(x) = f( x) Bestimmung der Nullstellen der Funktion über f(x) = 0 Bestimmung der lokalen Extrema einer Funktion: Bestimmung der ersten Ableitung f (x) Bestimmung der Nullstellen der ersten Ableitung f (x) = 0 Bestimmung der Art der lokalen Extrema entweder durc eine Vorzeicenuntersucung der ersten Ableitung mit Vorzeicentabelle oder durc Einsetzen der Ergebnisse in die zweite Ableitung. 30

34 1.6 Elemente der Integralrecnung Berecnung der y- Koordinaten der lokalen Extrema durc Einsetzen der Ergebnisse der Gleicung f (x) = 0 in die Originalfunktion f(x). Bestimmung der Wendepunkte der Funktion: Bilde die zweite Ableitung f (x) falls noc nict gesceen. Berecne die Nullstellen der zweiten Ableitung f (x) = 0 und stelle sicer, dass für diese Ergebnisse gilt: f (x) 0. Bestimme die y- Koordinaten der Wendepunkte durc Einsetzen der Ergebnisse von f (x) = 0 in die Originalfunktion f(x) Grenzwertuntersucung an den Rändern des Definitionsbereics. Zeicnung des Funktionsgrapen aufgrund der biserigen Ergebnisse. 1.6 Elemente der Integralrecnung 1 Grundlegende Definitionen und Eigenscaften Integralbegriff Ausgegangen wird ier von dem Problem eine Fläce unteralb eines Funktionsgrapen zu berecnen. Erläutert wird dies an der Funktion f : x f(x) = x 2. Gemäß der folgenden Abbildung wird unter den Funktionsgrapen eine Anzal von gleic breiten Streifen gelegt: Die Fläce unter dem Grapen kann näerungsweise als die Summe der Streifen unter der Funktionsgrapen berecnet werden: Für die oben steende Abbildung gilt: A = 1 ( ) = 30 Um die Fläce exakter berecnen zu können, wird die Anzal der Streifen eröt, in unserem Fall verdoppelt. 31

35 1 Grundlagen Analysis Für die verdoppelte Streifenanzal gilt: A = 1 2 ( ) 2 1 ( ) 2 Dies kann man abkürzen durc Anwendung des Summenzeicens: A = 1 2 ( ) k 2 = 35,625 2 k=0 Die unter den Grapen gelegten Streifenfläcen ergeben bei der Summation die Untersumme. Alternativ kann man die Streifen nict nur unter den Funktionsgrapen legen, sondern kann den Grapen mit den Streifen umscreiben, wie dies in der näcsten Abbildung gezeigt wird: Für die Abbildung gilt: A = 1 2 ( ) k=1 k 2 = 48,125 Die Summe der umbescriebenen Streifenfläcen bildet die Obersumme. Wird die Anzal der Streifen weiter eröt, dann näert sic der Wert der Untersummen an, bis sie im Grenzfall übereinstimmen. Dies liefert ein Kriterium zur Integrierbarkeit: 32

36 1.6 Elemente der Integralrecnung Eine Funktion f eißt integrierbar, wenn der Grenzwert der Untersumme U n mit dem Grenzwert der Obersumme O n übereinstimmt. b lim U n = lim O n = n n b 0 f(x) dx 0 f(x) dx ist das bestimmte Integral von 0 bis b über der Funktion f(x). Eigenscaften des Integrals Konstante im Integral: b b af(x)dx = a f(x)dx a a Linearität des Integrals: b b b (f(x) + g(x))dx = f(x)dx + g(x)dx a a a a < c < b dann gilt b c b f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx a a c Vertauscte Integralgrenzen: b a f(x)dx = f(x)dx a b 2 Integralfunktion und Stammfunktion Eine Integralfunktion ist definiert als F : x F (x) = x 0 f(t)dt 33

37 1 Grundlagen Analysis Eine Stammfunktion G(x) untersceidet sic von der Integralfunktion durc eine additive Konstante: G(x) = F (x) + C 3 Der Hauptsatz der Infinitesimalrecnung Der Hauptsatz der Infinitesimalrecnung stellt eine Bezieung zwiscen der Ableitung der Integralfunktion und der Integrantenfunktion er: Sei F definiert als die Integralfunktion F : x F (x) = x 0 f(t)dt dann gilt der folgende Zusammenang mit der Integrantenfunktion f(x): F (x) = f(x) Aus dem Hauptsatz der Infinitesimalrecnung folgen die nacsteenden Informationen über eine Integralfunktion F (x): Die Nullstellen der Funktion f(x) sind die Stellen, an denen der Grap der Integralfunktion waagrecte Tangenten besitzt. Die Integralfunktion F (x) at für f (x) = 0 Wendestellen, wenn an diesen Stellen gilt f (x) 0. Wictige Integralregeln Aus dem Hauptsatz der Infinitesimalrecnung folgen merer Integralregeln für merere Funktionen: Sinusfunktion: sin xdx = cos x Cosinusfunktion cos xdx = sin x Integralfunktion für f(x) = x 1 1 dx = ln x x 34

38 1.6 Elemente der Integralrecnung Integrationsregel für bestimmte rationale Funktionen: f (x) dx = ln f(x) f(x) Integralfunktion für die Exponentialfunktion e x = e x 4 Anwendungen der Integralrecnung Fläceninalt zwiscen zwei Funktionsgrapen Gegeben sind die beiden quadratiscen Funktionen: f : x f(x) = (x 1) = x 2 + 2x + 1 g : x g(x) = (x 1) 2 = x 2 2x + 1 In dem nacfolgenden Koordinatensystem sind die zugeörigen Parabeln gezeicnet: Es soll nun die Fläce berecnet werden, die von den beiden Funktionsgrapen eigesclossen wird. 1. Berecne Scnittstellen der beiden Funktionsgrapen: x 2 2x + 1 = x 2 + 2x + 1 2x 2 4x = 0 2x(x 2) = 0 x 1 = 0 x 2 = 2 35

39 1 Grundlagen Analysis 2. Der gesucte Fläceninalt ist die Differenz zwiscen dem Fläceninalt, den der obenliegende Grap einscließt und dem Fläceninalt der Fläce, die vom unteralb liegenden Grap eingesclossen wird, allgemein gilt: x 2 A = f(x) g(x) d x Wendet man dies auf das Beispiel an, dann ergibt sic: 2 A = x 2 + 2x + 1 (x 2 2x + 1) d x 0 x 1 2 A = 2x 2 + 4x d x 0 [ A = 2 ] 2 3 x3 + 2x 2 d x 0 A = =