7. Teil: Differentialrechnung

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1 7 Teil: Differentialrecnung Differenzierbarkeit und Differentiation Definition: Sei f(x) eine für x [a,b] D f stetige Funktion Dann eisst die für x (a,b) durc f(x+) f(x) lim oder lim f(x) f(x ) oder lim f(x+) f(x ) 2 definierteundmitf (x)oder df dx (lies: df nacdx )bezeicnetefunktiondieerste Ableitung von f(x), falls dieser Grenzwert für alle x (a,b) existiert Ist dies der Fall, so eisst f(x) in (a, b) differenzierbar (ableitbar) Diese Art von Grenzwertberecnung lässt sic wiederolen, und fürt dann zu öeren Ableitungen: Zweite Ableitung: f (x) = ( f (x) ) ; andere Screibweisen: f (x) = d2 f dx = d ( ) df 2 dx dx n-te Ableitung: f (n) (x) = ( f (n ) (x) ) d n ( ) n f d = dx = f(x) (n N, n > 0) n dx Der Ausdruck d eisst Differentialoperator (oder, noc genauer, der Operator für die Differentiation nac x) Zur Berecnung öerer Ableitungen f (n) (x) (n > ) ist dieser Operator dx merfac auf f(x) anzuwenden was leict fällt, wenn man verstanden at, (i) dass es ierfür einen vollständigen Satz von Regeln gibt, und (ii) wie diese Regeln funktionieren (Details s unten) Anmerkung: Die Funktion f(x) selbst kann man als die nullte Ableitung auffassen Der Facbegriff für das Berecnen einer Ableitung ist Differentiation Mit x = ist der Quotient (f(x+ x) f(x))/ x = f/ x, dessen Grenzwert für x 0 ( 0) betractet werden soll (s o), als Quotient von Differenzen, kurz: Differenzenquotient, erkennbar Der Ausdruck df/dx, eine alternative Notation für die erste Ableitung (s o), eisst dagegen Differentialquotient, denn die im Zäler und im Nenner steenden Ausdrücke df und dx eissen Differentiale Die oben gegebene Definition sagt also ganz einfac, dass der Differentialquotient als Grenzwert eines Differenzenquotienten definiert ist Da mit x = 0 auc stets f = f(x + ) f(x) 0 get, streben Zäler und Nenner des Differenzenquotienten beide gegen Null und es liegt ein sogenannter unbestimmer Ausdruck vor (ier: von der Form 0/0 ) Der Differenzenquotient (das Verältnis der beiden Differenzen f und x) kann aber beliebige reelle Werte aben, und auc im Grenzfall x 0 definiert sein und einen sinnvollen reellen Wert annemen x x 0 x 0 + x 0 2 x 0 x 0 x 0 2 x 0 x 0 + x 0 (a) (b) (c) x Geometrisce Bedeutung der ersten Ableitung (s obige Abbildung): Ein Differenzenquotient (beacte: unbestimmter Artikel), wie z B f/ x, der aus Funktionswerten an zwei Stellen x 0 und x = x 0 + x ( x 0) berecnet wird, gibt die Steigung einer Sekanten durc c W Gans, ; D Andrae,

2 den Punkt P(x 0, 0 ) an ( 0 = f(x 0 )) Der Differentialquotient (beacte: bestimmter Artikel), f (x) = df/dx, der an der Stelle x 0 berecnet wird (das ergibt f (x 0 ) = df/dx x0 ), gibt die Steigung der Tangente an f(x) an dieser Stelle x 0 an Dies ist definitionsgemäss auc die Steigung von f(x) selbst an der Stelle x 0 Die obige Abbildung zeigt die Situation für eine Funktion f(x) (in blau) bei Verwendung von Vorwärtsdifferenzen in (a), bei Verwendung von Rückwärtsdifferenzen in (b), und bei Verwendung des Mittelwertes aus Vorwärts- und Rückwärtsdifferenzen in (c) Die Tangente an der Stelle x 0 ist in rot, zwei jeweils passende Sekanten sind in scwarz gezeicnet Die Gleicung der Tangente an der Stelle x 0 ist t(x) = m t x + b t, mit Tangenten-Steigung m t = f (x 0 ) und Tangenten-Acsenabscnitt t(0) = b t = 0 m t x 0 = f(x 0 ) f (x 0 )x 0 In der Umgebung der Stelle x 0 kann die Funktion f(x) dann näerungsweise durc ire Tangente bescrieben werden: f(x) t(x) = f(x 0 )+f (x 0 )(x x 0 ) Frage: Um differenzierbar zu sein, muss eine Funktion f(x) stetig sein (s Definition) Gibt es denn stetige Funktionen f(x), die an bestimmten Stellen x = a nict differenzierbar sind? Ja, gibt es! An diesen Stellen existiert die Ableitung f (a) nict Das kann versciedene Gründe aben: Bei den beiden Funktionen x = x /2 (x 0) und 3 x = x /3 (x R) strebt f (x) gegen +, wenn man sic der Stelle x = 0 näert (an der Stelle x = 0 ist die Steigung unendlic gross, die Tangente die -Acse verläuft vertikal): f(x) = x f(x) = 3 x 0 x 0 x Jede der drei Funktionen x = x 2, e x und 2x/(+e /x ) (alle stetig in R) at an der Stelle x = 0 einen Knick oder eine Spitze (linksseitiger und rectsseitiger Grenzwert von f (x) bei Annäerung an x = 0 sind verscieden): 0 x f(x) = x 0 x f(x) = e x 0 x = 2x 2x f(x) = +e /x Es gibt sogar Funktionen, die in einem Intervall stetig, aber an keinem Punkt in dem Intervall differenzierbar sind! Differentiation im Alltag: Von der Vielzal an Beispielen aus dem Alltag, bei denen es um die Betractung der (Ver-)Änderung einer Grösse get (Zuname oder Abname), sei nur eines erwänt: Bei der Bewegung eines Körpers entlang seiner Bankurve(Trajektorie) ändert sic die PositionsmitderZeit:s(t)(d,diePositionsisteineFunktionderZeitt)Dannbedeutetein c W Gans, ; D Andrae,

3 Differenzenquotient s/ t = v eine mittlere Gescwindigkeit, der Differentialquotient ṡ(t) = ds/dt = v(t) dagegen die Momentangescwindigkeit (Ableitungen nac der Zeit werden in der Psik mit einem Punkt statt mit einem Stric notiert) Nocmalige Differentiation liefert die Momentanbescleunigunga(t) = v(t) = dv/dt = s(t) = (d/dt) 2 s(t) = d 2 s/dt 2 Dieseistalsodie zweite Ableitung des Weges nac der Zeit Die SI-Eineiten der ier auftretenden Grössen sind: [t] = s, [s] = m, [v] = m/s, [a] = m/s 2 (die Eineiten von Grössen, die durc Differentiation eralten werden, wie Gescwindigkeit oder Bescleunigung, ergeben sic aus den Eineiten der im Zäler und Nenner des Differential quotienten auftretenden Grössen nac den bekannten Regeln der Brucrecnung) Die Berecnung von Ableitungen Berecnung der ersten Ableitung der Normalparabel f(x) = x 2 mit Hilfe der Definition ( Die Ableitung [ der Differentialquotient] ist der Grenzwert eines Differenzenquotienten ): f x = f(x+) f(x) = (2x+) f (x) = df dx = lim x 0 = 2x+ f x = lim = (x+)2 x 2 f(x+) f(x) = x2 +2x+ 2 x 2 = lim (2x+) = 2x = 2x+2 Die Funktion f (x) = 2x gibt also zu jedem x die Antwort auf die Frage, welce Steigung die Funktion f(x) = x 2 dort at: Bei x 0 = at die Funktion f(x) = x 2 den positiven Funktionswert f( ) = ( ) 2 = + und die Steigung f ( ) = 2 ( ) = 2 Die Funktion x 2 fällt also in der Umgebung dieser Stelle, ire Tangente dort ist t(x) = f(x 0 )+f (x 0 )(x x 0 ) = 2(x+) = 2x (eine fallende Gerade); Bei x 0 = 0 at sie den Funktionswert f(0) = (0) 2 = 0 und die Steigung f (0) = 2 0 = 0 Die Funktion x 2 ändert sic in der Umgebung von x 0 = 0 nur ser wenig, ire Tangente dort ist t(x) = 0+0(x 0) = 0 (das ist die x-acse); Bei x 0 = 2 at sie den positiven Funktionswert f(2) = (2) 2 = 4 und die Steigung f (2) = 2 2 = 4 Die Funktion x 2 steigt also in der Umgebung von x 0 = 2, ire Tangente dort ist t(x) = 4+4(x 2) = 4x 4 (eine steigende Gerade) Zur Beactung: Für nac oben oder unten verscobene Normalparabeln, f(x) = x 2 + C (C R), wird dieselbe Ableitung, nämlic f (x) = 2x, eralten! Das ist selbstverständlic, wenn man sic (a) die geometrisce Bedeutung der Ableitung in Erinnerung ruft, und (b) die Definition des Zälerterms im Differenzenquotienten ansiet (bei der Differenzbildung fällt die Konstante C wieder eraus) Obwol die Verwendung der Definition von f (x) einen allgemeinen Weg zur Berecnung der Ableitung bietet, wird dies für Funktionen f(x), die etwas komplizierter sind, scnell ser müsam Erfreulicerweise gibt es einen vollständigen(!) Satz allgemeiner Regeln zur Berecnung der Ableitung f (x) zu gegebener Funktion f(x) Das eisst, dass mit Kenntnis der Definition der Ableitung und dieser allgemeinen Regeln, ggf ergänzt durc eine kleine Liste der Ableitungen elementarer Funktionen, rect rasc jede differenzierbare (oder ableitbare) Funktion tatsäclic abgeleitet werden kann! Das können Sie also bald auc! c W Gans, ; D Andrae,

4 Allgemeine Differentiationsregeln () Linearität 6 : Die Ableitung einer gewicteten Summe von Funktionen (facspraclic: einer Linearkombination von Funktionen) ist die entsprecend gewictete Summe der Ableitungen dieser Funktionen (α, β sind Konstanten): (αf(x)+βg(x)) = αf (x)+βg (x) Spezialfälle: (αf(x)) = αf (x) (Faktorregel); (α) = 0 Diese Regel löst das Problem, wie das Berecnen einer Ableitung zusammen mit dem Auftreten der Grundrecenoperationen Addition und Subtraktion auszufüren ist (2) Produktregel: Die Ableitung eines Produktes u(x) = f(x) g(x) ist nict das Produkt der Ableitungen der einzelnen Faktoren, sondern: (f(x)g(x)) = f (x)g(x)+f(x)g (x) DurcUmstellendiesesErgebnisses(fürf (x)zuf(x) = u(x)/g(x))folgtdiequotientenregel: ( ) u(x) = u (x)g(x) u(x)g (x) g(x) [g(x)] 2 Spezialfall: ([g(x)] ) = (/g(x)) = g (x)/[g(x)] 2 (Ableitung des Kerwerts von g(x) bei Kenntnis der Ableitung von g(x)) Produkt- und Quotientenregel lösen das Problem, wie das Berecnen einer Ableitung zusammen mit dem Auftreten der Grundrecenoperationen Multiplikation und Division auszufüren ist Kleine Übungsaufgabe: Was ist die Ableitung f (x) von f(x) = p(x)q(x)r(x)? (3) Kettenregel: Die Ableitung einer verketteten Funktion f(g(x)) ist: (f(g(x))) = d df(g(x)) f(g(x)) = dx dx = df dg Der Faktor df/dg eisst auc äussere Ableitung (weil die äussere Funktion f abzuleiten ist, allerdings nac g, nict nac x), und der Faktor dg/dx eisst innere Ableitung (weil die innere Funktion g abzuleiten ist, nac x) Hier wird deutlic, dass die Notation mit Differentialen der (Scul-)Notation mit dem Stric vorzuzieen ist (die Stric-Notation sagt nict genau genug, nac welcer Variablen abgeleitet werden soll) Spezialfall: Es sei g = f die Umkerfunktion (inverse Funktion, inverse Operation) zu einer Funktion (Operation) f Gesuct wird die Ableitung = d/dx von = g(x) = f (x) Aus der Umkerung dazu, x = f() = f(g(x)) = f(f (x)), folgt: dg dx = (x) = (f(f (x))) = df df df dx = dx d d dx = d dx = ( ) dx d Die Ableitung = d/dx von = f (x) ergibt sic also als Kerwert der Ableitung von x = f() nac, dx/d Die anscliessende Substitution = f (x) liefert einen von x abängigen Ausdruck als Endergebnis Kleine Übungsaufgabe: Was ist die Ableitung f (x) von f(x) = p(q(r(x)))? 6 Differentiation ist, wie Integration, eine sogenannte lineare Operation Solce Operationen werden auf eine Summe von Termen einfac so angewandt, dass jeder einzelne Summand bearbeitet wird Quadrieren ist keine lineare Operation, s die binomisce Formel (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 a 2 + b 2 (dennoc wird in fast jeder Klausur dieser letzte Ausdruck immer wieder von einigen Klausurteilnemerinnen und -teilnemern verwendet um (a+b) 2 zu vereinfacen, mit dem unbefriedigenden Ergebnis des völligen Punkteverlustes bei der entsprecenden Aufgabe) c W Gans, ; D Andrae,

5 Tabellen mit den Ableitungen elementarer Funktionen finden sic in jeder(scul-)formelsammlung Hier ist eine kleine Übersict: f(x) f (x) f(x) f (x) f(x) f (x) x n (x R, n N) nx n e x e x sin(x) cos(x) x n (x 0, n N) nx (n+) b x (ln(b))b x cos(x) sin(x) x s (x > 0, s R) sx s ln x (x 0) /x sin(x) cos(x) x (x 0) /(2 x) (x > 0) logb x (x 0) /(x ln(b)) cos(x) sin(x) Beactenswert: Die natürlice Exponentialfunktion e x = exp(x) ist invariant (unveränderlic) unter Differentiation nac x! Sie reproduziert sic dabei einfac selbst: (e x ) = e x Zux = f() = e geörtdannalsodieableitungdx/d = e DamitfolgtaberfürdieAbleitung der Funktion = ln(x) (x > 0) sofort = d/dx = (dx/d) = (d(e )/d) = (e ) = (e ln(x) ) = (x) = /x Kombination mit dem Ergebnis einer analogen Betractung bei = ln( x) (x < 0) fürt dann zu dem in der obigen Tabelle gemacten Eintrag (ln x ) = /x (x 0) Kleine Übungsaufgabe: Berecnen Sie die Ableitungen von () = tan(x) = sin(x)/cos(x) und (2) = arctan(x) Einige weitere Beispiele zur Anwendung der o g Ableitungsregeln: () f(x) = x 2, f (x) = df dx = 2x, f (x) = d2 f dx = 2 2 (verwendete Regeln: (x n ) = nx n, (αf(x)) = αf (x)) (2) f(x) = x 2 = (x2 ), f (x) = df dx = ( )(x2 ) 2 2x 2x = (x 2 ) 2, f (x) = d2 f dx = 2 (x2 ) 2 2x 2 (x 2 ) 2x = 2x2 2 8x 2 = 6x (x 2 ) 43 (x 2 ) 3 (x 2 ) 3 (verwendete Regeln: (x n ) = nx n, Kettenregel, Quotientenregel) (3) f(x) = sin(x) = 2 (ex e x ), f (x) = (sin(x)) = 2 (ex e x ) = 2 (ex +e x ) = cos(x), f (x) = (cos(x)) = 2 (ex +e x ) = 2 (ex e x ) = sin(x) = f(x) (verwendete Regeln: Linearität, Kettenregel) Historisce Anmerkung zu Differentiation (und Integration): Die Grundlagen der modernen Differential- und Integralrecnung (zusammengefasst auc als Infinitesimalrecnung bezeicnet) wurden in der zweiten Hälfte des 7 Jdts von Isaac Newton ( ) und Gottfried Wilelm Leibniz (646 76) gelegt, und zwar unabängig voneinander Seit dieser Zeit, also seit über 300 Jaren, sind die oben angegebenen allgemeinen Regeln zur Berecnung von Ableitungen fester Bestandteil des Grundwortscatzes für ein tieferes Verständnis der Welt (soweit wir uns anmassen dürfen, überaupt von Verständnis zu sprecen): ser viele Naturgesetze lassen sic als Gleicungen formulieren, in denen Ableitungen auftreten Solce Gleicungen eissen Differentialgleicungen Beispiele ierfür sind das Newtonsce Kraftgesetz (klassisce Mecanik), die Scrödingergleicung (Quantenmecanik), die Maxwellscen Gleicungen (Elektrodnamik) Seit wann geört dieses Wissen über die Ableitungsregeln zu Irem persönlicen Grundwortscatz in der Sprace Matematik? c W Gans, ; D Andrae,