Übung zu Mechanik 3 Seite 7

Transkript

1 Übung zu Mechanik 3 Seite 7 Aufgabe 7 Gegeben ist der skizzierte Brückenträger aus geschweißten Flachstählen. Er wird im ungünstigsten Lastfall durch die Schnittgrößen max N 1, max Q 3 und max M 2 beansprucht. Die rechnerische Schweißnahtdicke ist a = 20 mm. a) Führen Sie die Spannungsnachweise für die Normalspannungen und Schubspannungen durch! b) Bestimmen Sie die Hauptspannung σ 1 in der Schweißnaht! c) Bestimmen Sie die Vergleichsspannung σ v nach der Gestaltänderungshypothese in der Schweißnaht! Querschnitt: Gegeben: max N 1 = 1,0 MN max Q 3 = 3,5 MN max M 2 = 8,0 MNm zul σ d = 140 N/mm 2 zul σ z = 160 N/mm 2 zul τ = 90 N/mm 2

2 Übung zu Mechanik 3 Seite 8 Aufgabe 8: Das skizzierte Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm setzt sich aus einer quadratischen Parabel und zwei Geraden zusammen. Bestimmen Sie den zur Zeit t = t c zurückgelegten Weg, die maximale Beschleunigung max a und die Bremsverzögerung a b! Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm: Gegeben: t a = 2 min t b = 6 min t c = 8 min v a = 72 km/h Aufgabe 9: Gegeben ist die Geschwindigkeit als Funktion der Zeit: v ( t) 1- e -a 0 v t e = v e Bestimmen Sie die Funktionen a(t) und a(v), und stellen Sie alle Funktionen graphisch dar! Aufgabe 10: Gegeben ist die Beschleunigung als Funktion des Weges: a(x) = b x, b > 0. Bestimmen Sie die Funktionen a(t), v(x), v(t) und x(t)! Es gelten die Anfangsbedingungen: x(t = 0) = x a, x a > 0 und v(t = 0) = 0.

3 Übung zu Mechanik 3 Seite 9 Aufgabe 11 Bei einem aus dem Stand anfahrenden Fahrzeug ist die Geschwindigkeit eine Funktion des Weges: 3 v(x) = k x, mit x(t = 0) = 0. Bestimmen Sie die Funktionen a(x), a(t), v(t) und x(t). Aufgabe 12 Die Anfahrbeschleunigung eines Flugzeuges auf dem Rollfeld läßt sich näherungsweise durch die Beziehung av = c 0 () a 0 c 0 + v darstellen mit den konstanten Anfangswerten a 0 = 4 m/s 2 und c 0 = 200 m/s. Welchen Weg s legt das Flugzeug bis zum Abheben zurück, und wieviel Zeit benötigt es dazu, wenn die Startgeschwindigkeit v e = 80 m/s beträgt? Aufgabe 13 Gegeben ist das skizzierte Beschleunigungs-Geschwindigkeits-Diagramm eines Kraftfahrzeuges. Bestimmen Sie die Zeit, die das Fahrzeug benötigt, um eine Geschwindigkeit von 100 km/h zu erreichen, und den Weg, den das Fahrzeug zurücklegt, bis es die Höchstgeschwindigkeit 120 km/h erreicht hat!

4 Übung zu Mechanik 3 Seite 10 Aufgabe 14 Zwei Fahrzeuge A und B befahren in gleicher Richtung eine gerade ebene Straße mit der Geschwindigkeit v a und v b. Zu dem Zeitpunkt, da das Fahrzeug A mit der konstanten Verzögerung a A zu bremsen beginnt, beträgt der lichte Abstand der Fahrzeuge l 0. Das Fahrzeug B beginnt eine halbe Sekunde später mit der konstanten Verzögerung a B zu bremsen. a) Stoßen die Fahrzeuge zusammen? Wenn ja, wie groß ist in diesem Augenblick ihre Geschwindigkeit? b) Wie groß muß der Abstand l der Fahrzeuge mindestens sein, wenn ein Zusammenstoß vermieden werden soll? Gegeben: v A = 45 km/h a A = 5 m/s 2 v B = 50 km/h a B = 4 m/s 2 l 0 = 10 m Aufgabe 15 Ein Flugzeug fliegt mit einer horizontalen Geschwindigkeit v 1 = 600 km/h. Das Variometer zeigt an, daß es mit 20 m/s steigt. Dieses Flugzeug verliert einen Gegenstand in 3000 m Höhe. Wo trifft der Gegenstand am ebenen Boden auf, wenn man den Luftwiderstand ve r- nachlässigt? Wo befindet sich das Flugzeug zur Zeit des Aufschlages? Gegeben: g = 10 m/s 2

5 Übung zu Mechanik 3 Seite 11 Aufgabe 16 Von einem Turm (H = 100 m) wird ein Stein fallen gelassen. Wann und mit welcher Geschwindigkeit muß ein in einer Entfernung von 100 m stehender Schütze sein Geschoß abfeuern, wenn es den Stein in einer Höhe von 20 m treffen soll? Der Luftwiderstand soll vernachlässigt werden. Aufgabe 17 In einem Fußballspiel erhält eine Mannschaft 22 m vor dem gegnerischen Tor einen direkten Freistoß zugesprochen. Mit welcher Anfangsgeschwindigkeit v 0 und unter welchem Winkel ϕ 0 muß der ausführende Spieler den Freistoß treten, wenn der Ball die gegnerische Mauer gerade überfliegen und das Tor unter der Querlatte treffen soll? Welche Reaktionszeit bleibt dem Torwart, der auf der Torlinie steht und den Ball erst nach dem Überfliegen der Mauer sieht? Der Luftwiderstand ist zu vernachlässigen.

6 Übung zu Mechanik 3 Seite 12 Aufgabe 18 Ein Skispringer verläßt die skizzierte Sprungschanze mit der Geschwindigkeit v 0 = 20 m/s. Der Auslaufberg hat die Form einer quadratischen Parabel. a) In welchem Punkt trifft der Springer auf? b) Welchen Winkel bildet die Flugbahn im Auftreffpunkt mit dem Auslauf? c) Wie groß ist die Auftreffgeschwindigkeit des Springers? Der Einfluß des Luftwiderstandes ist zu vernachlässigen! Aufgabe 19 Mit einer bestimmten Brennstoffmenge kann ein Zeppelin, der über eine Eigengeschwi n- digkeit von v c = 150 km/h verfügt, eine gerade Strecke x c = 1470 km hin- und zurückfliegen. Wie lang ist die gerade Strecke x, die der Zeppelin mit der gleichen Brennstoffmenge hin- und zurückfliegen kann, wenn auf dem Hinflug ein Gegenwind und auf dem Rückflug ein Rückenwind von der konstanten Geschwindigkeit w = 50 km/h herrscht?

7 Übung zu Mechanik 3 Seite 13 Aufgabe 20 Ein Körper wird auf eine um α = 30 gegen die Horizontale geneigte Ebene geworfen. Bei welchem Abwurfwinkel ϕ 0 wird die Wurfweite am größten? Der Luftwiderstand ist zu vernachlässigen. Aufgabe 21 Ein Massenpunkt bewegt sich auf einer Kreisbahn mit dem Radius r. Die Bewegungsgleichung lautet: ϕ(t) = c t 2. a) Bestimmen Sie die Geschwindigkeit und die Beschleunigung des Massepunktes in Polarkoordinaten (r,ϕ)! b) Stellen Sie die Bewegungsgleichungen für ein kartesisches x 1 x 2 Koordinatensystem auf! c) Bestimmen Sie die Umlaufzeit T für den ersten Umlauf und die allgemeine Beziehung für T n des n-ten Umlaufes! Aufgabe 22 Von A nach B läuft ein Personenförderband mit der Geschwindigkeit v 1. Karl und Otto wollen von A nach B und zurück um die Wette laufen. Karl läuft auf dem Förderband nach B und zurück, Otto neben dem Förderband. Wer gewinnt, wenn Karl und Otto gleich gute Läufer sind?

8 Übung zu Mechanik 3 Seite 14 Aufgabe 23 Von der Ladefläche des skizzierten Lastkraftwagens (v 2 = 72 km/h) wird die Einzelmasse m mit der Anfangsgeschwindigkeit v 1 = 5 m/s geworfen. Bestimmen Sie den Punkt, in dem der Gegenstand auf die Böschung trifft, und geben Sie die Koordinaten des Auftreffpunktes im gegebenen raumfesten Bezugssystem an! Draufsicht: Ansicht A - A Gegeben: v 1 = 5 m/s v 2 = 72 km/h g = 10 m/s 2 m = 1 kg

9 Übung zu Mechanik 3 Seite 15 Aufgabe 24: Ein Taucher läßt 80,4 m unter der Wasseroberfläche einen Korkball (m k ) mit der Geschwindigkeit v 0 los. Strömungswiderstände und Reibung zwischen Ball und Wasser sind zu vernachlässigen. a) In welchem Abstand l tritt der Ball an die Wasseroberfläche? b) Wie hoch steigt der Ball aus dem Wasser? Gegeben: Spez. Gewicht Wasser γ w = 10 kn/m 3 Spez. Gewicht Kork γ k = 2 kn/m 3 m k = 0,05 kg v 0 = 0,4 m/s

10 Übung zu Mechanik 3 Seite 16 Aufgabe 25 r (t) = x (t) e beschrie- Die Bewegung eines Punktes im Raum wird durch den Ortsvektor ben. Es sei: x 1 (t) = d cos ωt, x 2 (t) = d sin ωt, i i x 3 (t) = T h t, mit der Umlaufzeit T und ω = T 2π = konst. a) Beschreiben Sie die Bahnkurve des Punktes! b) Bestimmen Sie den Abstand des Punktes zur x 3 -Achse für eine beliebige Zeit t! c) Berechnen Sie die Geschwindigkeit r& und die Beschleunigung r& & für den gegebenen Fall und für den Fall der ebenen Bewegung (x 3 (t) = 0)! d) Stellen Sie für die ebene Bewegung den Geschwindigkeits- und den Beschleunigungsvektor dar für die Zeiten t = 0, t = 8 T und t = 4 T! e) Bestimmen Sie die Drehzahl ν bei der ebenen Bewegung für T = 3 s! Aufgabe 26 Ein Punkt bewegt sich wie dargestellt auf einer Spirale ρ = cϕ mit ρ = r und c = konst. Stellen Sie die Beschleunigung a ( ϕ) und a(t) in Polarkoordinaten dar für die Fälle: a) ϕ& = ω = 0 konst! 2 c b) ϕ& = ω0 2 ρ

11 Übung zu Mechanik 3 Seite 17 Aufgabe 27 Die Strömungsgeschwindigkeit eines Flusses verläuft in Abhängigkeit vom Weg x nach dem linearen Gesetz: x w = 1 - w c (w c, x c konst.). x c Ein Boot, das über eine Eigengeschwindigkeit v c verfügt, fährt die Strecke von x = 0 bis x = x c hin und zurück. Man berechne die für die beiden Fahrten benötigten Zeiten. Gegeben: x c = 100 km, w c = 5 km/h, v c = 20 km/h. Aufgabe 28 Ein Boot P fährt mit der konstanten Eigengeschwindigkeit v p über einen Fluß (Breite ρ 0, konstante Fließgeschwindigkeit v F ). Die Ablegestelle liegt im Punkt A, und das Boot fährt stets so, daß die Längsachse auf den gegenüberliegenden Punkt B gerichtet ist. a) Geben Sie die Bewegungsgleichung des Bootes in Polarkoordinaten an! b) Wie lange dauert die Fahrt von a nach B, wenn das Boot unter dem Winkel ϕ = 0 in B anlegt? c) Wie groß muß die Eigengeschwindigkeit v p des Bootes mindestens sein, damit es die Landestelle in B überhaupt erreicht?

12 Übung zu Mechanik 3 Seite 18 Aufgabe 29 Ein Flugzeug F mit konstanter Eigengeschwindigkeit v F peilt einen Sender S so an, daß die Flugzeuglängsachse stets senkrecht auf dem Fahrstrahl SF liegt. Bei Windstille ist die Flugbahn demnach eine Kreisbahn. Bestimmen Sie die Bahn des Flugzeuges in Polarkoordinaten, wenn wie skizziert ein Wind mit konstanter Windgeschwindigkeit w = - w e 2 herrscht! Zu Beginn (ϕ = 0) beträgt der Abstand des Flugzeuges zum Sender r = ρ 0. Aufgabe 30 Ein Satellit bewegt sich auf einer Kreisbahn (Radius r) um die Erde (Erdradius R). Bestimmen Sie Geschwindigkeit und Umlaufzeit des Satelliten als Funktion von r! 2 R (Fallbeschleunigung in großer Höhe: a = g 2 ). r

13 Übung zu Mechanik 3 Seite 19 Aufgabe 31 Berechnen Sie bei den skizzierten Rollen von den kinematischen Größen v A, v B, v C, v D und ω jeweils diejenigen, die nicht gegeben sind (Reines Rollen bei c) und d)). a) b) ω gegeben ω gegeben b) d) v B gegeben ω gegeben

14 Übung zu Mechanik 3 Seite 20 Aufgabe 32 Gegeben ist der momentane Geschwindigkeitszustand eines Schubkurbelgetriebes, wobei die Winkelgeschwindigkeit ω I der Scheibe I (für α = 45 ) bekannt ist. Gesucht ist der momentane Bewegungszustand der Stange II. Aufgabe 33 Ein Seil, das über eine gelenkig gelagerte Rolle II geführt wird, wird bei A mit der Geschwindigkeit v A bewegt. Dadurch wird die Scheibe I nach oben bewegt (kein Rutschen). Man bestimme die kinematischen Größen v I und ω I der Scheibe I.