RWTH Aachen, Lehrstuhl für Informatik IX Kapitel 3: Suchen in Mengen - Datenstrukturen und Algorithmen - 51

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1 RWTH Aacen, Lerstul für Informatik IX Kapitel 3: Sucen in Mengen - Datenstrukturen und Algoritmen - 51 Sucbäume Biser betractete Algoritmen für Suce in Mengen Sortierte Arrays A B C D - Nur sinnvoll für statisce Mengen, da Einfügen und Entfernen O(n) Zeit benötigt. - Zeitbedarf für Suce: O(log n) (binäre Suce) - Bereicanfragen: alle Einträge zwiscen 127 und 135 Hasing - stark abängig von gewälter Hasfunktion - Kollisionsbeandlung nötig - Anzal der Objekte muss vorer bekannt sein (im Groben) - keine Bereics- oder Änlickeitsanfragen Einträge für Maier u.ä.

2 RWTH Aacen, Lerstul für Informatik IX Kapitel 3: Sucen in Mengen - Datenstrukturen und Algoritmen - 52 Sucbäume Suc-Bäume CPU MM flüctig - beliebige dynamisc erweitbar - Operationen Einfügen, Entfernen, Sucen sind in O(log n) realisierbar A - effiziente Lösungen für die Speicerung im Sekundärspeicern Wir betracten im weiteren folgende Arten von Bäumen - Binäre Sucbäume - Balancierte Bäume binäre nict binäre - AVL Bäume, B-Bäume, R-Bäume - Optimale binäre Sucbäume (für statisce Daten)

3 RWTH Aacen, Lerstul für Informatik IX Kapitel 3: Sucen in Mengen - Datenstrukturen und Algoritmen - 53 Binäre Sucbäume Ausgangspunkt Binäre Suce S= Start in der Mitte -> Wurzel - Aufteilung in - linker Teil jeweils - recten Teil one Mitte - Rekursiv weiter: - linker Teilbaum aus linker Hälfte - recter Teilbaum aus recter Hälfte

4 RWTH Aacen, Lerstul für Informatik IX Kapitel 3: Sucen in Mengen - Datenstrukturen und Algoritmen - 54 Definition Binärer Sucbaum Definition Ein binärer Sucbaum für eine Menge von n Sclüsseln S={x 1, x 2,..., x n} bestet aus einer Menge von B bescrifteten Knotenv ={v, 1 v,..., 2 v n} mit der Bescriftungsfunktion value: v -> S value ist COrdnungseraltend, d.. für linken Teilbaum für Knoten viim linken Teilbaum und vjim recten Teilbaum des Knoten vk gilt: value(v) value(v ) value(v) i k j Begriffe Pfade 37 v k Höe 4 18 Grad = recter Teilbaum

5 RWTH Aacen, Lerstul für Informatik IX Kapitel 3: Sucen in Mengen - Datenstrukturen und Algoritmen - 55 Definition Binärer Sucbaum Datenstruktur class Node { private int value; //mit getvalue/setvalue private Node leftcild; //mit getsetleftcild private Node rigtcild; //mit get/setrigtcild } class Tree{ private Node root; //mit get/set Root public void insert(int value); public void delete(int value); public Node searc(int value); }

6 RWTH Aacen, Lerstul für Informatik IX Kapitel 3: Sucen in Mengen - Datenstrukturen und Algoritmen - 56 Binärer Sucbaum mit Bereicsblättern Bereicsblätter Darstellung A B - leere Teilbäume werden ier las Bereicsblätter dargestellt, die Intervalle zwiscen den gespeicerten Sclüsseln, beinaltet - Ein Baum mit n Knoten at n + 1Bereicsblätter - erfolglose Suce endet immer in einem Bereicsblatt - Bereicsblätter werden in de Regel nict gespeicert Beispiel (-,11) (48, ) (11,17) (17,18) (18,19) (19,23) (23, 32) (32,37) (37, 38) (38,39) (39,42) (42,43) (43,45) (45,48)

7 RWTH Aacen, Lerstul für Informatik IX Kapitel 3: Sucen in Mengen - Datenstrukturen und Algoritmen - 57 Suce in Binärem Sucbaum Programm - Suce in Binärem Baum public Node searc (int value) { // ier: iterative Version Node v = root; wile(v!= null && v.getvalue()!= value){ if[value < v.getvalue()) v = v.getleftcild(); else /* value > v.getvalue() */ v = v.getrigtcild(); }/* v== null v.getvalue() == value */ return v; nict erfolgreic erfolgreic } Die Metode searc endet - in einem inneren Knoten, wenn value gefunden wurde oder - in einem leeren Teilbaum ( Bereicsblatt ), wenn value nict gefunden wurde

8 RWTH Aacen, Lerstul für Informatik IX Kapitel 3: Sucen in Mengen - Datenstrukturen und Algoritmen - 58 Operationen beim Binären Sucbaum Operation t.insert(value) für Tree T - Suce value in T, Ergebnis sei Bereicblatt(x, i x i+1) - Ersetze Bereicsblattdurc: x, x i i+1 val value (x i,val) (val, x i+1 ) (x, i value) (value, x ) i+1 Operation t.delete(value) - Suce zu löscenden Knoten v - Untersceide drei Fälle: 1. v at nur leere Teilbäume -> v kann unmittelbar gelösct werden. 2. v at genau einen nict leeren Teilbaum vs ->ersetze v durc vs 3. at zwei nict leere Teilbäume: * Suce im linken Teilbaum von v den rectesten (=größten) Unterknoten w * ersetze v durc w * lösce w an der ursprünglicen Stelle

9 RWTH Aacen, Lerstul für Informatik IX Kapitel 3: Sucen in Mengen - Datenstrukturen und Algoritmen - 59 Beispiel zum Einfügen Operationen: Beispiel: Einfügen von Suce Einfügestelle -> endet in dem Bereicsblatt (7, 18) [= leerer Teilbaum] 2. Bereicblatt wird ersetzt durc neuen Knoten 12

10 RWTH Aacen, Lerstul für Informatik IX Kapitel 3: Sucen in Mengen - Datenstrukturen und Algoritmen - 6 Beispiel zum Löscen Operationen: Beispiel: Entferne 12 -> at keine Nacfolger, kann direkt entfernt werden Beispiel: Entferne 7 -> at einen Nacfolger ersetze 7 durc

11 RWTH Aacen, Lerstul für Informatik IX Kapitel 3: Sucen in Mengen - Datenstrukturen und Algoritmen - 61 Beispiel zum Löscen 18 1 * links immer rects 23 v w 37 (-, 12) (12, 18) (18, 21) (21, 23) Operationen: (23, 37) (37, 41) (41, ) Beispiel: Entferne 23 - suce im linken Teilbaum den aus weitesten rects liegenden Knoten w: 21 - ersetze durc entferne 21

12 RWTH Aacen, Lerstul für Informatik IX Kapitel 3: Sucen in Mengen - Datenstrukturen und Algoritmen - 62 Sucbäume für lexikografisce Sclüssel Beispiel: Deutsce Monatsnamen Einfügungen in kalendarisce Reienfolge: Jan Januar Feb Februar Mae Maerz April Juni Mai Aug August Dez Dezember Juli Okt Oktober Sep September November * Binärer Sucbaum: Inorder-Durclauf: April, August, Dezember,, Februar, Januar, Juli, Juni, Maerz, Mai, Nov., Okt, Sept * Beobactung: Baum ist nict balanciert Nov

13 RWTH Aacen, Lerstul für Informatik IX Kapitel 3: Sucen in Mengen - Datenstrukturen und Algoritmen - 63 Komplexitätsanalyse Binärer Sucbaum Analyse der Laufzeit Operationen Insert und Delete besteen aus - Suce der Position im Baum - lokaler Änderung im Baum: O(1) Analyse des Sucverfarens - Anzal Vergleice entsprict Höe des Baums, da immer genau ein Pfad betroffen ist - Sei (t) die Höe des Sucbaums t, dann ist die Komplexität für searc: O((t)) - Abängigkeit von der Anzal de Knoten? a) Wie oc ist ein binärer Sucbaum mit n Knoten? bzw. b) Wie viele Knoten entält ein linearer Sucbaum der Höe maximal bzw. minimal?

14 RWTH Aacen, Lerstul für Informatik IX Kapitel 3: Sucen in Mengen - Datenstrukturen und Algoritmen - 64 Komplexitätsanalyse Binärer Sucbaum Best-Case max Anzal von Knoten für Höe Betractete Fall: Alle Knoten aben zwei Nacvolger (sie auf die Blätter) Höe=1 Anzal Knoten: n = 1 Höe=2 1 1 n=2*1+1= Höe=3 3 n =2-1= Höe= n = 2-1= 15 4 Allgemein: n=2 (2-1 -1) +1 = =2-1

15 RWTH Aacen, Lerstul für Informatik IX Kapitel 3: Sucen in Mengen - Datenstrukturen und Algoritmen - 65 Komplexitätsanalyse Binärer Sucbaum Worst-Case - alle Knoten bis auf ein Blatt aben nur einen Nacfolger - Baum degeneriert zu einer linearen Liste - Baum der Höe at nur n=knoten Anzal Vergleice in Abängigkeit von n (Anzal Knoten) Die Anzal Vergleice entsprict der Höe k Best Case: voll gefüllter Baum at n 2-1 Knoten Umformung: ld(n + 1) bzw. = ld(n + 1) Komplexität: O(ld n) vgl. binäre Suce Worst Case: lineare Liste als Baum at n = Knoten Komplexität: O(n) vgl. lineare Suce Bsp: worst best = = 2 2 1Mio.

16 RWTH Aacen, Lerstul für Informatik IX Kapitel 3: Sucen in Mengen - Datenstrukturen und Algoritmen - 66 Komplexitätsanalyse Binärer Sucbaum Problemanalyse Ziel A Operationen Insert, Delete, Searc (Hauptbestandteil ist jeweils Searc mit O(log n) Durc die Operationen Insert, Delete kann ein Binärbaum zu einer linearen Liste entarten - Der binäre Sucbaum at im optimalen Fall eine gute Komplexität für die Operationen Insert, Delete, Searc: O(log n) - Durc Insert, Delete kann ein Binärbaum zu einer linearen Listentarten Die Operationen Insert und Delete sollen so verändert werden, dass ein Baum immer balanciert bleibt Balancieren: - Anzal Knoten im linken und recten Teilbaum ungefär gleic - Höe der beiden Teilbäume soll etwa gleic groß sein.

17 RWTH Aacen, Lerstul für Informatik IX Kapitel 3: Sucen in Mengen - Datenstrukturen und Algoritmen - 67 Balancierte Bäume Ziel: Verindern der Worst-Case Komplexität für Searc O(n) - Verindern der Worst-Case Komplexität O(n) - entartete Bäume verindern durc ausbalancieren Entartete Bäume verindern Bäume ausbalancieren Balancieren (zwei Arten) - Gleicgewictsbalancierung BB(a) Bounded Balance mit Grenze a: Die Anzal der Blätter in den Unterbäumen wird ausbalanciert. Dabei bescreibt a den maximalen Unterscied zwiscen den Teilbäumen - Höenbalancierung: die Höe der beiden Teilbäume wird ausbalanciert (z.b. Höe 1)

18 RWTH Aacen, Lerstul für Informatik IX Kapitel 3: Sucen in Mengen - Datenstrukturen und Algoritmen - 68 AVL-Baum Balancierter Baum istorisce erste Variante eines balancierten Baumes (von Adelson, Velski, Landis) Definition: Ein AVL -Baum ist ein binärer Sucbaum mit einer ein AVL-Baum ist ein binärer Sucbaum mit folgender Strukturbindung: Strukturbedingung: Für alle Knoten gilt: die Höe der beiden Teilbäume untersceiden sic öcstens um eins A Operationen Damit diese AVL-Bedingung auc nac Insert oder Delete noc gilt, muss der Baum ggf. rebalanciert werden.

19 RWTH Aacen, Lerstul für Informatik IX Kapitel 3: Sucen in Mengen - Datenstrukturen und Algoritmen - 69 AVL-Baum Gegenbsp: Beispiele =2 =2 =1 =4 =1 =4 =2 =2 =2 =3 AVL-Baum D 1 kein AVL Baum =2 D =2 AVL-Baum 1 D 1 AVL 1 Untersucung der Komplexität - Operationen Searc ängt weiterin von der Höe ab - Frage: Wie oc kann ein AVL-Baum für eine gegebene Knotenanzal n maximal werden? bzw. aus wie vielen Knoten muss ein AVL-Baum der Höe mindestens besteen?

20 RWTH Aacen, Lerstul für Informatik IX Kapitel 3: Sucen in Mengen - Datenstrukturen und Algoritmen - 7 Höe eines AVL -Baumes Anzal Knoten in Abängigkeit von der Höe Gesuct: minimale Knotenanzal d.. wir betracten minimal gefüllte Bäume. Dabei sei N() die min. Anzal Knoten für AVL Baum der Höe = 1: N() = 1 (nur Wurzel) = 2: N() = 2 (nur ein Zweig gefüllt) =3:N()=4 N(2) N(1) + 1= = 4

21 RWTH Aacen, Lerstul für Informatik IX Kapitel 3: Sucen in Mengen - Datenstrukturen und Algoritmen - 71 Höe eines AVL -Baumes Anzal Knoten in Abängigkeit von der Höe Für beliebige min. gefüllten AVL-Baum der Höe 3 gilt: 1) Die Wurzel besitzt zwei Teilbäume 2) Ein Teilbaum at Höe -1 3) der andere Teilbaum at Höe -2 1 N(-1) N(-2) -1-2 N()=N(-1)+N(-2)+1 änlic zu Fibonacci-Reie

22 RWTH Aacen, Lerstul für Informatik IX Kapitel 3: Sucen in Mengen - Datenstrukturen und Algoritmen - 72 Höe eines AVL -Baumes Ein minimal gefüllter AVL -Baum eißt auc mancmal Fibonacci- Baum 1 =1 Baum: N()= 2 = 2 N(-1)+N(-2)+1 >2 = Fibonacci: F()= 1 = 1 f(-1)+f(+2) >1

23 RWTH Aacen, Lerstul für Informatik IX Kapitel 3: Sucen in Mengen - Datenstrukturen und Algoritmen - 73 Höe eines AVL -Baumes AVL-Baum (Fibonacci-Baum) Vergleic Fibonacci-Reie f() mit AVL Baumöe N() = f() N() = = N() = f( + 2) - 1 Beweis mittels vollständiger Induktion Wie oc ist ein Baum, der aus n Knoten bestet Verwendung der Fibonacci-Formel f - f F( ) = mit f =, f = f() = - 1 mit = 1 + 5, 1 =

24 RWTH Aacen, Lerstul für Informatik IX Kapitel 3: Sucen in Mengen - Datenstrukturen und Algoritmen - 74 Höe eines AVL -Baumes Höe in Abängigkeit von der Knoten-Anzal N()=F(+2)-1= ( - ) - 1 (one Beweis) 1 One Beweis Also gilt für einen AVL -Baum mit n Knoten für die Höe N() n und mit N() = F( + 2) - 1 ergibt sic: n F(+2)-1 n - 1 n+1 log (n+1) log (n+1)

25 RWTH Aacen, Lerstul für Informatik IX Kapitel 3: Sucen in Mengen - Datenstrukturen und Algoritmen - 75 Höe eines AVL -Baumes Höe in Abängigkeit von der Knoten-Anzal log (n+1) ln 2/ln ld( n + 1) < 1,444 ld (n + 1) Û zum Vergleic: maximalgefüllter binärer Sucbaum: Vergleic ld(n + 1) mit max. gefüllten Binärem Sucbaum: ld(n+1) Ergebnis: A B C D - ein AVL-Baum ist maximal 44% öer als ein maximal ausgeglicener binärer Sucbaum. - Komplexität für Searc: O(log n) auc im worst case. Operationen A - Frage: Wir müssen Operationen Insert, Delete verändert werden, damit die Balance eines AVL-Baumes gewärleistet bleibt?

26 RWTH Aacen, Lerstul für Informatik IX Kapitel 3: Sucen in Mengen - Datenstrukturen und Algoritmen - 76 Operationen auf AVL -Bäumen Sucen genauso wie bei binären Sucbaum Einfügen / Löscen Scritt 1) wie bei binärem Sucbaum (Suce Einfügestelle bzw. zu entfernenden Knoten und früer Einfügen bzw. Entfernne aus) C Scritt 2) Festelle, ab AVL-Eigenscaft an der Einfüge- bzw. Entfernungsstelle noc gilt. Scritt 3) Rebalancierung durc Rotation Untersucung 1. A 1. Wie kann festgestellt werden, ob ein Baum nict mer balanciert ist? 2. Wie kann ein Baum rebalanciert werden?

27 RWTH Aacen, Lerstul für Informatik IX Kapitel 3: Sucen in Mengen - Datenstrukturen und Algoritmen - 77 Balance bei AVL -Bäumen Vorgeensweise A Bei jedem Knoten wird die Höendifferenz (Balance b) der beiden Teilbäume abgespeicert: b = Höe(recter Teilbaum) - Höe (linker Teilbaum) Beispiel

28 RWTH Aacen, Lerstul für Informatik IX Kapitel 3: Sucen in Mengen - Datenstrukturen und Algoritmen - 78 Balance bei AVL -Bäumen Einfügen - zuerst Einfügen wie bei Binärbaum (s.o.) - beim Einfügen kann sic nur die Balance b von Knoten verändern, die auf dem Sucpfad liegen. ->dabei kann AVL-Kriterium verletzt werden - Gee nac dem Einfügen eines neuen Knoten den Sucpfad wieder zurück und aktualisiere die Balance

29 RWTH Aacen, Lerstul für Informatik IX Kapitel 3: Sucen in Mengen - Datenstrukturen und Algoritmen - 79 Einfügen bei AVL -Bäumen Bsp: Einfügen (1) Einfügen (33) Ablauf: Nac Einfügen: Kritiscen Knoten bestimmen (näcstgelegener Vorgänger zum neuen Knoten mit b = 2) dieser ist Ausgangspunkt der Reorganisations (Rotation) - Pfad vom kritiscen zum neuen Knoten legt Rotationstyp fest

30 RWTH Aacen, Lerstul für Informatik IX Kapitel 3: Sucen in Mengen - Datenstrukturen und Algoritmen - 8 AVL-Baum: Einfacrotation LL-Rotation Bsp: Einfügung wer im linken Teilbaum des linken Teilbaums -1-2 Baum ist nac LL-Rotation wieder balanciert -1 <- -1 B B C +3 Kritiscer Knoten Rotiere linken Teilbaum +1 B1 7 B C +1

31 RWTH Aacen, Lerstul für Informatik IX Kapitel 3: Sucen in Mengen - Datenstrukturen und Algoritmen - 81 AVL-Baum: Einfacrotation RR-Rotation: C B B Kritiscer Knoten Rotiere recten Teilbaum C 7 +1 B1 18 B2 +1

32 RWTH Aacen, Lerstul für Informatik IX Kapitel 3: Sucen in Mengen - Datenstrukturen und Algoritmen - 82 AVL-Baum: Doppelrotation LR-Rotation B > C Kritiscer Knoten B B2a B2b - C B2 +1 Eine einface Rotation reict ier nict aus, da der problematisce Teilbaum innen liegt -> betracte Teilbaum B2 näer

33 RWTH Aacen, Lerstul für Informatik IX Kapitel 3: Sucen in Mengen - Datenstrukturen und Algoritmen - 83 AVL-Baum: Doppelrotation LR-Rotation B B2a B2b C -1 B B2a B2b C Bemerkung: es spielt keine Rolle, ob der neue Knoten im Teilbaum B2a oder in B2b eingefügt wurde Bemerkung: RL-Rotation: analog (symmetrisc) zur LR-Rotation

34 RWTH Aacen, Lerstul für Informatik IX Kapitel 3: Sucen in Mengen - Datenstrukturen und Algoritmen - 84 AVL-Baum: Komplexität beim Einfügen Komplexität A B Die Rotation stekken das AVL-Kriterium im unbalancierten Unterbaum wieder er und sie bewaren die Sortierreienfolge (d.. Sucbaumeigenscaft) - Wenn ein Baum rebalanciert wird, ist der entsprecende Unterbaum danac immer genauso oc wie vor dem Einfügen => der restlice Baum bleibt konstant und muss nict überprüft werden => beim Einfügen eines Knoten benötigt man öcstens eine Rotation zur Rebalancierung??A Aufwand: Suce + Einfügen + Rotation O() + O(1) + O(1) = O() = O(log n)

35 RWTH Aacen, Lerstul für Informatik IX Kapitel 3: Sucen in Mengen - Datenstrukturen und Algoritmen - 85 Löscen bei AVL -Bäumen Vorgeensweise - zuerst normales Löscen wie bei Binärbaum - Nur für Knoten auf den Löscpfad kann das AVL-Kriterium verletzt werden (vgl. Einfügen) A Ablauf: - nac dem eigentlicen Löscen: kritiscen Knoten bestimmen: näcster Vorgänger zum tatsäclicen entfernten Knoten mit b = 2 - er kritisce Knoten ist Ausgangspunkt der Reorganisation (=Rotation) - Rotationstyp wird bestimmt, als ob im gegenüberliegenden Unterbaum ein Knoten eingefügt worden wäre.

36 RWTH Aacen, Lerstul für Informatik IX Kapitel 3: Sucen in Mengen - Datenstrukturen und Algoritmen - 86 Löscen bei AVL -Bäumen Kritisces Beispiel B B C Rotiere gegenüberliegenden Teilbaum -1 B B C -1 Beobactung: Der Teilbaum ist nac der Rotation ier nict ausbalanciert Dies liegt daran, dass ein Teilbaum rotiert, der selbst ausbalanciert wird.

37 RWTH Aacen, Lerstul für Informatik IX Kapitel 3: Sucen in Mengen - Datenstrukturen und Algoritmen - 87 Löscen bei AVL -Bäumen Komplexität Beim Löscen eines Knotens wird Beim Löscen eines Knoten wird - das AVL-Kriterium (lokal) wiederergestellt, die Sortierreienfolge bleibt eralten. - kann es vorkommen, dass der rebalancierte Unterbaum nict dieselbe Höe wie vor dem löscen besitzt. -> auf dem weiteren Pfad zur Wurzel kann es zu weiteren Rotationen kommen -> beim löscen werden maximal Rotationen benötigt. das AVL -Kriterium wiederergestellt, die Sortierreienfolge bleibt eralten kann es vorkommen, daß der rebalancierte Unterbaum nict die gleice Höe wie vor dem Löscen besitzt auf dem weiteren Pfad zur Wurzel kann es zu weiteren Rebalancierungen (des obigen Typs, also immer im anderen Unterbaum) kommen beim Löscen werden maximal Rotationen benötigt Aufwand: Entfernen + Rotieren O() + O() = O(log(n)) Entfernen + Rebalancieren O() + O() = O() = O(log n)

38 RWTH Aacen, Lerstul für Informatik IX Kapitel 3: Sucen in Mengen - Datenstrukturen und Algoritmen - 88 Zusammenfassung Binäre Bäume Vergleic mit Hasing - Hasing at im optimalen Fall konstante Komplexität O(1), im sclectesten Fall O(n) - Damit Hasing gut funktioniert, müssen viele Parameter bekannt sein: - Wertebereic - Größe der Tabelle, d.. Speicerplatz - Gute Hasfunktion - Bäume aben in allen Operationen (Sucen, Einfügen, Entfernen) logaritmisce Komplexität, O(log n) - Bei Bäumen ist kein Wissen über die Daten nötig