Leseprobe. Heribert Stroppe. Physik - Beispiele und Aufgaben. Band 1: Mechanik - Wärmelehre ISBN:

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1 Leseprobe Heribert Stroppe Physik - eispiele und Aufaben and 1: Mechanik - Wärmelehre ISN: Weitere Informationen oder estellunen unter sowie im uchhandel. Carl Hanser Verla, München

2 LÖSUNGEN 1 Ist s der Gesamtwe und t die Gesamtfahrzeit, so folt a) mit t 1 = t = t/, s 1 = 1 t 1 = 1 t/ und s = t = t/ als mittlere Geschwindikeit = s t = s 1 + s = 1 + = 5 km/h (arithmetisches Mittel), t b) mit s 1 = s = s/, t 1 = s 1 / 1 = s/( 1 ) und t = s / = s/( ): = s t = s = t 1 + t = 1 = 48 km/h (harmonisches Mittel) Das We-Zeit-Gesetz und das Geschwindikeit-Zeit-Gesetz lauten für den orlieenden Fall einer leichmäßi beschleuniten eweun mit s = : s = a t + t, = at +. Eliminiert man die eschleuniun a aus beiden Gleichunen, so eribt sich s = ( + )t. Mit = erhält man daraus = s/(3t) = 1 m/s und = m/s. 3 Der Anhaltewe s setzt sich zusammen aus dem während der Reaktionszeit t 1 zurückeleten We s 1 = t 1 und dem eientlichen remswe s, der sich aus = + as mit der Endeschwindikeit = zu s = /(a) eribt: s = s 1 + s = t 1 /(a). Als Lösun dieser quadratischen Gleichun für folt = at 1 + a t1 as = 16,8 m/s = 6,3 km/h. Die remszeit ist t = /a =,6 s und somit die Anhaltezeit t = t 1 + t = 3,4 s. 4 (ild) a) Es muss on einem eweunsablauf auseanen werden, wie im Geschwindikeit- Zeit-Diaramm darestellt: einer eschleuniunsphase bis zur Maximaleschwindikeit on der Dauer t 1 = /a 1, einer Verzöe- runsphase t = /a (a < ) und f. einer dazwischenlieenden Phase t 3 mit der konstanten Geschwindikeit. Der insesamt s zurückelete We s eribt sich als Flächeninhalt des Trapezes im, t-diaramm zu s = (t + t 3 )/; s ist eine Konstante, und die t1 t3 t Gesamtfahrzeit t sind ariabel. Daraus folt t 3 = (s/) t. Somit t wird t = t 1 + t + t 3 = ( ) s + a 1 a t, t = + s a 1 a. (1) Die kürzeste Fahrzeit eribt sich als Extremwert der Funktion (1) t = t() durch Nullsetzen der ersten Ableitun: dt d = 1 1 s a 1 a = ; = a 1 a s 1 = = 41 m/s ( 148 km/h). a a 1 b) Aus = as + folt mit = und = 1 die eschleuniunsstrecke s 1 = 1 /(a 1) = 35 m und mit = 1 und = der remswe s = 1 /(a ) = 168 m. Wie man sieht, ist s 1 + s = s, d. h., zwischen eschleuniuns- und remsoran liet keine Phase mit konstanter Geschwindikeit (t 3 =, wie aus obier eziehun für t 3 mit = 1 folt). c) Die Mindestfahrzeit ist nach (1) t = 5,3 s (mit t 1 = 17,1 s, t = 8, s und t 3 = ). d) Mit = = (13/3,6) m/s erhält man nach (1) t = 5,5 s (t 1 15,1 s; t = 7, s; t 3 = 3, s), und es ist s 1 = a 1 t1 / = 7 m, s = a t / = 13 m und s 3 = t 3 = 116 m.

3 Geradlinie eweun. Geschwindikeit und eschleuniun 77 5 In der Zeit t i = i Sekunden wird bei leichmäßi beschleuniter eweun die Strecke s i = t i + at i / zurückelet, in der i-ten Sekunde also die Strecke s i = s i s i 1 = t 1 + a (t i t i 1 ) = t 1 + a (t i t i 1 )(t i + t i 1 ) = t 1 + a t 1(t i + t i 1 ). Für s 6 = 6 m und s 11 = 8 m folen somit die beiden Gleichunen 6 m = 1 s + a 11 s, 8 m = 1 s + a 1 s, woraus man a =,4 m/s und = 3,8 m/s erhält. 6 Die on A und zurückeleten Westrecken sind s A = a (t + t) + A (t + t), s = a t + t. a) Für t = und t = 1 s ist s = und s A = 45 m. b) Die Einholbedinun lautet s A = s, woraus als Einholzeit folt t 1 = (a/)( t) + A t = 9 s. A a t c) Es ist dann s A = s = 18,5 m. d) Es muss ( A a t) >, d. h. a < ( A )/ t = 1 m/s sein. 7 a) Die mittlere Geschwindikeit zwischen den Zeitpunkten t 1 und t ist = s s 1 = (t t 1 ) + C(t t 1 ) = + C(t + t 1 ). t t 1 t t 1 Für t 1 = und t = 1 s wird 1 = 3 m/s, für t 1 = 1 s und t = s ist = 5 m/s, und zwischen der zweiten und dritten Sekunde ist 3 = 7 m/s. b) Die Momentaneschwindikeit ist = ds/dt = + Ct. Damit wird die mittlere eschleuniun zwischen t 1 und t : a = 1 = C(t t 1 ) = C = m/s (leichmäßi beschleunite eweun). t t 1 t t 1 8 a) Als eschleuniun bzw. Verzöerun erhält man mit der momentanen Stauchun x = x(t) und der momentanen Geschwindikeit = dx/dt: a = d dt = d dx = d dx dt dx. Mit a = βx folt durch Trennun der Veränderlichen und x d = a dx = βx dx; d = β und nach Ausführun der Interation mit = 4,5 m/s: / = βx 1 /, x 1 = / β = 1 cm. b) Mit a = und a 1 = βx 1 = β wird a = a + a 1 = 1 β = 1,6 m/s. 9 a) Es ist a = k = d/dt, d/ = k dt, 1 d t 1 [ = k dt, 1 ] 1 ( 1 = 1 ) = kt 1, t 1 = 1 ( 1 1 ) = 1. 1 k 1 k 1 Mit = 5 m/s und 1 = 1 m/s erhält man t 1 = 4,5 s. x 1 x dx

4 78 KINEMATIK b) Aus = ds/dt, ds = dt folt mit a) 1 = /(1 + k t 1 ) bzw. allemein = /(1 + k t): s 1 = t 1 s 1 = 1 k z 1 z dt = dz z t k t dt. Substitution z = 1 + k t; mit z = 1 (entsprechend t = ) und z 1 = 1 + k t 1 ; dz dt = k, dt = 1 dz: k s 1 = 1 [ ] z1 ln z = 1 k z k (ln z 1 ln z ) = 1 k ln z 1 = 1 z k ln (1 + k t 1 ) = 1 k ln. 1 Für 1 = 1 m/s folt ein remswe on s 1 98 m. In Wirklichkeit wird das Fluzeu nach dem Aufsetzen zusätzlich über das Fahrwerk ebremst. 1 a) 3 min; b) 3,6 km. 11 1, 1 5 m/s. 1 a),13 m/s ; b) 3,6 min. 13 a) 1,4 m/s ; b) 17, m/s (61, km/h). 14 a) 3 m/s ; b) 6,5 m. 15 a) 1 m/s ; b) 43 km/h; c) 5 m, 115 m. 16 a) t 1 = 1 s; b) a = ( 1 )/t 1 = C + 3Dt 1 =,64 m/s. 17 a = kt mit k = m/s 3 ; = kt1 / = 18 km/h, s = kt1 3 /6 = 1 km. 18 Die Fallzeit der n-ten Kuel beträt mit n = 1,,... (on unten ezählt): t n = n t. Somit ilt für die jeweilie Fallhöhe h n = t n / = n ( t) / = n h 1. Die Abstände benachbarter Kueln h n+1 h n = (n + 1) h 1 n h 1 = (n + 1)h 1, also (h 1 ), 3h 1, 5h 1, 7h 1,..., bilden hiernach in Einheiten on h 1 (on unten nach oben) die Fole der uneraden Zahlen. 19 Ist h = (/)t die Fallhöhe über dem oberen Messpunkt, so ist mit h = 1, m und t =,7 s die Fallhöhe über dem unteren Messpunkt h + h = (/)(t + t). Daraus folt h = (t + t) t ; t = h t t = 1,16 s. Somit wird h = 6, m; 1 = h = 1,85 m/s; = (h + h) = 17,7 m/s. Höhe h und Geschwindikeit der Rakete (Wurfeschoss) zum Zeitpunkt t nach dem Start mit der Anfanseschwindikeit sind eeben durch h = t t, = dh = t. dt a) Im höchsten Punkt (Umkehrpunkt) ist =, woraus als Steizeit folt t S = / = 5 s. b) Mit t S erhält man die maximale Steihöhe h max = 1 37 m. c) Für t 1 = 4 s und t = 6 s sind die Momentaneschwindikeiten 1 98 m/s (Aufwärtsbeweun) und 98 m/s (Abwärtsbeweun). d) Für h = 784 m folen aus obier eziehun für die Stei- bzw. Fallhöhe die Fluzeiten t 3,4 = ( ) ± h ; t 3 = s, t 4 = 8 s. Ebenso wie t 1 und t lieen t 3 und t 4 symmetrisch zur Steizeit t S = 5 s. 1 a) Für die Endeschwindikeit bei leichmäßi beschleuniter eweun ilt allemein = as +. ei der Aufwärtsbeweun auf der schiefen Ebene (ild) ist die eschleuniun a leich der Hanabtriebskomponente der Fallbeschleuniun, welche hier als Verzöerun wirkt, also a = sin 3 = /. Im obersten erreichten Punkt ist =. Somit ist die zurückelete Westrecke s = / = 4,8 m. b) Aus = at + erhält man als 3 Steizeit t = ( )/a = / = 4 s. 3 h = 5,1 m. 3 Nach 4 s in 71,5 m Höhe. sin3

5 Überlaerun on eweunen. Schiefer Wurf 79 4 a) 7,33 s; b) 8,35 s. 5 a) 14, m/s (5,4 km/h); b),86 s. 6 = 9,6 m/s (16,6 km/h); h = 39,6 m. 7 a) Im ild (a) ist F der Vektor der Strömunseschwindikeit des Flusses (eenüber dem Ufer), der Vektor der Geschwindikeit des ootes (eenüber dem Fluss), der Vektor der resultierenden Geschwindikeit des ootes (eenüber dem Ufer), die reite des Flusses, l die Läne des om oot zurückeleten Wees über den Fluss und s die Abdrift. Es ilt : F = : s; F = s/ =,6 m/s, = + F =,9 m/s; tan α = / F, α = 73,3 ; die Zeit zum Übersetzen ist t = / = 15 s. b) muss senkrecht zum Ufer erlaufen. Nach ild (b) ist sin β = F /, β = 17,5. Aus = /t folt mit = cosβ: t = /( cosβ) = 11 s. c) Es muss wie bei a) immer senkrecht zum Ufer esteuert werden. Nach dem Prinzip der unestörten Überlaerun der Teilbeweunen hat die Strömunseschwindikeit und damit die Abdrift auf die Dauer der Überfahrt keinen Einfluss; denn es ilt nach ild (a) für die Fahrzeit t = l/ = / = 15 s (Strahlensatz). a) s b) F l α F β x+dx x ds (x) F h x 1 z α x Aufabe 7 Aufabe 8 Aufabe 9 8 (ild) Ist ds der Abtrieb, den das oot bei der Fahrt senkrecht zur Strömun on x nach x + dx erfährt, so ilt F (x) : = ds : dx, d. h., es ist ds = 1 F (x) dx = m (1 4x ) dx; +/ (1 4x [x 4x 3 ] +/ s = m / ) dx = m 3 / = 3 m = 4 m. 9 (ild) Geeben sind h und x 1. a) Die Dauer zwischen dem Austritt eines Flüssikeitsteilchens aus der Rohröffnun und seinem Auftreffen auf die Wand ist leich der Zeit t 1, die es auch für den freien Fall aus der Höhe h benötien würde, also t 1 = h/ =,64 s (folt aus h = t /). Horizontale und ertikale Geschwindikeitskomponente x und z sind unabhäni oneinander. x bleibt konstant leich ; es ist daher x = = x 1 /t 1 = 6,6 m/s. b) Die Vertikalkomponente ist wie im freien Fall z = h = 6,6 m/s. Damit wird = x + z = 8,86 m/s; tan α = x / z, α = Zum Zeitpunkt t = ist (s. ild orn) x = cos α, z = sin α. Für einen beliebi späteren Zeitpunkt t ilt x = x = cos α, z = z t = sin α t. Ween x = x/t = const und z = dz/dt folen hieraus die We-Zeit-Gesetze x(t) = x t = t cosα, z(t) = t z dt = t sin α t. Einsetzen on t = x/( cos α ) in z(t) eribt die Gleichun der Wurfparabel z(x) = x tan α x. cos α

6 8 KINEMATIK 31 a) Aus der ahnleichun (s. obie Aufabe 3) folt für z = die Reichweite x W = sin α cos α = sin α mit dem Maximalwert x max = / für α = 45. Mit x max = 8 km erhält man daraus als Starteschwindikeit = 8,86 km/s. Ihre Horizontalkomponente ist x = cos 45 = 6,6 km/s; sie bleibt während des esamten Flues konstant. Im Gipfelpunkt der ahn ist sie ween z = leich der Raketeneschwindikeit. b) Aus x = x max /t 1 = 6,6 km/s folt als Gesamtfludauer t 1 = 177 s, die Vorwarnzeit beträt also t 1 / = 1 min 38 s. c) Die Zieleschwindikeit ist = 8,86 km/s, l. a). d) Die maximale Höhe z max erhält man aus dem Fallesetz z = t / für t = t 1 / = 638 s, l. b), zu z max = km. 3 a) Die Gleichun für die Geschossbahn (Wurfparabel) lautet (l. Lösun zu Aufabe 3) z(x) = x tan α x. (1) cos α Mit der aneebenen Umformun für 1/ cos α folt durch Lösun der quadratischen Gleichun für tan α : ( tan α = ) x ± z 1. () x x Durch Einsetzen der Zielkoordinaten (x 1, z 1 ) folen hieraus die beiden mölichen Abschusswinkel α,1 und α,. b) Reelle Werte für tan α ereben sich nur, wenn in () für die Diskriminante ilt ( ) z 1 x 1 x1 1, d. h. z 1 + x1 + z 1. (3) Diese edinun ist für die aneebenen Koordinaten nicht erfüllt; ist zu klein. c) Nach (3) beträt die Mindest-Anfanseschwindikeit min = 13 m/s. Damit folt aus Gleichun (), in der jetzt der Wurzelausdruck erschwindet, α = 57,. Der Anstie der Tanente an die Flubahn im Zielpunkt (x 1, z 1 ) ist tan α 1 = dz(x) dx = tan α x=x1 x 1 cos α =,645, d. h., der Zielpunkt liet auf dem fallenden Ast der Flubahn. 33 Let man das Höhennieau des Auftreffpunktes der Kuel auf dem Erdboden mit z = fest, dann lautet die Gleichun der Wurfparabel (l. Lösun zu Aufabe 3): z(x) = h + x tan α x. cos α Im Auftreffpunkt ist z = und x = x W (Wurfweite), d. h., es ilt: = h + x W tan α xw. (1) cos α Dies ist eine implizite Darstellun der Funktion x W = x W (α ). Gliedweises Differenzieren on (1) nach α (Anwendun der Produkten- und Quotientenreel sowie der Kettenreel) eribt = dx W tan α + x W [ ] dx W dα cos α x W cos α cos α ( sin α )x 1 W. dα cos 4 α Mit dx W /dα = (Extremwertbedinun) folt hieraus für die maximale Wurfweite x W,max : = x W,max cos α sin α cos3 α x W,max bzw. x W,max = /( tan α ). Dies für x W in (1) einesetzt, eribt mit h = 1,7 m sin α = =,6768; α = 4,6 ( ; x W,max =,1 m. + h)

7 Kreisbeweun a) 34,1 min; b) 3, min; c) 6,8 min. 35 (x) = kx mit k =, s 1. Abdrift: ds = (x) dx; s = kx. a) s 1 = 6,4 m; s = 1, m. b) t 1 = 16 s; t = s. 36 a) 1 m; b) 5 m/s (9 km/h); c) 86,6 m/s; d) 9,3 ; e) enau über dem Auftreffpunkt. 37 a) 3,15 s (Steizeit + Fallzeit); b) 4,9 m; c) 6,7 m/s; d) 6,9. 38 Die Punktmasse erfährt die eschleuniun a = sin α = h/s. Damit beträt die Zeit für das Hinableiten t = s/a = s /(h) bzw. mit s = h + d : t = / (h + d /h) 1/. Aus der Extremwertbedinun dt/dh = / (1/) (h + d /h) 1/ (1 d /h ) = folt h = d. Der Neiunswinkel der schiefen Ebene muss also α = 45 sein. 39 a) 8 cm; b) 6. 4 oenmaß on ϕ: ϕ = Kreisboenläne s Radius des Kreises R =, m =, rad, 1 m mit der Einheit [ϕ] = 1 m/1 m = 1 rad (Radiant), d. h. dimensionslos. Der Vollwinkel 36 hat demnach das oenmaß π R/R = π rad π, womit für die Umrechnun in das Gradmaß ϕ( ) ween der Proportionalität ϕ( ) : 36 = ϕ : π ilt: ϕ( ) = 18 π ϕ = 57,3 ϕ. Dem Winkel ϕ =, rad entsprechen also 11,46 = Geeben ist der Drehwinkel 15, entsprechend ϕ = 15 π/18 =,618 rad im oenmaß, die Drehzahl n = (16/6) s 1 sowie der Geschosswe s =,5 m. Die Winkeleschwindikeit der Scheiben ist ω = πn = ϕ/t. Daraus folt für die Fludauer des Geschosses zwischen den beiden Scheiben t = ϕ/(πn) und somit als Geschosseschwindikeit = s t = πns = 3 m/s. ϕ 4 Mit der Umlaufzeit des roßen Zeiers T 1 = 1 h = 36 s beträt dessen Winkeleschwindikeit ω 1 = π/t 1, die des kleinen Zeiers ω = ω 1 /1 = π/(1t 1 ). Ist t die Zeitspanne zwischen zwei aufeinander folenden Deckunen der Zeier und ϕ der Winkel, um den sich in dieser Zeit der kleine Zeier weiterdreht, so beträt der Drehwinkel des roßen Zeiers in der leichen Zeit ϕ 1 = ϕ + π. Es ilt also ween ω = ϕ/t: t = ϕ = ϕ 1 = ϕ + π π ; ϕ = ω ω 1 ω 1 (ω 1 /ω ) 1 = π 11. Damit wird t = ϕ ω = π 11 1 T 1 π = 1 11 T 1 = 397,3 s = 1 h 5 min 7,3 s. 43 Die Geschwindikeit des Treibriemens ist = ωr = πn R = πn D. Damit wird 1 = πn(d 1 D ) = πn D; = 1 πn D. Mit der Drehzahl n = (38/6) s 1 wird = 5 m/s, D = /(πn) = 5 cm und D 1 = D + D = 4 cm.