für Pharmazeuten und Lehramtskandidaten WS 2017/2018

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1 für Pharmazeuten und Lehramtskandidaten WS 2017/2018

2 Alexander Riegel 2

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5 Ordinatenachse ( y-achse ) f x Gerade Ordinatenabschnitt f x = 0 Ursprungsgerade Nullstelle f x = x 0 = 0 0 Ursprung (0 0) Abszissenachse ( x-achse ) x f(x 1 ): Funktionswert bei x 1 x 1 : Stelle/ Argument 5

6 y 0 y, x-diagramm Auftragung von y gegen x Auftragung y vs. x Auftragung y über x Auftragung y x Auftragung y = f x x 6

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8 Multiplikation: Direkt durchführbar a b c a c = d b d Division: Mit Kehrwert multiplizieren a b c d = a b d a d = c b c Addition/Subtraktion: Brüche erst auf Hauptnenner bringen a b ± c d = ad bd ± cb bd = ad ± cb bd 8

9 Nicht aus Summen/Differenzen kürzen! 0DKeLsDXZQE/UuBMxly5DII/AAAAAAAAEIg/FQUer4IJItg/s1 600/DoThisandKittenDies.jpg (Stand: 15. Oktober 2017). 9

10 Eine Größe x verändere sich von x alt auf x neu. Absolute Änderung: x neu x alt Relative Änderung (evtl. in Prozent): x neu x alt x alt 100% Entsprechend auch Abweichungen experimenteller Daten von Literaturwerten (rel. Änderung auf Lit.-Werte beziehen: x alt = x Lit ) 10

11 Es gilt NICHT: a ± b 2 = a 2 ± b 2 1. Binomische Formel: a + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 2. Binomische Formel: a b 2 = a 2 2ab + b 2 3. Binomische Formel: a + b a b = a 2 b 2 11

12 Es gilt für a 0: a 0 &= 1 Weiterhin ist: a k &= 1 a k a k a l &= a k+l a k &= ak l al a k l &= a k l a b k &= a k b k a 1/n &= n a 12

13 Definition: exp k = e k Zusammenhang Potenz & Logarithmus: a k = x log a x = k Insbesondere: e k = x ln x = k Definition: lg x &= log 10 x ln x &= loge(x) & Potenz und log Gegenoperationen heben sich auf: e ln x &= x ln e x &= x 13

14 Logarithmus log a (x)&nur definiert für a, x > 0 Es gilt insbesondere: log a 1 &= 0 log a a &= 1& Insb. ln 1 = 0 und ln e = 1 Weiterhin ist: log x + log y = log&(x y) log x log y = log x y log x k = k log x 14

15 Man logarithmiere folgenden Ausdruck: v = k c a Lösung: log v &= log k c a &= log k + log c a &= log k + a log c 15

16 Es gelte folgendes Gesetz (Reaktion 1. Ordnung): N t = N 0 e kt Man berechne die Halbwertszeit t 1/2 mit: N t = t 1/2 = 0,5 N 0 Lösung: 0,5N 0 &= N 0 e kt 1/2 0,5&= e kt 1/2 ln 0,5 &= kt 1/2 t 1/2 &= ln 0,5 k = ln 2 1 k = 1 ln 2 k = ln 2 k 16

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18 Es gelte folgendes Gesetz (Reaktion 0. Ordnung): N 0 N t = kt Man berechne die Halbwertszeit t 1/2 mit: N t = t 1/2 = 0,5 N 0 Lösung: N 0 0,5N 0 &= kt 1/2 0,5N 0 &= kt 1/2 t 1/2 &= N 0 2k 18

19 Es gelte folgendes Gesetz (Reaktion 2. Ordnung): 1 N t 1 N 0 = kt Man berechne die Halbwertszeit t 1/2 mit: N t = t 1/2 = 0,5 N 0 Lösung: 1 0,5N 0 1 N 0 &= kt 1/2 2 N 0 1 N 0 &= kt 1/2 1 N 0 &= kt 1/2 t 1/2 &= 1 kn 0 19

20 Für eine unimolekulare Zerfallsreaktion A B + C findet man: v = k 1k 2 A 2 k 1 + k 2 A Man bestimme v A für sehr kleine A bzw. für sehr große A. 20

21 v = k 1k 2 A 2 k 1 + k 2 A Lösung: Kleine A : k 1 k 2 A v = k 1k 2 A 2 k 1 + k 2 A k 1k 2 A 2 k 1 v A 2 Große A : k 1 k 2 A v = k 1k 2 A 2 k 1 + k 2 A k 1k 2 A 2 k 2 A = k 1k 2 k 2 A v A 21

22 Gegeben sei die LANGMUIR-Isotherme: c K = θ 1 θ Man löse nach θ auf. Lösung: θ&= ck 1 θ = ck ckθ ck&= θ + ckθ = θ 1 + ck θ&= ck 1 + ck 22

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24 Vorheriges Ergebnis: θ = Außerdem ist: θ = ck 1 + ck w w max Dann kann man schreiben: 1 w = 1 w max K 1 c + 1 w max 24

25 1 w = 1 w max K 1 c + 1 w max Wie kann man durch graphische Auftragung w max und K erhalten, wenn w und c bekannt sind? Interpretiere Gleichung als Geradengleichung: y = mx + b y: Funktionswert bekannt x: Argument bekannt m: Steigung b: Ordinatenabschnitt 25

26 1 w = 1 w max K 1 c + 1 w max 1 w 1 w max K 1 w max 1 c 0 26

27 1 w = 1 w max K 1 c + 1 w max b = 1 w max w max = 1 b m = 1 w max K K = 1 w max m = b m 27

28 Man kann die Isotherme auch so schreiben: c w = 1 c + 1 w max w max K Wie kann man durch graphische Auftragung w max und K erhalten, wenn w und c bekannt sind? Lösung: Interpretiere als y = mx + b Auftragung c vs. c w m = 1 w w max = 1 max m b = 1 w max K K = 1 w max b = m b 28

29 Gesucht mittels graphischer Auftragung ist a aus folgender bekannten Gleichung, wobei v und c bekannt seien: v = k c a Lösung: Logarithmiere obige Gleichung log v &= log k + a log c y&= &&&b&&&&&& + m x Auftragung log&(v) vs. log&(c) m = a Analog für FREUNDLICH-Isotherme 29

30 Es gelte folgendes Gesetz (Reaktion 0. Ordnung): N 0 N t = kt Gesucht ist mittels graphischer Auftragung k, wobei N(t) und t bekannt seien. Lösung: N(t) &= kt + N 0 y&= m&x + b Auftragung N(t) vs. t m = k k = m 30

31 Es gelte folgendes Gesetz (Reaktion 1. Ordnung): ln N t = ln N 0 kt Gesucht ist mittels graphischer Auftragung k, wobei N(t) und t bekannt seien. Lösung: ln N t &= ln N 0 kt y&= b&&&&&&&&& + mx Auftragung ln N t vs. t m = k k = m 31

32 Es gelte folgendes Gesetz (Reaktion 2. Ordnung): 1 N t 1 N 0 = kt Gesucht ist mittels graphischer Auftragung k, wobei N(t) und t bekannt seien. Lösung: 1 N t &= kt + 1 N 0 y&= mx + b Auftragung 1 N t vs. t m = k 32

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34 Um T = 3 2 RT mit&r > U m T 34

35 P I = RI 2 mit&r > P I 35

36 6 5 4 t < 0 0 < exp t < 1 A t = exp t t > 0 exp t > 1 A exp 0 = 1-1,00-0,50 0,00 0,50 1,00 1,50 t Streng monoton steigend 36

37 5 ln 1 = 0 q x = nrt ln x mit&n, R, T > q < x < 1 ln(x) < 0 x x > 1 ln x > 0 Streng monoton steigend 37

38 k T = A exp E A& RT mit A, E A, R > Streng monoton steigend 1,2E+06 1,0E+06 T k A 30 8,0E+05 k k 6,0E+05 4,0E+05 2,0E+05 0,0E T T 38

39 γ lg γ I = Az 2 I 1,2 1 mit&a > 0, z 0 I = 0 lg γ = 0 γ 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 Streng monoton fallend I γ 0 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 I 39

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41 Es gelte folgendes Gesetz (Reaktion 0. Ordnung): v = k Dabei besitze v die Einheit mol&l 1 &s 1. Welche Einheit (x) besitzt dann k? Lösung: Auf beiden Seiten des = gleiche Einheiten! mol L s = x 41

42 Es gelte folgendes Gesetz (Reaktion 1. Ordnung): v = k c A Dabei besitze v die Einheit mol&l 1 &s 1 und c A die Einheit mol&l 1. Welche Einheit (x) besitzt dann k? Lösung: Auf beiden Seiten des = gleiche Einheiten! mol mol &= x L s L x&= 1 s 42

43 Es gelte folgendes Gesetz (Reaktion 2. Ordnung): v = k c A c B Dabei besitze v die Einheit mol&l 1 &s 1 und c A sowie c B die Einheit mol&l 1. Welche Einheit (x) besitzt dann k? Lösung: Auf beiden Seiten des = gleiche Einheiten! mol mol &= x L s L mol L = x mol2 L 2 x&= L s mol 43

44 Ein Student hat auf seinem Formelzettel drei Formeln, weiß aber nicht mehr, welche die Formel für die (klassische) kinetische Energie E ist: E &= mv E&= 0,5 mv 2 E&= mv 2 m ist dabei die Masse des bewegten Körpers, v ist seine Geschwindigkeit. Frage: Kann man nur durch Einheitenanalyse die korrekte Formel identifizieren? 44

45 Einheiten der Größen: Einheit von E ist J = kg&m 2 &s 2 Einheit von m ist kg Einheit von v ist m&s 1 E&= mv kg m 2 s 2 &= kg m s 45

46 Einheiten der Größen: Einheit von E ist J = kg&m 2 &s 2 Einheit von m ist kg Einheit von v ist m&s 1 E&= 0,5 mv 2 kg m 2 m 2 s 2 &= kg = kg m2 s s 2 Möglich E&= mv 2 kg m 2 &= kg s 2 m s 2 = kg m2 s 2 Möglich Eindeutige Auswahl durch Einheitenanalyse nicht möglich 46

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48 Betrachte y(x). Ändert sich x um x, so ändert sich y um y. Differenzenquotient: m Sekante = y x Mittlere Änderungsrate von y (Bsp.: Geschwindigkeit) Steigung der Sekante durch Funktionsgraphen 48

49 m Sekante = y x Werner Reckien. 49

50 Änderungsrate wurde nur über ein bestimmtes x gemittelt. Wie ist aktuelle Änderungsrate? x 0 Differenzenquotient Differentialquotient: m Tangente = dy dx = y x Aktuelle Änderungsrate von y an der Stelle x Steigung der Tangente an den Funktionsgraphen 50

51 m Sekante = y x m Tangente = dy dx Werner Reckien. 51

52 Notation der ersten Ableitung von y nach x an der Stelle x 0 : y x = x 0 = dy dx x=x0 52

53 Erste Ableitung der ersten Ableitung einer Funktion zweite Ableitung der Funktion d dx f x = d dx df dx = d2 f dx 2 = f (x) Beliebig fortführbar (solange die abgeleitete Funktion erneut ableitbar ist) n-te Ableitung von f nach x 53

54 Wenn eine Funktion von mehreren Variablen abhängt, soll meist nur die Auswirkung der Änderung einer Variable beobachtet werden. f(x 1, x 2 ) Partielle Ableitung ist Ableitung nach nur einer Variablen, alle anderen bleiben konstant: f x 1 &bzw.& f x 2 54

55 Häufig (insb. in der Thermodynamik) werden die konstant gehaltenen Variablen im Index ausgewiesen: f x 1 x2 &bzw.& f x 2 x1 Bsp.: (Extensive) Wärmekapazität C p bei konstantem Druck p: H&= H p, T C p &= H T p 55

56 Formell: Bilden des Grenzwertes des Differenzenquotienten: lim x 0 y x = lim f x + x f x x 0 x = df dx Es gibt allerdings einige Regeln und Grundableitungen, die nützlich sind. 56

57 Summenregel: f ± g = f ± g Produktregel: f g = f g + f g Quotientenregel: f = f g f g g g 2 57

58 Konstanten (a = const.): a = 0 Faktorregel (a = const.): a f = a f Kettenregel: f g x = f g x g x 58

59 Potenzregel (auch für n N, also z. B. Wurzeln): x n = n x n 1 Ableitung der e-funktion: e x = e x Ableitung der ln-funktion: ln x = 1 x 59

60 Ableitung der sin-funktion (x im Bogenmaß): sin x = cos&(x) Ableitung der cos-funktion (x im Bogenmaß): cos x = sin&(x) Daher ist: sin x &= sin x cos& x &= cos x 60

61 Was ist die Umkehrung der Ableitung? Gesucht ist die Stammfunktion F, für die gilt: F x = f(x) Integration von f liefert F (Hauptsatz): a b f x dx = F b F a 61

62 Notation: a b f x dx = F x a b = F b F a Bsp.: 5 x 2 dx 2 5 = 1 3 x3 2 = = = 39 62

63 Gemäß dem Hauptsatz können Differentiation und Integration als Umkehroperationen betrachtet werden. Einige Integrationsregeln können daher aus Differentiationsregeln hergeleitet werden. Summenregel: a b f x ± g x dx b = f x dx a ± g x dx b a 63

64 Faktorregel (k = const.): a b k f x dx = k f x dx Potenzregel (n 1): f x = x n F x = 1 n + 1 xn+1 Stammfunktion zu x 1 : a b f x = 1 x F x = ln x 64

65 Stammfunktion zur e-funktion: f x = e x F x = e x Stammfunktion zur ln-funktion: f x = ln x F x = x ln x x Stammfunktion zur sin-funktion (x im Bogenmaß): f x = sin x F x = cos x Stammfunktion zur cos-funktion (x im Bogenmaß): f x = cos x F x = sin x 65

66 In Differentialgleichungen tauchen verschiedene Ableitungen einer Funktion (incl. der Funktion selbst) auf. 3f + f 6f = 1 Frage: Welche Funktion erfüllt die Gleichung? Häufig schwierig zu lösen oder analytisch überhaupt nicht lösbar Wenige einfache Fälle 66

67 Welche Funktion c(t) erfüllt die folgende Gleichung (Untere Grenze: c 0 bzw. t = 0), wobei c > 0? dc dt = kc Lösung: Trennung der Variablen dc &= kdt c c t 1 c dc &= k dt c 0 0 ln c c t c0 &= k t 0 ln c ln c 0 &= kt c&= c 0 exp kt 67

68 Ableitung einer Funktion an einer Stelle: Steigung der Tangente an den Funktionsgraphen an dieser Stelle Werner Reckien. 68

69 Inhalt der Fläche unterhalb eines Funktionsgraphen in einem Intervall: (Bestimmtes) Integral der Funktion über dieses Intervall Eigentlich ist nebenstehendes Integral der vorzeichenbehaftete Flächeninhalt der Fläche, die vom Graphen, der Abszisse und den Geraden x = a und x = b eingeschlossen wird. Das Integral ist also nur gleich dem Flächeninhalt, wenn der Graph auf dem betrachteten Intervall oberhalb der Abszisse verläuft. b f x dx a Werner Reckien. 69