2. Freie gedämpfte Schwingungen

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1 2. Freie gedämpfte Schwingungen Bei realen Systemen werden die Schwingungsausschläge mit der Zeit kleiner, und die Schwingung kommt zum Stillstand. Ursache sind Energieverluste durch Reibungs- und Dämpfungskräfte: Lagerreibung Luftwiderstand innere Reibung des Werkstoffs 2.2-1

2 2. Freie gedämpfte Schwingungen Dämpfungskräfte sind stets der Bewegungsrichtung entgegengesetzt. Die genaue Beschreibung aller dämpfenden Einflüsse ist aufwändig. Das einfachste Dämpfungsmodell ist das Modell einer geschwindigkeitsproportionalen Dämpfung: Dämpfungskonstante d: F D =d v=d ẋ Einheit Kraft/Geschwindigkeit: 1Ns/m = 1kg/s 2.2-2

3 2. Freie gedämpfte Schwingungen 2.1 Schwingungsgleichung 2.2 Dämpfungsfälle 2.3 Dissipierte Energie 2.2-3

4 2.1 Schwingungsgleichung Bewegungsgleichung: m ẍ d ẋ c x=0 Standardform: ẍ 2 ẋ 2 x=0 Abklingkoeffizient: Einheit: N s m kg = kg m s s² m kg =1 s = d 2 m Lösungsansatz: x= A e t ẋ= A e t = x ẍ= 2 A e t = 2 x Einsetzen liefert: A e t =0 Nichttriviale Lösung (A 0) für =

5 2.1 Schwingungsgleichung Charakteristische Gleichung: Lösung: 1/2 = ± 2 2 = ± = Mit dem Lehrschen Dämpfungsmaß D= folgt: 1/2 = ± D

6 2.2 Dämpfungsfälle Starke Dämpfung: D > 1: 2 reelle Lösungen Kritische Dämpfung: D = 1: 1 reelle Lösung Schwache Dämpfung: D < 1: 2 komplexe Lösungen 2.2-6

7 2.2.1 Starke Dämpfung Kritische Dämpfung Schwache Dämpfung Beispiel 2.2 Dämpfungsfälle 2.2-7

8 2.2.1 Starke Dämpfung 2 Reelle Lösungen 1/2 = ± mit = D 2 1= 2 2 Allgemeine Lösung der Schwingungsgleichung: x t = A 1 e 1t A 2 e 2t =e t A 1 e t A 2 e t Das ist eine exponentiell abklingende Bewegung. Für die Geschwindigkeit folgt: ẋ t = e t A 1 e t A 2 e t e t A 1 e t A 2 e t 2.2-8

9 2.2.1 Starke Dämpfung Die Konstanten A 1 und A 2 können aus den Anfangsbedingungen bestimmt werden: Verschiebung: x 0 =x 0 =A 1 A 2 Geschwindigkeit: v 0 =ẋ 0 = A 1 A 2 A 1 A 2 = A 1 A 2 A 1 A 2 = x A 1 A 2 = v 0 A 1 = x 0 v 0 A 1 = x 0 v 0 2 A 2 = x 0 v 0 A 2 = x 0 v

10 2.2.1 Starke Dämpfung v 0 > 0 v 0 = 0 x(t) -δx 0 < v 0 < 0 v 0 < -δx 0 t

11 2.2.2 Kritische Dämpfung Aperiodischer Grenzfall: 1 = 2 = Allgemeine Lösung: x t = A 1 A 2 t e t Geschwindigkeit: ẋ t = A 2 e t A 1 A 2 t e t =[ 1 t A 2 A 1 ] e t Bestimmung der Konstanten A 1 und A 2 aus den Anfangsbedingungen: x 0 =x 0 = A 1 ẋ 0 =v 0 = A 2 A 1 A 1 =x 0 A 2 =v 0 x

12 2.2.2 Kritische Dämpfung x(t) Der Ausschlag geht schneller gegen Null als bei starker Dämpfung. Technische Anwendung findet der Grenzfall z.b. bei der Auslegung von Messgeräten. t

13 2.2.3 Schwache Dämpfung 2 komplexe Lösungen mit 1/2 = ±i d d = 1 D 2 Allgemeine Lösung: x t = A 1 e 1t A 2 e 2t =e t A 1 e i d t A 2 e i d t Die Konstanten A 1 und A 2 sind komplex: A 1 =a 1 i b 1, A 2 =a 2 i b 2 Eulersche Formeln: e ix =cos x i sin x e ix =cos x i sin x x t = e t [ a 1 i b 1 cos d t i sin d t ] e t [ a 2 i b 2 cos d t i sin d t ]

14 2.2.3 Schwache Dämpfung Zusammenfassen der Real- und Imaginärteile: x t = e t [ a 1 a 2 cos d t b 1 b 2 sin d t ] i e t [ b 1 b 2 cos d t a 1 a 2 sin d t ] Die Lösung muss reell sein: a 1 =a 2 = C 1 2, b 1= b 2 = C 2 2 Allgemeine reelle Lösung: x t =e t C 1 cos d t C 2 sin d t

15 2.2.3 Schwache Dämpfung Geschwindigkeit: ẋ t = e t C 1 cos d t C 2 sin d t d e t C 1 sin d t C 2 cos d t Bestimmung von C 1 und C 2 aus den Anfangsbedingungen: x 0 =x 0 =C 1 C 1 =x 0 v 0 =ẋ 0 = C 1 d C 2 C 2 = v 0 x 0 d

16 2.2.3 Schwache Dämpfung Ergebnis: x t =e t [ x 0 cos d t v 0 x 0 d sin d t ] Alternativ (vgl. ungedämpften Fall): mit C= x 2 0 x t =C e t sin d t v 0 x 0 d tan = d x 0 v 0 x 0 2 x 0 =C sin v 0 x 0 =C cos d

17 2.2.3 Schwache Dämpfung T d x(t) t

18 2.2.3 Schwache Dämpfung Es liegt eine exponentiell abklingende Schwingung vor. Die Frequenz f d der gedämpften Schwingung ist kleiner als die Frequenz f der ungedämpften Schwingung: f d f = d = 1 D² Bei vielen praktischen Anwendungen ist D < 5%. Für D = 5% gilt: f d f = 1 0,05²=0,9987 Die Abweichung von der ungedämpften Frequenz beträgt also etwa 0,1%

19 2.2.3 Schwache Dämpfung Verhältnis von 2 Ausschlägen im Zeitabstand einer Periode T d : x t x t T d = C e t sin d t C e t T d sin d t T d =e T d Logarithmisches Dekrement: =ln x t x t T d = T d= 2 d =2 Näherung für sehr schwache Dämpfung (D < 10%): D 1 D 2 1 D D

20 2.2.4 Beispiel Dämpferprüfstand m c/2 d c/2 x Daten: Masse m = 1,5kg Federkonstante c = 150N/m Dämpferkonstante d = 1,8Ns/m Anfangsbedingungen: Auslenkung x 0 = 1,5mm Geschwindigkeit v 0 = 10 mm/s

21 2.2.4 Beispiel Gesucht: Dämpfungsfall maximale Auslenkung Dämpfungsfall: Lehrsches Dämpfungsmaß: Das System ist schwach gedämpft. D= = d m 2m c = d 2 mc 1,8kg/s D= 2 1,5kg 150kg/s² = 1, = 1, =0,

22 2.2.4 Beispiel Maximale Auslenkung: Auslenkung: x t =C e t sin d t Geschwindigkeit: ẋ t =C e t sin d t d cos d t Bei maximalem Ausschlag ist die Geschwindigkeit Null: ẋ t max =0 : sin d t max d cos d t max =0 Abkürzung: = d t max sin = d cos tan = d = 1 D 2 D

23 2.2.4 Beispiel Zahlenwerte: = c m = 150 1,5 kg m s²m kg =10 1 s = D=10 1 s 0,06=0,6 1 s d = 1 D²= 1 0,06²=9,98 1 s tan = d x 0 = 9,98 1,5 v 0 x ,6 1,5 C= x 2 0 v 0 x 0 d mm s =1,3734 =0,9414 s mm = 2 1,5²mm² 10 0,6 1,5 9,98 mm 2=1,855mm

24 2.2.4 Beispiel tan = 1 D² D = 1 0,06² 0,06 =16,6366 =1,5108 = d t max t max = = 1,5108 0,9414 =0,057s d 9,98 s 1 x max =C e t max sin =1,855mm e 0,6 s 1 0,057 s sin 1,5108 =1,79 mm

25 Aufgabenstellung: 2.3 Dissipierte Energie Betrachtet wird ein schwach gedämpftes schwingendes System. Gesucht ist die Energie, die während einer Periode dissipiert wird. Lösung: Potentielle Energie zum Zeitpunkt t = t n : E p t n = 1 2 c x2 t n = 1 2 cc 2 e 2 t n sin 2 d t n

26 2.3 Dissipierte Energie Kinetische Energie zum Zeitpunkt t = t n : v t n =ẋ t n =C e t n [ sin d t n d cos d t n ] E k t n = 1 2 m v2 t n = 1 2 mc 2 e 2 t n [ 2 sin 2 d t n 2 d sin d t n cos d t n d 2 cos 2 d t n ] Gesamte Energie zum Zeitpunkt t = t n : E n =E t n =E p t n E k t n

27 2.3 Dissipierte Energie E n = 1 2 C 2 e 2 t [ n c 2 m sin 2 d t n d m d cos 2 d t n sin 2 d t n ] Zum Zeitpunkt t n+1 = t n + T d gilt: sin d t n 1 =sin d t n, cos d t n 1 =cos d t n Damit folgt für das Verhältnis der Energien: E n 1 E n = e 2 t n T d e 2 t n =e 2 T d =e

28 2.3 Dissipierte Energie Für die während einer Periode dissipierte Energie gilt: E n =E n E n 1 = E n E n 1 E n Verhältnis der Energien nach den ersten N Perioden: E N 1 E 1 E n = 1 e 2 E n = E N 1 E N E 2 =e 2 N E N E N 1 E 1 Während der ersten N Perioden dissipierte Energie: E N =E 1 E N 1 = 1 e 2 N E

29 2.3 Dissipierte Energie Beispiel: Eine masselose, starre Stange mit Feder und Dämpfer trägt eine Masse. c m A F C θ d a a a F D

30 Aufgabenstellung: 2.3. Dissipierte Energie Wie lautet die Bewegungsgleichung? Welche Bedingung muß die Dämpfungskonstante d erfüllen, damit schwache Dämpfung vorliegt? Wie lautet die Lösung der Bewegungsgleichung für die Anfangsbedingungen θ(0) = θ 0 und dθ/dt(0) = 0? Wie groß ist die für D = 0,01 während der ersten Periode dissipierte Energie?

31 2.3 Dissipierte Energie Bewegungsgleichung: Die Bewegung der Stange wird durch den von der Gleichgewichtslage aus gemessenen Winkel θ beschrieben. Für kleine Auslenkungen lautet der Drallsatz bezüglich Punkt A: 2a 2 m = a F C 3 a F D Mit folgt: F C =c a sin c a F D =d 3 a 2a 2 m 3 a 2 d c a 2 =0 4 m 9 d c =0 Standardform: 2 9d 8 m c 4 m =

32 2.3 Dissipierte Energie Bedingung für schwache Dämpfung: Aus der Standardform der Bewegungsgleichung kann abgelesen werden: = 9 d 8 m, 2 = c 4 m Lehrsches Dämpfungsmaß: D= = 9 d 8 m 2 m c = 9 d 4 mc Bedingung für schwache Dämpfung: D 1 d 4 9 mc

33 2.3 Dissipierte Energie Lösung der Bewegungsgleichung: Mit t =e t [C 1 cos d t C 2 sin d t ] d = 1 D²= 1 c 2 81d 1 2 m 16mc folgt: C 1 = 0 C 2 = 0 d = 0 1 D 2 = 0 t = 0 e t D 1 D 2 cos d t D 1 D 2 sin d t

34 Dissipierte Energie: 2.3 Dissipierte Energie Mit D = 0,01 ergibt sich D =2 1 D² =2 0,01 1 0,01² =0,063 E 1 =E 1 E 2 = 1 e 2 0,063 E 1 =0,118 E