Binäre Suchbäume. 6. Binäre Suchbäume. Einfügen in binären Suchbäumen

Transkript

1 6. Binäre Sucbäume Natürlice binäre Sucbäume - Begriffe und Definitionen - Grundoperationen: Einfügen, sequentielle Suce, direkte Suce, öscen - Bestimmung der mittleren Zugriffskosten Balancierte Binärbäume AV-Baum - Einfügen mit otationstpen - öscen mit otationstpen - Höe von AV-Bäumen Gewictsbalancierte Binärbäume Positionssuce mit balancierten Bäumen (ösung des Auswalproblems Binäre Sucbäume Def.: Ein natürlicer binärer Sucbaum B ist ein Binärbaum; er ist entweder leer oder jeder Knoten in B entält einen Sclüssel und: ( alle Sclüssel im linken Unterbaum von B sind kleiner als der Sclüssel in der Wurel von B (2 alle Sclüssel im recten Unterbaum von B sind größer als der Sclüssel in der Wurel von B (3 die linken und recten Unterbäume von B sind auc binäre Sucbäume. Beispiel: 4 Grundoperationen: - Einfügen - direkte Suce - sequentielle Suce - öscen Einfügen in binären Sucbäumen Neue Knoten werden immer als Blätter eingefügt Suce der Einfügeposition: Ausseen des Baumes wird durc die Folge der Einfügungen bestimmt: reienfolgeabängige Struktur n Sclüssel erlauben n! versciedene Sclüsselfolgen Einfüge( ==> Einfügereienfolge : Einfügereienfolge 2: KANT, EIBNIZ, HEGE,, OCKE, SOCATES, EIBNIZ, DESCATES, CANAP,, SPINOZA, DESCATES, CANAP, FEGE, PATON SOCATES, FEGE, OCKE, KANT, HEGE, PATON, SPINOZA KANT EIBNIZ DESCATES CANAP FEGE HEGE KANT < OCKE SOCATES PATON > SPINOZA Einfügen in binären Sucbäumen (2 class BinarNode { BinarNode lcild = null; BinarNode rcild = null; Orderable ke = null; /** Konstruktor */ BinarNode(Orderable ke { tis.ke = ke; public class BinarSearcTree { private BinarNode root = null;... public void insert(orderable ke trows TreeEception { root = insert(root, ke; protected BinarNode insert(binarnode node, Orderable ke trows TreeEception { if (node == null return new BinarNode(ke; else if (ke.less(node.ke node.lcild = insert(node.lcild, ke; else if (ke.greater(node.ke node.rcild = insert(node.rcild, ke; else trow new TreeEception("Scluessel scon voranden!"; return node;

2 Suce in binären Sucbäumen. Sequentielle Suce Einsat eines Durclauf-Algoritmus (Zwiscenordnung 2. Direkte Suce: Vorgeensweise wie bei Suce nac Einfügeposition Sucen eines Knotens (rekursive Version: /** ekursive Suce eines Scluessels im Baum */ public boolean searcec (Orderable ke { return searcec(root, ke; /** ekursive Suce eines Scluessels im Teilbaum */ protected boolean searcec (BinarNode node, Orderable ke { if (node == null return false; // nict gefunden if (ke.less(node.ke return searcec(node.lcild, ke; // suce im linken Teilbaum if (ke.greater(node.ke return searcec(node.rcild, ke; // suce im recten Teilbaum return true; // gefunden Sucen (2 Sucen (iterative Version: public boolean searciter (Orderable ke { BinarNode node = root; do { if (node == null return false; // nict gefunden if (ke.less(node.ke node = node.lcild; // suce im linken Teilbaum else if (ke.greater(node.ke node = node.rcild; // suce im recten Teilbaum else return true; // gefunden wile (true; öscen in binären Sucbäumen öscen ist am kompliiertesten Fall : ist Blatt Fall 2/3: at leeren linken/recten Unterbaum Fall 4: at wei nict-leere k r Unterbäume Heranieen des größten Sclüssels im linken Unterbaum (g l oder des kleinsten Sclüssels im recten Unterbaum (k r g l k r - Alternative: Jeder u löscende Knoten wird speiell markiert; bei Suc- und Einfügevorgängen wird er gesondert beandelt öscen in binären Sucbäumen (2 ösce (OCKE FEGE OCKE FEGE DESCATES HEGE KANT SPINOZA DESCATES PATON HEGE CANAP EIBNIZ CANAP SOCATES ösce (DESCATES ösce (FEGE KANT PATON SPINOZA KANT PATON SPINOZA EIBNIZ SOCATES EIBNIZ SOCATES

3 Binäre Sucbäume: Zugriffskosten Kostenmaß: Anal der aufgesucten Knoten bw. Anal der benötigten Sucscritte oder Sclüsselvergleice. Kosten der Grundoperationen - sequentielle Suce: - Einfügen, öscen, direkte Suce Bestimmung der mittleren Zugriffskosten (direkte Suckosten - Mittlere Zugriffskosten eines Baumes B erält man durc Berecnung seiner gesamten Pfadlänge P als Summe der ängen der P( B = Stufe( K n Pfade von der Wurel bis u jedem Knoten K i. i i = - mit n i = Zal der Knoten auf Stufe i gilt P( B = i n i und n i = n = gesamte Knotenal i = i = - Die mittlere Pfadlänge ergibt sic u Beispiel: p = P / n - Da bei jedem Zugriff noc auf die = p + = -- ( i + n Wurel ugegriffen werden muß, erält n i i = man 2 3 Binäre Sucbäume: Zugriffskosten (2 Maimale Zugriffskosten - Die längsten Sucpfade und damit die maimalen Zugriffskosten ergeben sic, wenn der binäre Sucbaum u einer linearen iste entartet - Höe: = l ma + = n - Maimale mittlere Zugriffskosten: n ( n+ ( n+ -- ma = ( i+ n = n = = O( n 2n 2 i = Minimale (mittlere Zugriffskosten: können in einer fast vollständigen oder ausgeglicenen Baumstruktur erwartet werden - Gesamtal der Knoten: - Höe = log 2 n + - Minimale mittlere Zugriffskosten: < n 2 min log 2 n Stufe Binäre Sucbäume: Zugriffskosten (3 Durcscnittlice Zugriffskosten - Etremfälle der mittleren Zugriffskosten sind wenig aussagekräftig: - Wie groß sind und bei n=, 3, 6 min ma,...? - Differen der mittleren u den minimalen Zugriffskosten ist ein Maß für Dringlickeit von Balancierungstecniken Bestimmung der mittleren Zugriffskosten - n versciedene Sclüssel mit den Werten, 2,..., n seien in ufälliger eienfolge gegeben. Die Warsceinlickeit, daß der erste Sclüssel den Wert i besitt, ist /n (Anname: gleice Zugriffswarsceinlickeit auf alle Knoten - Für den Baum mit i als Wurel eralten wir Knoten Knoten i n ( i = -- (( n i + ( i + + ( n i + ( n i n i - Die ekursionsgleicung läßt sic in nict-rekursiver, gesclossener Form mit Hilfe der armoniscen n Funktion H n = -- darstellen. - Es ergibt sic n = 2 3 = 2 ln(n - c. - elative Merkosten: i i = ( n H n n n 2ln( n c 2ln( n c = = 2ln( 2 =,386 log min 2 ( n log 2 ( n i - i n n - i Balancierte Binärbäume Der ausgeglicene binäre Sucbaum verursact für alle Grundoperationen die geringsten Kosten Perfekte Balancierung u jeder Zeit kommt jedoc ser teuer. - In welcem Maße sollen Strukturabweicungen bei Einfügungen und öscungen toleriert werden? Balancierte Bäume Einfüge ( - Ziel: scneller direkten Zugriff mit ma O( log 2 n sowie Einfüge- und öscoperationen mit logaritmiscen Aufwand - Heuristik: für jeden Knoten im Baum soll die Anal der Knoten in jedem seiner beiden Unterbäume möglicst gleic gealten werden - Zwei untersciedlice Vorgeensweisen: ( die ulässige Höendifferen der beiden Unterbäume ist bescränkt (=> öenbalancierte Bäume (2 das Verältnis der Knotengewicte der beiden Unterbäume erfüllt gewisse Bedingungen (=> gewictsbalancierte Bäume

4 k-balancierter Binärbaum Def.: Seien ( und ( die linken und recten Unterbäume eines Knotens. Weiterin sei (B die Höe eines Baumes B. Ein k-balancierter Binärbaum ist entweder leer oder es ist ein Baum, bei dem für jeden Knoten gilt: k läßt sic als Maß für die ulässige Entartung im Vergleic ur ausgeglicenen Baumstruktur auffassen Prinip B ( l ( B ( r ( k B ( l ( B ( r ( B ( l ( B ( r ( = = AV-Baum benannt nac russiscen Matematikern: Adelson-Velski und andis Def.: Ein -balancierter Binärbaum eißt AV-Baum -> Balancierungskriterium: B ( l ( B ( r ( Konstruktionsprinip: - und seien AV-Bäume der Höe und. Dann sind die nacfolgend dargestellten Bäume auc AV-Bäume: DUBIN B ( l ( B ( r ( = B ( l ( B ( r ( = Sucoperationen wie für allgemeine binäre Sucbäume AV-Baum: Wartungsalgoritmen Wann und wo ist das AV-Kriterium beim Einfügen verlett? - Es kann sic nur die Höe von solcen Unterbäumen verändert aben, deren Wureln auf dem Sucpfad von der Wurel des Baumes um neu eingefügten Blatt liegen - eorganisationsoperationen lassen sic lokal begrenen; es sind öcstens Knoten betroffen Def.: Der Balancierungsfaktor BF( eines Knotens ergibt sic u BF( = ( ( - ( (. Knotendefinition class AVNode { int BF = ; AVNode lcild = null; AVNode rcild = null; Orderable ke = null; /** Konstruktor */ AVNode(Orderable ke { tis.ke = ke; Einfügen in AV-Bäumen Sobald ein BF( durc eine Einfügung verlett wird, muß eine ebalancierung des Baumes durc sog. otationen durcgefürt werden. - Ausgangspunkt der otation ist der näeste Vater des neu eingefügten Knotens mit BF = Dieser Knoten dient ur Bestimmung des otationstps. Er wird durc die von diesem Knoten ausgeende Kantenfolge auf dem Pfad um neu eingefügten Knoten festgelegt. otationstpen Es treten vier versciedene otationstpen auf. Der neu einufügende Knoten sei X. Y sei der beüglic der otation kritisce Knoten - der näeste Vater von X mit BF = + 2. Dann bedeutet: - : X wird im recten Unterbaum des recten Unterbaums von Y eingefügt (inksrotation - : X wird im linken Unterbaum des linken Unterbaums von Y eingefügt (ectsrotation - : X wird im linken Unterbaum des recten Unterbaums von Y eingefügt (Doppelrotation - : X wird im recten Unterbaum des linken Unterbaums von Y eingefügt (Doppelrotation Die Tpen und sowie und sind smmetrisc ueinander

5 Einfügen in AV-Bäumen (2 neuer Sclüssel nac Einfügung nac ebalancierung ectsrotation Einfügen in AV-Bäumen (3 neuer Sclüssel nac Einfügung nac ebalancierung inksrotation Doppelrotation Einfügen in AV-Bäumen (3 neuer Sclüssel nac Einfügung nac ebalancierung Doppelrotation B Einfügen in AV-Bäumen (4 Balancierter Unterbaum nac Einfügung ebalancierter Unterbaum otationstp (ectsrotation otationstp (inksrotation B B B B B

6 B Einfügen in AV-Bäumen (5 otationstp ( ist smmetrisc Balancierter Unterbaum nac Einfügung ebalancierter Unterbaum l 3 B r l B l r +3 r ( ( B B 2 l l 3 inksrotation von / 3 + ectsrotation von / 3 r 3 r öscen in AV-Bäumen öscen eines Blattes bw. eines andknotens ( ma. Son ösce ( - Höenreduierung ändert Balancierungsfaktoren der Vaterknoten - ebalancierung für UB der Vorgängerknoten mit BF = +/- 2 - ggf. fortgesette ebalancierung (nur möglic für Knoten mit BF = +/- 2 auf dem Weg vom u löscenden Element ur Wurel öscen eines Knotens (Sclüssel mit 2 Sönen kann auf öscen für Blatt/andknoten urückgefürt werden - wird ersett durc kleinsten Sclüssel im recten Unterbaumbaum von (oder größten Sclüssel im linken Unterbaum - fürt ur Änderung des Balancierungsfaktors für v (Höe des linken Unterbaums von v at sic um reduiert v v v v öscen in AV-Bäumen (2 Bis auf Smmetrie treten nur 3 Fälle auf: Fall : öscen in v B l B r In diesem Fall pflant sic Höenerniedrigung nict fort, da in der Wurel das AV-Kriterium erfüllt bleibt. -> kein ebalancieren erforderlic. Fall 3a: öscen in AV-Bäumen (3 B B 4 Fall 2: l B Fall 3: öscen in öscen in Die Höenerniedrigung von pflant sic ier ur Wurel in fort. Sie kann auf diesem Pfad eine ebalancierung auslösen. Für die Beandlung dieser Situation ist der linke Unterbaum in größerem Detail u betracten. Dabei ergeben sic die 3 Unterfälle: Fall 3b: - ectsrotation fürt ur Erfüllung des AV-Kriteriums - Unterbaum beält ursprünglice Höe - keine weiteren ebalancierungen erforderlic B - ectsrotation reduiert Höe des gesamten UB von nac - Höenreduierung pflant sic auf dem Pfad ur Wurel in fort und kann u weiteren ebalancierungen füren. B B

7 Fall 3c: öscen in AV-Bäumen (5 B 6 B 7 B 5 - Doppelrotation (-> Höenerniedrigung - ggf. fortgesette ebalancierungen B 6 B 7 öscen in AV-Bäumen (6 ebalancierungsscritte beim öscen:. Suce im öscpfad näesten Vater mit BF = Füre otation im gegenüberliegenden Unterbaum dieses Vaters aus. Im Gegensat um Einfügevorgang kann ier eine otation wiederum eine ebalancierung auf dem Pfad ur Wurel auslösen, da sie in gewissen Fällen auf eine Höenerniedrigung des transformierten Unterbaums fürt. Die Anal der ebalancierungsscritte ist jedoc durc die Höe des Baums begrent Beispiel-öscvorgang: ösce ( MADID MADID Höe von AV-Bäumen Balancierte Bäume wurden als Kompromiß wiscen ausgeglicenen und natürlicen Sucbäumen eingefürt, wobei logaritmiscer Sucaufwand im sclectesten Fall gefordert wurde Für die Höe b eines AV-Baumes mit n Knoten gilt: log 2 ( n + b,44 log 2 ( n+ MADID MADID - Die obere Scranke läßt sic durc sog. Fibonacci-Bäume, eine Unterklasse der AV-Bäume, erleiten. Definition für Fibonacci-Bäume (Konstruktionsvorscrift - Der leere Baum ist ein Fibonacci-Baum der Höe. - Ein einelner Knoten ist ein Fibonacci- Baum der Höe. - Sind B und B Fibonacci-Bäume der Höe und, so ist B = B,, B 2 ein Fibonacci-Baum der Höe - Keine anderen Bäume sind Fibonacci- Bäume B B B 2 B 4 n = n = n 2 =2 n 3 =4 n 4 =7 n 5 =

8 Gewictsbalancierte Sucbäume Gewictsbalancierte oder BB-Bäume (bounded balance Zulässige Abweicung der Struktur vom ausgeglicenen Binärbaum wird als Differen wiscen der Anal der Knoten im recten und linken Unterbaum festgelegt Def.: Sei B ein binärer Sucbaum mit linkem Unterbaum und sei n (n l die Anal der Knoten in B (. - ρ(b = (n l /(n eißt die Wurelbalance von B. - Ein Baum B eißt gewictsbalanciert (BB(α oder von bescränkter Balance α, wenn für jeden Unterbaum B von B gilt: α <= ρ (B <= - α Gewictsbalancierte Sucbäume (2 Parameter α als Freieitsgrad im Baum - α = /2: Balancierungskriterium akeptiert nur vollständige Binärbäume - α < /2: Strukturbescränkung wird unemend gelockert Welce Auswirkungen at die ockerung des Balancierungskriteriums auf die Kosten? Beispiel: Gewictsbalancierter Baum in BB (α für α = 3 / JUPITE MAS PUTO at n l Knoten B K B at n Knoten ebalancierung - ist gewärleistet durc eine Wal von α <= - 2 /2 - Einsat derselben otationstpen wie beim AV-Baum EDE NEPTUN MEKU SATUN UANUS VENUS Kosten für Suce und Aktualisierung: O (log 2 n Positionssuce mit balancierten Bäumen Balancierte Sucbäume - sind linearen isten in fast allen Grundoperationen überlegen - ösung des Auswalproblems bw. Positionssuce (Suce nac k-tem Element der Sortierreienfolge kann jedoc noc verbessert werden Def.: Der ang eines Knotens ist die um eröte Anal der Knoten seines linken Unterbaums - Blattknoten aben ang Verbesserung bei Positionssuce durc Auf- NIOB name des angs in jedem EISEN ZINK Knoten Beispiel für AV- Baum: ASEN A- GON B CHO BEI JOD FUO SEEN NEON XENON ZINN Positionssuce (2 angalen erlauben Bestimmung eines direkten Sucpfads im Baum für Positionssuce nac dem k-ten Element - Position p := k; beginne Suce am Wurelknoten - Wenn ang r eines Knotens = p gilt: Element gefunden - falls r > p, suce im linken UB des Knotens weiter - r < p => p := p - r und Fortsetung der Suce im recten UB Wartungsoperationen etwas kompleer Änderung im linken Unterbaum erfordert anganpassung aller betroffenen Väter bis ur Wurel

9 Zusammenfassung Binäre Sucbäume - Einfügen / direkte Suce durc Baumdurcgang auf einem Pfad - eienfolgeabängigkeit beüglic Einfügeoperationen - sequentielle Suce / sortierte Ausgabe aller Elemente: Inorder-Baumtraversierung ( O (n - minimale Zugriffskosten der direkten Suce O (log n; mittlere Kosten Faktor,39 sclecter Balancierte Sucbäume ur Sicerstelleung günstiger Zugriffskosten - öenbalancierte Bäume (.B. k-balancierte Binärbäume - gewictsbalancierte Bäume (BB-Bäume AV-Baum: -balancierter Binärbaum - Mitfüren eines Balancierungsfaktors B in Baumknoten (ulässige Werte:,, oder - dnamisce ebalancierung bei Einfüge- und öscoperationen (Falluntersceidungen mit untersciedlicen otationen - Anal der ebalancierungsscritte durc Höe des Baumes begrent - maimale Höe für Fibonacci-Bäume:,44 log (n scnelle Positionssuce über Mitfüren des angs von Knoten Zusammenfassung: istenoperationen auf versciedenen Datenstrukturen Operation sequent. iste gekettete iste Suce von K i Suce nac k-tem Element Einfügen von K i öscen von K i öscen von k-tem Element sequentielle Suce balancierter Baum mit ang