Alexander Riegel.

Transkript

1 Alexander Riegel 2

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4 Ordinatenachse ( y-achse ) f x Gerade Ordinatenabschnitt f x = 0 Ursprungsgerade Nullstelle f x = x 0 = 0 0 Ursprung (0 0) Abszissenachse ( x-achse ) x f(x 1 ): Funktionswert bei x 1 x 1 : Stelle/ Argument 11

5 y 0 y, x-diagramm Auftragung von y gegen x Auftragung y vs. x x 12

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7 Multiplikation: Direkt durchführbar a b c a c = d b d Division: Mit Kehrwert multiplizieren a b c d = a b d a d = c b c Addition/Subtraktion: Brüche erst auf Hauptnenner bringen a b ± c d = ad bd ± cb bd = ad ± cb bd 14

8 Nicht aus Summen/Differenzen kürzen! 0DKeLsDXZQE/UuBMxly5DII/AAAAAAAAEIg/FQUer4IJItg/s1 600/DoThisandKittenDies.jpg (Stand: 26. September 2015) 15

9 Eine Größe x verändere sich von x alt auf x neu. Absolute Änderung: x neu x alt Relative Änderung (evtl. in Prozent): x neu x alt x alt 100% 16

10 Es gilt NICHT: a ± b 2 = a 2 ± b 2 1. Binomische Formel: a + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 2. Binomische Formel: a b 2 = a 2 2ab + b 2 3. Binomische Formel: a + b a b = a 2 b 2 17

11 Es gilt für a 0: a 0 &= 1 Weiterhin ist: a k &= 1 a k a k a l &= a k+l a k &= ak l al a k l &= a k l a b k &= a k b k a 1/n &= n a 18

12 Definition: exp k = e k Zusammenhang Potenz & Logarithmus: a k = x log a x = k Insbesondere: e k = x ln x = k Definition: lg x &= log 10 x ln x &= loge(x) & Potenz und log Gegenoperationen heben sich auf: e ln x &= x ln e x &= x 19

13 Logarithmus log a (x)&nur definiert für a, x > 0 Es gilt besonders: log a 1 &= 0 log a a &= 1& Insb. ln 1 = 0 und ln e = 1 Weiterhin ist: log x + log y = log&(x y) log x log y = log x y log x k = k log x 20

14 Man logarithmiere folgenden Ausdruck: v = k c a Lösung: log v &= log k c a &= log k + log c a &= log k + a log c 21

15 Es gelte folgendes Gesetz (Reaktion 1. Ordnung): N t = N 0 e kt Man berechne die Halbwertszeit t 1/2 mit: N t = t 1/2 = 0,5 N 0 Lösung: 0,5N 0 &= N 0 e kt 1/2 0,5&= e kt 1/2 ln 0,5 &= kt 1/2 t 1/2 &= ln 0,5 k = ln 2 1 k = 1 ln 2 k = ln 2 k 22

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17 Es gelte folgendes Gesetz (Reaktion 0. Ordnung): N 0 N t = kt Man berechne die Halbwertszeit t 1/2 mit: N t = t 1/2 = 0,5 N 0 Lösung: N 0 0,5N 0 &= kt 1/2 0,5N 0 &= kt 1/2 t 1/2 &= N 0 2k 24

18 Es gelte folgendes Gesetz (Reaktion 2. Ordnung): 1 N t 1 N 0 = kt Man berechne die Halbwertszeit t 1/2 mit: N t = t 1/2 = 0,5 N 0 Lösung: 1 0,5N 0 1 N 0 &= kt 1/2 2 N 0 1 N 0 &= kt 1/2 1 N 0 &= kt 1/2 t 1/2 &= 1 kn 0 25

19 Gegeben sei die LANGMUIR-Isotherme: c K = θ 1 θ Man löse nach θ auf. Lösung: θ&= ck 1 θ = ck ckθ ck&= θ + ckθ = θ 1 + ck θ&= ck 1 + ck 26

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21 Vorheriges Ergebnis: θ = Außerdem ist: θ = ck 1 + ck w w max Dann kann man schreiben: 1 w = 1 w max K 1 c + 1 w max 28

22 1 w = 1 w max K 1 c + 1 w max Wie kann durch graphische Auftragung w max und K erhalten, wenn w und c bekannt sind? Interpretiere Gleichung als Geradengleichung: y = mx + b y: Funktionswert bekannt x: Argument bekannt m: Steigung b: Ordinatenabschnitt 29

23 1 w = 1 w max K 1 c + 1 w max 1 w 1 w max K 1 w max 1 c 0 30

24 1 w = 1 w max K 1 c + 1 w max b = 1 w max w max = 1 b m = 1 w max K K = 1 w max m = b m 31

25 Man kann die Isotherme auch so schreiben: c w = 1 c + 1 w max w max K Wie kann durch graphische Auftragung w max und K erhalten, wenn w und c bekannt sind? Lösung: Interpretiere als y = mx + b Auftragung c vs. c w m = 1 w w max = 1 max m b = 1 w max K K = 1 w max b = m b 32

26 Gesucht mittels graphischer Auftragung ist a aus folgender bekannten Gleichung, wobei v und c bekannt seien: v = k c a Lösung: Logarithmiere obige Gleichung log v &= log k + a log c y&= &&&b&&&&&& + m x Auftragung log&(v) vs. log&(c) m = a Analog für FREUNDLICH-Isotherme 33

27 Es gelte folgendes Gesetz (Reaktion 0. Ordnung): N 0 N t = kt Gesucht ist mittels graphischer Auftragung k, wobei N(t) und t bekannt seien. Lösung: N(t) &= kt + N 0 y&= m&x + b Auftragung N(t) vs. t m = k k = m 34

28 Es gelte folgendes Gesetz (Reaktion 1. Ordnung): ln N t = ln N 0 kt Gesucht ist mittels graphischer Auftragung k, wobei N(t) und t bekannt seien. Lösung: ln N t &= ln N 0 kt y&= b&&&&&&&&& + mx Auftragung ln N t vs. t m = k k = m 35

29 Es gelte folgendes Gesetz (Reaktion 2. Ordnung): 1 N t 1 N 0 = kt Gesucht ist mittels graphischer Auftragung k, wobei N(t) und t bekannt seien. Lösung: 1 N t &= kt + 1 N 0 y&= mx + b Auftragung 1 N t vs. t m = k 36

30 media/3.jpg.html (Stand: 26. September 2015) 37

31 38

32 U m T = 3 2 RT mit&r > U m T 39

33 P I = RI 2 mit&r > P I 40

34 A t = exp t A t 41

35 5 q x = nrt ln x mit&n, R, T > q x 42

36 y = 1 θ 10 5 y θ 43

37 z = 1 θ + 273, z θ 44

38 z = 1 θ + 273, z θ 45

39 z = 1 θ + 273, z θ 46

40 40 k T = A exp E A& RT mit A, E A, R > 0 30 k T 47

41 γ lg γ I = Az 2 I 1.2 mit&a > I 48

42 49

43 Es gelte folgendes Gesetz (Reaktion 0. Ordnung): v = k Dabei besitze v die Einheit mol&l 1 &s 1. Welche Einheit (x) besitzt dann k? Lösung: Auf beiden Seiten des = gleiche Einheiten! mol L s = x 50

44 Es gelte folgendes Gesetz (Reaktion 1. Ordnung): v = k c A Dabei besitze v die Einheit mol&l 1 &s 1 und c A die Einheit mol&l 1. Welche Einheit (x) besitzt dann k? Lösung: Auf beiden Seiten des = gleiche Einheiten! mol mol &= x L s L x&= 1 s 51

45 Es gelte folgendes Gesetz (Reaktion 2. Ordnung): v = k c A c B Dabei besitze v die Einheit mol&l 1 &s 1 und c A sowie c B die Einheit mol&l 1. Welche Einheit (x) besitzt dann k? Lösung: Auf beiden Seiten des = gleiche Einheiten! mol mol &= x L s L mol L = x mol2 L 2 x&= L s mol 52

46 Ein Student hat auf seinem Formelzettel drei Formeln, weiß aber nicht mehr, welche die Formel für die (klassische) kinetische Energie E ist: E &= mv E&= 0,5 mv 2 E&= mv 2 m ist dabei die Masse des bewegten Körpers, v ist seine Geschwindigkeit. Frage: Kann man nur durch Einheitenanalyse die korrekte Formel identifizieren? 53

47 Einheiten der Größen: Einheit von E ist J = kg&m 2 &s 2 Einheit von m ist kg Einheit von v ist m&s 1 E&= mv kg m 2 s 2 &= kg m s 54

48 Einheiten der Größen: Einheit von E ist J = kg&m 2 &s 2 Einheit von m ist kg Einheit von v ist m&s 1 E&= 0,5 mv 2 kg m 2 m 2 s 2 &= kg = kg m2 s s 2 Möglich E&= mv 2 kg m 2 &= kg s 2 m s 2 = kg m2 s 2 Möglich Eindeutige Auswahl durch Einheitenanalyse nicht möglich 55

49 56

50 Betrachte y(x). Ändert sich x um x, so ändert sich y um y. Differenzenquotient: m Sekante = y x Mittlere Änderungsrate von y (Bsp.: Geschwindigkeit) Steigung der Sekante durch Funktionsgraphen 57

51 m Sekante = y x Werner Reckien. 58

52 Änderungsrate wurde nur über ein bestimmtes x gemittelt. Wie ist aktuelle Änderungsrate? x 0 Differenzenquotient Differentialquotient: m Tangente = dy dx = y x Aktuelle Änderungsrate von y an der Stelle x Steigung der Tangente an den Funktionsgraphen 59

53 m Sekante = y x m Tangente = dy dx Werner Reckien. 60

54 Notation der ersten Ableitung von y nach x an der Stelle x 0 : y x = x 0 = dy dx x=x0 61

55 Erste Ableitung der erste Ableitung einer Funktion zweite Ableitung der Funktion d dx f x = d dx df dx = d2 f dx 2 = f (x) Beliebig fortführbar (solange die abgeleitete Funktion erneut ableitbar ist) n-te Ableitung von f nach x 62

56 Wenn eine Funktion von mehreren Variablen abhängt, soll meist nur die Auswirkung der Änderung einer Variable beobachtet werden. f(x 1, x 2 ) Partielle Ableitung ist Ableitung nach nur einer Variablen, alle anderen bleiben konstant: f x 1 &bzw.& f x 2 63

57 Häufig (insb. in der Thermodynamik) werden die konstant gehaltenen Variablen im Index ausgewiesen: f x 1 x2 &bzw.& f x 2 x1 Bsp.: (Extensive) Wärmekapazität C p bei konstantem Druck p: H&= H p, T C p &= H T p 64

58 Formell: Bilden des Grenzwertes des Differenzenquotienten: y lim x 0 x = lim f x + x f x x 0 x = df dx Es gibt allerdings einige Regeln und Grundableitungen, die nützlich sind. 65

59 Summenregel: f ± g = f ± g Produktregel: f g = f g + f g Quotientenregel: f = f g f g g g 2 66

60 Konstanten (a = const.): a = 0 Faktorregel (a = const.): a f = a f Kettenregel: f g x = f g x g x 67

61 Potenzregel (auch für n N, also z. B. Wurzeln): x n = n x n 1 Ableitung der e-funktion: e x = e x Ableitung der ln-funktion: ln x = 1 x 68

62 Ableitung der sin-funktion (x im Bogenmaß): sin x = cos&(x) Ableitung der cos-funktion (x im Bogenmaß): cos x = sin&(x) Daher ist: sin x &= sin x cos& x &= cos x 69

63 Was ist die Umkehrung der Ableitung? Gesucht ist die Stammfunktion F, für die gilt: F x = f(x) Integration von f liefert F (Hauptsatz): a b f x dx = F b F a 70

64 Notation: a b f x dx = F x a b = F b F a Bsp.: 5 x 2 dx 2 5 = 1 3 x3 2 = = = 39 71

65 Gemäß dem Hauptsatz können Differentiation und Integration als Umkehroperationen betrachtet werden. Einige Integrationsregeln können daher aus Differentiationsregeln hergeleitet werden. Summenregel: a b f x ± g x dx b = f x dx a ± g x dx b a 72

66 Faktorregel (k = const.): a b k f x dx = k f x dx Potenzregel (n 1): f x = x n F x = 1 n + 1 xn+1 Stammfunktion zu x 1 : a b f x = 1 x F x = ln x 73

67 Stammfunktion zur e-funktion: f x = e x F x = e x Stammfunktion zur ln-funktion: f x = ln x F x = x ln x x Stammfunktion zur sin-funktion (x im Bogenmaß): f x = sin x F x = cos x Stammfunktion zur cos-funktion (x im Bogenmaß): f x = cos x F x = sin x 74

68 In Differentialgleichungen tauchen verschiedene Ableitungen einer Funktion (incl. der Funktion selbst) auf. 3f + f 6f = 1 Frage: Welche Funktion erfüllt die Gleichung? Häufig schwierig zu lösen oder analytisch überhaupt nicht lösbar Wenige einfache Fälle 75

69 Welche Funktion c(t) erfüllt die folgende Gleichung (Untere Grenze: c 0 bzw. t = 0), wobei c > 0? dc dt = kc Lösung: Trennung der Variablen dc &= kdt c c t 1 c dc &= k dt c 0 0 ln c c t c0 &= k t 0 ln c ln c 0 &= kt c&= c 0 exp kt 76

70 Ableitung einer Funktion an einer Stelle: Steigung der Tangente an den Funktionsgraphen an dieser Stelle Werner Reckien. 77

71 Inhalt der Fläche unterhalb eines Funktionsgraphen in einem Intervall: (Bestimmtes) Integral der Funktion über dieses Intervall Eigentlich ist nebenstehendes Integral der vorzeichenbehaftete Flächeninhalt der Fläche, die vom Graphen, der Abszisse und den Geraden x = a und x = b eingeschlossen wird. Das Integral ist also nur gleich dem Flächeninhalt, wenn der Graph auf dem betrachteten Intervall oberhalb der Abszisse verläuft. b f x dx a Werner Reckien. 78

72 a + b a&= b a 2 &= ab a 2 b 2 &= ab b 2 a b &= b a b a + b&= b 2b&= b 2&= 1? 79