Die Lösungen einer autonomen Differentialgleichung zweiter Ordnung,

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Harald Wolf
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1 Phasenebene Die Lösungen einer autonomen Differentialgleichung zweiter Ordnung, können als Kurven u = f (u, u ), t (u(t), v(t)), v = u, in der sogenannten Phasenebene visualisiert werden. Dabei verläuft für eine stetig differenzierbare Funktion f durch jeden Punkt (u 0, v 0 ) genau eine Lösungskurve. Phasenebene 1-1

2 Phasenebene Die Lösungen einer autonomen Differentialgleichung zweiter Ordnung, u = f (u, u ), können als Kurven t (u(t), v(t)), v = u, in der sogenannten Phasenebene visualisiert werden. Dabei verläuft für eine stetig differenzierbare Funktion f durch jeden Punkt (u 0, v 0 ) genau eine Lösungskurve. Punkte (u 0, 0) mit f (u 0, 0) = 0 sind kritische Punkte der Differentialgleichung, die konstanten Lösungen u(t) = u 0 entsprechen. Phasenebene 1-2

3 u u Phasenebene 1-3

4 u u Fasst man v = du/dt als Funktion von u auf, so ist u = v = dv/dt = (dv/du)(du/dt) und man erhält eine Differentialgleichung erster Ordnung dv v = f (u, v), du die die Lösungskurven in der Phasenebene unmittelbar beschreibt. Phasenebene 1-4

5 Beispiel: Phasenebenen für die Bewegungsgleichung eines gedämpften Pendels und die approximierende lineare Schwingungsgleichung u = sin u u u = u u u u u u Phasenebene 2-1

6 Beispiel: Phasenebenen für die Bewegungsgleichung eines gedämpften Pendels und die approximierende lineare Schwingungsgleichung u = sin u u u = u u u u u u kleine Auslenkungen von u gute Übereinstimmung Phasenebene 2-2

7 Beispiel: Phasenebenen für die Bewegungsgleichung eines gedämpften Pendels und die approximierende lineare Schwingungsgleichung u = sin u u u = u u u u u u kleine Auslenkungen von u gute Übereinstimmung globales qualitatives Verhalten unterschiedlich; mehrere kritische Punkte für die Pendelgleichung Phasenebene 2-3

8 Energieerhaltung Die Differentialgleichung u + Φ (u) = 0 beschreibt eine eindimensionale Bewegung unter einem durch ein Potential Φ induzierten Kraftfeld. Phasenebene 3-1

9 Energieerhaltung Die Differentialgleichung u + Φ (u) = 0 beschreibt eine eindimensionale Bewegung unter einem durch ein Potential Φ induzierten Kraftfeld. Für die Lösung u ist die Summe E aus kinetischer und potentieller Energie konstant: E = 1 2 v 2 + Φ(u), v = u. Phasenebene 3-2

10 Energieerhaltung Die Differentialgleichung u + Φ (u) = 0 beschreibt eine eindimensionale Bewegung unter einem durch ein Potential Φ induzierten Kraftfeld. Für die Lösung u ist die Summe E aus kinetischer und potentieller Energie konstant: E = 1 2 v 2 + Φ(u), v = u. Die Lösungskurven in der Phasenebene entsprechen also konstanten Energieniveaus E. Phasenebene 3-3

11 Beispiel: Differentialgleichung für die Auslenkung ϑ eines idealen Pendels ϑ = sin ϑ Phasenebene 4-1

12 Beispiel: Differentialgleichung für die Auslenkung ϑ eines idealen Pendels ϑ = sin ϑ potentielle Energie Φ(ϑ) = cos ϑ Gesamtenergie E = 1 2 (ϑ ) 2 cos ϑ bzw. ϑ = ± 2(E + cos ϑ) Phasenebene 4-2

13 Beispiel: Differentialgleichung für die Auslenkung ϑ eines idealen Pendels ϑ = sin ϑ potentielle Energie Φ(ϑ) = cos ϑ Gesamtenergie E = 1 2 (ϑ ) 2 cos ϑ bzw. ϑ = ± 2(E + cos ϑ) ϑ E > 1 E = 1 E < 1 ϑ(t) π 2π 3π 4π ϑ Phasenebene 4-3

14 Phasendiagramm drei qualitativ verschiedene Fälle Phasenebene 4-4

15 Phasendiagramm drei qualitativ verschiedene Fälle E < 1: Lösungen periodisch, da cos ϑ 1 (maximaler Wert ϑ max = arccos( E)) Phasenebene 4-5

16 Phasendiagramm drei qualitativ verschiedene Fälle E < 1: Lösungen periodisch, da cos ϑ 1 (maximaler Wert ϑ max = arccos( E)) Berechnung der Periode T aus der maximalen Auslenkung ϑ max T = 4 ϑ max 0 dt dϑ dϑ, dt dϑ = (ϑ ) 1 = 1 2(cos ϑ cos ϑmax ) (E = cos ϑ max ) Phasenebene 4-6

17 Phasendiagramm drei qualitativ verschiedene Fälle E < 1: Lösungen periodisch, da cos ϑ 1 (maximaler Wert ϑ max = arccos( E)) Berechnung der Periode T aus der maximalen Auslenkung ϑ max T = 4 ϑ max 0 dt dϑ dϑ, dt dϑ = (ϑ ) 1 = 1 2(cos ϑ cos ϑmax ) (E = cos ϑ max ) E > 1: Die Geschwindigkeit ϑ wird nie null; das Pendel schwingt über. Phasenebene 4-7

18 Phasendiagramm drei qualitativ verschiedene Fälle E < 1: Lösungen periodisch, da cos ϑ 1 (maximaler Wert ϑ max = arccos( E)) Berechnung der Periode T aus der maximalen Auslenkung ϑ max T = 4 ϑ max 0 dt dϑ dϑ, dt dϑ = (ϑ ) 1 = 1 2(cos ϑ cos ϑmax ) (E = cos ϑ max ) E > 1: Die Geschwindigkeit ϑ wird nie null; das Pendel schwingt über. E = 1: Das Pendel nähert sich dem instabilen höchsten Punkt, ohne ihn in endlicher Zeit zu erreichen. Phasenebene 4-8

19 Beispiel: auf eine Rakete wirkende Kraft im Gravitationsfeld der Erde F = γmm r 2 m und M: Massen von Rakete und Erde γ > 0: Gravitationskonstante r: Abstand zum Erdmittelpunkt Phasenebene 5-1

20 Beispiel: auf eine Rakete wirkende Kraft im Gravitationsfeld der Erde F = γmm r 2 m und M: Massen von Rakete und Erde γ > 0: Gravitationskonstante r: Abstand zum Erdmittelpunkt Bewegungsgleichung nach dem Burnout bei vertikaler Flugrichtung r = γm r 2 Phasenebene 5-2

21 Beispiel: auf eine Rakete wirkende Kraft im Gravitationsfeld der Erde F = γmm r 2 m und M: Massen von Rakete und Erde γ > 0: Gravitationskonstante r: Abstand zum Erdmittelpunkt Bewegungsgleichung nach dem Burnout bei vertikaler Flugrichtung Anfangsbedingungen r(0) = R, r = γm r 2 r (0) = v R und v: Flughöhe und Geschwindigkeit bei Burnout Phasenebene 5-3

22 Phasenebene 5-4

23 E > 0 r E < 0 r Phasenebene 5-5

24 E > 0 r E < 0 Lösungskurven für verschiedene Geschwindigkeiten v und R = km (Erdradius) r Phasenebene 5-6

25 E > 0 r E < 0 Lösungskurven für verschiedene Geschwindigkeiten v und R = km (Erdradius) konstante Energieniveaus r E = 1 2 (r ) 2 γm r Phasenebene 5-7

26 E < 0: maximale Flughöhe r max = γm E Phasenebene 5-8

27 E < 0: maximale Flughöhe r max = γm E E 0: Flughöhe unbeschränkt Phasenebene 5-9

28 E < 0: maximale Flughöhe r max = γm E E 0: Flughöhe unbeschränkt kritische Startgeschwindigkeit v (fett gezeichnete Lösungskurve) d.h. v = 2γ M R 1 2 v 2 γm R = E = 0 Phasenebene 5-10

29 E < 0: maximale Flughöhe r max = γm E E 0: Flughöhe unbeschränkt kritische Startgeschwindigkeit v (fett gezeichnete Lösungskurve) d.h. v = 2γ M R (r (t) 0 für t ) 1 2 v 2 γm R = E = 0 Phasenebene 5-11

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