Lösungen E: Gutenberg-Produktionsmodell

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Werner Neumann
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1 Craskrs Aktiitätsanalyse nd Kostenbeertng SS 00.ni-nacilfe.de Lösngen E: Gtenberg-Prodktionsmodell E.a) As den gegebenen Daten kann direkt die kostenfnktion übernommen erden: k a+ a + a33 ( 0, ² +,9) + 5,5+ 3 ( 0, ² 0,+,) 0, ² + 5, + 7,5 + 0,3 ², +, 0,5 ² 3, + 7,5 Ableiten, Nll setzen nd Aflösen: k 3, 0 3, Bei 3, /Mte sd demnac die kosten mimal. b) Die mimalen kosten liegen bei: k ( 3, ) 0,5 3, 3, 3, + 7,5,3. Hierbei erden ro Mte 3, ergestellt, also ergeben sic die Kosten ro Mte as:,3 3, 39,6. E.a) Ott : []; Intensität : Prodktionsgescdigkeit Ints Verbracsfnktion: Intreise:. Zeit: a 6. Betriebsstoff: Die Verbracsfnktion für Betriebsstoff je der Asbrgngseeit mss as dem Tet ermittelt erden obei diese lear mit der Intensität ansteigen: a m+ n I, m + n II, 3 m + n 3 n 0,, m a + 0, l 0 b) kostenfnktion afstellen, ableiten, Nll setzen nd aflösen: 6 6 k 0( 0,) k c) zeitlice nd tensitätsmäßige Anassng: Da die Masce am Tag öcstens Stnden arbeiten kann, ist bei kostenmimaler Intensität öcstens ee Prodktionsmenge on 6Eeiten möglic., für 6, für > 6, für 6 t, für > 6 Afassen: Drc, da nr Stnden möglic Drc, da das die otimale Intensität ist. d) Ac ier gibt s die Brcstelle bei 6. Solange eniger als 6 Eeiten rodziert erden sollen, ird mit der otimalen Intensität on gearbeitet. Die kosten betragen ier: 6 k ( ) Lösngen 35

3, 0 3, Bei 3, /Mte sd demnac die kosten mimal. b) Die mimalen kosten liegen bei: k ( 3, ) 0,5 3, 3, 3, + 7,5,3. Hierbei erden ro Mte 3, ergestellt, also ergeben sic die Kosten ro Mte as:,3 3, 39,6.

2 Craskrs Aktiitätsanalyse nd Kostenbeertng SS 00.ni-nacilfe.de Die Gesamtkosten ergeben sic damit as: K. Für alle Ottgrößen größer 6 mss die Intensität angeasst erden, die kosten liegen demnac bei: 6 6 k ( ) Und somit:, für 6 K , für > 6 e) Wir alten den Stndenlon ariabel, obei der Term erendet erden soll. Die ostenfnktion latet dann: k Da immer noc die stückkostenmimale Intensität gesct ist, mss diese Fnktion also ieder abgeleitet nd Nll gesetzt erden. Das ergibt: k 0 + Da der Eflss eer Änderng des Lonsatzes af den Verbrac jeeils on Betriebsstoff nd Zeit gesct ird, mss im näcsten Scritt diese otimale Intensität die Verbracsfnktionen egesetzt nd abscließend müssen diese abgeleitet erden: Zeit: a a 3 Betriebsstoff: a + 0, a 0 Die Ableitng ist kleer als Nll, d.. der Esatz on Zeit skt mit steigendem Lonsatz. Die Ableitng ist größer als Nll, d.. der Esatz on Betriebsstoff steigt mit steigendem Lonsatz. As beidem folgt: Ja, bei eer Steigerng des Lonsatzes ird Arbeit drc Betriebsstoff sbstitiert. So, nd allerabscließend noc der Eflss af die Kostenfnktion: Die nee otimale Intensität fürt ac z eer neen kostenfnktion: k Abgeleitet nac ergibt sic: ac die Gesamtkosten). E.3) Ott : []; Intensität : k. Da dies e ositier Term ist, steigen die kosten (nd damit Die rürt daer, dass on abängig ist, nd zar lt. Afgabenstellng nac:. Ints Verbracsfnktionen: Intreise:. Zeit: a 56. Betriebmittel: Hierfür sd nict Verbracsfnktion nd Intreis etra gegeben, sondern direkt die Kombation as beiden: a. Wir bracen als Eeit aber [ /], müssen diesen Term also noc mal drc den Stndenot- Lösngen 36

Term erendet erden soll. Die ostenfnktion latet dann: k + + 0. Da immer noc die stückkostenmimale Intensität gesct ist, mss diese Fnktion also ieder abgeleitet nd Nll gesetzt erden.

3 Craskrs Aktiitätsanalyse nd Kostenbeertng SS 00.ni-nacilfe.de t () diidieren: a 3. Damit ergibt sic die kostenfnktion ( Abängigkeit on der Intensität) as: 56 k a+ a + 3 Ableiten, Nll setzen nd Aflösen: 3 k k a + a 0,3 + 0, + E.a) b) Ableiten, Nll setzen, aflösen: 0 k, 0 0 c) esetzen kostenfnktion: 0 k( ), d) Znäcst ird die Stelle ermittelt, ab der tensitätsmäßig angeasst erden mss: Mit otimaler Intensität kann 0 Stnden 00 km gefaren erden. Soll mer gescafft erden, mss entsrecend scneller gefaren erden, odrc sic folgende kosten ergeben: 0 00 k( 0 ), + 0,+ 0 K 0, für 00 0, + 00, für 00 < 000 E.5a) kostenfnktion ableiten, Nll setzen, aflösen: k b) Mit der stückkostenmimalen Intensität as a) sd Stnden maimal Flascen möglic. c) Die b) ermittelten Flascen stellen die Brcstelle der Kostenfnktion dar. Bis ier ird mit gearbeitet, die kosten betragen dann: k ( 0.000) + + 0, 0 0, Sollen allerdgs mer Flascen abgefüllt erden, ist die Intensität z eröen, nd zar af:, da ja nr Stn- den zr Verfügng steen. Dann betragen die kosten: k , , Die gefndenen kosten müssen noc mit der zal mltiliziert erden, m die Kostenfnktion angeben z können: Lösngen 37

a) b) Ableiten, Nll setzen, aflösen: 0 k, 0 0 c) esetzen kostenfnktion: 0 k( ), 0 + 0 d) Znäcst ird die Stelle ermittelt, ab der tensitätsmäßig angeasst erden mss: Mit otimaler Intensität kann 0

4 Craskrs Aktiitätsanalyse nd Kostenbeertng SS 00 0,03, für K , 0, für < ni-nacilfe.de Die Masce at ee Höcsttensität on Flascen ro Stnde daer sd maimal am Tag Flascen möglic. d) In diesem Fall mss noc der Verbracsfaktor Zeit die kostenfnktion (biser lt. Afgabenstellng nr Verbracsfaktor Energie) afgenommen erden. Zeit: a Flasce k ne + + 0, , e) Die nee kostenfnktion ird abgeleitet, Nll gesetzt nd afgelöst: ne 5 5 k E.6) Ott : zrückgelegte Fartstrecke, [km]; Intensität : Fartgescdigkeit km Ints Verbracsfnktion: Intreise:. Kraftstoff: l a ,3 l. Zeit: a km D Der erste Haken liegt dar, dass die Verbracsfnktion für Kraftstoff l/km gegeben ist, ir das ganze aber af l/km normieren müssen. Also mss der ganze Term noc drc die Intensität geteilt erden: [ ] km [ ] + + l ne 600 l 600 km a Und damit ergibt sic die kostenfnktion as: 0,6+ D k 0,3 + D ( 0,6+ D ) Um diese z mimieren ird sie abgeleitet nd Nll gesetzt (ergibt die Otimalitätsbedgng): ( 0,6 + D) k ( 0,6 + D) ,6 + ( D) 000 0, , D D D Diese Umstellng fürt zr offiziellen Lerstllösng. E.7) Ott : Teekannen, []; Intensität : Ints Verbracsfnktion: Intreise: Lösngen 3

Afgabenstellng nr Verbracsfaktor Energie) afgenommen erden. Zeit: a Flasce 5 00 5 5 k ne + + 0,0+ + + 0,0.000.000.000.000 e) Die nee kostenfnktion ird abgeleitet, Nll gesetzt nd afgelöst: ne 5 5 k 0 5.

5 Craskrs Aktiitätsanalyse nd Kostenbeertng SS 00.Teekannenrolge: a Dieser Faktoresatz mss noc af die rictige Eeit gebract erden, also drc diidiert erden: 3 (Rolge) a (Teekannen). Zeit: a.ni-nacilfe.de 50 Zielfnktion: Otimalitätsbedgng: Otimale Gescdigkeit: 3 k 50 ( ) + k k m E.) Ott : Teelöffel, []; Intensität : Hbzal (Hübe) m Der Gesamtott (ro Mte) ergibt sic as der geälten Intensität abzüglic des Asscsses, obei die Asscssrate Abängigkeit on der Intensität gealten erden mss: ( α ). Also ergibt sic die benötigte Hbzal für een Löffel as: r α ( α ) Zr Verdetlicng kann ier ielleict e Zalenbeisiel elfen. Wir setzen α 0%. Bei eer geälten Intensität on 0 Hüben ro Mte ergäben sic somit e Asscss nd nen felerfreie Löffel. Und somit ätte man ro felerfreiem Löffel 0 0 r ( ), Hübe benötigt. 0 0, 9 ( ) Ints Verbracsfnktion: Intreise:. Werkstoff: r α Blec (Teelöffel) Blec. Zeit: r m ( α ) (Teelöffel) m 3. Stanzerkzeg: r3 Stanzerkzege 00000( α ) 3 (Teelöffel) Stanzerkzeg Die kostenfnktion ergibt sic somit as: 3 3 k α ( ) 00000( ) α( ) α α 3 k + + α ( ) Bei der Ableitng der kostenfnktion nac ird dieser Term als Qotient gescrieben (nd somit ac die Qotientenregel angeendet): Lösngen 39

) Ott : Teelöffel, []; Intensität : Hbzal (Hübe) m Der Gesamtott (ro Mte) ergibt sic as der geälten Intensität abzüglic des Asscsses, obei die Asscssrate Abängigkeit on der Intensität gealten erden

6 Craskrs Aktiitätsanalyse nd Kostenbeertng SS 00.ni-nacilfe.de k α 3 ( α ) ( α ) k 0 ( α ) Und damit: 3 α + + α ( ) E.9a) Ott : Asbrgngseeiten, []; Intensität : Ints Verbracsfnktion: Intreise:. Zeit: a 00. Werkzeg: Gegeben sd direkt die Werkzegkosten je der Asbrgngseeit, also scon das Prodkt as Verbracsfnktion nd dem dazgeörigen Intreis obei diese lear mit der Intensität ansteigen: a m+ n Und damit: k I m + n 00 II,5 m + n 00 n 0,005, m,5 a, 5 + 0, , 5 + 0, 005 b),5 k 0, 005, 5 0 0, ne c) Die kostenfnktion der Überstndenzeit latet: k 0,005+,5, 0, ne 6 k 0, , o 0 d) Um die mimalen kosten bei Überstndenarbeit z ermitteln, mss die gefndene stückkostenmimale Intensität efac die Überstnden-kostenfnktion egesetzt erden: 0, ,0 ne k + e) Um die geforderten 00 Normalarbeitszeit z scaffen, müsste die Stnden lang mit eer Intensität on 75 [/Stnde] gearbeitet erden (tensitätsmäßige Anassng). Die Gesamtkosten ierbei betragen: Die Gesamtkosten ierbei betragen: K k , , Würde man nict tensitätsmäßig anassen, sd den Stnden Normalarbeitszeit nr 00 z scaffen der Rest on 00 müsste also der Überstndenzeit erstellt erden. Die Gesamtkosten ierbei belafen sic af: ne K K , , , Lösngen 0

Werkzeg: Gegeben sd direkt die Werkzegkosten je der Asbrgngseeit, also scon das Prodkt as Verbracsfnktion nd dem dazgeörigen Intreis obei diese lear mit der Intensität ansteigen: a m+ n Und damit: k

7 Craskrs Aktiitätsanalyse nd Kostenbeertng SS 00.ni-nacilfe.de Da dies offensictlic terer ürde, ält e kostenbesster Betriebsleiter die tensitätsmäßige Anassng. E.0) Ott : zrückgelegte Fartstrecke, [km]; Intensität : Fartgescdigkeit km Ints Verbracsfnktion: Intreise:. Kraftstoff: l a. + 0.( 60) 00 km Diese Verbracsfnktion mss noc af die rictige Eeit gebract erden, also drc 00 diidiert erden: l a ( 60) km l. Zeit: a km.3 Zielfnktion: Otimalitätsbedgng: Otimale Gescdigkeit:.3 90 k ( ( 60) ) +.3 k k m E.a) Ott : Asbrgngseeiten, []; Intensität : Lon nd Fertigngsgemekosten je Stnde Ints Verbracsfnktion: Intreise:. Zeit: a 7. Werkzeg: Gegeben sd direkt die Werkzegkosten je der Asbrgngseeit, also scon das Prodkt as Verbracsfnktion nd dem dazgeörigen Intreis obei diese lear mit der Intensität ansteigen: a m+ n I 5 m + n 5 II 5,5 m + n 6 n 0,5, m,5 a,5 + 0,5 Damit ergeben sic die kosten als Fnktion der Intensität as: k a+ a 7 +,5 + 0,5. Da der Fragestellng aber elizit nac den ariablen kosten gefragt ist, latet die Antort: k 7 + 0,5 b+c) Um die otimale Intensität z errecnen, mss die abgeleitet, Nll gesetzt nd nac afgelöst erden: 7 k + 0,5 0 (Otimalitätsbedgng) 7 0,5 (otimale Intensität) Lösngen

( 60) 00 km Diese Verbracsfnktion mss noc af die rictige Eeit gebract erden, also drc 00 diidiert erden: l a 0.0 + 0.00( 60) km l. Zeit: a km.3 Zielfnktion: Otimalitätsbedgng: Otimale Gescdigkeit:.

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