(27) (28) 16. Büsching, F.: Küsteningenieurwesen 2002/13.1

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1 . 8. Wellenenergien Für die nergie einer fortschreitenden regulären Sinuswelle liefert die Wellentheorie von AIRY-APAC einfache rgebnisse. s wird dabei die Gesamtenergie aus den Anteilen der potentiellen nergie pot und der kinetischen nergie kin nach der folgenden Gleichung berechnet pot + kin Für die inheitsbreite b (z. B. b m) in Richtung des Wellenkammes der zweidimensionalen Welle der Höhe H und der änge ergibt sich diejenige potentielle nergie, die für die Auslenkung des Wasserspiegels zum Ruhewasserspiegel erforderlich ist, durch die Integration über die Wellenlänge zu (7) pot γ b H (8) 6 Büsching, F.: Küsteningenieurwesen 00/3.

2 Der gleiche Wert wird erhalten, wenn über die Wellenlänge das Integral über die Geschwindigkeitshöhen ( kinetischen nergien) gebildet wird: kin γ b H (9) 6 Damit ist die nergie einer fortschreitenden Sinuswelle der änge und der inheitsbreite b: γ b H (30) 8 Die nergie ergibt sich in kn. m kw. s, wenn γ in kn/m 3 und die anderen Größen in m und s eingesetzt werden. Die vereinfachte Form ~ H ist für alle Wellenarten (3) gültig und kann deshalb als Kardinalgleichung der Wellenphysik bezeichnet werden. Büsching, F.: Küsteningenieurwesen 00/3.

3 Von Bedeutung ist dabei, dass bei der regulären Sinuswelle (Schwerewelle) die kinetische nergie (als Orbitalbewegung) am Ort verbleibt, während die potentielle nergie (als Wellenform) mit der Wellenfortschrittsgeschwindigkeit c der Welle folgt. Wie eingangs ausgeführt, findet bei Wasserwellen kein Massentransport statt sondern im wesentlichen ein Transport von nergie. (Theorien höherer Ordnung ergeben allerdings geringe Massentransporte dieser Art mit offenen etwa elliptischen Orbitalbahnen.) Nur in den Brandungszonen wird sowohl die potentielle als auch die kinetische nergie vollständig in andere nergieformen, am nde in Turbulenz und schließlich in Wärme, umgewandelt. Diese Umwandlungsprozesse sind z. T. sehr komplex. s können dabei erhebliche Kräfte auftreten, die sich sowohl in langzeitigen Prozessen (z.b. Küstenveränderungen durch wellenerzeugte Sedimentbewegungen) als auch, besonders bei Sturmfluten, in schwersten Zerstörungswirkungen bemerkbar machen können. Büsching, F.: Küsteningenieurwesen 00/3.3

4 nergie fortschreitender und stehender Wellen Für die Herleitung der Beziehung für die nergie einer fortschreitenden Sinuswelle kann von der Tatsache ausgegangen werden, dass eine fortschreitende Welle aus der Überlagerung zweier ähnlicher stehender Wellen mit gleicher Amplitude (A H/) gebildet werden kann, wenn diese sich zeitlich um T/4 und räumlich um /4 außer Phase befinden. Mit der Wellenzahl k / und der Kreisfrequenz ω /T kann ein solches Wellenpaar wie folgt angegeben werden: y y A A cos sin kx kx cos ωt sin ωt Die aus deren Superposition resultierende fortschreitende Welle gleicher Amplitude ist dann: A cos( kx ωt ) vergl.0.8 y r Büsching, F.: Küsteningenieurwesen 00/3.4

5 B Schwingungsbauch K Schwingungsknoten Die Überlagerung zweier stehender Sinuswellen gleicher Amplitude A ergibt eine fortschreitende Welle mit der gleichen Amplitude A. Stehende Wellen: A sinkx sinωt Büsching, F.: Küsteningenieurwesen 00/3.5 y y A coskx cosωt Fortschreitende Welle: y r A cos( kx ωt)

6 Während Welle vollständige Auslenkung vom Ruhewasserspiegel zeigt (Partikelgeschwindigkeit am Berg und im Tal gleich Null) und damit potentielle nergie beiträgt, ist die Auslenkung der Welle vom Ruhewasserspiegel gerade gleich Null und die Partikelgeschwindigkeit maximal. D.h., Welle trägt in dieser Schwingphase nur kinetische nergie bei. Werden die Schwingbewegungen beider Wellen aber separat betrachtet, stellen die genannten nergien gerade jeweils die gesamte nergie einer stehenden Welle in den betrachteten ausgezeichneten Wellenphasen dar, vergl. auch Mathematisches Pendel. Die Beträge müssen also gleich sein und die gesamte nergie der fortschreitenden Welle hat den doppelten Betrag (vergl. 04.8). Im Vergleich zum Ruhewasserspiegel fehlt bei vollständiger Auslenkung Wasser am Wellental und erscheint dafür am Wellenberg. Obwohl es sich um unterschiedliche Wassermassen handelt, ist es bei der Betrachtung der potentiellen nergie von Sinuswellen zulässig, Büsching, F.: Küsteningenieurwesen 00/3.6

7 anzunehmen, dass Wasser aus dem Wellental an eine entsprechende Stelle des Wellenberges gehoben wird. y x dx Für jedes Teilchen der Wassersäule der Breite dx, der Höhe y und der Tiefe b (senkrecht zur Tafel) ist die Hubhöhe y. Die abgegrenzte Flüssigkeitsmasse dm ρ. y. b. dx gewinnt durch das Anheben die potentielle nergie (nergie der age mgh): d pot γ b y dx Bei der Integration über die gesamte Breite des Wellenberges ist für die Wasseroberfläche das Sinus-Profil einzusetzen. Büsching, F.: Küsteningenieurwesen 00/3.7

8 Büsching, F.: Küsteningenieurwesen 00/3.8 x A y sin Die potentielle nergie für eine Wellenlänge ist dann 0 / sin x x dx x A b γ A b pot 4 γ Die Integration liefert: H b pot 6 γ (9) Mit A H/ wird Bei der fortschreitenden Welle kommt die kinetische nergie mit dem gleichen Betrag hinzu, sodass H b kin pot + 8 γ (30)

9 nergie der Clapotis ine Clapotis ist eine stehende Welle, die dadurch entsteht, dass an einem Bauwerk mit vertikaler Wand Wellen total reflektiert werden. s kommt zu einer Überlagerung der anlaufenden mit der reflektierten Welle, d.h., zweier in entgegengesetzten Richtungen fortschreitender Wellen gleicher Höhe H ( H a H r ) und gleicher Periode T. Die nergiebeträge addieren sich. Die nergie der Clapotis ist c a + r γ b Ha (3) 4 Die entstehende Clapotis ist gekennzeichnet durch eine Wellenhöhe H C. H a. Als stehende Welle hat sie die Gesamtenergie gemäß (9): C 6 γ b H C 6 γ b 4 H a γ b H Büsching, F.: Küsteningenieurwesen 00/3.9 4 a (33)

10 nergie brechender Wellen: Wenn auch die lineare Wellentheorie nach Airy-aplace zur Beschreibung der Prozesse des Wellenbrechens und der Ausbrandung nicht anwendbar ist, kann doch mit der für Sinus-Wellen abgeleiteten Formel die Größenordnung der in der Brandung freiwerdenden Wellenenergie bzw. der dort umgesetzten eistung abgeschätzt werden. Hier wird die gesamte (potentielle und kinetische) nergie letztlich über Reibungsvorgänge in Wärme umgesetzt. Von Bedeutung ist dabei, dass die damit verbundenen zerstörerischen Kräfte um so größer sind, je schmaler die Brandungszone, d.h., je größer der nergieumsatz pro Flächeneinheit ist. Zur Formulierung der eistungsabgabe P [kw] ist die nergie [kw. s] auf die Wellenperiode T [s] zu beziehen: γ b H P γ b H 8 8 T (30) (34) Büsching, F.: Küsteningenieurwesen 00/3.0

11 P [MW] Wellenperiode T 0s; Brechersteilheit S H/ / eistungsabgabe auf 000m Strandlänge H [m] als Funktion der Brecherhöhe: P γ b H 8 T H 0 H 0 50 H Büsching, F.: Küsteningenieurwesen 00/3. 3 [kw ]

12 . 9. Wellentransformation: Voraussetzung der nachfolgenden Betrachtung ist eine konstante Wellenperiode T, d.h., zusätzlich vorhandene Strömungen, die einen DOPPR-FFKT erzeugen, bleiben unberücksichtigt. Weiterhin wird jegliche Reibung vernachlässigt, so dass die Wellenenergie erhalten bleibt. Bei abnehmender Wassertiefe (d.h., ansteigender Sohle zur Küste hin) werden vom Punkt der Grundberührung (d /) an die Wellenlängen geringer. Dies hat insbesondere die Folge, dass von einer bestimmten Wassertiefe an die Wellenhöhen anwachsen. ine Übersicht über die theoretische Transformation der Wellen wird erhalten, wenn Wellenparameter im Übergangsbereich auf ihre Größen im Tiefwasser bezogen werden, d.h. die betreffenden Relationen über der relativen Wassertiefe (d/ 0 ) aufgetragen werden. Auf die komplexen Prozesse beim Wellenbrechvorgang und danach sind diese rgebnisse aber nicht anwendbar, vergl. später (Kw07). Büsching, F.: Küsteningenieurwesen 00/3.

13 Büsching, F.: Küsteningenieurwesen 00/3.3 Die Ausgangswelle im Tiefwasser ist gegeben mit: H H 0 ; 0 ; c c 0 Für das Übergangsgebiet gilt dann mit d T g T g 0 tanh und d 0 tanh Weiterhin ergibt sich unter Berücksichtigung des nergiesatzes + d d n k H c c n H H S sinh mit k S Shoaling-Faktor

14 Büsching, F.: Küsteningenieurwesen 00/3.4 Bei d/ 0 0, wird beispielsweise H,4. H 0. Tatsächlich sind Flachwasserzonen (Sandbänke, Riffe) daher durch erhöhten Seegang erkennbar. Wenn Wellenmessungen nur aus dem Flachwasserbereich vorliegen, kann ggf. für d/ < ~ 0, vereinfachend für zwei Wellen der Höhen H und H (unter Berücksichtigung von c (gd) 0,5 ) der sinh gleich seinem Argument gesetzt werden: 4 4 n d d sinh T d g 4 d d H c c H H

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16 . 0. Formelsammlung Büsching, F.: Küsteningenieurwesen 00/3.6