Hauptprüfung Fachhochschulreife Baden-Württemberg

Transkript

1 Baden-Württember: Facocsclreife Haptprüfn Facocsclreife 2014 Baden-Württember Afabe 3 Analysis Hilfsmittel: rafikfäier Tascenrecner Berfskolle Alexander Scwarz September

2 Baden-Württember: Facocsclreife Die Abbildnen zeien die Scabilder K nd K der Fnktionen nd. 3.1 Beründen Sie mit Hilfe von vier Eienscaften, dass K das Scabild der Ableitnsfnktion von ist. Zm Scabild K eört der Fnktionsterm 3.2 Berecnen Sie alle Stammfnktionen der Fnktion. Welce dieser Stammfnktionen eört z K? 3.3 Vom Pnkt P(2/4,5) as wird eine Tanente an K elet. Berecnen Sie die Gleicn dieser Tanente (x) = x + x, x 2 2 (4 Pnkte) (3 Pnkte) (6 Pnkte) Geeben sind die Fnktionen nd v mit (x) = 2cos(x) + 3 nd v(x) = 2 cos(x) + 1, x [0;2 π ]. Ire Scabilder eißen K nd K v. 3.4 Geben Sie den Wertebereic sowie die exakte Periodenläne der Fnktion an. Zeien Sie, dass die Wendepnkte von K af der Geraden y = 3 lieen. (5 Pnkte) 3.5 Zeicnen Sie die Scabilder K nd K v in ein emeinsames Koordinatensystem. Bescreiben Sie, wie das Scabild K v as dem Scabild K ervoret. (7 Pnkte) 2

3 Baden-Württember: Facocsclreife Lena bereitet sic af die ansteende Matematikprüfn vor. In Irem Heft findet sie folenden Afscrieb: Formlieren Sie eine passende Afabenstelln. (5 Pnkte) Pnkte 3

4 Baden-Württember: Facocsclreife Beründn für Ableitnsfnktion Lösn An der Stelle x = 3 besitzt K einen Hocpnkt nd K eine Nllstelle mit Vorzeicenwecsel von + nac -. An der Stelle x = 0 besitzt K einen Wendepnkt nd K einen Extrempnkt. An der Stelle x = 2 besitzt K einen Wendepnkt nd K einen Extrempnkt. An der Stelle x = 0 besitzt K eine waarecte Tanente nd K eine Nllstelle (x) = x + x H(x) = x + x + c mit c 8 2 Das Scabild K et drc den Pnkt P(0/1). 1 1 Einsetzen von P in die Fnktion H(x): 1= c c = Die escte Stammfnktion latet H(x) = x + x Es ilt (x) = x + x nd (x) = x + 3x Allemeine Tanentenleicn: y= () (x ) + () Einsetzen der Koordinaten von P in x nd y: 4,5 = () (2 ) + () ,5 = ( + 3) (2 ) Lösn der Gleicn mit dem GTR: Die Gleicn besitzt die Lösn = 3. 4

5 Baden-Württember: Facocsclreife Gleicn der Tanente: Setze = 3 in die allemeine Tanentenleicn ein: y= (3) (x 3) + (3) mit (3) = 0 nd (3) = 4,5 y= 4,5 (x 3) + 0 y= 4,5x+ 13,5 ist die Gleicn der Tanente 3.4 Wertebereic nd Periodenläne 2π y= cos(bx) besitzt die Periode p= b Der Wertebereic entsprict dem Intervall, den die y-werte annemen können. Hierz benötit man die Amplitde nd die Versciebn nac oben/nten Es ist (x) = 2cos(x) + 3 2π Die Periode latet p= = 2π 1 Die Fnktion y = cos(x) at den Wertebereic [-1; 1] Die Fnktion y= 2cos(x) at den Wertebereic [-2; 2] Die Fnktion y= 2cos(x) + 3 at den Wertebereic [1; 5] Den Wertebereic kann man ac drc Einzeicnen des Scabildes von (x) in den GTR bestimmen. Wendepnktnacweis Bedinn für Wendepnkt: (x) = 0 nd (x) 0 Ableitnen: (x) = 2cos(x) + 3 (x) = 2sin(x) (x) = 2cos(x) (x) = 2sin(x) :( 2) (x) = 0 2cos(x) = 0 cos(x) = 0 x= 0,5π nd x= 1,5π Beacte: Es müssen nr die Lösnen im Intervall [0;2 π ] bestimmt werden. (0,5 π ) = 2 0 nd (1,5 π ) = 2 0 also existieren zwei Wendestellen. Es ilt (0,5 ) (1,5 ) 3 π = π =, somit aben beide Wendpnkte den y-wert y = 3. Damit lieen die Wendepnkte af der waarecten Geraden y = 3. 5

6 Baden-Württember: Facocsclreife Zeicnn Bescreibn, wie die Scabilder zsammenänen Hier wird efrat, wie man die Fnktionsleicn von (x) "maniplieren" mss, m das Scabild von v(x) z eralten. -(x) bedetet eine Spieeln des Scabildes von (x) an der x-acse (x) + c bedetet eine Versciebn des Scabildes von (x) m c nac oben (x) = 2cos(x) + 3 Mltiplikation mit -1 eribt (x) = 2cos(x) 3 Addition von 4 eribt (x) + 4= 2cos(x) + 1 nd dies entsprict v(x) Anscalic eißt dies, dass das Scabild von (x) znäcst an der x-acse espieelt wird nd dann m 4 Eineiten nac oben verscoben wird. Dann erält man das Scabild von v(x). 3.6 Afabenstelln von Lena Da die Fnktionen in 3.5 in ein Koordinatensystem einezeicnet werden, kann man sic die Fläce, die drc das Interal berecnet wird, ac anscalic vorstellen. Eine passende Afabenstelln ist die Folende: Geeben sind die Fnktionen (x) = 2cos(x) + 3 nd v(x) = 2cos(x) + 1mit x Ire Scabilder scließen emeinsam mit der y-acse eine Fläce ein. Berecnen Sie den exakten Inalt der Fläce. 6