HM I Tutorium 9. Lucas Kunz. 19. Dezember 2018

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1 HM I Tutorium 9 Lucas Kunz 19. Dezember 2018 Inhaltsverzeichnis 1 Theorie Definition der Ableitung Ableitungsregeln Linearität Produktregel Quotientenregel Kettenregel Ableitung der Umkehrfunktion Innere Punkte und Extrema Eigenschaften von Extrema Mittelwertsatz Regel von l Hospital Mehrfache Ableitungen Theorie über das Tutorium hinaus Verallgemeinerter Mittelwertsatz Aufgaben 5 1

2 1 Theorie In diesem Kapitel sei I R ein Intervall und f : I R eine Funktion. Hierbei ist zu beachten, dass in einem Intervall jeder Punkt x I ein Häufungspunkt von I ist. 1.1 Definition der Ableitung Eine Funktion f heißt in x 0 I differenzierbar (db) genau dann, wenn der Grenzwert f(x) f(x 0 ) lim (1.1) x x 0 x x 0 existiert. In diesem Fall wird obiger Grenzwert als Ableitung von f in x 0 (f (x 0 )) bezeichnet. Ist f in allen x I differenzierbar, so nennt man die Funktion f (x) : I R die Ableitung von f. Eine andere Möglichkeit zur Definition und Berechnung der Ableitung besteht im (zum obigen äquivalenten) Grenzwert f f(x 0 + h) f(x 0 ) (x 0 ) = lim. (1.2) h 0 h Ist eine Funktion in x 0 differenzierbar, so muss sie in x 0 auch stetig sein. Im Umkehrschluss ist aber nicht jede stetige Funktion differenzierbar (z. B. f(x) = x für x = 0). 1.2 Ableitungsregeln Linearität Sind f und g Funktionen und in x 0 differenzierbar, so ist auch deren Linearkombination h := αf + βg (α, β R) in x 0 differenzierbar und es gilt Produktregel h (x 0 ) = αf (x 0 ) + βg (x 0 ). (1.3) Sind f und g in x 0 differenzierbar, so ist auch deren Produkt h : f g in x 0 differenzierbar und es gilt h (x 0 ) = f (x 0 ) g(x 0 ) + f(x 0 ) g (x 0 ). (1.4) Quotientenregel Sind f und g in x 0 differenzierbar und g(x) 0 x U δ (x 0 ), so ist auch deren Quotient h : f g in x 0 differenzierbar und es gilt h (x 0 ) = f (x 0 ) g(x 0 ) f(x 0 ) g (x 0 ) (g(x 0 )) 2 (1.5) Diese Regel ist nur ein Spezialfall der Produktregel. Schreibt man 1 als eine weitere g Funktion k und wendet die Produktregel auf f k an, dann erhält man ebenso diesen Ausdruck, wenn man alles auf den gemeinsamen Nenner g 2 bringt. 2

3 1.2.4 Kettenregel Ist f : I R in x 0 I differenzierbar, f(i) J und g : J R ist in y 0 = f(x 0 ) differenzierbar, dann ist die Verkettung g f : I R in x 0 differenzierbar und es gilt (g f) (x 0 ) = g (f(x 0 )) f (x 0 ). (1.6) Ableitung der Umkehrfunktion Die Funktion f C(I) sei streng monoton (also auf f(i) bijektiv und daher umkehrbar) und in x 0 differenzierbar mit Ableitung f (x 0 ) 0, dann ist f 1 : f(i) R in y 0 = f(x 0 ) differenzierbar und es gilt 1.3 Innere Punkte und Extrema (f 1 ) (y 0 ) = 1 f (x 0 ) = 1 f (f 1 (y 0 )). (1.7) Es sei = D R eine Menge und g : D R eine Funktion. Man nennt x 0 D einen inneren Punkt von D, wenn es eine δ-umgebung des Punktes gibt, die komplett in der Menge D liegt. Mathematisch formuliert lautet diese Forderung x 0 D ist ein innerer Punkt von D δ > 0 : U δ (x 0 ) D. (1.8) Ein innerer Punkt ist also genau das, was man sich unter dem begriff anschaulich vorstellen würde, nämlich ein Punkt, der auf allen Seiten von weiteren Teilen der Menge D umgeben ist. Innere Punkte haben eine besondere Bedeutung bei der Untersuchung von Extrema einer Funktion, welche folgendermaßen definiert sind: g hat in x 0 ein lokales Maximum δ > 0 : g(x) g(x 0 ) x D U δ (x 0 ), (1.9) g hat in x 0 ein lokales Minimum δ > 0 : g(x) g(x 0 ) x D U δ (x 0 ). (1.10) Diese Definition entspricht genau dem bereits aus Schulzeiten bekannten Extremums- Begriff. Liegt das Extremum einer Funktion an einem inneren Punkt, dann verschwindet an dieser Stelle die Ableitung der Funktion. Ist also g im inneren Punkt x 0 D differenzierbar und hat ein Extremum, dann gilt g (x 0 ) = 0. Außer an den Randpunkten der Definitionsmenge D ist also ein Extremum immer gleichbedeutend mit einer Nullstelle der Ableitung. Besagte Randpunkte müssen bei einer Kurvendiskussion getrennt betrachtet werden, wobei die Ungleichung aus Definition 1.9 oder 1.10 überprüft werden muss. 1.4 Eigenschaften von Extrema Es sei n 2 und f C n (I). Weiterhin sei x 0 ein innerer Punkt von I und f (x 0 ) =... = f (n 1) (x 0 ) = 0, aber f (n) (x 0 ) 0. Dann lässt sich folgendes sagen: Ist n gerade und f (n) (x 0 ) > 0, so hat f in x 0 ein Minimum, ist hingegen f (n) (x 0 ) < 0, so hat f in x 0 ein Maximum. Ist n ungerade, so hat f in x 0 kein lokales Extremum, sondern nur einen Sattelpunkt. 3

4 1.5 Mittelwertsatz Es seien a, b R, a < b und f eine auf (a, b) differenzierbare Funktion. Die Stetigkeit auf (a, b) folgt direkt aus der Differenzierbarkeit, zusätzlich fordern wir aber auch Stetigkeit in a und b, also f C([a, b]). Dann gibt es ein ξ (a, b) mit der Eigenschaft, dass f (ξ) = f(b) f(a). (1.11) b a Es gibt also mindestens einen Punkt, an dem die Steigung der Funktion gleich der Steigung der direkten Verbindung der Punkte (a, f(a)) und (b, f(b)) ist. 1.6 Regel von l Hospital Es seien a, b R {, }, a < b, sowie f, g : (a, b) R seien auf (a, b) differenzierbare Funktionen mit g (x) 0 x (a, b). Weiterhin definieren wir L γ R {, } wie folgt: f (x) L γ := lim x γ g (x), (1.12) wobei die Grenze γ entweder a oder b ist. Es gibt also zwei solche L γ, nämlich L a und L b. In zwei häufig auftretenden Fällen kann die Größe L γ helfen, Grenzwerte der Funktionen f und g bzw. deren Quotienten zu berechnen: f(x) Ist lim f(x) = lim g(x) = 0, dann gilt lim = L x γ x γ x γ g(x) γ. f(x) Ist lim g(x) = ±, so gilt ebenfalls lim = L x γ x γ g(x) γ. Dies gilt sowohl für γ = a als auch γ = b, wobei es innerhalb einer Rechnung natürlich fest gewählt werden muss und nicht mehr getauscht werden darf. Grob lässt sich also sagen: In den beschriebenen zwei Fällen stimmen der Grenzwert des Quotienten der Ableitungen und der Grenzwert des Quotienten der Funktionen selbst überein. Die Regel lässt sich natürlich auch mehrfach anwenden, sodass etwas über Grenzwerte von höheren Ableitungen (siehe im folgenden Kapitel 1.7) ausgesagt werden kann. 1.7 Mehrfache Ableitungen Eine Funktion lässt sich nicht nur einfach, sondern häufig auch mehrfach ableiten. Ist f : I R eine solche in x 0 differenzierbare Funktion und ihre Ableitung f (x 0 ) ist erneut differenzierbar, dann existiert die zweite Ableitung f (x 0 ). Ganz analog definiert man auch weitere Ableitungen wie f (x 0 ), f (4) (x 0 ),... sowohl an der festen Stelle x 0 also auch (falls existent) auf dem ganzen Intervall I. Für höhere Ableitungen hat man dabei die kurze Notation f (n) (x 0 ) eingeführt, was die n-te Ableitung bedeutet und das schreiben von n Strichen vermeiden soll. Entsprechend kann man auch f (1) (x 0 ) für die erste und f (2) (x 0 ) für die zweite Ableitung schreiben, was in der Praxis aber selten getan wird. Eine weitere häufige Notation liegt in den Mengen C n (I) := {f : I R f ist auf I n-fach stetig differenzierbar}. (1.13) Eine Funktion f C n (I) lässt sich auf dem Intervall I n mal ableiten und diese Ableitungen sind stetig auf I (was genau der Bedeutung von stetiger Differenzierbarkeit entspricht). Für n = 0 ist C 0 (I) = C(I) die Menge der stetigen Funktionen auf dem Intervall I (siehe Tutorium 7), was also der Notation f (0) (x 0 ) = f(x 0 ) entspricht. 4

5 2 Theorie über das Tutorium hinaus 2.1 Verallgemeinerter Mittelwertsatz Es seien wie in Kapitel 1.5 a, b R, a < b. Weiterhin seien f und g auf (a, b) differenzierbare und auf [a, b] stetige Funktionen. ist g (x) 0 x (a, b), dann ist g(a) g(b) und f(b) f(a) ξ (a, b) : g(b) g(a) = f (ξ) g (ξ). (2.1) Mit der Funktion g(x) = x ergibt sich daraus wieder der normale Mittelwertsatz. 3 Aufgaben Die Musterlösungen der Tutoriumsaufgaben 50, 52 und 54 finden sich auf der Internetseite der Vorlesung unter 5