Prüfungsfach Mathematik Samstag, 08. Juni 2002

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1 MANAGEMENT CENTER INNSBRUCK Bitte auf jedem Blatt den Vor- und Nachnamen angeben:... Prüfungsfach Mathematik Samstag, 08. Juni 2002 Sollten Sie bereits in einem der vorangegangenen Jahre an der Vorbereitungsprüfung teilgenommen haben, so bitten wir Sie, das jeweilige Jahr anzugeben: MCI-Wirtschaftsstudium für Berufstätige (FH) Seite 1 von 11

2 Führen Sie bitte Ihre Berechnungen nachvollziehbar mit Zwischenschritten aus und schreiben Sie nur auf den folgenden Blättern! Jede Aufgabe wird mit 10 Punkten bewertet. Aufgabe 1: a) Berechnen und vereinfachen Sie: (x³ - 2x²) (2x² - x) = a 4a b) Vereinfachen Sie: : = 4 b 5b MCI-Wirtschaftsstudium für Berufstätige (FH) Seite 2 von 11

3 Aufgabe 2: Aufzinsungsformel: Ein Kapital K 0 wächst in einem Jahr beim Zinsfuß p nach folgender Formel auf das Kapital K 1 : K 1 p = K a) Für welchen Zinsfuß p verzinst sich K 0 = zu K 1 = ? b) Berechnen Sie allgemein aus der Aufzinsungsformel den Zinsfuß p: (Darstellung ohne Doppelbruch) MCI-Wirtschaftsstudium für Berufstätige (FH) Seite von 11

4 Aufgabe : Wachstumsraten des Brutto-Inlandsprodukts (BIP) für Österreich: (Veränderung des BIP real gegen Vorjahr in %) ,, 2,8, Das BIP betrug im Jahr 2000 (real) 195,4 Mrd. (Quelle: OECD, Statistik Austria, WIFO) a) Wie hoch war das BIP (real) im Jahr 1999? b) Wie hoch war das BIP (real) im Jahr 1996? MCI-Wirtschaftsstudium für Berufstätige (FH) Seite 4 von 11

5 Aufgabe 4: Frau Huber hat ihre Ersparnisse (immerhin ) gewinnbringend in zwei Anlageformen gestreut: Einen Teil hat sie in einem Investmentfond angelegt, der im letzten Jahr 8% Rendite erwirtschaftet hat, den Rest hat sie auf einem gebundenen Sparbuch mit einer Verzinsung von 4% liegen. Insgesamt konnte sie sich letztes Jahr mit dieser Kapitalstreuung über 800 Zinserträge (vor Abzug der KESt) freuen. Wie viel hat Frau Huber im Investmentfond, wie viel hat sie auf dem Sparbuch angelegt? MCI-Wirtschaftsstudium für Berufstätige (FH) Seite 5 von 11

6 Aufgabe 5: Die Transitlawine rollt! Die von der EU-Kommission vorgeschlagene Lockerung des Transitvertrags wird in Österreich zu beträchtlichen LKW-Zuwächsen führen. (TT, 22./ ) Die ökopunktepflichtigen LKW-Transitfahrten sind von 1,06 Millionen im Jahr 1991 auf 1,70 Millionen im Jahr 2000 gestiegen, obwohl als Obergrenze im Transitvertrag 1,61 Millionen vereinbart waren. (s. Grafik) a) Berechnen Sie unter der Annahme eines linearen Wachstums den durchschnittlichen jährlichen Zuwachs an Transitfahrten im Zeitraum 1991 bis 2000! b) Wie viele LKW-Fahrten sind 2006 zu erwarten, wenn der Transit weiter linear zunimmt wie im Zeitraum 1991 bis 2000? c) Experten schätzen, dass die Brennerautobahn maximal Mio LKW-Fahrten verkraften kann. Wann wird dieser Maximalwert bei weiterem linearem Wachstum erreicht werden? MCI-Wirtschaftsstudium für Berufstätige (FH) Seite 6 von 11

7 Aufgabe 6: Im Oktober 1999 wurde ein Baby in Sarajewo symbolisch als 6 milliardster Erdenbürger begrüßt. Obwohl die Wachstumsrate auf 1, % pro Jahr gesunken ist, wächst die Weltbevölkerung immer noch zu rasch. a) Berechnen Sie die Weltbevölkerung im Jahre 2050 unter der Annahme, dass das Wachstum sich weiter mit 1, % fortsetzt. (Nehmen Sie die Bevölkerungszahl für das Jahr 2000 mit 6 Mrd an!) b) Wann wird bei dieser Wachstumsrate die Weltbevölkerung die 10-Milliarden-Grenze erreichen? MCI-Wirtschaftsstudium für Berufstätige (FH) Seite 7 von 11

8 Aufgabe 7: x Gegeben ist die Funktion mit der Vorschrift f ( x)= + Berechnen Sie! x a) den Funktionswert an der Stelle x =: b) die erste Ableitung an der Stelle x = : c) Skizzieren Sie einen möglichen Verlauf des Funktionsgrafen in der Nähe der Stelle x = : y x MCI-Wirtschaftsstudium für Berufstätige (FH) Seite 8 von 11

9 Aufgabe 8: Der Aufnahmetest einer Firma brachte folgendes Ergebnis: Endnote Zahl der Bewerber Berechnen Sie a) die Durchschnittsnote (arithmetisches Mittel): b) den Median: c) die Standardabweichung: MCI-Wirtschaftsstudium für Berufstätige (FH) Seite 9 von 11

10 Aufgabe 9: Die Random Walk Theorie von Wertpapierpreisen behauptet, dass Preisänderungen in disjunkten Zeitintervallen stochastisch unabhängig wären. Nehmen Sie an, es würde in jedem Kalenderjahr lediglich notiert werden, ob der Preis in diesem Jahr gestiegen oder nicht gestiegen wäre. Nehmen Sie weiters an, dass die Wahrscheinlichkeit, der Wert eines Portfolios steige in einem Jahr, 0,60 betrage. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert des Portfolios drei aufeinanderfolgende Jahre steigt? b) Angenommen, man weiß, dass der Wert des Portfolios zwei aufeinanderfolgende Jahre gestiegen wäre. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert des Portfolios im nächsten Jahr sinkt? c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich der Wert des Portfolios in den beiden nächsten Jahren in die gleiche Richtung entwickelt? MCI-Wirtschaftsstudium für Berufstätige (FH) Seite 10 von 11

11 Aufgabe 10: Unten stehendes Diagramm beschreibt den Zusammenhang zwischen der Verkaufsfläche in 100 m² und dem Umsatz in Mio von 10 Filialen einer Handelskette. a) Zeichnen Sie in das Diagramm jene Gerade ein, die diesen Zusammenhang am besten beschreibt (Regressionsgerade)! 7 6 Umsatz in Mio ,5 1 1,5 2 Verkaufsfläche in 1000 m² b) Entnehmen Sie dem Diagramm mit Ihrer Regressionsgeraden den Umsatz für eine Filiale mit (1) 500 m²: (2) 2000 m²: c) Ermitteln Sie überschlagsmäßig, um wie viel der Umsatz durchschnittlich pro m² zunimmt: MCI-Wirtschaftsstudium für Berufstätige (FH) Seite 11 von 11