10. Übung zur Einführung in die Plasmaphysik Prof. Kaufmann, SS 1999

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1 . Übun zur Einführun in die Plasmaphsik Prof. Kaufmann, SS 999 Lösunen Gleichewicht und Stabilität Wir unterscheiden Gleichewicht und Stabilität einer Konfiuration. Gleichewicht bedeutet in unserem Sinne Kraftleichewicht der auf das Sstem einwirkenden Kräfte, sodaß die Newton- Kraft mdv md 2 2 verschwindet und das Sstem seinen Beweunszustand beibehält. (a) (b) (c) Gleichewichte können stabil (a), indifferent (b) oder labil (c) sein. Instabilität tritt auf, wenn eine Verschiebun aus dem Gleichewichtszustand zu einer Erniedriun der potentiellen Enerie des Sstems führt. Dies heißt, es steht freie Enerie zur Verfüun, die in Beweunsenerie der Instabilität umewandelt werden kann. Die von uns betrachteten Plasmen können zwar im Kraftleichewicht stationär ehalten werden, sind aber ein offenes Sstem und nicht im thermodnamischen Gleichewicht. Dies ist zwansläufi so, denn zum Einschluß eines heißen Plasmas endlicher Größe ehört, daß ein endlicher Druckradient zwischen Plasmakern und Außenbereich z. B. durch externe Heizun aufrechterhalten wird. Damit existiert trotz Kraftleichewicht zwischen p und j B-Kräften eine Quelle freier Enerie, die Instabilitäten treiben können. Raleih-Talor-Instabilität Mechanismus der Instabilität Raleih-Talor (RT) Instabilität tritt auf, wenn ein schweres Medium, (z. B. ein Plasma mit hoher Dichte) von einem leichten Medium (Vakuum oder Plasma mit niedrier Dichte) een eine Gravitationskraft unterstützt wird. Im ursprünlichen Sinne bezieht sich die RT-Instabilität auf die eientliche Gravitationskraft, aber Scheinkräfte, wie z. B. die Fliehkraft durch Beweun im ekrümmten Manetfeld, können eine leichartie Instabilität hervorrufen. Wir betrachten eine zweidimensionale Geometrie, wie in der Abbildun skizziert: x

2 Bild für allemeine Flüssikeit: Die verallemeinerte Gravitationskraft, beschrieben durch die Beschleuniun wirke in -Richtun, ebenso wie der Dichteradient. Die Grenzfläche zwischen schwerem und leichtem Medium verläuft damit in x-richtun. Wir wollen annehmen, daß das Medium inkompressibel ist. Ein labiles Gleichewicht existiert, wenn der Dichteradient exakt (anti-) parallel zur Gravitationskraft verläuft, da in diesem Fall die schwere Flüssikeit durch die inkompressible leichte Flüssikeit etraen wird. Wenn die Grenzfläche nicht eben ist, also bereits eine Störun vorliet, ist eine Komponente des Dichteradienten senkrecht zur Richtun der Gravitation (also waaerecht, d.h. in x-richtun). Die Gravitationsraft wird also schwere und leichte Flüssikeitselemente eeneinander beween, d.h. an der Grenzfläche aneinander verscheren. In der Fole wandern schwere Flüssikeitelemente nach unten, und leichte nach oben. Dies verstärkt die anfänliche Störun und erhöht die Komponente der Gravitationskraft entlan der Grenzfläche. Das Wachstum der Instabilität wird beschleunit. Im Zue der Instabilität wird die potentielle Enerie der hoch -elaerten schweren Flüssikeit in kinetische Enerie der Flüssikeitsbeweun umewandelt. Bild für manetisiertes Plasma: Im manetisierten Plasma werden Elektronen und Ionen bezülich ihrer Beweun senkrecht zum Manetfeld i.a. ut eineschlossen. Dennoch kann es zur Raleih-Talor Instabilität kommen. Der Mechanismus soll durch folende Abbildun illustriert werden: E v d,i B x Betrachten wir eine Grenzfläche zwischen dichtem und dünnen Plasma senkrecht zum Manetfeld in der leichen Anordnun wie vor. Das Manetfeld zeit in die Papierebene. Die horizontale Gravitationsdrift m B v qb 2 ist ween der rößeren Masse für Ionen weit rößer als für Elektronen (und außerdem ladunsabhäni). Besteht eine kleine Störun, d.h. ein horizontaler Dichteradient, trät die Drift mehr positive Ladun aus der dichten Phase an die Grenzfläche hin als positive Ladun von der Grenzfläche we in die dünne Phase. Als Resultat bildet sich eine Ladunstrennun heraus, die ein horizontales elektrisches Feld bewirkt. Die Feldstärke ist erade so erichtet, daß die resultierende E B-Drift die Störun verstärkt. Bemerkunen: v E E B B 2. Die E B-Drift hat für Elektronen und Ionen die leiche Richtun und den leichen Betra, so daß sich an der Richtun der elektrischen Feldstärke nichts ändert. 2 v ExB

3 2. Die Instabilität erfordert keine Krümmun des Manetfeldes. Selbst im heißen Plasma, wo der manetische Fluß fest mit dem kinetischen Druck verknüpft ist, werden die Feldlinien wie feste Stanen aneinander verschoben. Daher tritt keine Kraft durch die Feldlinienspannun auf. Herleitun der Dispersionsrelation Linearisiertes Kraftleichewicht: Wir betrachten das Kraftleichewicht eines Flüssikeitselementes für den Fall eines nicht ekrümmten Manetfeldes mit zusätzlicher Gravitationskraft (darestellt durch den Beschleuniunsvektor ) und nicht verschwindender Newton- Kraft: p B 2 2 Wir wollen die Bedinun für das Anwachsen einer Störun beschreiben sowie die anfänliche Anwachsrate, d.h. die Zunahme der Geschwindikeit bei kleiner Störun des Gleichewichts. Dies erlaubt uns, die Kraftbilanz zu linearisieren. Wir trennen in Gleichewichts- und die Störun beschreibende Größen auf dv und erhalten v v v etc p p B 2 2 B B B 2 2 dv dv dv dv 2 Ordnun 2 Ordnun Wir nehmen an, daß in die Größen nullter Ordnun die zeitunabhänie Gleichun (dv ) lösen. Unter Annahme der Kleinheit der Störun können wir uns außerdem auf die Terme bis zur ersten Ordnun beschränken und erhalten eine Gleichun für die Störun: p B B dv Diese Gleichun wollen wir nicht in voller Allemeinheit lösen. Um die Zahl der Variablen zu reduzieren, machen wir vereinfachende Annahmen. Zunächst betrachten wir ledilich Dichtestörunen und vernachlässien möliche Druckund Manetfeldstörunen. Den obien Ausdruck können wir dementsprechend vereinfachen, indem wir auf beiden Seiten die Rotation bilden. Der erste Term auf der linken Seite verschwindet, denn die Rotation von einem Gradienten eines skalaren Feldes ist Null. p B B dv Nun ist es zweckmäßi, die Richtun der einzelnen Vektoren zu spezifizieren und von der Vektor- zur Koordinaten-Darstellun überzuehen. Wir wählen, wie in der obien Abbildun ezeit, und. Die z-komponente der vorien Gleichun lautet dann 3

4 x x wobei wir hier und im folenden die Abkürzunen v x v x und v v verwenden. Wellenansatz (x-richtun): Für die zuletzt erhaltene linearisierte Gleichun zweiter Ordnun erwarten wir eine wellenartie Lösun in Richtun senkrecht zum Dichteradienten und zur Gravitation (x-richtun), die sowohl die Ausbreitun von Wellen als auch das Anwachsen oder Dämpfen einer Störun beschreiben kann. Wir machen den Ansatz: v x ˆv x exp ik x x i t ˆ exp ik x x i t Damit können wir die Differentialleichun im Orts-/Zeit-Raum in eine alebraische Gleichun im Wellenvektor (k x )- Frequenz ( )- Raum umwandeln ( t i, x ik x ). Die Differentiation in -Richtun lassen wir allerdins zunächst unberührt. v t v x t ik x ˆ i ik x ˆv ˆv x Inkompressible Flüssikeit: Noch haben wir drei sich entwickelnde Größen, ˆ, ˆv x und ˆv. Unter der bereits oben emachten Annahme, daß die Flüssikeit (das Plasma) inkompressibel ist ( v ) eribt sich: v x x v bzw ˆv x i k Damit können wir in der Beweunsleichun die Variable vˆ x eliminieren: ˆv ik x ˆ i ik x ˆv i k x ˆv Kontinuitätsleichun: Wir haben nun noch zwei Variablen, ˆ und ˆv. Die Dichtestörun ˆ können wir eliminieren, wenn wir die Kontinuitätsleichun benutzen, die in erster Ordnun lautet: v t oder, mit den von uns emachten Annahmen Damit haben wir i ˆ ˆv k 2 x 2 ˆv k 2 x ˆv Mit den Abkürzunen und L ( Gradientenläne der Dichte) kommen wir auf die einfache Form ˆv ˆv k 2 x 2 ˆv ˆv L ˆv k 2 x L 2 ˆv () 4

5 Dies ist nun eine Differentialleichun für ˆv, die wir nur lösen können, wenn wir Annahmen über den Verlauf der Gleichewichtsdichte machen. In der zuletzt erhaltenen Form kommt allerdins nur noch die Gradientenläne L vor. Exponentielles Druckprofil: Zur Vereinfachun wollen wir annehmen, daß L in -Richtun auf der uns interessierenden Länenskala der Instabilität konstant ist. Dies bedeutet (lokal anenähert) ein exponentielles Dichteprofil: ˆ exp L Damit hat die Differentialleichun konstante Koeffizienten, was ihre Lösun vereinfacht. Ansatz in -Richtun: Wir machen nun den folenden Ansatz für ˆv : ˆv ṽ sin k exp Der Faktor sin k beschreibt eine möliche räumliche Oszillation in -Richtun, analo zum Wellenansatz in x-richtun. Wenn das Plasma in -Richtun nicht als unendlich ausedehnt anenommen wird, ereben sich Randbedinunen, die die mölichen Werte von k einschränken. Wenn z. B. ˆv an den Orten und a anenommen wird (feste Wand), sind nur anzzahlie Halbperioden erlaubt und für eine nichtverschwindende Störun hat k dann die Form k n a n 2 3 Wir wollen nun den Ansatz für ˆv durch Einsetzen in Gl. verifizieren. Zuerst bilden wir die Ableitunen: ˆv ṽ exp k cos k sin k ˆv ṽ exp 2k cos k 2 k 2 sin k Nach Einsetzen in Gl. teilen wir durch exp. Da die Lösun für alle elten soll, müssen sich die Koeffizienten sowohl der Terme mit sin k als auch der Terme mit cos k jeweils aufheben. Verleich der Kosinusterme eribt: und damit 2k k L 2L 5

6 Dispersionsrelation: Aus dem Verleich der Sinusterme eribt sich bzw. 4L 2 k 2 2L 2 k 2 x L 2 Durch Multiplizieren mit k 2 x L 2 2 L erhalten wir: k 2 4L 2 2 L k 2 x k 2 4L 2 k 2 x Dies ist die Dispersionsrelation, die die Frequenz mit den Wellenzahlen k x und k verknüpft. Parameter sind dabei die Gradientenläne L und die Gravitationsbeschleuniun. Die Dispersionsrelation ist eine quadratische Gleichun für die komplexe Frequenz mit den Lösunen: 2 L kx 2 kx 2 k 2 4L 2 Wenn und L leiches Vorzeichen haben, d.h. die Dichte in Richtun der Gravitationskraft zunimmt, ist rein reell. Die Lösun beschreibt dann eine sich in x-richtun ausbreitende Welle ( Wasserwelle ). Die Gravitationskraft funiert als Rückstellkraft. Wenn und L unterschiedliches Vorzeichen haben, also wie z. B. in der früheren Abbildun ezeit die Dichte in -Richtun zunimmt, aber die Gravitationskraft in Richtun kleinerer zeit, ist rein imainär. In diesem Fall wird die Geschwindikeit in -Richtun exponentiell anwachsen oder abfallen. Wir betrachten nur die Bedinunen für Instabilität (Anwachsen der Störun), denn die abfallende Lösun strebt een Null und eliminiert sich damit im Zeitverlauf selbst. 2 Anwachsrate: Die Anwachsrate i hänt u.a. von den Wellenzahlen der betrachteten Störun ab. Eine Störun wächst umso schneller, je kleiner ihre Wellenzahlen k in -Richtun ist, d.h. je rößer die Wellenläne ist. Eine beliebi scharf an der Grenzfläche lokalisierte Störun wird daher nur lansam anwachsen. Der Einfluß der Gradientenläne L hänt von deren Größe ab. Ist die Störun kleinskali een das Dichteprofil, d.h. k 2 L 2 (mit k 2 k 2 x k 2 ), dann verschwindet der Term 4L 2 im Nenner. Die Störun wächst mit steiender Gradientenläne lansamer. Großskalie Störunen (k 2 L 2 ) verhalten sich umekehrt und wachsen mit steiender Gradientenläne schneller. Die Abhänikeit von der Wellenzahl in x-richtun ist komplex. Schließlich steit für kleine k 2 x (k 2 x k 2 4L 2, d.h. roße Wellenläne in x-richtun) die Anwachsrate mit steiendem k x asmptotisch een den Wert k x i L 2 6

7 Bemerkun: Lineares vs. nicht-lineares Wachstum Die obie Analse wurde für eine linearisierte Beweunsleichun auseführt, wobei wir die Störunsrößen v und nur bis zur ersten Ordnun betrachtet haben. Damit beschränkt sich die Betrachtun auf kleine Störunen. Tritt Instabilität auf, wird die Störun jedoch i.a. weiter wachsen und nach wenien Vielfachen der charakteristischen Zeitkonstanten (reziproken Anwachsrate) so roß sein, daß die linearisierte Beschreibun nicht mehr zutrifft. Dies ist z. B. dann der Fall, wenn die Dichtestörun die Gradientenläne beeinflußt, die wir für die lineare Analse als unabhäni voreeben hatten. In diesem Fall erscheinen nichtlineare Terme in der Beweunsleichun, was ihre analtische Lösun sehr erschwert und in den meisten Fällen unmölich macht. Durch die Nichtlinearitäten in den Gleichun treten eine Vielzahl von Effekten auf, die im linearen Bild nicht beschrieben werden können: (deterministische) chaotische Entwicklun, Sättiun der Störun, Auftreten weiterer Instabilitätsmechanismen. Ein Beispiel für letzteres ist das Auftreten der Kelvin-Helmholtz-Instabilität durch verscherte Strömun der beschleuniten Flüssikeitselemente (in -Richtun in unserer Geometrie). Durch diese Instabilität wird die verscherte Strömun aufebrochen. Alle diese Phänomene sind Geenstand aktueller Forschun der theoretischen Phsik, u. a. an der Universität Bareuth. Beispiele für Raleih-Talor-Instabilität Raleih-Talor-Instabilität kommt in vielen verschiedenen Sstemen sehr unterschiedlicher Größen vor: Explosion von Supernovae Abbremsun von Kometen in der Planetenatmosphäre (z. B. Sturz von Shoemaker-Lev 9 in den Jupiter) im Erdmantel: die dichtere Lithosphäre liet oberhalb der leichteren Asthenosphäre (Ursache für Schwankunen der Erdkrustendicke?) Inversionsschichten in der Erdatmosphäre Umedrehte Flasche mit Salat-Dressin (Öl und Essi) Störun der Polmerisationsfront von n-butl-acrlat in durch Träheit eineschlossenen Fusionsplasmen (D-T Pellets, Wasserstoffbombe) Verwane Instabilitäten im manetisierten Plasma Im einem manetisierten Plasma ist die Gravitation fast immer vernachlässibar een die elektromanetischen Kräfte, so daß die eientliche Gravitationsdrift, wie oben beschrieben, in der Praxis nicht beobachtet wird. Es treten aber verwane Instabilitäten auf, bei denen die Rolle der Gravitation durch die Fliehkraft aufrund der Beweun in einem ekrümmten Manetfeld ersetzt wird. Anstelle der Gravitationsdrift m B eb 2 tritt die B- und Krümmunsdrift auf, und zwar für Grozentren: v Gz m v 2 v 2 2 eb 3 B B 7

8 Wir wollen im folenden nur die Mechanismen skizzieren, nicht jedoch die Dispersionsrelation ableiten. Austausch-Instabilität Bei ekrümmtem bzw. nicht homoenem Manetfeld tritt die so. Austausch-Instabilität (interchane instabilit) auf. Die B- und Krümmunsdrift können wir in der Form einer Bahnbeschleuniun schreiben: v 2 2 v 2 R wobei R der lokale Krümmunsradius des Manetfelds ist. Bei Maxwell scher Geschwindikeitsverteilun ist v 2 v 2 2 k B T m, so daß 2k B T mr In Analoie zur Raleih-Talor-Instabilität tritt die Austausch-Instabilität immer auf, wenn B p ( unünstie Manetfeldkrümmun ). In linearen konkaven Konfiurationen, z.b. dem manetischen Spieel kann die Instabilität unehemmt wachsen (flute instabilit). Im Torus mit endlicher Rotationstransformierter, d.h. leichzeiti vorhandenen toroidalen und poloidalen Manetfeldkomponenten wechseln sich entlan der Feldlinie Bereiche unünstier (Torusaußenseite) und ünstier Krümmun (Torusinnenseite) ab. Die nur auf der Torusaußenseite auftretende Instabilität muß in diesem Fall een die stabilisierende Feldlinienspannun arbeiten (balloonin instabilit), was bis zu ewissen kritischen Plasmadrücken Stabilität erlaubt. Toroidale Ionentemperatur-Gradient etriebene Instabilität Für sehr kurze Wellenlänen kommt auch im Torus die stabilisierende Feldlinienspannun nicht zur Wirkun, und es tritt eine kleinskalie elektrostatische Instabilität auf, etrieben durch den Ionentemperatur-Gradienten (ITG). Der Mechanismus erfot ähnlich zur Raleih-Talor- Instabilität im manetisierten Plasma, wobei jedoch eine Temperaturstörun anwächst. Dies eschieht, da der Betra der Drifteschwindikeit von der Temperatur abhänt, d.h. anfänlich heiße Bereiche driften schneller. Bei unünstier Mantfeldkrümmun konvektiert das durch Ladunstrennun entstehende elektrische Feld Plasma aus dem heißen Zentrum zu den heißen Gebieten und kaltes Plasma aus dem Rand zu den kalten Gebieten. Die diamanetische Drift wirkt der B- und Krümmunsdrift enteen. Insesamt wirkt ein radialer Temperaturradient destabilisierend und ein radialer Dichteradient stabilisierend. 8