s t =. v s t h = gt, t = v t = a v t t =

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1 Michael Buhlmann Phsik > Mechanik > urf und urfparabel Innerhalb der Mechanik als Teilebiet der Phsik wird unter bestimmten Voraussetzunen earbeitet: Die Beweun eines Körpers im Raums wird zur Beweun eines Massenpunktes der Körperbeweun enteenstehende Kräfte wie zb der Luftwiderstand werden ernachlässit Unter diesen Bedinunen elten die Gesetzmäßikeiten der leichförmien und der leichmäßi beschleuniten Beweun Die Geschwindikeit [m/s] ist dabei eine den Raum die Strecke s [m] und die Zeit t [s] erbindende phsikalische Größe (Einheiten: m Meter s Sekunde) Für die leichförmie Beweun mit konstanter Geschwindikeit ilt: s s t t s Für die leichmäßi beschleunite Beweun mit Beschleuniun a [m/s ] eribt sich: a at t s a 1 s s at a t a 1 s s s t t s a as a s Mit a 981 m/s folen für die Erde als einen den Graitationsesetzen unterlieenden Himmelskörper die Gesetzmäßikeiten für den freien Fall aus einer Höhe h [m]: t Michael Buhlmann Phsik > Mechanik > urf und urfparabel 1 1 h h t 1 h h h t t h h Der urf eines Massenpunktes on einer bestimmten Höhe [m] unter einem bestimmten inkel φ (-9 φ 9 ) wird als schiefer urf mit den Spezialfällen waaerechter (φ ) und senkrechter urf nach oben (φ9 ) bzw nach unten (φ-9 ) bezeichnet Resultat des schiefen urfs ist die Beweun des Massenpunktes entlan einer urfparabel bis der Erdboden ( m) erreicht wird Dabei eribt sich die urfparabel aus der konstanten Geschwindikeit [m/s] mit der ein Massenpunkt eworfen wird und dem freien Fall dem der Massenpunkt unterliet Gleichförmie und leichmäßi beschleunite Beweun überlaern sich (oneinander unbeeinflusst bei erinen Geschwindikeiten emäß der Newtonschen Mechanik) zur urfparabel Im Einzelnen betrachten wir die dem schiefen urf zurunde lieende Anfanseschwin-

2 > dikeit als zweidimensionalen Vektor in - (horizontaler) und - (ertikaler) Richtun eines --Koordinatensstems Abwurfpunkt ist dann der Punkt P( ) des Koordinatensstems Gemäß den Reeln für die leichförmie und die leichmäßi beschleunite Beweun ilt dann mit der Zeit dem Zeitpunkt t als Parameter t für den Geschwindikeitsektor und die Geschwindikeit des Massenpunktes: > ( t) und daher ween t > : + > ( t) ( ) + ( t (konstante Geschwindikeit in horizontaler Richtun) t (konstant wachsende Geschwindikeit in ertikaler Richtun) (Komponentenweises) Interieren führt auf die Gleichunen für den Ort des Massenpunktes im Koordinatensstem zum Zeitpunkt t: t (horizontale Richtun) 1 t t + (ertikale Richtun) (Interation für die -Koordinate mit Interationskonstante ween des Abwurfpunkts P( )) Aus den obien Gleichunen für die Raumkoordinaten und eribt sich die Gleichun der urfparabel emäß der folenden Überleunen: Dem Umstellen der Gleichun für nach t (bei > -9 <φ<9 ): t > ) folt das Einsetzen on in die Gleichun für also: mit den weiteren Umformunen: 1 + cos cos ϕ ϕ tanϕ + + tanϕ + Aus der urfparabel erschließt sich der Scheitelpunkt der urfbeweun (bei φ> ) ermöe des Nullsetzens der 1 Ableitun on : ϕ + tan + > ' + tanϕ > Michael Buhlmann Phsik > Mechanik > urf und urfparabel

3 tan ϕ > cos ϕ tan ϕ > H sin ϕ als (Hochpunkt) H( H sin ϕ + ) mit der maimalen urfhöhe: + tanϕ + 4 sin ϕ + tanϕ + sin ϕ + sin ϕ + sin ϕ + Daneben ilt für die urfweite durch Nullsetzen des urfparabelterms und Lösen der quadratischen Gleichun: + tanϕ + + sin + > ϕ > ± ( ) 4( ) ( ) 4 ± 4 sin ϕ + 8 ± sin ϕ + ± sin ϕ + wobei ween nur der ert sin ϕ + sin ϕ + die urfweite darstellt Für dh bei einem urf om Erdboden aus folt noch: + sin ϕ sin ϕ Der weiteste urf elint also unter einem inkel φ45 Mit der Betrachtun des Standortektors > s( t) t 1 t t lassen sich die folenden zeitlichen Berechnunen anstellen Es ilt (bei φ> ) dass im Hochpunkt der urfparabel die Geschwindikeit den ert haben muss (Änderun on einer positien zu einer neatien ertikalen Geschwindikeit) Also: + Michael Buhlmann Phsik > Mechanik > urf und urfparabel 3

4 > > t H t H heißt Steizeit der urfparabel Die urfdauer berechnet sich aus: 1 t t + > t + t + > ± ( ) 4( ) ± 4 sin ϕ + 8 ( ) ± sin ϕ + ± sin ϕ + wobei wieder nur der ert sin ϕ + sin ϕ + die urfdauer anibt Ist dh bei einem urf om Erdboden aus so ilt: + sin ϕ dh: t H ; die urfdauer ist doppelt so roß wie die Steizeit Beispiel: urf aus 4 m Höhe Anfanseschwindikeit 1 m/s urfwinkel φ45 -> urfparabel > Steizeit 7 s urfdauer 188 s maimale urfhöhe H m urfweite m Horizontaleschwindikeit 7711 m/s Vertikaleschwindikeit Geschwindikeit ertetabelle: t > Michael Buhlmann Phsik > Mechanik > urf und urfparabel 4

5 Ein waaerechter urf (φ ) on einer Anfanshöhe führt auf das folende Szenario: (konstante Geschwindikeit in horizontaler Richtun) t (konstant wachsende Geschwindikeit in ertikaler Richtun) t (horizontale Richtun) 1 t + (urfparabel) (ertikale Richtun) (urfweite) Michael Buhlmann Phsik > Mechanik > urf und urfparabel 5 (urfdauer) Für einen senkrechten urf nach oben (φ9 ) on einer Anfanshöhe eribt sich: (konstante Geschwindikeit in horizontaler Richtun) t (konstant wachsende Geschwindikeit in ertikaler Richtun) (horizontale Richtun) 1 t + t + (ertikale Richtun) t H (Steizeit) H + (maimale urfhöhe) (urfweite) + + (urfdauer) (urfdauer ) Für einen senkrechten urf nach unten (φ-9 ) on einer Anfanshöhe eribt sich: (konstante Geschwindikeit in horizontaler Richtun) t (konstant wachsende Geschwindikeit in ertikaler Richtun) (horizontale Richtun) 1 t t + (ertikale Richtun) (urfweite) + + (urfdauer) Aufaben: 1 ie lane braucht ein Geenstand der om Rottweil-Essener Aufzustestturm (Höhe: 46 m) im freien Fall herunterfällt wie roß ist seine Geschwindikeit beim Aufprall auf dem Erdboden? Lösun: Es liet ein senkrechter urf mit Anfanseschwindikeit m/s und Anfanshöhe 46 m

6 or Die urfdauer berechnet sich als: 6947 m/s 51 km/h 78 s die Endeschwindikeit als: Eine Silesterrakete startet senkrecht mit einer Anfanseschwindikeit 3 m/s om Erdboden aus ie hoch fliet die Rakete wie lane dauert der Raketenflu? Lösun: Es liet bei m (Erdboden) ein senkrechter urf nach oben or Die maimale Fluhöhe beträt: H 4587 m die urfdauer berechnet sich als: 61 s 3 Verleiche die urfdauern bei einem senkrechten urf nach oben und unten mit Anfanseschwindikeit 1 m/s mit dem freien Fall wenn die Anfanshöhe 4 m beträt Lösun: I Freier Fall: 86 s II Senkrechter urf nach oben 1 m/s: s III Senkrechter urf nach unten 1 m/s: 1 s Bei einem waaerechten urf beträt die Anfanseschwindikeit 5 m/s und die Anfanshöhe 8 m ann und wo erreicht der eworfene Geenstand den Erdboden? Lösun: Es berechnet sich mit: 5 m/s 8 m die urfdauer: 639 m 18 s die urfweite: 5 Von einem Tisch mit 8 cm Höhe wird ein Geenstand erollt der 1 m or dem Tisch landet ie roß war die Anfanseschwindikeit? Lösun: Es ist 8 m w 1 m so dass hinsichtlich der Anfanseschwindikeit ilt: 48 m/s 6 Ein Golfball wird unter einem inkel on φ38 om Abschla aus espielie roß muss seine Anfanseschwindikeit sein damit er das 158 m entfernte Loch trifft? Lösun: Umstellen on sin ϕ führt bei φ38 und 158 m auf: 3997 m/s sin ϕ 7 Ein Fußball wird om Erdboden aus ins m entfernte Tor eschossen die Flubahn erreicht die maimale Höhe 4 m Berechne Abschusswinkel und Anfanseschwindikeit Lösun: Es ist m w m H 4 m Es ilt laut Scheitelpunkt und urfweite: woraus durch Diision der beiden Gleichunen folt: 4 sin H ϕ H 1 tanϕ 4 > φ 44 Umstellen der Gleichun mit H eribt die Geschwindikeit: H 1411 m/s Literaturhinweise: Dorn Phsik Oberstufe Ausabe A Berlin-Darmstadt-Dortmund S9-39; HALLIDAY D RESNICK R ALKER J Phsik einheim 3 S Michael Buhlmann wwwmichael-buhlmannde 118 Michael Buhlmann Phsik > Mechanik > urf und urfparabel 6